les théorèmes (2) - kaddouri mathematiques a dorgeles
publicité
DEMONTRER 1) Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment 2) Démontrer que deux droites sont parallèles 3) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires 4) Démontrer qu’un triangle est rectangle 5) Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme 6) Démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle(1) Démontrer qu’un quadrilatère est un losange(1) 7) Démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle(2) Démontrer qu’un quadrilatère est un losange(2) Démontrer qu’un quadrilatère est un carré COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment Exercice1 Réponse « Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle parallèlement à un côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. » Les données sont portées sur la figure. Démontrer que F est le milieu de [AC]. Exercice2 E est le milieu de [AB], F est un point de [AC], (EF) // (BC), Donc F est le milieu de [AC] Réponse « Si un triangle est isocèle alors la hauteur issue du sommet principal est aussi une médiane. » Les données sont portées sur la figure. Démontrer que H est le milieu de [BC] Exercice 3 Le triangle ABC est isocèle en A (AH) est la hauteur issue de A Donc (AH) est aussi la médiane issue de A Donc H est e milieu de [BC] Réponse « Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu » ABCD est un parallélogramme Donc Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu M ABCD est un parallélogramme. Démontrer que M est le milieu de [AC] COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS Démontrer que deux droites sont parallèles Exercice1 Réponse « Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième droite alors elles sont parallèles » (EF) ⊥ (AB) et (CB) Donc (EF) // (BC) ⊥ (AB) Démontrer que (EF) // (BC) Exercice2 Réponse « Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure alors ces deux droites sont parallèles » Les angles ACˆ B et AFˆ E sont correspondants et de même mesure Donc (EF) est parallèle à (BC) Démontrer que (EF) // (BC) Exercice3 Démontrer que (EF) // (BC) Exercice 4 Réponse « Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté » La droite (EF) passe par les milieux E et F des côtés [AB] et [AC] Donc (EF) est parallèle à (BC) Réponse Les points A, E, B sont alignés dans cet ordre Les points A, F, C sont alignés dans cet ordre AE 4 2 AF 6 2 = = et = = AB 6 3 AC 9 3 on constate que AE AF = AB AC Donc (d’après la réciproque du théorème de Thalès) Les droites (EF) et (BC) sont parallèles Démontrer que (EF) // (BC) COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS Démontrer que deux droites sont perpendiculaires Exercice1 Réponse « Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à l’autre » ou « Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre » Démontrer que (EF) est perpendiculaire à (AB) (AC) // (EF) et (AB) Donc (AB) Exercice2 ⊥ (AC) ⊥ (EF) Réponse « Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires » ABCD est un losange Donc Les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires ABCD est un losange Démontrer que (AC) ⊥ (BD) Exercice3 Réponse « Si un triangle est isocèle alors la bissectrice issue du sommet principale est aussi une hauteur » Le triangle ABC est isocèle en A (AM) est la bissectrice issue de A Donc (AM) est aussi la hauteur issue de A Donc (AM) est perpendiculaire à (BC) (AM) est la bissectrice issue de A Démontrer que (AM) ⊥ (BC) COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS Démontrer qu’un triangle est rectangle Exercice1 Réponse « La somme des angles d’un triangle est égale à 180° » BAˆ C = 180 - ( ABˆ C + ACˆ B ) = 180 - (56 + 34) = 180 - 90 = 90 Démontrer que le triangle ABC est rectangle Donc Le triangle ABC est rectangle en A Exercice2 Réponse BC² = 5² = 25 AB² + AC² = 3² + 4² = 9+16 =25 on constate que BC² = AB² +AC² Donc (d’après le théorème de Pythagore) Le triangle ABC est rectangle en A Démontrer que le triangle ABC est rectangle Exercice3 Réponse « Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un côté du triangle alors le triangle est rectangle » Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] Donc Le triangle ABC est rectangle en A Démontrer que le triangle ABC est rectangle Exercice4 Démontrer que le triangle ABC est rectangle COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS Réponse « Si une médiane d’un triangle a pour longueur la moitié du côté opposé alors le triangle est rectangle » La médiane AM a pour longueur la moitié de BC Donc Le triangle ABC est rectangle en A Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme Exercice1 Réponse a) « Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles » (AM) // (BC) et (CM) // (BA) Donc ABCM est un parallélogramme (AD) // (BC) et (CD) // (BA) AM = CN a/ Démontrer que ABCM est un parallélogramme b/ Démontrer que AMCN est un parallélogramme b) « Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un parallélogramme » (AM) // (CN) et AM = CN Donc AMCN est un parallélogramme Exercice2 Réponse « Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c’est un parallélogramme » Le quadrilatère BCMN a ses diagonales [BM] et [CN] de même milieu A Donc BCMN est un parallélogramme Démontrer que BCMN est un parallélogramme COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS Démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle (1) Démontrer qu’un quadrilatère est un losange (1) Exercice1 Réponse a) « Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles » (CM) // (AB) et (BM) // (AC) Donc ABMC est un parallélogramme. (CM) // (AB) et (BM) // (AC) a) Démontrer que ABMC est un parallélogramme b) Déduire que ABMC est un rectangle Exercice2 b) « Si un parallélogramme possède un angle droit alors c’est un rectangle » Le parallélogramme ABMC possède un angle droit en A Donc ABMC est un rectangle Réponse a) « Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles » (CM) // (AB) et (BM) // (AC) Donc ABMC est un parallélogramme. (CM) // (AB) et (BM) // (AC) a) Démontrer que ABMC est un parallélogramme b) Déduire que ABMC est un losange b) « Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un losange » Le quadrilatère ABMC possède deux côtés consécutifs AC et AB de même longueur Donc ABMC est un losange COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS Démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle (2) Démontrer qu’un quadrilatère est un losange (2) Démontrer qu’un quadrilatère est un carré Exercice1 Réponse « Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et perpendiculaires alors c’est un losange » Le quadrilatère BCMN a ses diagonales [BM] et [CN] de même milieu A et perpendiculaires. Donc BCMN est un losange Démontrer que BCMN est un losange Exercice2 Réponse « Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur alors c’est un rectangle » Le quadrilatère BCMN a ses diagonales [BM] et [CN] de même milieu A et de même longueur Donc BCMN est un losange Démontrer que BCMN est rectangle Exercice3 Réponse « Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu de même longueur et perpendiculaires alors c’est un carré » Le quadrilatère BCMN a ses diagonales [BM] et [CN] de même milieu A de même longueur et perpendiculaires Donc BCMN est un carré Démontrer que BCMN est un carré COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS
