séance 6 - Denis Vekemans

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EXERCICE 1
On considère la loi T telle que pour tout u réel et tout v réel,
T( u, v ) = u + v − u v.
La loi T est-elle associative ?, est-elle commutative ?
Trouver l'élément neutre (s'il existe).
Trouver l'élément symétrique de u (s'il existe).
> T:=(u,v)->u+v-u*v;
T := ( u, v ) → u + v − u v
> simplify(T(u,T(v,w))-T(T(u,v),w));#T est associative
0
> simplify(T(u,v)-T(v,u));#T est commutative
0
> solve(T(u,v)=u,v);#0 est élément neutre
0
>
> solve(T(u,v)=0,v);#tout élément u différent de 1 est inversible
d'inverse u/(u-1)
u
−1 + u
EXERCICE 2
On considère la loi T telle que pour tout couple de réels [ x1, y1 ] et tout couple de réels [ x2, y2 ],

x1

T( [ x1, y1 ], [ x2, y2 ] ) =  x2 y1 + , y1 y2 .

y2

La loi T est-elle associative ?, est-elle commutative ?
Trouver l'élément neutre (s'il existe).
Trouver l'élément symétrique de [ x, y ] (s'il existe).
> T1:=(x1, y1, x2, y2)->x2*y1+x1/y2;
T1 := ( x1, y1, x2, y2 ) → x2 y1 +
x1
y2
> T2:=(x1, y1, x2, y2)->y1*y2;
T2 := ( x1, y1, x2, y2 ) → y1 y2
> simplify(T1(T1(x1, y1, x2, y2), T2(x1, y1, x2, y2), x3,
y3)-T1(x1, y1, T1(x2, y2, x3, y3), T2(x2, y2, x3, y3)));
simplify(T2(T1(x1, y1, x2, y2), T2(x1, y1, x2, y2), x3,
y3)-T2(x1, y1, T1(x2, y3, x3, y3), T2(x2, y2, x3, y3)));#T est
associative
0
0
> simplify(T1(x1, y1, x2, y2)-T1(x2, y2, x1, y1));simplify(T2(x1,
y1, x2, y2)-T2(x2, y2, x1, y1));#T n'est pas commutative
T1(1,2,3,4)-T1(3,4,1,2);#par exemple, devrait être nul
−
−x2 y12 y2 − x1 y1 + x1 y22 y1 + x2 y2
y1 y2
0
3
4
> solve({T1(x1, y1, x2, y2)=x1,T2(x1, y1, x2, y2)=y1},{x2,y2});
solve({T1(x1, y1, x2, y2)=x2,T2(x1, y1, x2,
y2)=y2},{x1,y1});#(0,1) est élément neutre
{ y2 = 1, x2 = 0 }
{ y1 = 1, x1 = 0 }
> solve({T1(x1, y1, x2, y2)=0,T2(x1, y1, x2, y2)=1},{x2,y2});
solve({T1(x1, y1, x2, y2)=0,T2(x1, y1, x2,
y2)=1},{x1,y1});#(-x,1/y) est élément symétrique de (x,y)
{ y2 =
1
y1
, x2 = −x1 }
{ x1 = −x2, y1 =
1
y2
}
EXERCICE 3
On considère la loi lorentz telle que pour tout u réel et tout v réel,
x+y
lorentz( x, y ) =
.
xy
1+ 2
c
Soit l'application f de R dans R qui à x associe
c (e
(2 x)
− 1)
(2 x)
.
e
+1
Montrer que (]-c,c[,lorentz) et (R,+) sont deux groupes homomorphes.
> lorentz := (x,y) -> (x+y)/(1+x*y/c^2);
lorentz := ( x, y ) →
x+y
1+
xy
c2
> simplify(lorentz(x,lorentz(y,z)) lorentz(lorentz(x,y),z));#lorentz est associative
0
> simplify(lorentz(x,y) - lorentz(y,x));#lorentz est commutative
0
> solve(lorentz(x,y)=x,y);#0 est élément neutre
0
> solve(lorentz(x,y)=0,y);#-x est élément symétrique de x
−x
> f:= x -> c*(exp(2*x)-1)/(exp(2*x)+1);
f := x →
c (e
(2 x)
(2 x)
e
− 1)
+1
> simplify(lorentz(f(x),f(y)));
c (e
(2 x + 2 y)
− 1)
(2 x + 2 y)
+1
> simplify(lorentz(f(x),f(y)) - f(x+y));
e
0
> solve(f(x)=y,x);#l'homomorphisme est-il bijectif ?
 c+y 

ln −
2  −c + y 
1
EXERCICE 4
Soit (R ,+, . ) l'anneau des nombres réels.
On définit deux nouvelles lois plus et fois sur R de la manière suivante :
soit (x,y) un couple de réels, on pose x plus y = x + y - 2 et x fois y = x . y - 2x - 2y +6.
1) Montrer que (R,plus) est un groupe abélien.
2) Montrer que (R,plus, fois) est un anneau commutatif unitaire.
> plus:=(x,y)->x+y-2;
plus := ( x, y ) → x + y − 2
> fois:=(x,y)->x*y-2*x-2*y+6;
fois := ( x, y ) → x y − 2 x − 2 y + 6
> simplify(plus(plus(x,y),z)-plus(x,plus(y,z)));#plus est
associative
0
> simplify(plus(x,y)-plus(y,x));#plus est commutative
0
> solve(plus(x,y)=x,y);#2 est élément neutre
2
> solve(plus(x,y)=2,y);#4-x est élément symétrique de x
−x + 4
> simplify(fois(fois(x,y),z)-fois(x,fois(y,z)));#fois est
associative
0
> simplify(fois(x,y)-fois(y,x));#fois est commutative
0
> solve(fois(x,y)=x,y);#3 est élément neutre
3
> solve(fois(x,y)=3,y);#tout élément x distinct de 2 est
inversible, d'inverse (2*x-3)/(x-2)
2x−3
x−2
> simplify(fois(a,plus(b,c))-plus(fois(a,b),fois(a,c)));#... et la
distributivité
0
EXERCICE 5
Soit A la permutation circulaire
1
A=
8
Décomposer A en produit de cycles.
2
1
3
7
4
3
5
2
6
6
7
4
8
.
5
Conclure sur A13.
> with(group):
A:=[[1,8,5,2],[3,7,4]];B:=A:
for i from 1 to 12 do B:=mulperms(A,B) od:B;
>
A := [ [ 1, 8, 5, 2 ], [ 3, 7, 4 ] ]
[ [ 1, 8, 5, 2 ] , [ 3, 7, 4 ] ]
EXERCICE 6
Quelques calculs dans le corps C des complexes ...
1) Donner le complexe −1 + I 3 sous forme polaire.
2 3

2I 3
2) Donner les racines de l'équation x2 + 
− 2 I  x − 2 −
= 0.
 3

3
3) Quelles sont les racines de l'équation x6 = −1 ?
> z:=polar(-1+sqrt(3)*I);
 2π

polar 2,

3 
> solve(x^2+(2*sqrt(3)/3-2*I)*x-2-2*I*sqrt(3)/3 = 0,x);
3
3
+ I, − 3 + I
> solve(x^6=-1,x);
−I, I, −
2+2I 3
,
2+2I 3
2−2I 3
,−
,
2−2I 3
2
2
2
2
> simplify(-1/2*(2+2*I*3^(1/2))^(1/2));#ne simplifie pas ...
evalc(-1/2*(2+2*I*3^(1/2))^(1/2));
evalc(1/2*(2+2*I*3^(1/2))^(1/2));
evalc(-1/2*(2-2*I*3^(1/2))^(1/2));
evalc(1/2*(2-2*I*3^(1/2))^(1/2));
2+2I 3
−
2
−
3
2
−
1
2
I
3
+
2
−
3
2
2
+
2
3
1
−
I
1
2
1
2
I
I
EXERCICE 7
Quelques calculs dans le corps Z/5Z.
Que vaut 19 + 12 dans Z/5Z ? Quel est l'opposé de 23 dans Z/5Z ?
Que vaut 19 * 12 dans Z/5Z ? Quel est l'inverse de 23 dans Z/5Z ?
Soit p := n → 2n + 3n.
Vérifier (pour les premières valeurs de k) à l'aide de maple que ...
a) le PGCD de p( 2 k ) et p( 2 k + 2 ) est 1,
b) le PGCD de p( 2 k + 1 ) et p( 2 k + 3 ) est 5.
> 19+12 mod 5;-23 mod 5;
-23 mod 6;
1
2
1
> 19*12 mod 5;1/23 mod 5;
1/23 mod 6;1/22 mod 6;#attention, dans Z/6Z qui n'est pas un
corps, certains éléments ne sont pas inversibles
3
2
5
Error, the modular inverse does not exist
> p:=n->2^n+3^n;
for k from 0 to 20 do pgcd:=igcd(p(k),p(k+2)): print(k,pgcd) od:
p := n → 2n + 3n
0, 1
1, 5
2, 1
3, 5
4, 1
5, 5
6, 1
7, 5
8, 1
9, 5
10, 1
11, 5
12, 1
13, 5
14, 1
15, 5
16, 1
17, 5
18, 1
19, 5
20, 1
EXERCICE 8
Bezout.
Montrer que u = 2134 et v = 2769 sont premiers entre eux.
Donner les coefficients a et b entiers tels que a u + b v = 1.
> restart: u:=2134:v:=2769:igcd(u,v);
1
> igcdex(u,v,a,b):a; b;a*u+b*v;
-266
205
1
Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS)