les théorèmes (2) - kaddouri mathematiques a dorgeles

COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS
DEMONTRER
1) Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment
2) Démontrer que deux droites sont parallèles
3) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
4) Démontrer qu’un triangle est rectangle
5) Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
6) Démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle(1)
Démontrer qu’un quadrilatère est un losange(1)
7) Démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle(2)
Démontrer qu’un quadrilatère est un losange(2)
Démontrer qu’un quadrilatère est un carré

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Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment
Exercice1
Les données sont portées sur la figure.
Démontrer que F est le milieu de [AC].
Réponse
« Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un
triangle parallèlement à un côté alors elle passe par
le milieu du troisième côté. »
E est le milieu de [AB],
F est un point de [AC],
(EF) // (BC),
Donc
F est le milieu de [AC]
Exercice2
Les données sont portées sur la figure.
Démontrer que H est le milieu de [BC]
Réponse
« Si un triangle est isocèle alors la hauteur issue du
sommet principal est aussi une médiane. »
Le triangle ABC est isocèle en A
(AH) est la hauteur issue de A
Donc
(AH) est aussi la médiane issue de A
Donc
H est e milieu de [BC]
Exercice 3
ABCD est un parallélogramme.
Démontrer que M est le milieu de [AC]
Réponse
« Si un quadrilatère est un parallélogramme alors
ses diagonales ont le même milieu »
ABCD est un parallélogramme
Donc
Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu M

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Démontrer que deux droites sont parallèles
Exercice1
Démontrer que (EF) // (BC)
Réponse
« Si deux droites sont perpendiculaires à une
troisième droite alors elles sont parallèles »
(EF)
⊥
(AB) et (CB)
⊥
(AB)
Donc
(EF) // (BC)
Exercice2
Démontrer que (EF) // (BC)
Réponse
« Si deux droites coupées par une sécante
déterminent deux angles correspondants de même
mesure alors ces deux droites sont parallèles »
Les angles BCA
ˆ
et
E
F
A
ˆ
sont correspondants et
de même mesure
Donc
(EF) est parallèle à (BC)
Exercice3
Démontrer que (EF) // (BC)
Réponse
« Si une droite passe par les milieux de deux côtés
d’un triangle alors elle est parallèle au troisième
côté »
La droite (EF) passe par les milieux E et F des côtés
[AB] et [AC]
Donc
(EF) est parallèle à (BC)
Exercice 4
Démontrer que (EF) // (BC)
Réponse
Les points A, E, B sont alignés dans cet ordre
Les points A, F, C sont alignés dans cet ordre
AB
AE
=
6
4
=
3
2
et
AC
AF
=
9
6
=
3
2
on constate que
AB
AE
=
AC
AF
Donc (d’après la réciproque du théorème de Thalès)
Les droites (EF) et (BC) sont parallèles

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Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
Exercice1
Démontrer que (EF) est perpendiculaire à (AB)
Réponse
« Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième
droite est perpendiculaire à l’une alors elle est
perpendiculaire à l’autre »
ou
« Si deux droites sont parallèles alors toute droite
perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à
l’autre »
(AC) // (EF) et (AB)
⊥
(AC)
Donc
(AB)
⊥
(EF)
Exercice2
ABCD est un losange
Démontrer que (AC)
⊥
(BD)
Réponse
« Si un quadrilatère est un losange alors ses
diagonales sont perpendiculaires »
ABCD est un losange
Donc
Les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires
Exercice3
(AM) est la bissectrice issue de A
Démontrer que (AM)
⊥
(BC)
Réponse
« Si un triangle est isocèle alors la bissectrice issue
du sommet principale est aussi une hauteur »
Le triangle ABC est isocèle en A
(AM) est la bissectrice issue de A
Donc
(AM) est aussi la hauteur issue de A
Donc
(AM) est perpendiculaire à (BC)

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Démontrer qu’un triangle est rectangle
Exercice1
Démontrer que le triangle ABC est rectangle
Réponse
« La somme des angles d’un triangle est égale à
180° »
CAB
ˆ
= 180 - ( CBA ˆ + BCA
ˆ
)
= 180 - (56 + 34)
= 180 - 90
= 90
Donc
Le triangle ABC est rectangle en A
Exercice2
Démontrer que le triangle ABC est rectangle
Réponse
BC² = 5² = 25
AB² + AC² = 3² + 4² = 9+16 =25
on constate que
BC² = AB² +AC²
Donc (d’après le théorème de Pythagore)
Le triangle ABC est rectangle en A
Exercice3
Démontrer que le triangle ABC est rectangle
Réponse
« Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre
un côté du triangle alors le triangle est rectangle »
Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre
[AB]
Donc
Le triangle ABC est rectangle en A
Exercice4
Démontrer que le triangle ABC est rectangle
Réponse
« Si une médiane d’un triangle a pour longueur la
moitié du côté opposé alors le triangle est
rectangle »
La médiane AM a pour longueur la moitié de BC
Donc
Le triangle ABC est rectangle en A