Les Triangles

Les Triangles
1. Triangles
Un triangle est un …......................................... à trois côtés.
Le triangle ABC possède
•trois …............................... :
les points A, B et C ;
•trois ….............................. :
les segments [AB], [BC] et [AC].
Le …............................
opposé au côté [AB] est
le point C.
Le ….............................
opposé au sommet A est
le côté [BC].
Triangles particuliers :
Dénition
Un triangle isocèle est un triangle
qui a deux côtés de même longueur.
Vocabulaire :
•Le sommet commun aux côtés de même
longueur est appelé le sommet principal.
•Le côté opposé au sommet principal est appelé
la base.
Le triangle ISO est isocèle en S.
Les longueurs IS et SO sont
égales.
•S est le …............................. du triangle ISO
•[IO] est la …................... du triangle ISO.
Dénition
Un triangle équilatéral est un
triangle qui a ses trois côtés de même
longueur.
Le triangle EQU est
équilatéral.
Les longueurs QU, QE et EU sont
égales.
Remarque : un triangle
équilatéral est isocèle
Dénition
Un triangle rectangle est un
triangle qui a un angle droit.
Le triangle ABC est rectangle en A
Remarque : un triangle rectangle
peut être isocèle.
Propriété
Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°
Cette propriété a été démontrée en classe en utilisant les propriétés de de la
symétrie centrale.
Cinquième - Chapitre 3 – Les Triangles
A
C
B
U
Q
E
S
O
I
AB
C

2. Construction de triangles
On peut construire un triangle dans les trois cas suivants :
1) On connaît la longueur des trois côtés.
Exemple : base AB = 4,5 cm, AC = 4 cm, CB = 3 cm
2) On connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l'angle délimité par ces côtés.
Exemple : base AB = 4 cm, AC = 3 cm,
BAC
= 50°
3) On connaît la longueur d'un côté et la mesure des angles adjacents à ce côté.
Exemple : base AB = 3 cm,
BAC
= 30°,
CBA
= 80°
3. Inégalité triangulaire
Rappel : le plus court chemin entre deux points est la ligne droite.
On en déduit la propriété :
SI A, B et M sont trois points quelconques ALORS
AB ⩽AM +MB
Propriétés
SI M appartient au segment [AB] ALORS AB = AM + MB
réciproquement SI AB = AM + MB ALORS M appartient au segment [AB]
Cinquième - Chapitre 3 – Les Triangles
A
B
M

4. Les droites remarquables d'un triangle
Médiatrices
Dénition
La médiatrice d'un côté d'un triangle est la droite perpendiculaire à ce côté
et passant par son milieu.
Médiatrice du côté [AB]
Propriété
Tous les points de la médiatrice d'un côté sont la même distance des
extrémités de ce côté.
Médianes
Dénition
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le
milieu d'un côté opposé au sommet.
Médiane issue de C
Hauteurs
Dénition
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé.
Hauteurs issues de C
Cinquième - Chapitre 3 – Les Triangles

5. Cercle circonscrit à un triangle
Propriété
Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point.
Vocabulaire :
• Le point où se coupent les trois médiatrices est appelé point de concours.
• On dit des médiatrice qu'elles sont concourantes.
Propriété
Le point de concours des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au
triangle.
Preuve : on sait que le point de concours appartient à chaque médiatrice,
or tous les points de la médiatrice d'un côté sont à égale distance des extrémités de ce côté
donc le point de concours est à égale distance des trois sommets.
Cinquième - Chapitre 3 – Les Triangles