Bases de la dynamique (Ex)

PCSI 2 Bases de la dynamique
2016 – 2017 1/2
BASES DE LA DYNAMIQUE
I Un système est constitué d'une glissière (T) soudée sur un bâti mobile autour
d'un axe vertical (Δ). Sur la glissière inclinée d'un angle θ fixe par rapport à la
verticale est posé (liaison unilatérale) un solide (S) de masse m qui peut glisser
sans frottement sur (T). Ce solide, que l'on peut considérer comme ponctuel,
est accroché à un ressort à spires non jointives, de raideur k, de longueur à vide
lo, dont l'autre extrémité est fixée au bâti.
1) Le système étant tout d'abord immobile, déterminer la longueur le du
ressort à l'équilibre en fonction de m, g, k, θ et lo.
2) Le système est mis en rotation autour de l'axe vertical (Δ) avec une
vitesse angulaire constante ω suffisamment faible pour que (S) reste au
contact de (T).
a) Donner précisément la nature du mouvement de (S) (trajectoire en
indiquant ses caractéristiques, et façon dont elle est décrite).
b) En déduire l'expression de l'accélération
€
a
du solide (S) dans le
repère fixe du laboratoire quand le ressort a atteint sa nouvelle longueur
d'équilibre l'e. On l'exprimera en fonction de l'e, θ, ω et
€
!
u
(unitaire de
la direction HS, H étant le projeté orthogonal de (S) sur (Δ)).
c) Donner les composantes ax et ay de
€
a
dans la base (
€
ex
,
€
ey
).
d) Exprimer l'e en fonction de k, lo, m, g, θ et ω.
e) Calculer les composantes Rx et Ry de la réaction
€
R
du bâti sur (S) dans la base (
€
ex
,
€
ey
).
3) La vitesse de rotation du solide est maintenant ωo. Elle est telle que le solide décolle juste de la glissière quand le ressort a
atteint sa nouvelle longueur d'équilibre l"e. Calculer ωo2 en fonction de k, g, m, lo et θ.
Réponse : le =
€
mg
k
cos θ + lo;
€
a
= - l'e ω2 sin θ ( sin θ
€
ex
+ cos θ
€
ey
); l'e =
€
kl0+mg cos θ
k−m ω
2sin2
θ
;
€
R
= ( m g sin θ - m l'e ω2 sin θ cos θ )
€
ey
; ωo2 =
€
kg
mg +kl0cos θ
.
II Un parachutiste de masse m = 70 kg se laisse tomber d’un hélicoptère en vol stationnaire à une altitude de 4 km au-dessus du sol.
On prendra g = 10 m.s-2 (accélération de la pesanteur) et un axe vertical Oz descendant, l’origine étant prise au départ de la chute.
1) Il effectue tout d’abord une chute libre pendant une durée de t1 = 10 secondes.
a) Ecrire l’équation de son mouvement et la résoudre. Quelle distance D a-t-il parcourue à la fin de cette chute libre ?
b) Quelle vitesse v1 a-t-il alors atteinte ?
c) Traiter la question précédente en utilisant le théorème de l’énergie cinétique.
2) A la fin de cette chute libre, la parachutiste ouvre son parachute pour continuer sa descente. On suppose que la force exercée par
la résistance de l’air sur le parachute est proportionnelle à la vitesse instantanée :
€
!
F
f=−k!
v
(k = 70 kg.s-1).
a) Déterminer la vitesse et l’accélération du parachutiste à un instant t ultérieur, ainsi que la distance parcourue. Attention, on ne
changera ni l’origine des temps, ni l’origine du repère !
b) Donner l’allure générale de la variation de la vitesse au cours du temps.
c) Montre que la vitesse du parachutiste tend rapidement vers une limite que l’on calculera.
Réponse :
€
z=1
2gt 2
; D = 500 m ; v1 = 100 m.s-1 =
€
2gD
;
€
vz=v1−mg
k
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
e−k
mt−t1
( )
+mg
k
;
€
az=g−kv1
m
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
e−k
mt−t1
( )
;
€
z=m
kv1−mg k
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ 1−e−k
mt−t1
( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+mg
k(t−t1)+D
;
€
vlim =mg
k
.
III Un anneau M de masse m peut glisser sans frottement sur une tige.
Cette tige tourne à vitesse angulaire constante
€
ω =˙ θ
dans un plan
horizontal autour d'un axe vertical Oz.
A l'instant initial t = 0, l'anneau est immobile en r = a et la tige est
confondue avec l'axe Ox du repère.
1) Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel
terrestre supposé galiléen.
2) En déduire la loi r(t).
3) Décrire le mouvement de l'anneau dans le repère fixe : x(t), y(t).
4) Déterminer la réaction
€
R
de la tige sur l'anneau.
x
M(m)
O
g
z
y
r
θ
g
ω
θ
u
ex
ey
(S)
(T)
(Δ)
O
H
(k, lo)

PCSI 2 Bases de la dynamique
2016 – 2017 2/2
Réponse :
€
!
R +m! g =m˙ ˙ r −r ω
2
( )
!
i +2 ω
˙
x
!
j
[ ]
; r = a chωt;
€
R
= 2 m a ω2 shωt
€
!
j
+ m g
€
!
k
.
IV Viscosimètre à chute de bille
Une bille sphérique, de masse volumique µB et de rayon R, est lâchée sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique µ et de
viscosité η. On note g l’accélération de la pesanteur.
En plus du poids et de la poussée d’Archimède, on tient compte de la force de viscosité exercée par le fluide sur la bille, opposée au
déplacement et de norme : 6 π η R v où v est la vitesse de la bille.
1) Ecrire l’équation différentielle vectorielle vérifiée par le vecteur vitesse de la bille.
2) Montrer qualitativement que la vitesse tend vers une valeur limite notée v∞.
3) On suppose que la bille atteint très rapidement cette vitesse limite. On mesure la durée, Δt, nécessaire pour que la bille parcoure
une distance H donnée. Etablir la relation entre Δt, g, H, R, µB, µ et η.
4) Montrer que l’expression de la viscosité peut se mettre sous la forme : η = K (µB – µ) Δt. Exprimer la constante d’étalonnage K.
5) La durée totale de chute de la bille est de 83 s. Calculer la viscosité du fluide.
AN : K = 14.10-8 SI ; µB = 7880 kg.m-3 ; µ = 912 kg.m-3.
Réponse :
€
K=2gR2
9H
.
V Intensité de précipitations
Il n'existe pas de correspondance officielle entre l'appréciation "qualitative" d'une précipitation ("faible", "modérée" ou "forte") et son
intensité chiffrée, qui peut s'exprimer en millimètres par minute ou millimètres par heure.
Le caractère des précipitations dépend de la climatologie locale. Toutefois, en plaine et pour la France métropolitaine, on peut adopter
les équivalences suivantes :
Pluie faible continue
1 à 3 mm par heure
Pluie modérée
4 à 7 mm par heure
Pluie forte
8 mm / heure et plus
Lors de certains événements majeurs, les intensités observées atteignent et dépassent les 100 mm par heure ou 60 mm en 30
minutes ! (*) 1 millimètre de pluie équivaut à 1 litre d’eau par m2.
(*) : pour se représenter ce que signifie une telle intensité: 60 mm - 60 litres d'eau au mètre carré - en 30 mn soit 2 litres d'eau au
mètre carré et par minute, il suffit d'imaginer la quantité d'eau déversée dans une cuisine de 6 m2 par un lave-linge (de contenance 12
à 15 L) qui vidangerait chaque minute.
En pratique, la taille des gouttes répond à une distribution statistique, mais on considèrera ici des valeurs moyennes.
Dans le cas de pluies faibles, les gouttes sont généralement de faibles dimensions, que l’on les modélisera comme des sphères de rayon
0,15 mm (bruine).
Dans les situations de très forte averse, avec une quantité de précipitation de 60 mm en 30 minutes, par exemple, les gouttes sont plus
grosses et l’on considèrera des gouttes sphériques de diamètre 8,0 mm (10 mm est une limite physique au-delà de laquelle les gouttes
se fracturent).
Un objet sphérique en mouvement à vitesse de module v dans un fluide subit une force de frottement fluide. On propose deux modèles
de frottement fluide :
- le#modèle#de#Stokes,#pour#lequel#la#force#de#frottement#est#d’expression#:#
€
!
F =−6 πη Rv ! u
#
- le#modèle#quadratique,#pour#lequel#la#force#de#frottement#est#d’expression#:#
€
!
F =−1
2
ρπ R2Cxv2! u
#
Dans ces expressions, R est le rayon de la goutte sphérique, ρ la masse volumique de l’air, η la viscosité de l’air, Cx le coefficient de
traînée, de valeur Cx = 0,5 pour une sphère, v est le module de la vitesse et 𝑢 un vecteur unitaire dirigeant le vecteur-vitesse.
L’adéquation à l’une ou l’autre de ces lois peut être testée en considérant le nombre de Reynolds, grandeur adimensionnée
d’expression :
€
Re=
ρ Lv
η
.
L est une grandeur caractéristique des dimensions de l’objet. Ici L = 2R (diamètre de la sphère).
On admettra que le modèle de Stokes reste acceptable si le nombre de Reynolds Re est au maximum de l’ordre de quelques dizaines, et
que le modèle quadratique est acceptable pour un nombre de Reynolds supérieur à 1000.
Question : Déterminer le nombre moyen de gouttes de pluie par unité de volume dans l’atmosphère, lors d’une pluie faible (1
mm/heure) et dans le cas d’une très forte averse (60 mm en 30 mn).
Indication : La détermination de la vitesse de chute des gouttes est un préalable nécessaire.
Données : g = 9,8 m.s-2 ; ρ = 1,18 kg.m-3 ; η = 1,85.10-5 u.s.i. ; masse volumique de l’eau : ρe = 1,0.103 kg.m-3
Réponse : 7,4.103 et 9,4.