SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES

SUR LA CLASSIFICATION DES SCH´ EMAS EN
GROUPES SEMI-SIMPLES
par
Philippe Gille
R´esum´e. — Nous abordons la classification des sch´emas en groupes semi-
simples du point de vue cohomologique et immobilier `a la Bruhat-Tits. Cela
n´ecessite une ´etude du sch´ema des groupes paraboliques de sch´emas en groupes
affines lisses non n´ecessairement connexes mais `a composante neutre r´eductive.
L’expos´e contient aussi quelques sorites sur les r´esolutions de sch´emas en
groupes r´eductifs et des analogies pour les sch´emas en groupes de Weyl.
Abstract. — We deal with the classification of semisimple group schemes
via the Bruhat-Tits’s presentation of non-abelian cohomology. It requires
the study of the scheme of parabolic groups of non-necessarily connected
affine smooth group schemes whose neutral component is reductive. The text
discusses also different kind of resolutions of reductive group schemes and
certain analogies for Weyl group schemes.
1. Introduction
En premier lieu, on s’int´eresse `a la classification des sch´emas en groupes
semi-simples du point de vue de la cohomologie ´etale ce qui fait intervenir les
sch´emas en groupes d’automorphismes Aut(G) pour G-semi-simple. Un tel
sch´ema en groupes n’est en g´en´eral pas connexe et il est commode d’´etendre
la th´eorie des sch´emas en groupes paraboliques pour des sch´emas en groupes
lisses dont la composante neutre est r´eductive (§3 et 4). Ceci s’applique no-
tamment au cas d’un sch´ema semi-local non vide connexe, pour lequel on a une
d´ecomposition de Witt-Tits de l’ensemble de cohomologie ´etale H1(S,Aut(G))
classifiant les S-formes d’un S-sch´ema en groupes semi-simples G. Cette d´e-
composition est semblable au cas des corps [Ti66a] et formul´ee de fa¸con ana-
logue `a la d´ecomposition de Bruhat-Tits de la cohomologie galoisienne des
Mots clefs. — Sch´emas en groupes, sous-groupes paraboliques, isotropie, r´eductibilit´e,
donn´ees radicielles. MSC 2000: 14L15, 14L30.
c
2012, Soci´et´e Math´eMatique de France

2PHILIPPE GILLE
groupes d´efinis sur le corps des fractions d’un anneau de valuation discr`ete
hens´elien [BT87].
Ensuite, on g´en´eralise des invariants classiques de cohomologie galoisienne
dans ce cadre, notamment la classe de Tits (§5).
Sur notre lanc´ee, on ´etudie au §7 la cohomologie des sch´emas en groupes de
Weyl du point de vue pr´ec´edent, c’est-`a-dire immobilier. L’analogie groupes
alg´ebriques/groupes de Weyl et immeubles sph´eriques/complexes de Coxeter
est en effet remarquable.
La derni`ere section rassemble plusieurs types de r´esolutions d’un sch´ema en
groupes r´eductifs G/S en termes de tores et du revˆetement universel de DG
(§7). Elles interviennent notamment pour l’´etude arithm´etique des groupes
r´eductifs.
Les notations XXII.4.1, VIB.10.2, etc... renvoient au s´eminaire sur les
sch´emas en groupes de Demazure-Grothendieck [SGA3].
Je tiens `a remercier Vladimir Chernousov, Cyril Demarche, Cristian
Gonzales-Aviles, Ting-Yu Lee et Arturo Pianzola pour leurs commentaires
bienvenus.
2. Lemmes pr´eliminaires
Les quelques lemmes ci-dessous sont bien connus en cohomologie galoisi-
enne (e.g. [Ser97,§2.2, lemme 1]), on se propose de les g´en´eraliser pour
la cohomologie fpqc sur un sch´ema S. Des ´enonc´es analogues valent pour la
topologie fppf; pour la topologie ´etale, cela vaut aussi avec la restriction que
les faisceaux de groupes consid´er´es soient des sch´emas en groupes lisses. Ces
faits n’interviennent pas directement dans la suite mais sont susceptibles d’ˆetre
appliqu´es `a l’´etude de sch´emas de sous-groupes paraboliques G/NG(P).
Soit G/S un faisceau fpqc en groupes sur un sch´ema S, H un sous-faisceau.
On note Y = G/H le faisceau quotient et p: G →Y le morphisme quotient.
On cite verbatim dans ce ca particulier la propostion III.3.1.1 de [Gir70].
On consid`ere les couples (E, q) o`u E est un H-faisceau principal homog`ene
et q: E →G un H–monomorphisme. Alors l’image du compos´e p◦qd´efinit
un point de H0(S,Y).
Deux tels couples (E, q), (E0, q0) sont dits ´equivalents s’il existe un H–
morphisme f: E →E0satisfaisant q=q0◦f. On note alors Pl’ensemble des
classes d´equivalence de couples (E, q). L’ensemble Pest en correspondance
bijective avec H0(S,Y). On associe en effet `a un point y∈H0(S,Y) le sous-
faisceau fibre en y, c’est-`a-dire p−1(y); c’est un H–faisceau principal homog`ene.
De plus suivant [De09, lemme 4.2.33], on a pour tout y∈H0(S,Y) un

SUR LA CLASSIFICATION DES SCH´ EMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 3
isomorphisme canonique de S–faiceaux en groupes
Hp−1(y)∼ −→ StabG(y)
o`u le S-faisceau en groupes de gauche signifie le tordu de H par automorphismes
int´erieurs suivant le H-faiceau principal homog`ene p−1(y).
Cette correspondance donne lieu `a l’application caract´eristique ϕ: Y(S) →
H1
fpqc(S,H) et induit une bijection (ibid, III.3.2.3)
G(S) \Y(S) ∼ −→ kerH1
fpqc(S,H) −→ H1 fpqc(S,G).
Posons N := NG(H), X = G/N le faisceau fpqc associ´e et r: G →X le
morphisme quotient.
Soit H0un sous-faisceau de G localement G-conjugu´e `a H. Le transporteur
strict TranspstrG(H,H0) qui associe `a un morphisme fpqc T →S
TranspstrG(H,H0)(T) = ng∈G(T) |gH(e T)g−1= H0(e T) ∀e T−→ To
est un N-faisceau principal homog`ene plong´e dans G. Il d´efinit donc un point
γ(H0) dans H0(S,X).
Lemme 2.1. — La fl`eche H07→ γ(H0)induit une correspondance bijective
entre les sous-faisceaux H0localement G-conjugu´es `a Het X(S). L’application
inverse applique un point x∈H0(S,X) sur le tordu Hr−1(x)⊂Gr−1(x)= G
selon l’action naturelle de Nsur H.
On voit ici X(S) comme les classes (E, q) (pour la relation d’´equivalence
d´ecrite au d´ebut) o`u E est un N-faisceau principal homog`ene et q: E →G un
monomorphisme de N–faisceaux.
Si (E, q) est un tel objet, on dispose alors d’une trivialisation q∗: E∧NG∼ −→
G, (e, g)7→ q(e).g. La notation E ∧NG signifie le produit contract´e de E et
G selon N ou en d’autres mots ici l’application du “changement de groupes”
N→G au N-faisceau principal homog`ene E [Gir70, III.1.3].
On consid`ere le S-faiceau en groupes tordu HEpour l’action naturelle de N
sur H. Le compos´e
u: HE−→ GE
q∗
∼
−→ G
est un monomorphisme, le faisceau image not´e H(E, q) est bien un sous-faisceau
en groupes qui est localement G–conjugu´e `a H.
Il reste `a montrer que les deux fl`eches sont inverses l’une de l’autre. Dans
un sens, ´etant donn´e un couple (E, q) comme pr´ec´edemment, on va d´efinir un
morphisme v: E →TranspstrG(H,H(E, q)). Une section e∈E(T) pour un

4PHILIPPE GILLE
morphisme fpqc T →S n’est pas autre chose que la donn´ee de la trivialisation
te: N ×ST∼ −→ E×ST, n 7→ e.n. On consid`ere le compos´e
v(e):H×ST
∧te
∼
−→ HE×ST
u∗
∼
−→ H(E, q)×ST⊂G×ST.
Le morphisme vest bien un isomorphisme N-´equivariant qui satisfait q=i◦v
o`u id´esigne le morphisme canonique du transporteur dans G. Dans l’autre
sens, si on part d’un faisceau H0localement G–conjugu´e `a H, on lui associe le
couple (TranspstrG(H,H0), i). On a bien H0= HTranspstrG(H,H0), i.
En conclusion, l’application caract´eristique ϕ: X(S) →H1(S,N) induit une
bijection
G(S) \X(S) ∼ −→ kerH1
fpqc(S,N) −→ H1 fpqc(S,G).
Lemme 2.2. — Soit Eest un faisceau principal homog`ene sous G(pour fpqc).
Alors Eadmet une r´eduction `a Nsi et seulement si le faisceau en groupes tor-
dus GEadmet un sous–faisceau H0tel que H0est conjugu´e `a Hlocalement pour
la topologie fpqc, i.e. il existe un recouvrement (Ui)i∈Ide Strivialisant E, des
trivialisations φi: E ×SUi∼
=G×SUiet g= (gi)∈QG(Ui)tels que
φi,∗: GE×SUi∼ −→ G×SUiinduise un isomorphisme H0×SUi∼ −→
giH×SUig−1
ipour tout i∈I.
On note que la condition ne d´epend pas du choix de la trivialisation.
D´emonstration: On suppose que E ∼
=F∧GN o`u F /S est un faisceau principal
homog`ene sous N. Alors GE/S = GFadmet le sous-faisceau HF, qui est
localement conjugu´e `a H. R´eciproquement, on suppose que GE/S admette
un sous-faisceau H0conjugu´e `a H localement pour la topologie fpqc. Il existe
donc un recouvrement ouvert (Ui)i∈Ide S trivialisant E, des trivialisations
φi: E ×SUi∼
=G×SUiet g= (gi)∈QG(Ui) tels que φi,∗: GE×SUi∼ =
G×SUiapplique H0×SUisur giG×SUig−1
ipour tout i∈I. On consid`ere
la trivialisation suivante
e
φi:= φi◦Lgi: E ×
SUi
φi
∼
−→ G×
SUi
Lgi
∼
−→ G×
SUi
o`u Lgid´esigne la translation `a gauche par gi. On v´erifie imm´ediatement que
e
φi,∗: GE×SUi∼ −→ G×SUiinduit un isomorphisme H ×SUi∼ −→ H×SUi
pour tout i∈I. Ainsi le 1-cocycle(1) egi,j = (e φi,Ui,j )−1e φj,Ui,j ∈G(Ui,j) est tel
que ad(egi,j) : G ×SUi,j ∼ −→ G×SUi,j induise un isomorphisme de H ×SUi,j,
d’o`u egi,j ∈N(Ui,j) pour tout i, j. On conclut que E admet une r´eduction `a N.
(1)Les conventions sur les cocycles sont oppos´ees `a celles de [Gir70].

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Lemme 2.3. — Soit G/S = G1oG2un produit semi-direct de faisceaux fpqc
en groupes. On note i: G1→G,p: G →G2et h: G2→Gle scindage.
1. Soit P2/Sest un G2-faisceau principal homog`ene. Alors on a une suite
exacte de faisceaux fpqc
1−→ Gh∗P2
1
ih∗P2
−→ Gh∗P2ph∗P2 −→ GP2
2−→ 1
et donc une action `a droite de H0(S,GF2
2)sur H1
fpqc(S,Gh∗P2
1).
2. Pour chaque P2/S, on consid`ere l’application
H1
fpqc(S,Gh∗P2
1)−→ H1
fpqc(S,Gh∗P2)
τh∗P2
∼
−→ H1
fpqc(S,G)
o`u τh∗P2d´esigne de la bijection de torsion [Gir70, III.2.6]. Alors les
fl`eches pr´ec´edentes induisent une bijection
G
P2
H1
fpqc(S,Gh∗P2
1))/H0(S,GP2 2)∼
−→ H1
fpqc(S,G)
o`u P2/Sparcourt les classes d’isomorphie de G2-faisceaux principaux
homog`enes.
D´emonstration: (1) Voir [Gir70, III.3.3], en particulier 3.3.4.
(2) Cette d´ecomposition provient de la description des fibres de l’application
scind´ee
p∗: H1
fpqc(S,G) −→ H1 fpqc(S,G2).
Si P2est un G2–torseur, on a p∗h∗P2= P2. Ainsi, la fibre de p∗en [P2] est
d´ecrite par la torsion [Gir70, III.3.3.4]
H1
fpqc(S,G) p∗
//
τh∗P2
o
H1
fpqc(S,G2)
τP2
o
H1
fpqc(S,GP2
1)ih∗P2//H1
fpqc(S,GP2)ph∗P2//H1
fpqc(S,GP2
2)
c’est-`a-dire
ker(ph∗P2
∗)∼
−→ (p∗)−1([h∗P2]).
Ainsi on a une bijection
G
P2
ker(ph∗P2
∗)∼
−→ G
P2
(p∗)−1([h∗P2]) ∼ −→ H1
fpqc(S,G).
Mais H1
fpqc(S,Gh∗P2
1)/H0(S,GP2 2)∼
−→ ker(ph∗P2
∗) [Gir70, III.3.3.4] d’o`u la
bijection souhait´ee.