séance 6 - Denis Vekemans

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EXERCICE 1
On considère la loi T telle que pour tout u réel et tout v réel,
= ( )T ,u v + − u v u v.
La loi T est-elle associative ?, est-elle commutative ?
Trouver l'élément neutre (s'il existe).
Trouver l'élément symétrique de u (s'il existe).
> T:=(u,v)->u+v-u*v;
:= T → ( ),u v + − u v u v
> simplify(T(u,T(v,w))-T(T(u,v),w));#T est associative
0
> simplify(T(u,v)-T(v,u));#T est commutative
0
> solve(T(u,v)=u,v);#0 est élément neutre
0
>
> solve(T(u,v)=0,v);#tout élément u différent de 1 est inversible
d'inverse u/(u-1)
u
− + 1u
EXERCICE 2
On considère la loi T telle que pour tout couple de réels [ ],x1 y1 et tout couple de réels [ ],x2 y2 ,
= ( )T ,[ ],x1 y1 [ ],x2 y2  , + x2 y1 x1
y2 y1 y2 .
La loi T est-elle associative ?, est-elle commutative ?
Trouver l'élément neutre (s'il existe).
Trouver l'élément symétrique de [ ],x y (s'il existe).
> T1:=(x1, y1, x2, y2)->x2*y1+x1/y2;
:= T1 → ( ), , ,x1 y1 x2 y2 + x2 y1 x1
y2
> T2:=(x1, y1, x2, y2)->y1*y2;
:= T2 → ( ), , ,x1 y1 x2 y2 y1 y2
> simplify(T1(T1(x1, y1, x2, y2), T2(x1, y1, x2, y2), x3,
y3)-T1(x1, y1, T1(x2, y2, x3, y3), T2(x2, y2, x3, y3)));
simplify(T2(T1(x1, y1, x2, y2), T2(x1, y1, x2, y2), x3,
y3)-T2(x1, y1, T1(x2, y3, x3, y3), T2(x2, y2, x3, y3)));#T est
associative
0
0
> simplify(T1(x1, y1, x2, y2)-T1(x2, y2, x1, y1));simplify(T2(x1,
y1, x2, y2)-T2(x2, y2, x1, y1));#T n'est pas commutative
T1(1,2,3,4)-T1(3,4,1,2);#par exemple, devrait être nul

−− − + + x2 y1
2
y2 x1 y1 x1 y2
2
y1 x2 y2
y1 y2
0
3
4
> solve({T1(x1, y1, x2, y2)=x1,T2(x1, y1, x2, y2)=y1},{x2,y2});
solve({T1(x1, y1, x2, y2)=x2,T2(x1, y1, x2,
y2)=y2},{x1,y1});#(0,1) est élément neutre
{ }, = y2 1 = x2 0
{ }, = y1 1 = x1 0
> solve({T1(x1, y1, x2, y2)=0,T2(x1, y1, x2, y2)=1},{x2,y2});
solve({T1(x1, y1, x2, y2)=0,T2(x1, y1, x2,
y2)=1},{x1,y1});#(-x,1/y) est élément symétrique de (x,y)
{ }, = y2 1
y1 = x2 −x1
{ }, = x1 −x2 = y1 1
y2
EXERCICE 3
On considère la loi lorentz telle que pour tout u réel et tout v réel,
= ( )lorentz ,x y + x y
+ 1x y
c
2
.
Soit l'application f de R dans R qui à x associe c( ) − e
( )2 x
1
+
e
( )2 x
1.
Montrer que (]-c,c[,lorentz) et (R,+) sont deux groupes homomorphes.
> lorentz := (x,y) -> (x+y)/(1+x*y/c^2);
:= lorentz → ( ),x y + x y
+ 1x y
c
2
> simplify(lorentz(x,lorentz(y,z)) -
lorentz(lorentz(x,y),z));#lorentz est associative
0
> simplify(lorentz(x,y) - lorentz(y,x));#lorentz est commutative
0
> solve(lorentz(x,y)=x,y);#0 est élément neutre
0
> solve(lorentz(x,y)=0,y);#-x est élément symétrique de x
−x
> f:= x -> c*(exp(2*x)-1)/(exp(2*x)+1);

:= f → xc( ) − e
( )2 x
1
+ e
( )2 x
1
> simplify(lorentz(f(x),f(y)));
c( ) − e
( ) + 2x2y
1
+ e
( ) + 2x2y
1
> simplify(lorentz(f(x),f(y)) - f(x+y));
0
> solve(f(x)=y,x);#l'homomorphisme est-il bijectif ?
1
2
ln − + c y
− + c y
EXERCICE 4
Soit (R ,+, . ) l'anneau des nombres réels.
On définit deux nouvelles lois plus et fois sur R de la manière suivante :
soit (x,y) un couple de réels, on pose x plus y = x + y - 2 et x fois y = x . y - 2x - 2y +6.
1) Montrer que (R,plus) est un groupe abélien.
2) Montrer que (R,plus, fois) est un anneau commutatif unitaire.
> plus:=(x,y)->x+y-2;
:= plus → ( ),x y + − x y 2
> fois:=(x,y)->x*y-2*x-2*y+6;
:= fois → ( ),x y − − + x y 2x2y6
> simplify(plus(plus(x,y),z)-plus(x,plus(y,z)));#plus est
associative
0
> simplify(plus(x,y)-plus(y,x));#plus est commutative
0
> solve(plus(x,y)=x,y);#2 est élément neutre
2
> solve(plus(x,y)=2,y);#4-x est élément symétrique de x
− + x4
> simplify(fois(fois(x,y),z)-fois(x,fois(y,z)));#fois est
associative
0
> simplify(fois(x,y)-fois(y,x));#fois est commutative
0
> solve(fois(x,y)=x,y);#3 est élément neutre
3
> solve(fois(x,y)=3,y);#tout élément x distinct de 2 est
inversible, d'inverse (2*x-3)/(x-2)

− 2x3
− x2
>
simplify(fois(a,plus(b,c))-plus(fois(a,b),fois(a,c)));#... et la
distributivité
0
EXERCICE 5
Soit A la permutation circulaire
= A
12345678
81732645.
Décomposer A en produit de cycles.
Conclure sur A
13
.
> with(group):
A:=[[1,8,5,2],[3,7,4]];B:=A:
for i from 1 to 12 do B:=mulperms(A,B) od:B;
>
:= A[ ],[ ], , ,1 8 5 2 [ ], ,3 7 4
[ ],[ ], , ,1 8 5 2 [ ], ,3 7 4
EXERCICE 6
Quelques calculs dans le corps C des complexes ...
1) Donner le complexe − + 1I3 sous forme polaire.
2) Donner les racines de l'équation = + − − x
2
−
2 3
32I x 22I3 30.
3) Quelles sont les racines de l'équation = x
6
−1 ?
> z:=polar(-1+sqrt(3)*I);
polar ,2 2π
3
> solve(x^2+(2*sqrt(3)/3-2*I)*x-2-2*I*sqrt(3)/3 = 0,x);
, +
3
3I− + 3I
> solve(x^6=-1,x);
, , , , ,−I I − + 2 2 I3
2 + 2 2 I3 2− − 2 2 I3 2 − 2 2 I3 2
> simplify(-1/2*(2+2*I*3^(1/2))^(1/2));#ne simplifie pas ...
evalc(-1/2*(2+2*I*3^(1/2))^(1/2));
evalc(1/2*(2+2*I*3^(1/2))^(1/2));
evalc(-1/2*(2-2*I*3^(1/2))^(1/2));
evalc(1/2*(2-2*I*3^(1/2))^(1/2));
− + 2 2 I3
2
− −
3
2
1
2I

+
3
2
1
2I
− +
3
2
1
2I
−
3
2
1
2I
EXERCICE 7
Quelques calculs dans le corps Z/5Z.
Que vaut + 19 12 dans Z/5Z ? Quel est l'opposé de 23 dans Z/5Z ?
Que vaut 19 * 12 dans Z/5Z ? Quel est l'inverse de 23 dans Z/5Z ?
Soit := p → n + 2
n
3
n
.
Vérifier (pour les premières valeurs de k) à l'aide de maple que ...
a) le PGCD de ( )p 2 k et ( )p + 2k2 est 1,
b) le PGCD de ( )p + 2k1 et ( )p + 2k3 est 5.
> 19+12 mod 5;-23 mod 5;
-23 mod 6;
1
2
1
> 19*12 mod 5;1/23 mod 5;
1/23 mod 6;1/22 mod 6;#attention, dans Z/6Z qui n'est pas un
corps, certains éléments ne sont pas inversibles
3
2
5
Error, the modular inverse does not exist
> p:=n->2^n+3^n;
for k from 0 to 20 do pgcd:=igcd(p(k),p(k+2)): print(k,pgcd) od:
:= p → n + 2
n
3
n
,0 1
,1 5
,2 1
,3 5
,4 1
,5 5
,6 1
,7 5
,8 1
,9 5
,10 1