ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE

ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE
1 Conducteur plan parcouru par courant permanent :
On considère un milieu matériel de conductivité électrique  constante, vérifiant la loi d’Ohm locale, occupant le domaine
compris entre les plans z=-a/2 et z=a/2.
Il est parcouru par un courant de densité volumique uniforme et constante
xo u.jj 
.
1.1 Déterminer le champ électrique régnant dans ce conducteur.
1.2 Calculer le champ magnétique régnant à l’intérieur du conducteur. On utilisera le théorème d’Ampère.
1.3 Montrer que l’on peut obtenir directement ce champ magnétique à partir des équations de Maxwell.
1.4 Calculer la puissance électromagnétique reçue par un morceau de conducteur de longueur Lx selon Ox, et Ly selon Oy.
1.5 Calculer la puissance fournie par le champ électromagnétique aux porteurs de charges de ce domaine. Commenter.
2 Puissance transportée par une ligne à deux conducteurs :
On considère un ensemble de deux conducteurs plans, très fins, parallèles, placés en regard
l’un de l’autre à distance e. Ils sont séparés par du vide.
Le (1), situé en z=0, est au potentiel nul, l’autre, le (2), est porté au potentiel uniforme U.
On étudie un régime permanent dans lequel un courant I parcourt le (1) de façon uniforme
dans le sens des ‘x’ croissants, le courant revenant par le (2).
Les conducteurs ont une largeur selon Oy qui vaut a, avec a<<e.
Dans ce cas, pour la détermination des champs créés, on peut négliger les effets de bord et raisonner comme si les plans
conducteurs étaient infinis.
2.1 Etablir l’expression du champ électrique créé par les deux plans.
2.2 Exprimer la densité surfacique de courant, et en déduire le champ magnétique créé entre les deux conducteurs.
2.3 En déduire l’expression du vecteur de Poynting, puis de la puissance transportée par le câble.
2.4 Un dipôle électrocinétique (par exemple un résistor) est placé à l’extrémité de ce câble. Quelle est la puissance électrique
reçue ? Comparer au résultat du 2.3. Commenter.
3 Condensateur cylindrique avec résistance de fuite:
On considère un condensateur formé de deux armatures cylindriques
coaxiales de rayon
R1
et
R R
2 1
, de hauteur commune H.
A t=0, le condensateur est chargé: l'armature centrale porte une charge Qo ,
l'autre –Qo .
Le milieu matériel M qui les sépare a les mêmes permittivité diélectrique et
perméabilité magnétique que le vide, mais a une conductivité électrique faible
notée , et vérifie la loi d'Ohm locale. Sa densité volumique de charge est nulle.
On néglige les effets de bord.
3.1 Déterminer le champ électrique régnant dans le milieu M à t=0. Quel effet a-t-il sur les porteurs libres qui y sont présents?
3.2 Déterminer l'état final de cet ensemble de conducteurs et le champ magnétique existant lors du passage du courant. On
exploitera les symétries du système.
3.3 Calculer la variation d'énergie électromagnétique stockée entre t=0 et le nouvel état d'équilibre.
3.4 Que vaut le flux du vecteur de Poynting à travers la surface fermée délimitant ce condensateur? Qu'est devenue l'énergie
perdue?
3.5 On note q(t) la charge portée par l’armature centrale du condensateur. Justifier que
dt )t(dq
I
, avec le courant I compté
positivement dans le sens des ‘r’ croissants. Exprimer la densité de courant
j
pour
t0
en fonction de dq/dt. En déduire
l'énergie dissipée par effet Joule dans M et conclure.
4 Charge lente d’un condensateur plan :
On considère un condensateur plan constitué de deux armatures planes, circulaires,
de section commune S, situées en regard à distance e selon l’axe Oz, séparées par du vide.
On maintient entre elles une différence de potentiel Uo .
4.1 En négligeant les effets de bord, déterminer le champ électrique régnant entre les armatures. En déduire l’énergie
électrostatique, notée Ep, stockée entre les armatures. La capacité du condensateur est telle que
2
op U.C
2
1
E
. En déduire
l’expression de la capacité C de ce condensateur.
4.2 On réalise la charge de ce condensateur de façon lente, portant la tension U de 0 à Uo de sorte que l’expression du champ
électrique obtenue en 4.1 reste valable. Déduire de l’équation de Maxwell-Ampère le champ magnétique dans le vide.
4.3 En déduire le vecteur de Poynting, puis la puissance électromagnétique reçue par le domaine d’espace contenant le
condensateur au cours de la charge. Que vaut l’énergie totale reçue lorsque U atteint la valeur Uo ? Commenter.
x
y
z
e
a
I
I
H
z
0
e
R
Uo