L`unité de longueur dans le texte des mathématiques enseignées au
publicité
Journées bisontines de didactique et d’épistémologie Visibilitédel’unitéde longueur André PRESSIAT Ex-membre du LDAR – Université Diderot Paris 7 Ex-MCF de mathématiques – Université d’Orléans 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 2 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 3 Jusqu’ici, longueurs sans unités ni mesures. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 4 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 5 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 6 Marijon GéométrieduBrevet élémentaire, 1935 Hatier, Programmesde1920 Remarque ayant suscité la colère d’Henri Lebesgue… ainsi que la définition du rapport de deux longueurs donné sur la diapo suivante... 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 7 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 8 Henri Lebesgue et la mesure des longueurs De même que, lorsqu’on compte les éléments d’une collection, « un nombre entier peut être considéré comme le résultat de l’opération expérimentale de dénombrement parce qu’il en est le compte-rendu complet », un nombre réel est « le compte-rendu complet de cette suite indéfinie d’opérations » faites lorsqu’on mesure un segment AB avec un segment unité U. « Au segment AB, on associe une suite de chiffres avec virgule, par exemple 3,7602… que nous appellerons un nombre. Réciproquement, toute suite de chiffres indéfinie vers la droite et comportant une virgule est-elle un nombre ? C’est-à-dire provient-elle de la comparaison d’un segment AB à U ? … » Tomes XXX1 (1931) à XXXV (1935) de L’enseignement mathématique. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 9 Introduction deR etdelaséparation affine/affineeuclidien 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 10 Cagnac,Ramis,Commeau, Nouveaucoursde mathématiquesspéciales, Tome3,Géométrie, Masson,1967. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 11 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 12 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 13 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 14 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 15 One way to learn a lot of mathematics is by reading the first chapters of many books. Paul R. Halmos 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 16 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 17 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 18 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 19 Fairedesmathématiques Deledicq-Lassave Cédic 6e - 1977 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 20 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 21 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 22 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 23 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 24 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 25 Fairedes mathématiques 3e Deledicq Lassave, C&D.Missenard Cédic – 1980. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 26 Introduction de la notion de distance Aux États-Unis, Birkhoff et son axiomatique : règle graduée avec des nombres réels, rapporteur, triangles semblables (et isométriques), parallélisme… Son manuel scolaire avec son collègue Beatley, professeur de sciences de l’éducation. 1933, 1940-1941, 1959. Chelsea Publishing Company. Ouvrage de Millmann et Parker : Geometry - A metric approach with models (Springer, 1981, 1991) Reprend l’approche de Birkhoff, en la généralisant. Géométrie neutre ou absolue. Le plan muni de la “taxi-distance” n’en est pas une. Blumenthal caractérise le plan euclidien en tant qu’“espace métrique” au sens de Fréchet dans son ouvrage “A modern view of geometry”, Dover, 1961 et y traite de bien d’autres choses (affine, projectif…). 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 27 Queysanne-Revuz,SecondeCT,1972 D’où ce D4 sort-il ? 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 28 Annie Cousin-Fauconnet : Enseigner la géométrie au collège Armand Colin – 1995 Partie théorique pour le professeur Qu’ilestdifficiledeparlerdedistancessansparlerdelongueurs, d’unitédelongueur,etdemesuresdelongueurs… 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 29 Programmes de 1985 (en collège) J.Lelong-Ferranddans“Lesfondementsdelagéométrie”(PUF,1985)réhabilitela questiondesgrandeursetdeleurmesure. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 30 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 31 Bareil –Zehren Hachette 1986 Classede6e Périmètreet additiondes longueurs,sans uniténimesures. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 32 Divisiond’une longueursans mesurer… 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 33 Choixd’une unité etmesures… 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 34 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 35 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 36 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 37 Lesquotients pourpouvoir mesurer… 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 38 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 39 Hatier6e - 2000 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 40 LivredumaîtreJ’apprendslesmathsCE2, 2003- Retz. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 41 Àcompareraveclesdiapos3et4… 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 42 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 43 Bords des boules unités pour p = 1, 3/2, 2, 4, 10 et ∞. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 44 Dessin fait par Brian Ingalls avec Maple. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 45 Dessin fait par Brian Ingalls avec Maple. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 46 Enoncéséquivalentsàl’axiomed’Euclideengéométrieneutre(ouabsolue) Enoncé1:(formedonnéeparEuclideàsonfameuxpostulat) SiA etD sontdespointsdumêmecôtédeladroiteBC telsquelasommedesangles ABC etBCD estinférieureàdeuxanglesdroits,alorslesdroitesAB etCD secoupent. Enoncé2:Quellesquesoientlesdroitesl,m,n,sil//m etsim//n,alorsl//n. Enoncé3:Sideuxdroitessontparallèles,toutedroitequicoupel’unecoupel’autre. Enoncé4:(formedonnéeparPlayfairàl’axiomed’Euclide) Parunpointprishorsd’unedroite,ilpasseunedroiteparallèleàcettedroiteet uneseule. Enoncé5:Sideuxdroitessontparallèles,etsiunedroiteestperpendiculaireà l’une,alorselleestperpendiculaireàl’autre. Enoncé6:Lesmédiatricesd’untrianglesontconcourantes Enoncé7:Unedroiteperpendiculaireàl’undescôtésd’unangleaigucoupe l’autrecôté. Enoncé8:partoutpointintérieuràunanglepasseunedroitequicoupeses deuxcôtés(ailleursqu’ensonsommet). Enoncé9:Lasommedesanglesdetouttriangleestégaleàdeuxanglesdroits. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 47 Enoncé 10 : Si C est hors du segment AB et sur le cercle de diamètre AB, alors l’angle ACB est droit (énoncé appelé “Théorème de Thalès” dans les pays anglo-saxons). Enoncé11:Ilexisteuntriangledontlasommedesanglesvautdeuxangles droits. Enoncé12:Sitroisanglesd’unquadrilatèresontdroits,le4e l’estaussi. Enoncé13:Ilexisteunrectangle. Enoncé14:Ilexistedeuxdroitestellesquetouslespointsdel’unesont équidistantsdel’autre. Enoncé15:Ilexistedeuxtrianglessemblablesquinesontpasisométriques. 29/04/2016 Visibilitéde l’unitéde longueur - A.Pressiat 48
