IE3_2011

PEIP Polytech Paris-Sud
2010-2011
Interrogation écrite de Mécanique n°3
Jeudi 19 Mai 2011. Durée 1h30
Les documents sont interdits. Les calculatrices simples sont autorisées.
Les exercices sont tous indépendants.
Une sanction de -1pt pourra être appliquée pour la présentation générale de la copie.
N’oubliez pas de décrire vos calculs avec des phrases et d’encadrer le résultat final.
Questions de cours :
1) Donner les éléments cinétiques d’un solide
2) Quel est le moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ? Rappeler le
théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe. On
précisera toutes les quantités introduites.
3) Montrer que la quantité de mouvement d’un solide est nulle dans le référentiel du
centre de masse.
Exercice 1 : orbite de la Lune autour de la Terre
On va étudier l’orbite de la Lune autour de la Terre. La masse de la Lune sera notée ML et celle de la
Terre, MT. On supposera que le centre de masse du système {Terre+Lune} se trouve au centre de la
Terre. On supposera pour simplifier que ce système {Terre +Lune} est isolé. On supposera également
que la Terre et la Lune sont des objets ponctuels. La Lune décrit alors une trajectoire elliptique
caractérisée par un demi-grand axe a, un demi petit-axe b, une excentricité e et un paramètre p.
1) Faire un schéma où vous représenterez l’ellipse ainsi que les distances a, b et p. On fera
également attention de bien placer la position de la Terre en se rappelant les lois de Kepler.
2) Lors du périgée (distance Terre-Lune minimale), la distance Terre-Lune est dP=356500km.
Lorsque la Lune est la plus éloignée de la Terre (apogée), cette distance est dA=406700km.
a. Représenter, sur le schéma précédent, les deux points A et P correspondant
respectivement à l’apogée et au périgée de la Lune sur sa trajectoire. Représenter
ensuite ces deux distances sur le schéma précédent. Montrer que le demi grand-axe,
a, est : a =
dA + dP
.
2
b. En utilisant le schéma précédent, déterminer la relation donnant dA en fonction de a
et c, puis la relation donnant dP en fonction de a et c. En déduire l’expression de e en
fonction de dA et dP. On rappelle que e=c/a avec c, la distance entre le centre de
l’ellipse et un des foyers.
c. En déduire la valeur numérique du demi-grand axe a puis celle de l’excentricité, e et
enfin, celle des paramètres p et b sachant que p=(1-e2)a=b2/a.
3) Soit M la position de la Lune, à un instant donné, repérée par ses coordonnées polaires r et
et accélération de la Lune en notant
θ. Donner l’expression des vecteurs OM , vitesse v
a
O le centre de la Terre. Donner également l’expression du moment cinétique, L, de la Lune
par rapport à O.
4) Ecrire l’énergie cinétique, l’énergie potentielle puis l’énergie totale de la Lune en fonction de
r, θ et de leurs dérivées par rapport au temps. On rappelle que la Lune est soumise à la force
d’attraction gravitationnelle F = −G
MT M L
ur .
r2
5) Montrer que r = 0 au périgée, P, et à l’apogée, A. En déduire que L=MLdAvA, où vA est la
norme du vecteur vitesse en A. En déduire la valeur de l’énergie totale en fonction de L, dA,
les masses de la Terre et de la Lune et la constante de gravitation G. En déduire la valeur de
l’énergie totale en fonction de G, des masses et de a sachant que L = GM T M L p
2
2
.
Commenter le signe du résultat obtenu.
6) On rappelle que l’aire d’une ellipse est A = πab
2
. En utilisant la loi des aires, donner
3
l’expression de T / a où T est la période de révolution de l’ellipse en fonction de G et de la
masse de la Terre. Effectuer l’application numérique. On exprimera le résultat en joursheures-minutes. On donne MT=6 1024kg et G=6.6 10-11 SI.
Exercice 2 : Manège
On considère un manège constitué d’une nacelle assimilée à une sphère pleine homogène de rayon R
qui se balance au bout d’un bras (barre) métallique de longueur L qui peut tourner autour d’un axe
perpendiculaire au plan du dessin placé en O. Un contrepoids est placé à l’autre extrémité de la barre
et est assimilé à une sphère de rayon R/2. Nous allons étudier le mouvement de cette nacelle en
négligeant tout frottement.
On rappelle que :
-) le moment d’inertie d’une barre ‘mince’ homogène de masse M et de longueur L par
rapport à un axe passant par son centre de masse et perpendiculaire à la tige est
1
ML2.
12
-) le moment d’inertie d’une sphère pleine homogène de masse M et de rayon R par rapport
à un axe passant par son centre est
2
MR 2.
5
z
R/2
C
x
O
L
R
N
On suppose que la nacelle, de rayon R, et le contrepoids, de rayon R/2, ont la même masse
M et que la barre a une masse 6M. Les centres des sphères représentant la nacelle et le contrepoids
sont respectivement aux deux extrémités N et C de la barre.
1) Déterminer la position du centre de masse, G, de l’ensemble {barre +contrepoids
+nacelle}. Comparer sa position à celui de la barre seule.
2) Montrer que le moment d’inertie de l’ensemble {barre +contrepoids +nacelle} par
1
2
3
2
rapport à O situé à une distance 3L/4 de N est I = MR + ML
2
2
. Pour cela, on
utilisera le théorème de Huyghens.
3) On lâche la nacelle d’un angle θ0 par rapport à la verticale avec une vitesse initiale nulle
et on négligera les frottements. En utilisant le théorème du moment cinétique, montrer
que l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ(t) s’écrit :
2 LMg
θ +
sin θ = 0 .
I
4) En déduire l’expression de θ(t) dans le cas de petits mouvements (θ0 petit) ainsi que la
période T du mouvement. Déterminer numériquement T. On donne L=20m, R=2m,
θ0=30°, g=10m.s-2.
5) En utilisant la loi de composition des vitesses dans un solide :
v( B) = v( A) + ω ∧ AB
,
déterminer la vitesse du point N à l’instant t ainsi que sa valeur algébrique, vN en fonction
de T, L, θ0 et t. Déterminer également l’accélération du point N. Tracer l’allure de θ(t) et
vN(t) sur un schéma. Déterminer numériquement la vitesse maximale puis l’accélération
maximale en N. Comparer cette dernière à l’accélération de pesanteur, g.