Devoir à la maison - Département de Mathématiques d`Orsay

IUT d’Orsay Universit´e Paris-Sud
D´epartement Informatique 2006/2007
Codes correcteurs d’erreurs
Devoir `a la maison
A rendre imp´erativement en s´eance de TD la semaine du 5 mars
Exercice 1.
Pr´eliminaires. On rappelle qu’un code de Hamming est un code parfait de distance 3 : tout mot est
soit un mot du code, soit `a distance 1 d’un (unique) mot du code.
1. Expliquer comment construire un code de Hamming Cde taille (15,11). Combien un tel code
contient-il de mots ? Si on prend un mot binaire de longueur 15 au hasard, quelle est la probabilit´e
que ce mot fasse partie du code ?
Le cruel Dr M. a captur´e 15 ´el`eves de l’IUT pour les soumettre `a une ´epreuve diabolique. Il explique
qu’il va leur faire porter `a chacun un chapeau soit blanc, soit noir (la couleur est tir´ee au sort). Il va
ensuite les r´eunir dans une pi`ece, bˆaillon´es, de telle sorte que chaque ´el`eve pourra voir la couleur des
chapeaux des autres, mais pas du sien. Apr`es quoi chaque ´el`eve devra essayer de deviner la couleur
de son chapeau et notera en secret sur un papier “blanc”, “noir” ou rien du tout.
Si tous les ´el`eves ayant ´ecrit quelque chose ont bien devin´e la couleur de leur chapeau, le Dr M. laissera
la vie sauve `a tout le monde. Par contre, si un ´el`eve note une couleur qui n’est pas la bonne, ou que
personne n’´ecrit de couleur, le Dr M. fera p´erir tous les ´el`eves dans d’atroces souffrances.
Les ´el`eves ont quelques minutes pour se concerter avant le d´ebut de l’´epreuve. Apr`es r´eflexion, quel-
qu’un propose une strat´egie. On consid`ere qu’un chapeau noir vaut 0 et un chapeau blanc 1. En se
rangeant dans l’ordre, les chapeaux des ´el`eves forment un mot binaire de longueur 15.
Chaque ´el`eve fait alors le test suivant : il regarde si le mot form´e par les chapeaux appartient au code
de Hamming Cen supposant que son chapeau est noir, si c’est le cas, il ´ecrit “blanc” sur sa feuille.
Sinon, il recommence en supposant que son chapeau est blanc ; si ce nouveau mot est dans le code C,
il ´ecrit “noir”, sinon, il n’´ecrit rien.
2. On suppose que le mot mform´e par les chapeaux n’est pas dans C. En consid´erant le mot de
code le plus proche de m, montrer alors qu’un seul ´el`eve ´ecrit une couleur sur sa feuille, et que
c’est la couleur de son chapeau.
3. On suppose maintenant que le mot mform´e par les chapeaux est dans C. Montrer alors que
tous les ´el`eves ´ecrivent une couleur, et que toutes ces couleurs sont fausses.
4. Quelle est la probabilit´e de survie des ´el`eves, s’ils choisissent d’utiliser cette strat´egie ?
Exercice 2. Pour transmettre un message, on utilise un code lin´eaire Cde taille (8,4), dont une
matrice g´en´eratrice est
G0=
01011010
11111111
11010100
00111100
1

1. Montrer que la matrice g´en´eratrice standard de Cest G=
10001110
01001101
00101011
00010111
2. Donner une matrice de contrˆole Hdu code C. Que peut-on en d´eduire sur la distance d(C) du
code ?
3. Montrer que tout mot du code Cest de poids pair.
4. Montrer que d(C) = 4 (sans faire la liste de tous les mots du code).
Pour pouvoir transmettre des messages en fran¸cais, on commence par coder certaines lettres en
´el´ements de (Z/2Z)4:
espace : 0000 A : 0001 C : 0010 D : 0011
E : 0100 F : 0101 I : 0110 L : 0111
N : 1000 O : 1001 P : 1010 R : 1011
S : 1100 T : 1101 U : 1110 V : 1111
puis on code chaque bloc de quatre bits `a l’aide de la matrice G.
Exemple : LE →01110001 01001101
5. Coder le mot ERREURS.
6. En utilisant la m´ethode de votre choix, corriger puis d´ecoder le message suivant :
01001010 01101110 10001111 01000000 00111100 01101000 00000100
00110100 01001101 11011111 10011011 00100110 10110010
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