Agrégation Blanche - Université Paris-Sud

UniversitéParis-Sud
AgrégationInterne de
Physiqueet Chimie
Décembre2006
AgrégationBlanche
C o m p o s i t io n
de
r ' - r l- r r zc i r r ,, a
Durée
Calculotrice électronique de poche - y compris prograntntable, alphanumérique ou à
écran graphique - àJ'onctionnementatttonome,non imprimante, autorisée
conJbrmémentà Ia circttlaire n" 99-186 du I6 novembre 1999.
L'trsuge de TotttoLtvragede r.éJërenceet de tottt uutre matériel électroniqtre est
ri goureusement inter di t.
Détection d'une erreur éventuelle par le candidat
Dans le cas oir ttn candidat repère ce qui lui semble être ttne erreur d'énoncé, il le
signale n"ès lisiblement dans sa copie, propose la correction et poLtrsuit l'épreuve
en conséquence.
L'épreuve comporte trois thèmes distincts : le premier, de
mécanique,es( divisé en parties A et B indépendantes; le second
traite d'électricité ; le dernier concerneI'optique géométriqueet la
diffraction.
ASTRONEFS ET AERONEFS
Données
Massede la Terre
Rcryonde la Terre
lulassedu Soleil
Mr: 5 , 9 7 x l0 2 ak g
Rr: 6 , 3 8 x 1 0 6m
Ms : 3 3 3 x 1 0 3 x M7
Conslanteuniyersellede gravitcttion G - 6,67 x 10 " S.l
Valettr du chatnp de pe.sanleurau niveau du sol g - 9,81 m/s'
Masse volumiquede l'air au niveau de la mer, à I5 "C po - 1,2 kg.nir
Constantedes gaz pat,faits .' R : 8,314,S.I.
Masse molaire de I'air M : 29 g.mol-'
Densité de I'Iftliurn drp : 0,I 3B
Les vecteurs sont notés en gras
Les parties A, B et C sont indépendantcs.
A. MOUVEMENTS ET TRAJECTOIRES
1. Lois de la mécanique
l.l. Cinématiquedu point
l.l.a. Donnerla définition:
- d'un référentielR
- de la vitesse vn et de I'accélérationûp d'un point matériel M dans ce
référentiel.
1.1.b.Donner les expressionsde v11etde na en coordonnéescartésiennes,
cylindriques
et dans la basede Frénet.
1.1.c.La vitesseet I'accélérationde M sont notéesrespectivementv", et ap, dansun
référentiel R' en mouvement par rapport à R . Donner les expressionsde u" en fonction de
vç, et de as en fonction de as, dans le cas où R / est en translation par rappoft à R puis dans
le cas où il est en rotation à une vitesse angulaire o.lautour d'un axe fixe dans R
1.1.d.Un avion doit se déplaceren ligne droite d'un point A vers un point au sol B. Il
subit un vent contraire de vitesse v". Le vecteur v, fail un angle Q avec la trajectoire AB.
L'avion vole à une vitesse constante V par rapport à I'air. Cette vitesse fài1 un angleX avec la
route au sol AB.
1 ) A quelies conditions I'avion peut-il se déplacer en ligne droite de A vers B ?
L)
tt
Calculer l'angle de correction X que le pilote doit afficher dans le cas ou
V: 445 km.h-',pour contrerun vent de vitessevr: 56 km.h I et d:20ô .
L'avion doit faire un aller-retourentre les deux points A et B distantsde 500 km, dans
les conditionsde la questionprécédente.Calculerla durée /.,.du trajct aller-retour.On
négligerale temps du demi-tour.Comparercettedurée avec le temps /'o, qu'auraitmis
I'avion pour faire le même trajet en I'absencede vent. Est-il possibleque to,lt'o,?
Commenter cette maxime de I'aéronautique: < le tempsperdu ne se rollrape jamuis t.
En B, I'avion arrive au-dessusd'une balise au sol à une date prise pour origine des
temps. Le contrôleurdemandealors au pilote de réaiiserà altitudeconstanteun circuit
d'attenteBCDE constituéde deux parlies semi-circulairesBC et DE et de deux parties
rectilignesCD ct EB. Il lui indique à quelle daTeI6l'avion doit se présenterà nouveatr
au-dessusde la baliseB.
Cl
,.I
la'
Le pilote adapteI'inclinaisonde l'appareilet donc le rayon des tronçonssemicirculairesBC et DE de manièreà ce que ceux-cidurent1 minutechacun.Durantcette
atteute,lavitessetr/del'avion estsupposée
constante
et égaleà222km.h-],tandisque
la vitesse
du ventesttoujours1,": 56 km.h-1,
et ô:20o.
A quelle date /, le pilote doit-il entreprendre
le virage DE si la date de passageau
point
dessus
par
du
B, imposée le contrôleur,
est/B:4 minutes?
1.2.LancemenT
d'un satellite
On étudiele lancementd'un satelliteartificielà partir d'un point O de la surfaceterrestre.
l.2.a.EtabIirI'expression
de la vitessedu point O dansle référentielgéocentrique
R"
(assimiléici à un référentielgaliléen)en fonctionde la vitessede rotationde la Terre autour
de I'axe de sespôlesO, du rayonterrestreRr et de la latitudedu lieu 2.
1.2.b.En déduireles conditionsles plus favorablespour le lancementdu satellite.
Parmiles trois champsde tirs suivants,lequelchoisirde préférence?
Baïkonour-au
Kazakhstan
)": 46 ;
Cap Canaveralaux USA 2 = 28,5o;
Kourouen Guyanefrançaise)": 5,23".
t.3. Champde gravirafion
On considèreque la Terrede masseMr et de rayonR7a une répartitionde massesphériqueet
une densitévolumiquep.
1.3.a.Énoncerla loi de la gravitationuniverselle.
1.3.b.Montrerqu'enun point situéà une distancer du centrede la Tene,(r > R7), le
Tournezla pageS.V.P.
champ de gravitation peut se mettre sous la forme :
c: -G M,lÈ e,
Definir le vecteure, .
1.4. Lancententd'un sutelliteartificiel
1.4.a. Ptablir I'expressionde l'énergie potentielle de gravitation du système {Tenesatellite) en fonction de I'altitude z du satellitepar rapporl au sol. On prend pour référence
r-rne
énergiepotentiellenulle à I'infini. En déduire 1'expression
de l'énergiemécanrquedu
satellitesur sa basede lancementdans le rélérentielgéocentrique.
1.4.b. On appelle ici vitessede libération v1,la vitesse verticale n-rinimalec1u'ilfaut
communiquer initialement au satellite par rapport au sol, pour qu'il puisse se libérer de
I'attraction terrestre.Donner I'expressionde v7. Calculer sa valeur numériquedans le cas où
le satelliteest lancé de la basede Kourou.
1.5. Satelliteartfficiel en orbite
On considèreun satellite artifrciel de masser7?en mouvement circulaire autour de la Terre.
1.5.a.Montrer que le mouvement du satelliteest uniforme. Établir 1'expressionde la
vitessedu satelliteenfonctiondeson altitudeainsiquelatroisièmeloideKeplerliantla
période de rotation Zdu satelliteau rayon r de sa trajectoirc.
1.5.b. Calculer le rayon de 1'orbited'un satellitegéostationnaireet définir son plan de
révolution.
1.5.c. Quelle énergie cinétiqueminimale faut-il communiquerau satellitepour qu'il
échappe à I'attraction temestres'il est initialernent en orbite circulaire autour de la Terre à
l'altitudez ? A.N. : z:36 000 km ; m: 6 t.
l.5.d.Soitunsatellited'énergieinitiale E,,o.Sonorbiteestrelativementbasseetil
subit donc les frottements des couches hautes de l'atmosphère.I1 s'ensuit que l'éncrgie
mécanique du satellite varie selon la loi :
8,,: E^0 0 + b t), b étantun coefficient constantpositif.
On supposeque la trajectoire reste approximativementcirculairc.
Préciser le signe de 8,,,6.Etablir l'expression du rayon r et de la vitesse v du satellite en
fonction du temps. Comparer les évolutions de r et de v ainsi que celles des énergies
potentielle et cinétique. Que devient l'énergie perdue ?
1.6. Sondesolaire
On chercheà positionnerune sondespatialede massem en \n point P de manièreà ce que,
abandonnéeen ce point, la sondereste immobile par rapport au système {Terre-Soleil}. Les
positions corespondant à cette situation sont appelées< points de Lagrange >. Soient :
P1 et P2 les positionsde Lagrangepour lesquellesle point P est aligné avec le centreT
de la Terre et avec le centre S du Soleil, T et P se trouvant du même côté du Soleil ;
.r la distanceentre la sonde et la Terre I
d la distanceTen"e-Soleil:
k: Ms I Mr.
La massede la sondeest négligéepar rapport aux massesde la Terre et du Soleil. On tier-rdra
compte de la rotation de la Terre autour du soleil.
1.6.a.Déterminerles valeursdes distancesSP correspondantà ces positions.Faire un
schéma.On considèreque x I d << I.
1.6.b. Quel est I'intérêt de placer un satellite en I'un de ces points ? Donner un
exemplede ces satellitesparticuliers.
2. Mouvement de fusées
On étudie dans cette question le mouvement de fusées dans le référentiel terrestre.Elles sont
soumisesau champ de pesanteurg supposéuniforme.
2.7. Mouvementcl'unefusée balistiqtte
A 1adate /:0, une fuséebalistique,assimiléeà un point matérielM de massen constante,est
lancée à partir d'un point O de la surfaceterrestreavec une vitesse initiale u6 inclinée d'un
angTea par rapport à l'horizontale.
2.I.a. Etablir l'équation de la trajectoire de la fusée dans le champ de pesanteur
terrestreconsidérécomme uniforme. On négligeles frottementsavec 1'air.Quelle est la nature
de la trajectoireobtenue?
2.1.b. Calculer en fonction de ve, g eI a les coordonnéesdu point S d'altitude
maximale atteinte ainsi que la portée de la fusée. Pour quel angle a cette porlée est-elle
maximale ?
2.1.c.La vitesseinitiale vp de la fuséeétant fixée, on peut faire varier I'angle adans
un plan vertical donné. Établir l'équation de la courbe dite < parabolede sûreté> qui sépare
les points du plan vertical pouvantêtre atteintspar la fuséede ceux qui ne pcuventpas l'être.
On donne'. 1 I cosza:1 * tanza
2.2. Fusée c\ un étage
Une fusée, de masse totale initiale M, contient au dépar1un mélange combustible de masse
rn,,:0,8 M . Elle est lancéevedicalementà la date r: 0. On note n la massede la fuséeà une
date l. La propulsion est assuréepar un dispositif à réaction.Les gaz émis sont éjectésde la
tuyère avec un débit massique constanl D,n à la vitesse relative il par rapport à la fusée. On
néglige la résistancede I'air.
2.2.a. Donner I'expressionde la quantité de mouvement des gaz éjectéspar la fusée
entre les instantst eTt + dt.En déduirela variation de la quantitéde mouvementde la fusée
entre les instants t eI t + dt.
Z.Z.b. Établir la relation :
m(t) dvldt: m(r) g - D,,u
En déduirel'expressionde la force propulsiveexercéepar la réactiondes gaz sur la fusée.
A quelle condition la fuséepeut-elledécollerdu sol verticalement?
2.2.c.Exprimerl'accélérationdelafuséeenfonctiondutemps.A quelle date r. le
carburantest-ilépuisé? A.N. Données: M : 12 t ; u :2 400 m.s-', D^ - 120kg/s.
2.2.d. DéTerminer1'expressionde la vitessede la fusée en fonction du temps. Quelle
est la vitessemaximale de la fusée? A quelle date ttest-elle atteinte? L'altitude z1 atTeinte
à
cette date est d'environ 83 km (ne pas justifier). Au vu de ce résultat. critiquer
I'approximation g-t constantequi a été faite.
2.2.e. A quelle daTetz la fusée atteint-elleson altitude maximale z2? Déterminer22.
A.N.
2.2.f. La fusée étudiée peut-elle communiquer à un satellite une vitesse qui lui
permette de se libérer de 1'attractionterrestre?
Tournezla pageS.V.P.
3. Atterrissage d'un avion
i
Un avion de chassede masse 9 t en panne de freins atterrit à une vitesse de 241km.h . Une
fois au sol, il est freiné en secours par un parachute de diamètre D : 3 m déployé
instantanémentpar le pilote au moment où les roues de I'avion touchentle sol. On négilge la
traînéede l'avion et les forcesde frottementdesrouessurlesolparrapportà iaforcede
traînée(frottementfluide) du parachute.On considèreque le réacteurne délivre plus aucune
poussée.
3.1. Établir l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse y de I'avion. En déduire
I'expressiondev en fonction de la date/. On prendracommc origine des temps la date à
laqLrelleles rouesde I'avion touchentle so1.
3.2. Dans le cas où les freins fonctionnent,la distanced'atterrissage
de 1'avionest de I'ordrecle
1400 rn. Déterminer la vitesse atteintepar I'avion après avoir été freiné uniquementpar le
parachutcsur cettedistance.A.N.
Donnëes: Le coefficientC,duparachutevaut I ,5.
Laforce detraînéeTapour expression: T: C, pS v2/2
V est la vitessetle l'avion ;
S est lct surface projetée du parachute sur un plan perpencliculaire à la vitesse,'
C,esl trn coelficient sans dimension,supposéconstant.
{
r m cr r o r -
- rnanE r*
B. MECANTQUE DES FLUIDES
On considèreun référentielgaliléen R , d'origine O. Soit une particnle fluide de volume dZ,
de masse dm, qui se trout,e en un point M à une date r. Les grandeurs relatives à cette
particule sont notées: v pour le vecteur vitesse, p pollr la masse volumique, P pour la
pression,z pour I'altitude.
1. Statique des fluides
1.1.Pressioncl'unfluirle
1.1.a.Donner Llnedéfinition macroscopiquede la pressiond'un fluide.
1.1.b.Quelles sont les unités de pression couramment utilisées? Donler les
corespondancesentreelles.
7.2.ntablir 1'équationgénéralede la statiquedes fluides dans un référentielgaliléen (fonne
localc).
1.3. On considèreun fluide incompressibleau repos.Exprimer la différencede pressionentre
deux points A et B d'altitudesrespectives2,1aTzs.
1.4. On considèreque 1'atmosphère
terrestreest ut1gaz parfait compressible.
Dans la troposphère,entre 0 et 11 km d'altitude, on peut considérerque la températurevarie
selon une loi affine du type T: To- B z.
Montrer que dansce cas la pressionP peut s'exprimeren fonction de I'altitudez selonla loi :
P : Po [(To- B z)/76J"
En déduire la formule traduisant les variations de la masse volumique en fonction de
l'altitude. On poseraa: gM I RB,g étantI'intensitédu champ de pesanteurterrestre.
A.N. : z:17 km; à z:0,P0:1
atm etTo:288 K;B:6,5 K.km-r.
1.5.Aérostat
Au XVIIIè-" siècle, lors de la construction d es p remiers a érostats,d eux v oies s 'ouvraient :
celle des frères Montgolfier, qui remplirent le ballon d'air chaud, et celle du physicien
Jacques Charles, qui utilisa du dihydrogène, gaz plus léger que l'air. Pour des raisons de
sécurité,I'hydrogène fut remplacé plus tard par de l'hélium.
On considère un ballon sphérique, constitué d'une paroi souple d'un volume maximal
V,,,:200 ruJ.Quand le gaz atteint le volume maximal, i'héliurn r;é.hupp. dans 1'atmosphère
par la partie inférieuredu ballon, A son départdu sol, le ballon n'est pas complètementgonflé
et son volume est Vo. La masse de son enveloppe, de la nacelle, des passagerset du lest
enrportéestM; 100 kg. La densitéde I'hélium est notéedn": 0,138 .Le ballon évolue à une
altitude inférieure'à 11 km.
1.5.a.Tant que le volume Zdu ballon n'est pas maximal, on considèreque I'hélium
est à chaque instant en équilibre thermique et mécanique avec I'atmosphère environnante.À
quelle altitude z7 le ballon atteint-il son volume maximal V,,? Donner sa valeur numérique.
1.5.b. Etablir I'expressionde la force ascensionnelleF en fonction de I'altitude z.
Commenter.
1.5.c. Quelle est I'altitude maximale 2,,, aTteintepar le ballon? Donner sa valeur
numérique.
Tournezla pageS.V.P.
1.5.d. On souhaitc que le ballon atteignc une altitude de 1000 m supérieureà 2,,.
Calculer la masserurde lest qu'il faut lâcher?
2. Cinématique des fluides
2.1. Fluide parfait
2.1.a.Donner la définition d'un fluide parfait.
2.1.b.Cornmentcettepropriétése traduit-elledu point de vue énergétique?
2.2. Grancleursextensiveset intensives
2.2.a.Déïtnir une grandeurextensive,une grandeurintensive.
2.2.b.Pour chaquetype de grandeur,donner deux exemplesutilisésen mécaniquedes
fluides.
2.2.c. Définir la densité volumique de quantité de mouvement d'un fluide. Cette
grandeur est-elle intensive ou extensive ?
2.3. Donnerla définition:
2.3.a,d'un écoulementfluide en régimepemranentou stationnaire;
2.3.b.d'un écoulementirrotatiomel.
2.4. Lignes de couront
Montrer que l'équation différentielle des lignes de courant pour un écoulement
bidimensionnelpeut s'écrire,dans le plan (O, er, er) :
en cordonnéescartésiennes
ùx I vr: dy I vn
et
en coordonnéespolaires.
dr I v,: r d0 I ve
2.5. Donner l'équation locale de conservationde massepour un fluide. Montrer que dans le
cas d'un fluide en écoulementincompressible,elle peut s'écrire :
div v: 0
2.6.Établir l'équation intégrale de conservationde la masse dans le cas d'un fluide en
écoulementpermanentet unidirectionnel.
3. Dynamique des fluides
On rappellel'équalion d'Euler :
ôv/ôt + ( v.grad)v : - 1/pgrad P + g
etlarelationdeBemoulli :
P I p+ g z+ v2i2:constante
3.i. Citer les conditionsqui doivent être rempliespour que cette demière relationpuisseêtre
applicable.
Dans la suite de problème, on se placera dans les conditions d'application de cetterelation.
3.2. Faireuneinterprétation
énergétique
de la relationde Bernoulli.
3.3. Paruneanalysedimensionnelle,
montrerquecetterelationesthomogène.
< pressiondynamique> ? < pressiontotale> ?
3.4.Qu'appclle-t-on
4. Effet Venturi
On insère dans une canalisationde section 57 un tube dit < de Venturi > de section .S:.Le
fluide s'écoulanten régime permanentdans la canalisationest de l'eau. On considèreque les
vitessessont uniformes dans chaque section droite du tube.
L'axe de la canalisationest horizontal et deux tubes verticaux (T1) ct (T2) jouent le rôlc dc
capteurs de pression. On observe une dénivellation de hauteur h enTreles surfaces libres de
I'eau des tubes(T1) et ('I'u)ouvertsà I'air.
(Tr)
('Iz)
A
V-
A2
,S7
Sr
S:
Tubede Venturi
P7la pressionet u7la vitessede l'écoulement
On notePpla pressionatmosphérique,
en amont
du tube de Venturi.A1 estun point à la basedu tube (T1)et Az estun point à la basedu tube
(Tz).
4.1.Lesvitesses
d'écoulement
du fluide sontnotéesv2dansle tubede section52et v3en aval
du tube de Venturi.Exprimercesvitessesen fonctionde la constantede pesanteur
g, de h, de
Sr et de Sz.
4.2.Exprimerle débitvolumiqueD,,en fonctiondeg, h, S1 et 52.
4.3.Application
numérique
: ,Sr: 50 cm2;52: 30 cm' ; h: 1,25m.
4.4.Quelestl'intérêtpratiqued'un tel dispositif?
4.5,Citerdesapplications
de I'effetVenturi.
concrètes
TournezIa pageS.V.P.
Partie Electricité :
E tuded'un svstèmede ré g u la t io nd e la v it e s s ed ' u n mo t e u r
On se proposede réaliserun systèmede régulationde la vitessetrr d'un moteur à courant
continu.Le schémasimplifié de la qbaînç_difgçlg
est le suivant :
.
t'{ }nlrnlln(lc
^
v.r
IVIotcurà courant
ct) ntinLl
p u ls s a t lc e
ùN
$\
I>
.{ r nlr litjcatcr r r tk' 1
V
ù\
Figure 1: Schémade régulation de vitessedrun moteur à courant continu
Les partiesA et B sontlargementindépendantes.
A. Fonctionnementstatique
Danscetteparlietoutesles grandeurs(courants,tensions)sontcontinues.
1-Circuitde commande
L'amplificateur opérationnelA de la figure 2 est supposéidéal et fonctionneen régime
linéaire.
lB
+
i
I
l
L]
i\r
l \/
...,,1
,-l,l
.r
i ,i
Y,
ù\
Figure3 : Amplilicateurde puissance
1.a Calculerla tensionde sortieVs en fonctionde V1, V2 et desrésistances
Ro et Rc.
l.b Fairel'applicationnumériquepour Rc:10R0.
2- Amplifïcateur dç puissance
L'amplificateurde puissanceestréaliségrâceà un transistorde puissance,
(sourcede courant
contrôléeen courant),décrità la figure 3.
On donneVç6:8V.
Dans le domaine d'utilisation du transistor (Iç<250mA), la caractéristiqued'entrée du
transistorestdonnéepar l'équation: Vss:rIs+V6 avec r:50Ç) et Va:0.6V.
La caructéristique
de transferlen courantest donnéepar la relation L:ple avec p:50.
2.a Donnerune représentation
sousforme de quadripôlede cet amplificateur.
Tournez la page S.V.P.
l0
2.b La chargeabsorbeun courantI:0.2A sousune tensionV-42V. CalculerIs, Vcp, VsE et
Ve .
2.c Calculerla puissancePs foumie par le générateurde commandeVe et la puissanceP
par la charge.En déduireI'amplificationen puissance
absorbée
Ap:P/Ps.
2.d L'amplificateurqui alimentela chargepeut être représentépar un générateuréquivalent
de fem V', de résistance
intemeR', suivantle schémade la figure4.
Déterminerl'expressionde V' en fonction de Vs et de V6 ainsi que I'expressionde R' en
fonctionde r et de $. Applicationnurnérique: calculerV' et R'.
R.,
.
i
i - f- '
tl
rrR
V
charge
|
| '_
|
| rnoteur
tl
ll
r
I
rll
al
i
r fi '
t!
l
l
\\
F'igure4 : Générateur
équivalent
N
Fi gure5:MoteurMC C
3- Moteur à courant continu
La chargeprécédenteest un moteur à courantcontinu dont la résistanceest R et la force
contre-électromotrice
est E':ko, où k estun coefficientde proportionnalitéet ro est la vitesse
de rotation en tours/seconde.
On négligeles pertesautresque les pertespar effet Joule (cf
figure 5). Les valeursde V et de I sontcellesdu paragraphe2a.
3a. Sachantque R:lÇ), k:1V.s/tours,calculer: la fcem du moteur,sa puissanceutile P.,,sa
vitessede rotationen tours/minute.
3b. Calculerle momentC du coupleutile du moteuren fonction de I et k. Calculersa valeur
numériquedansle cas du fonctionnementdécrit.Expliciterle couplageélectromécanique
de
ce moteur.
4- Régulateurde vitesse(fig6)
Une dynamoplacéeen bout d'arbredu moteur,de résistance
d'induit négligeablefournit une
tension Vz:k'n avèc k':lV.s/tours. Les résistancesR6 et Rç sont telles que Rç-lORe. Le
moteurfonctionnedansles mêmesconditionsque cellesindiquéesdansla question3a.
Tournez la pageS.V.P.
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II
Y
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I
II
l
r.\\
4a. Proposerun schémafbnctionneldu systèmeen bouclefennéecorrespondant.
4b. Calculerla tensionV1 Quipennetd'obtenirla tensionVn de commandede I'amplificateur
correspondant
aux conditionsde fonctionnementdéjà décritesdu moteur.Faire I'application
numérique.
4c. Expliciter qualitativementle fonctionnementdu dispositifquandon chargele moteuren
appliquantun couplerésistant.Que devientla vitessede rotationto ? Montrer que le montage
de la figure 6 permetde réaliserune régulationde vitesse.
B. Fonctionnementdynamique
En
régime dynamique, le moteur à courant continu a pour fonction de
a(p)
H,,
tr a n sfefi H .r,(p):3=-----e-.Leschéma d e ré t ro a c t io n d e v ie n t a lo rs c e ludi e la f ig u re T.
IJ(P ) l+rP
Figure 7 : schémade rétroaction en régime dynamique
suivi d'un filtre d'amplificationA:1, et bouclépar un fitre k:1.
l. A quoi serlle fitre k: I ?
2. Le correcteurde vitessePI est un filtre proporlionnel-intégral,
décrit par le circuit
suivant(les2 amplificateurs
opérationnels
sontsuposésidéaux):
Tournezl a pageS .\-.P.
ll
I
Figu re S : Co rre c t e u rP I
l. QuelleestI'utilitéde A: ?
2. Quelleestla naturedu f-rltreréalisépar A1 ? A quoi serventen pratiqueRr et R: '?
t* t'U
3 . Eta b lirla fonctionde transferdl e c e f ilt re s o u sla f o rme C(p )= L = C, ,
.,
"
Itc
l+ r, 1 t
préciserI'expression
de Co.T1et T2.
4. Tracersondiagrammede Bode.Dansquellegammede pulsationsce filtre est-ilutilisé
commeamplificateur? Commeintégrateur'?
5. En déduire une condition sur R3 permettantd'assimiler le correcteursoit à un
amplificateur: C(p):K, et déterminerK. On supposeraque dans le cas contraire,on
peut modéliserle comecteurpar un intégrateurparfait C(p)-1/(K'p) .On ne demande
pasde déterminerK'.
4. Déterminerla fonction de transfertT(p) en boucle fermée et spécifiezla condition de
stabilitédu dispositif.
5. On souhaitedéterminerI'erreur statiquede ce système.Montrer que cette erreurstatique
correspondà la valeurde e pourp:0.
6. On définit alors la fonction de transfertG(p):e(p)/Vt(p)
L DéterminerG(p) en fonction de C(p).
2. On supposeque C(p)-K, calculerI'erreur statique.Quelle valeur devrait prendreK
pour l'annuler?
3. On supposequeC(p):l/(K'p), calculerI'erreurstatique.
4. En déduire I'utilité du filtre intégrateur.A votre avis, quel défaut introduit-il en
contrepartie?
Tournez l a pageS .\' .P.
t1
IJ
AVERTISSEMENT
Notations :
Les conventionssuivantesont étéadoptées
danstout l'énoncé:
. LorsqueI'on s'intéresseà un régimeharmoniquede pulsation co. on utilise le formalismecomplexe,avec
desgrandeurs
unedépendance
parrapportau tempsen e''', r étantle nombrecomplexede module
physiques
égalà I et d'argumentégal à d2.
. Les grandeurscomplexesutiliséesdansle cadredesrégimesharmoniquessont soulignées.
Donnéesnumériques:
. Céléritédesondesélectromagnétiques
dansle vide : c = 3 X 108m- s-t.
. Perméabililémagnétiquedu vide :
po = 4n10-?H - m-r.
. Permittivité
électriquedu vide :
L
=
€o
" 36a.l0e
^ F'm-'.
L'épreuvecomportedeux parties,notées A et B . Elles sont entièrementindépendantes.
Pour la
partie A , les candidatstrouveronten annexedeux exemplairesd'un schémaleur permetiantd'effectuerdes
tracésde rayonslumineux.Un seulde cesexemplairesdevraêtreremis avecla copie.
Il ne serapasnécessaire
de traiterI'ensembledesdeux parties A et B pour obtenirla notemaximale.
Pourles calculsnumériquesdemandés
on se limiteraà la précisioncorrespondant
à celle donnéepar ies
troispremierschiffiressignificatifs.Lesunitésemployéesserontcellesdu systèmeintemational,leursmultiples
ou sous-multiples
; I'unité utiliséedevraêtrepréciséepour chacundesrésultatsnumériques.
Tournezl a pageS .\' .P .
l+
A. RÉSOLUTIONDES TÉLESCOPESEN ASTRONOMIE
Ce problèmetraitedesméthodesd'observation
utiliséesen astronomie.Les deuxsous-parties
I et II sont
et le candidatpourrautiliser,sansdémonstration,les résultatsénoncésdansles
relativementindépendantes
précédentes.
sous-parties
Conventions de signe
À tout signalsinusoTdal
de la forme : s(r) = socos(art- é), on associeun signalcomplexede la forme :
J(/) = soexp[iQtt - û) .
Pourune ondelumineuse,on considérera
la propagationd'une grandeurscalaire:
- OfTll'
A(7' t)= Aocos[(rol
On prendraconunenotationcomplexeassociée;
A(7, t)= Aoexp{il.:lt-O Gll t = A (}) e'''
où A( r) = 1o s-rot'test I'amplitudecomplexede I'ondeau point M( r) .
Formules utiles
e-"*'ctx= a srnc(Treu)=
.
sin(zrau)
sin(zzr)
slnc(7IUr)= --
'tt 4
PARTIE I
Éruos ET pRopRrÉrÉs DESTÉLBSCopES
Cettepartie concernel'étude des télescopesréflecteursutilisés en astronomie.Cetteétude se fera tout
d'abord dansle cadrede I'optique géométrique,
avantde prendreen compte les phénomènes
de diffraction.
I.1. Étude d'un miroir sphérique.
On considèrele miroir sphériquede rayon À > 0, de centre C et de sommet S représenté
sur la
ftgure (I.1). Dans les conditionsde Gauss,on rappelleque la relation de conjugaisonreliant la position
d'un point objet A sur I'axe à cellede sonimage A' est donnéepar :
r l2
(r.1)
-I _
^SA ^SA' .SC
Les valeursalgébriqueshorizontaleset verticalessont comptéespositivementdansle sensdes axes
représentés
surla figure(I. l). La relation(I. l) estvalablequelsque soientles signesdesvaleursalgébriques
,SA, SA' ou SC.
I. I . 1. Définir et donnerla positiondesfoyersobjet F et image F' de ce miroir sphérique.On appellera
distancefocale/ de ce miroir la quantitéf = SF. Exprimer / en fonctionde 5C.
Figure I. I : Miroir sphérique de centre C et de sommet S
Tournez la pageS.V.P.
l)
i.1.2. Onconsidèreunepetitobjet
AB dansunplanperpendiculaireàl'axeoptique(Asetrouvesurl'axe
optiquetelqueCA<O et B estsituéau-dessusde
A dansleplandelafigure).Lapositiondu
point B est repéréepar la valeuralgébriqueAB, qui est positiveici puisque B est au-dessus
de
I'axe optique.Construiresoigneusement
I'image A'B' de AB par le miroir de la frgure(I.1).
I. 1.3. Définir le grandissement
transversaly et I'exprimeren fonctionde SA et de SA .
I. 1.4. Dansle casdesobservations
astronomiques,
lesobjets(étoiles)sontsituésà I'infini. Quellegrandeur
caractérisealorsla positionrelativede deuxétoiles?
Directionde l'étoileB
Figure 1.2 : Utilisation d'un miroir sphérique pour I'obsertation de dewx étoiles.
Les pointillés indiquent Ia direction de I'étoile B.
I.1.5. On désireobserverdeuxétoilesA et B à l'aide du miroir sphériquede la figureI.2. L étoile A se
situe dans ia directionde I'axe optique et B dansune direction a au-dessusde I'axe optique.
CommeIe montrela figure (I.2), on prendraun angle a non orienté.Sur un schéma,donnerla
positionde leursimagesrespectivesA' et B' .
L 1.6. Exprim., îF
en fonction de a et descaractéristiques
du miroir. Commenta-t-onintérêtà choisir
le rayon de courburedu miroir utilisé ?
I.1.7. Discuter,en deux ou trois lignes,des avantagesde I'emploi des miroirs dansles télescopespar
rapportaux lentillesutiliséesdansles lunettesastronomiques.
r.2.Étude d'un
des télescopesCassegraindu VLT.
PourI'observationd'objetscélestes,
on n'utilise pasun simplemiroir sphérique,maisunecombinaisonde
plusieursd'entre eux avecdesformes différentes.L objet de cette sectionest d'étudier un des quatre
télescopesde type Cassegrain
faisantpartiedu VeryLarge Tblescope(VLf ). Ce dernierest composéde
deux miroirs dont la surfaceest une conique :
. un miroir primaire de forme parabolique;
. un miroir secondairehyperboliqueconvexe.
Dans un souci de simplification, on peut modéliser chaquemiroir par la calotte sphériquetangenteà la
surfaceréelle du miroir. Ainsi, dansles conditionsde Gauss,le systèmeréel est équivalentà un télescope
formé de deux miroirs sphériques,dont I'agencementet les caractéristiquesnumériquessont représentés
sur la figure (I.3).
Sensd'arrivée
de la lumière
Miroirprimaire
Miroir secondaire
R1:28,76m
R2:4,56m
D1:8,20 m
D2:1,12m
e: S2S1: 12,4m
Diamètredu trou dansM1 : D3 : I m
FigureI.3'.TéIescopeduVLTenconfigurationCassegrain.Lefoyer
F, setrouveentre52 et F2.
- Le miroir primaire M, , percé d'un trou de diamètre D, en son centre, est concave,de sommet S, et
de foyer F, . On notera f, sa distance focale, rR, son rayon de courbure et D, son diamètre.
- Le miroir secondaire M, est convexe, de sommet S, et de foyer F,, situé à une distance e du
sommet S, . On notera f, sa distance focale, R, son rayon de courbure et D, son diamètre.
Dans toute cette partie, on considèredeux étoiles A et B , séparéesd'un angle a non orienté, l'étoile A
étant dans la direction de I'axe du télescooeet B étant situéeau-dessusde celui-ci dans le plan de la figure.
Tournez la page S.V.P.
l6
I.2.1. Déterminerla positiondesirnagessuccessives
de A par chaquemiroir, notéesrespectivement
A'
et A". En particulier,exprimer Sra
fonctionde fr,f, et e .
"n
I.2.2. Sur le schémadonnéen annexeet qui serarenduavecla copie,faire une constructionsoignéeet
détailléedesimagesB' et B" de B par lesmiroirssuccessifs.
sur la figure
On ferabienapparaître
la méthodeutilisée.
I.2.3. Ennotant T legrandissementtransversaleffectuéparlesecondmiroir,exprimer
Ng
l:'E'
"t
en fonctionde /,, 7 et a .
I.2.4. QuereprésenteA" pourle télescope
? DonnerI'expressionde la focaleéquivalente/ du télescope
définiecomme:
" lA'g'l
1--
en fonctionde y et fr.
d
I.2.5. Calculernumériquementla positiondu foyer global du télescopepar rapportau sornmet S, , le
grandissementy et la focaleéquivalente
On prendrasoinde gardertousleschiffres
/ du télescope.
significatifsdonnésdansle tableaude la figure (I.3). Que vaut Ia valeuralgébriqueA"B" dansIe
casoù les deux étoilessontséparées
de a = l" d'arc?
I.2.6. Danscecas,où 7)l,quelestl'avantagedecetteconfigurationparrapportàunmiroirunique?
L2.7. Pourobserverles images,on placeunecaméraCCD dansle plan de front de I'imagefinale.Cette
caméraest constituéede pixels carrésde 9 pm de côté. Quel est le plus petit angle ôa séparant
deuxétoilesque I'on peutespérerrésoudreavecce dispositif?
I.2.8. On note au la valeur de a au-delàde laquelleaucundes rayonsfrappantle miroir primaire n'est
réfléchi par le miroir secondaire.Exprimer en en fonction des diamètresdes miroirs, de e et
de .En déduire la taille angulairedu champde ce télescopeet fafueI'application numérique.
-f,
I.2.9. En réalité,le champ angulairetotal n'est que de 15' d'arc. De quel élémentprovienten fait cette
limitation du champ angulairetotal ?
I.3. Prise en compte de la diffraction de Fraunhofer.
Danstoutela suitedu problème,on modéliseraun télescopepar le systèmereprésenté
sur la figure (I.4),
constituépar unesimplelentilledont la focale/ seracelledu télescopequ'ellereprésente.
On considérera
chaquedioptre cornmeparfaitementtransparent.Même si, en réalité, tous les dispositifsétudiésont une
symétriede révolution, on se limitera, pour simplifier les calculs, à une seuledimension,cette approche
donnantqualitativementles mêmesrésultats.La pupille du télescopeseradonc considéréecornmeune
fentede très grandedimensionsuivant I et dont la largeursuivant X estégaleau diamètre D, du miroir
primaire.Le télescopeest éclairépar une ondeplanemonochromatiquede longueurd'onde À , provenant
d'uneétoileE, situéedansladirectionrepéréeparl'angleorienté
0,.Lesenspositifpourlesangles
orientéscorrespondau senstrigonométriquedonnésur la hgure (I.4).
FigureI.4 : Montagededffiaction de Fraunlnfer
que les rayonsimpliquéssontpeu inclinés t I e | , I gul <Zn).
Danstoutecettepartie,on considérera
I.3.1, En négligeantla diffraction,exprimerla position xo prévuepar I'optiquegéométrique
du point où
convergela lumièreissuede l'étoile E
Tournezla pageS.V.P.
l7
13.2. À I'entréedu télescope,
pourquoipeut-onconsidérer
I'ondeprovenantde l'étoile E, commeplane?
Exprimer sonamplitudecomplexeA,QJ dansle plan de la pupille au point P où X = OP .
I.3.3. ÉnoncerIe principed'Huygens-Fresnel.
En déduireque I'amplitudecomplexedansle planfocal au
point M(x) estdonnéepar I'expression:
A(x) =
*'l''' t!) o*
| 1,,,,,,"n'o
(r.2)
où Z est une constantehomogèneà une longueuret A,()a) I'amplitudede I'onde incidente.juste
aprèsIa pupille.
I.3.4. En déduirel'expressionde I'amplitudecomplexeA(x) dansle plan focal du télescopeet montrer
quesonintensité1(x) semet sousla forme I(x) = losinc2[zr(x
- xJ/C) où C estune constanteque
l'on exprimeraen fonction de À , D, et f .
L3.5. On définit la largeur Àx de la tacheimagepar la distancequi sépareles deux annulationsde 1(x),
situéesde part et d'autre de son maximum principal. Exprimer Â-r en fonction de À , D, et f et
tracerI'allure de I(x). Commenteren vousappuyantsur la questionL3.1.
I.3.6. On considèredeux étoilesA et B, A étantdansla directionde l'axe optiqueet B étantsituéedans
la direction 0i pal rapportà I'axe optique.En utilisantle critèrede RayËigh,que I'on redéfinira,
déterminerla résolutionangulaireô0 d'un télescopede diamètre D, . Commenter.
I.3.7. FatreI'applicationnumériquedansle casdu télescope
du VLT faisantsesobservations
dansle proche
infrarouge À = I F,m et comparercettevaleurau résultatde la questionl.2.7.
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