SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES par Philippe Gille Résumé. — Nous abordons la classification des schémas en groupes semisimples du point de vue cohomologique et immobilier à la Bruhat-Tits. Cela nécessite une étude du schéma des groupes paraboliques de schémas en groupes affines lisses non nécessairement connexes mais à composante neutre réductive. L’exposé contient aussi quelques sorites sur les résolutions de schémas en groupes réductifs et des analogies pour les schémas en groupes de Weyl. Abstract. — We deal with the classification of semisimple group schemes via the Bruhat-Tits’s presentation of non-abelian cohomology. It requires the study of the scheme of parabolic groups of non-necessarily connected affine smooth group schemes whose neutral component is reductive. The text discusses also different kind of resolutions of reductive group schemes and certain analogies for Weyl group schemes. 1. Introduction En premier lieu, on s’intéresse à la classification des schémas en groupes semi-simples du point de vue de la cohomologie étale ce qui fait intervenir les schémas en groupes d’automorphismes Aut(G) pour G-semi-simple. Un tel schéma en groupes n’est en général pas connexe et il est commode d’étendre la théorie des schémas en groupes paraboliques pour des schémas en groupes lisses dont la composante neutre est réductive (§ 3 et 4). Ceci s’applique notamment au cas d’un schéma semi-local non vide connexe, pour lequel on a une décomposition de Witt-Tits de l’ensemble de cohomologie étale H1 (S, Aut(G)) classifiant les S-formes d’un S-schéma en groupes semi-simples G. Cette décomposition est semblable au cas des corps [Ti66a] et formulée de façon analogue à la décomposition de Bruhat-Tits de la cohomologie galoisienne des Mots clefs. — Schémas en groupes, sous-groupes paraboliques, isotropie, réductibilité, données radicielles. MSC 2000: 14L15, 14L30. c 2012, Société MathéMatique de France 2 PHILIPPE GILLE groupes définis sur le corps des fractions d’un anneau de valuation discrète hensélien [BT87]. Ensuite, on généralise des invariants classiques de cohomologie galoisienne dans ce cadre, notamment la classe de Tits (§ 5). Sur notre lancée, on étudie au § 7 la cohomologie des schémas en groupes de Weyl du point de vue précédent, c’est-à-dire immobilier. L’analogie groupes algébriques/groupes de Weyl et immeubles sphériques/complexes de Coxeter est en effet remarquable. La dernière section rassemble plusieurs types de résolutions d’un schéma en groupes réductifs G/S en termes de tores et du revêtement universel de DG (§ 7). Elles interviennent notamment pour l’étude arithmétique des groupes réductifs. Les notations XXII.4.1, VIB .10.2, etc... renvoient au séminaire sur les schémas en groupes de Demazure-Grothendieck [SGA3]. Je tiens à remercier Vladimir Chernousov, Cyril Demarche, Cristian Gonzales-Aviles, Ting-Yu Lee et Arturo Pianzola pour leurs commentaires bienvenus. 2. Lemmes préliminaires Les quelques lemmes ci-dessous sont bien connus en cohomologie galoisienne (e.g. [Ser97, § 2.2, lemme 1]), on se propose de les généraliser pour la cohomologie fpqc sur un schéma S. Des énoncés analogues valent pour la topologie fppf; pour la topologie étale, cela vaut aussi avec la restriction que les faisceaux de groupes considérés soient des schémas en groupes lisses. Ces faits n’interviennent pas directement dans la suite mais sont susceptibles d’être appliqués à l’étude de schémas de sous-groupes paraboliques G/NG (P). Soit G/S un faisceau fpqc en groupes sur un schéma S, H un sous-faisceau. On note Y = G/H le faisceau quotient et p : G → Y le morphisme quotient. On cite verbatim dans ce ca particulier la propostion III.3.1.1 de [Gir70]. On considère les couples (E, q) où E est un H-faisceau principal homogène et q : E → G un H–monomorphisme. Alors l’image du composé p ◦ q définit un point de H0 (S, Y). Deux tels couples (E, q), (E0 , q 0 ) sont dits équivalents s’il existe un H– morphisme f : E → E0 satisfaisant q = q 0 ◦ f . On note alors P l’ensemble des classes déquivalence de couples (E, q). L’ensemble P est en correspondance bijective avec H0 (S, Y). On associe en effet à un point y ∈ H0 (S, Y) le sousfaisceau fibre en y, c’est-à-dire p−1 (y); c’est un H–faisceau principal homogène. De plus suivant [De09, lemme 4.2.33], on a pour tout y ∈ H0 (S, Y) un SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 3 isomorphisme canonique de S–faiceaux en groupes Hp −1 (y) ∼ −→ StabG (y) où le S-faisceau en groupes de gauche signifie le tordu de H par automorphismes intérieurs suivant le H-faiceau principal homogène p−1 (y). Cette correspondance donne lieu à l’application caractéristique ϕ : Y(S) → H1f pqc (S, H) et induit une bijection (ibid, III.3.2.3) ∼ G(S) \ Y(S) −→ ker H1f pqc (S, H) −→ H1f pqc (S, G) . Posons N := NG (H), X = G/N le faisceau fpqc associé et r : G → X le morphisme quotient. Soit H0 un sous-faisceau de G localement G-conjugué à H. Le transporteur strict TranspstrG (H, H0 ) qui associe à un morphisme fpqc T → S n o e −1 = H0 (T) e ∀T e −→ T TranspstrG (H, H0 )(T) = g ∈ G(T) | gH(T)g est un N-faisceau principal homogène plongé dans G. Il définit donc un point γ(H0 ) dans H0 (S, X). Lemme 2.1. — La flèche H0 7→ γ(H0 ) induit une correspondance bijective entre les sous-faisceaux H0 localement G-conjugués à H et X(S). L’application −1 −1 inverse applique un point x ∈ H0 (S, X) sur le tordu Hr (x) ⊂ Gr (x) = G selon l’action naturelle de N sur H. On voit ici X(S) comme les classes (E, q) (pour la relation d’équivalence décrite au début) où E est un N-faisceau principal homogène et q : E → G un monomorphisme de N–faisceaux. ∼ Si (E, q) est un tel objet, on dispose alors d’une trivialisation q∗ : E∧N G −→ G, (e, g) 7→ q(e).g. La notation E ∧N G signifie le produit contracté de E et G selon N ou en d’autres mots ici l’application du “changement de groupes” N → G au N-faisceau principal homogène E [Gir70, III.1.3]. On considère le S-faiceau en groupes tordu HE pour l’action naturelle de N sur H. Le composé q∗ ∼ u : HE −→ GE −→ G est un monomorphisme, le faisceau image noté H(E, q) est bien un sous-faisceau en groupes qui est localement G–conjugué à H. Il reste à montrer que les deux flèches sont inverses l’une de l’autre. Dans un sens, étant donné un couple (E, q) comme précédemment, on va définir un morphisme v : E → TranspstrG (H, H(E, q)). Une section e ∈ E(T) pour un 4 PHILIPPE GILLE morphisme fpqc T → S n’est pas autre chose que la donnée de la trivialisation ∼ te : N ×S T −→ E ×S T, n 7→ e.n. On considère le composé ∧te ∼ u∗ ∼ E v(e) : H ×S T −→ H ×S T −→ H(E, q) ×S T ⊂ G ×S T. Le morphisme v est bien un isomorphisme N-équivariant qui satisfait q = i ◦ v où i désigne le morphisme canonique du transporteur dans G. Dans l’autre sens, si on part d’un faisceau H0 localement G–conjugué à H, on lui associe le couple (TranspstrG (H, H0 ), i). On a bien H0 = H TranspstrG (H, H0 ), i . En conclusion, l’application caractéristique ϕ : X(S) → H1 (S, N) induit une bijection ∼ G(S) \ X(S) −→ ker H1f pqc (S, N) −→ H1f pqc (S, G) . Lemme 2.2. — Soit E est un faisceau principal homogène sous G (pour fpqc). Alors E admet une réduction à N si et seulement si le faisceau en groupes tordus GE admet un sous–faisceau H0 tel que H0 est conjugué à H localement pour la topologie fpqc, i.e. il existe un recouvrement (Ui )i∈I de SQtrivialisant E, des trivialisations φi : E ×S Ui ∼ G(Ui ) tels que = G ×S Ui et g = (gi ) ∈ ∼ ∼ φi,∗ : GE×S Ui −→ G ×S Ui induise un isomorphisme H0 ×S Ui −→ gi H ×S Ui gi−1 pour tout i ∈ I. On note que la condition ne dépend pas du choix de la trivialisation. Démonstration: On suppose que E ∼ = F ∧G N où F /S est un faisceau principal E homogène sous N. Alors G /S = GF admet le sous-faisceau HF , qui est localement conjugué à H. Réciproquement, on suppose que GE /S admette un sous-faisceau H0 conjugué à H localement pour la topologie fpqc. Il existe donc un recouvrement ouvert (Ui )i∈I deQS trivialisant E, des trivialisations φi : E ×S Ui ∼ = G ×S Ui et g = (gi ) ∈ G(Ui ) tels que φi,∗ : GE ×S Ui ∼ = G ×S Ui applique H0 ×S Ui sur gi G ×S Ui gi−1 pour tout i ∈ I. On considère la trivialisation suivante Lgi φi ∼ ∼ φei := φi ◦ Lgi : E × Ui −→ G × Ui −→ G × Ui S S S où Lgi désigne la translation à gauche par gi . On vérifie immédiatement que ∼ ∼ φei,∗ : GE ×S Ui −→ G ×S Ui induit un isomorphisme H ×S Ui −→ H ×S Ui pour tout i ∈ I. Ainsi le 1-cocycle(1) gei,j = (φei,Ui,j )−1 φej,Ui,j ∈ G(Ui,j ) est tel ∼ que ad(e gi,j ) : G ×S Ui,j −→ G ×S Ui,j induise un isomorphisme de H ×S Ui,j , d’où gei,j ∈ N(Ui,j ) pour tout i, j. On conclut que E admet une réduction à N. (1) Les conventions sur les cocycles sont opposées à celles de [Gir70]. SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 5 Lemme 2.3. — Soit G/S = G1 o G2 un produit semi-direct de faisceaux fpqc en groupes. On note i : G1 → G, p : G → G2 et h : G2 → G le scindage. 1. Soit P2 /S est un G2 -faisceau principal homogène. Alors on a une suite exacte de faisceaux fpqc h P2 1 −→ G1 ∗ ph∗ P2 i h∗ P 2 −→ Gh∗ P2 −→ P G2 2 −→ 1 F h P2 et donc une action à droite de H0 (S, G2 2 ) sur H1f pqc (S, G1 ∗ 2. Pour chaque P2 /S, on considère l’application h P2 H1f pqc (S, G1 ∗ ). τ h∗ P 2 ∼ ) −→ H1f pqc (S, Gh∗ P2 ) −→ H1f pqc (S, G) où τh∗ P2 désigne de la bijection de torsion [Gir70, III.2.6]. Alors les flèches précédentes induisent une bijection G ∼ h P P H1f pqc (S, G1 ∗ 2 ))/H0 (S, G2 2 ) −→ H1f pqc (S, G) P2 où P2 /S parcourt les classes d’isomorphie de G2 -faisceaux principaux homogènes. Démonstration: (1) Voir [Gir70, III.3.3], en particulier 3.3.4. (2) Cette décomposition provient de la description des fibres de l’application scindée p∗ : H1f pqc (S, G) −→ H1f pqc (S, G2 ). Si P2 est un G2 –torseur, on a p∗ h∗ P2 = P2 . Ainsi, la fibre de p∗ en [P2 ] est décrite par la torsion [Gir70, III.3.3.4] p∗ H1f pqc (S, G) o τ h∗ P 2 P H1f pqc (S, G1 2 ) c’est-à-dire i h∗ P 2 / o τP2 H1f pqc (S, GP2 ) h P / H1 (S, G2 ) f pqc ph∗ P2 / H1 (S, GP2 ) 2 f pqc ∼ ker(p∗ ∗ 2 ) −→ (p∗ )−1 ([h∗ P2 ]). Ainsi on a une bijection G G ∼ ∼ h P ker(p∗ ∗ 2 ) −→ (p∗ )−1 ([h∗ P2 ]) −→ H1f pqc (S, G). P2 P2 h P P ∼ h P2 Mais H1f pqc (S, G1 ∗ 2 )/H0 (S, G2 2 ) −→ ker(p∗ ∗ bijection souhaitée. ) [Gir70, III.3.3.4] d’où la 6 PHILIPPE GILLE 3. La décomposition de Witt-Tits 3.1. Sous–groupes paraboliques. — Commençons par une variante de XXVI.1.20. Proposition 3.1. — Soient S un préschéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe parabolique de G. On note p : P → P/ radu (P) le morphisme canonique (XXVI.1.21). Les applications Q 7→ Q/ radu (P), M 7→ p−1 (M) sont des bijections réciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des sousgroupes paraboliques de G contenus dans P et l’ensemble des sous-groupes paraboliques de P/ radu (P). Démonstration: La question est locale pour la topologie étale et on peut donc supposer que P admet un S–sous–groupe de Levi L (XXVI.1.9). Ainsi les applications Q 7→ Q ∩ L = Q0 , Q0 7→ Q0 · radu (P) sont des bijections réciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des sousgroupes paraboliques de G contenus dans P et l’ensemble des sous-groupes paraboliques de L (XXVI.1.21.ii). Or q := p|L : L → P/ radu (P) est un isomorphisme, il y a donc une correspondance entre les sous-groupes paraboliques de L et ceux de P/ radu (P) qui est donnée par Q0 7→ q(Q0 ) = (Q0 . radu (P))/ radu (P) et M 7→ q −1 (M) = M ∩ L. Ceci entraı̂ne la correspondance ci-dessus. 3.2. Normalisateurs de schémas en groupes paraboliques. — Soit S un schéma. Soit G/S un schéma en groupes lisse. On suppose que G0 /S est un S-groupe réductif. Lemme 3.2. — Soit P un S-sous-schéma en groupes paraboliques de G0 . 1. Le normalisateur NG (P) est représentable par un S-sous-schéma en groupes fermé NG (P) de G. 2. Le schéma en groupes NG (P) est lisse sur S et P = NG (P)0 . 3. Le quotient G/NG (P) est représentable par un S–préschéma de présentation finie sur S et quasi-projectif. 4. Le quotient NG (P)/ radu (P) est représentable par un schéma en groupes lisse. Démonstration.(2) (1) Vu que P/S est lisse à fibres connexes, c’est une conséquence du corollaire XI.6.11. (2) Noter que XII.7.9 ne s’applique pas ici car les fibres géométriques de G ne sont pas connexes. SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 7 (2) Vu que P = NG0 (P) = NG (P) ×S G0 est un sous–schéma en groupes ouvert lisse sur S, le théorème VIB .3.10, iii) =⇒ ii), montre que NG (P) est plat sur S et que NG (P)s est lisse sur κ(s) pour tout s ∈ S. Admettons dans un premier temps que NG (P) est localement de présentation finie sur S; alors le critère de lissité par fibres EGA4 17.8.2 montre que NG (S) est lisse sur S. Pour montrer que NG (P) est localement de présentation finie sur S, on peut supposer S = Spec(A) affine. Vu que G et G0 et Par(G0 )/S sont localement de présentation finie, la méthode de VIB .10.2 indique que l’on peut supposer que G, G0 et P sont définis sur un sous-anneau R de A de type fini sur Z. Puisque R est noethérien, on conclut que NG (P) est de présentation finie sur Spec(R). En outre, on a P = NG (P)0 . (3) Le corollaire XVI.2.4 montre que G/NG (P) est représentable par un S– préschéma de présentation finie sur S et quasi-projectif. (4) La question est locale pour la topologie étale et on peut donc supposer que P admet un sous–groupe de Levi (XXVI.1.9). Dans ce cas, la représentabilité de NG (P)/ radu (P) résulte du lemme suivant 3.3.2. Lemme 3.3. — Soit P un S-sous-schéma en groupes paraboliques de G0 admettant un sous–groupe de Levi L/S. 1. Le normalisateur NG (L) (resp. NG (P, L)) est représentable par un Ssous-schéma en groupes NG (L) (resp. NG (P, L)) fermé de G. 2. Le faisceau fpqc NG (P, L) est représentable par un sous–schéma fermé de NG (P) et NG (P) = radu (P) o NG (P, L). 3. NG (P, L) est lisse sur S. 4. Le quotient G/NG (P, L) est représentable par un S–préschéma de présentation finie sur S et quasi-projectif. Démonstration. (1) Vu que L/S est lisse à fibres connexes, c’est une conséquence du corollaire XI.6.11. (2) On va montrer que le morphisme de faisceaux fpqc radu (P) o NG (P, L) → NG (P) est un isomorphisme. On peut supposer S = Spec(A) affine non vide. L’injectivité vient du fait NG (P, L) ∩ radu (P) = NG0 (P, L) ∩ radu (P) = 1 suivant XXVI.3.21.ii. Pour la surjectivité, on se donne S0 = Spec(A0 )/S avec A0 fidèlement plat sur A et g ∈ NG (P)(S0 ). Il faut montrer que l’on peut raffiner avec S00 /S0 de sorte que g ∈ radu (P)(S00 ).NG (P, L)(S00 ). Soit g ∈ NG (P)(S0 ). Alors gLg −1 est un sous–groupe de Levi de P. Suivant XXVI.1.17, il existe un recouvrement affine étale S00 /S0 et h ∈ P(S00 ) tel que g (L ×S S00 ) g −1 = h (L ×S S00 ) h−1 . Alors h−1 g ∈ NG (P, L)(S00 ) et comme 8 PHILIPPE GILLE h ∈ P(S00 ) = radu (P)(S00 ).L(S00 ), on conclut que g = h h−1 g appartient à radu (P)(S00 ).NG (P, L)(S00 ). (3) On a une suite exacte (scindée) de S–groupes 1 −→ radu (P) −→ NG (P) −→ NG (P, L) −→ 1. Vu que NG (P) est lisse, il en est de même de son quotient NG (P, L) (VIB .9.2.xii). (4) C’est aussi une conséquence du corollaire XVI.2.4. Profitons de l’occasion pour répondre à une question posée lors de l’école d’été. Proposition 3.4. — On suppose que G/S est réductif. Soit T/S un sous-tore de G. Alors G/ZG (T) est représentable par un S–schéma affine lisse. En particulier, si L un sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique P de G, alors le quotient G/L est représentable par un S–schéma affine lisse. Ceci généralise le cas d’un tore maximal; en effet, on a alors T = ZG (T) et le quotient G/T est alors explicité par VIII.5 dans la mesure où l’assertion à démontrer est locale pour la topologie étale. Pour le cas général, on peut donc supposer S affine, le S-groupe réductif ZG (T) déployé (XXII.2.3). En particulier, T est déployé et on sait alors que ZG (T) est un sous-groupe de Levi L d’un sous-groupe parabolique P (XXVI.6.2). Dans ce cas, L = NG (P, L) et le quotient fppf G/L est donc représentable par un schéma est de présentation finie sur S et quasi-projectif d’après le lemme 3.3.(4). Le procédé éprouvé de limite (e.g. voir preuve du lemme 3.2.(2)) permet de supposer la base affine et noethérienne. Les hypothèses sont réunies pour appliquer un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc, à savoir le corollaire 6.12 de [CTS79]. Celui-ci montre en effet que le faisceau fppf G/L est représentable par un S-schéma affine. Il est lisse en vertu de VIB .9.2.(xii). 3.3. Conjugaison des sous-schémas en groupes paraboliques. — Enonçons dans ce contexte le théorème de conjugaison des sous–groupes paraboliques XXVI.5.2. Corollaire 3.5. — On suppose que S est semi-local. Soit P un S-sous–groupe parabolique de G. 1. L’image de H1 (S, NG (P)) → H1 (S, G) consiste en les classes de faisceaux étales principaux homogènes E/S sous G tels que le schéma en groupes tordu (G0 )E /S admette un sous-schéma en groupes P0 localement conjugué par G à P pour la topologie étale. SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 9 2. On a G(S)/NG (P)(S) ∼ = (G/NG (P))(S) et la flèche H1 (S, NG (P)) −→ H1 (S, G) est injective. Démonstration. On note i : NG (P) → G. 1) Suivant le lemme 2.2, l’image de i∗ : H1 (S, NG (P)) → H1 (S, G) consiste en les classes de faisceaux étales principaux homogènes E sous G tels que le schéma en groupes tordu GE /S admette un sous-schéma en groupes P0 localement conjugué par G pour la topologie étale. Un tel P0 est connexe donc on peut remplacer G par (G0 )E /S. ∼ G/NG (P). Vu que G0 (S)/P(S) = ∼ (G0 /P)(S), il suit que G(S) 2) On a G0 /P = agit transitivement sur (G/NG (P))(S), d’où G(S)/NG (P)(S) ∼ = (G/NG (P))(S). Puisque NG (P) est lisse sur S, le morphisme G → G/NG (P) est lisse (VIB .9.2) et on a une suite exacte d’ensembles pointés [Gir70, III.3.2.2] i ∗ 1 −→ NG (P)(S) −→ G(S) −→ (G/NG (P))(S) −→ H1 (S, NG (P)) −→ H1 (S, G). Ainsi la flèche H1 (S, NG (P)) → H1 (S, G) a un noyau trivial. Pour l’injectivité, on va montrer que les fibres sont réduites à un élément par un argument de torsion. On se donne un faisceau(3) F principal homogène sous NG (P) sur Sét . Par descente étale, les schémas affines P/S et G/S se tordent en PF /S et Gi∗ F /S. Le faisceau étale en groupes tordu NG (P)F /S est représenté par NGF (PF ). On dispose alors du diagramme commutatif d’ensembles pointés H1 (S, NG (P)) i∗ o τF H1 (S, NGF (PF )) / H1 (S, G) o τF (iF )∗ / H1 (S, Gi∗ F ) ∼ où τF désigne la bijection de torsion. Celle-ci induit une bijection i−1 ∗ ([F]) = F ker((i )∗ ) = 1. 3.4. Isotropie et irréductibilité. — Définition 3.6. — Un schéma en groupes réductifs H/S est isotrope s’il admet un S–sous–schéma en groupes isomorphe à Gm,S . On dit que H/S est anisotrope dans le cas contraire. (3) Non nécessairement représentable. 10 PHILIPPE GILLE Définition 3.7. — Un schéma en groupes réductifs H/S est réductible s’il admet un S–sous–groupe parabolique propre P (i.e. Ps 6= Gs pour tout point géométrique s de S) qui admet un sous-groupe de Levi L. On dit que H/S est irréductible dans le cas contraire. Remarque 3.8. — (1) La réductibilité et l’isotropie sont des notions stables par changement de base arbitraire. (2) Si S est affine, l’existence d’un sous-groupe de Levi XXVI.2.3 indique alors que H/S est réductible s’il admet un S–sous–groupe parabolique propre P. (3) Si S est semi-local connexe, suivant XXVI.6.14, H/S est anisotrope si et seulement si H/S est irréductible et rad(H) est anisotrope; en particulier si H est semi-simple, H/S est irréductible si et seulement si il est anisotrope. Proposition 3.9. — Soit G/S un schéma en groupes réductifs. On suppose que S est connexe, localement noethérien et géométriquement unibranche. Soient T0 un sous-tore déployé de G et P un sous-groupe parabolique de G ayant ZG (T0 ) comme sous-groupe de Levi. a) Les assertions suivantes sont équivalentes: 1) T0 est un sous-tore déployé maximal de G; 2) T0 est un sous-tore déployé maximal de ZG (T0 ); 3) Le S–groupe réductif ZG (T0 )/T0 est anisotrope. b) Les assertions suivantes sont équivalentes: 4) Le S–groupe réductif ZG (T0 ) ne possède pas de sous-groupe parabolique propre (si S is affine, rappelons que ceci est équivalent à l’irréducibilité de ZG (T0 )); 5) P est un sous-groupe parabolique minimal de G. c) On a l’implication (3) =⇒ (4). d) Si T0 est un tore maximal du radical de ZG (T0 ), alors on a les équivalences (1) ⇐⇒ (2) ⇐⇒ (3) ⇐⇒ (4) ⇐⇒ (5). Démonstration. a) (1) =⇒ (2): Cette implication est triviale. (2) =⇒ (1). Soit T1 un sous-tore déployé de G contenant T0 . On a alors T0 ⊂ T1 ⊂ ZG (T0 ), d’où T0 = T1 . (2) =⇒ (3). Soit T1 un sous–tore déployé de ZG (T0 )/T0 . Alors sa préimage dans ZG (T0 ) est un sous–tore E de ZG (T0 ) qui est une extension de T0 par T1 . L’hypothèse sur la base S intervient ici. En effet, on sait que alors que b est un faisceau constant et E est un S-tore E est isotrivial (X.5.15). Ainsi E SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 11 déployé. Vu que E contient T0 , il suit que T0 = E. Par suite T1 est trivial et on conclut que ZG (T0 )/T0 est anisotrope. (3) =⇒ (2). On suppose que T0 n’est pas déployé maximal, c’est-à-dire qu’il existe un sous-tore déployé T1 de ZG (T0 ) contenant strictement T0 . Alors T1 /T0 est un tore déployé non trivial du schéma en groupes ZG (T0 )/T0 qui est donc isotrope. b) Suivant XXVI.1.20, on dispose d’une bijection n o n o paraboliques Q de G inclus dans P < −− > paraboliques M de ZG (T0 ) . L’ensemble de gauche est réduit à un élément si et seulement si l’ensemble de droite réduit à un élément. Ceci montre que les assertions (4) et (5) sont équivalentes. c) Si ZG (T0 )/T0 est anisotrope, il est a fortiori irréductible. Il en est de même de ZG (T0 ). d) Nous supposons maintenant que T0 est un tore déployé maximal du radical de ZG (T0 ) et allons montrer l’implication (4) =⇒ (3). Notre hypothèse est que ZG (T0 ) est irréductible ou de façon équivalente que ZG (T0 )/T0 est irréductible. Soit T1 un sous-tore déployé de ZG (T0 )/T0 . Vu que le quotient adjoint ZG (T0 )/T0 est anisotrope, le tore T1 est un sous-groupe du tore radical de ZG (T0 )/T0 . Par suite, la préimage de T1 dans ZG (T0 ) est un sous-tore E0 du radical de ZG (T0 ) qui contient T0 . Comme précd́emement, E0 est un Store déployé donc T0 = E0 . On conclut que T1 = 1 et que ZG (T0 )/T0 est anisotrope. Proposition 3.10. — Soit G/S un schéma en groupes réductif. On suppose que S est connexe. Si G admet un sous-tore déployé T0 tel que T0,s est non central dans Gs pour un point s de S, alors G admet un sous-groupe parabolique propre. Démonstration. On considère le centralisateur C = ZG (T0 ) de T0 dans G in G. Suivant XXVI.6.5, C est un sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique P de G. Puisque T0,s est non central, on a Cs 6= Gs et le type de P en s est propre. Le type est une fonction localement constante, la connexité de S entraı̂ne que P est un sous–groupe parabolique propre. Lemme 3.11. — Soit H/S un schéma en groupes réductif. On suppose que le tore radical rad(H) est isotrivial. Alors H/S est anisotrope si et seulement si H/S est irréductible et rad(H) (ou corad(H)) est anisotrope. 12 PHILIPPE GILLE Démonstration. On sait alors que tous les tores maximaux de G sont isotriviaux (X.5.16) Puisque les tores rad(H) et corad(H) sont isogènes, rad(H) isotrope équivaut à corad(H) isotrope. Si H/S est isotrope, alors H admet un sous-tore isomorphe à Gm,S . Si le composé Gm,S → H → corad(H) est non trivial, alors corad(H) est isotrope. S’il est trivial, le schéma en groupes semi-simple DH admet un sous-tore Gm,S et on sait alors que DH admet un S–sous-groupe parabolique propre P de sorte que CDH (Gm,S ) est un sous-groupe de Levi de H (XXVI.6.2 et 6.3). Il en est de même de H (XXVI1.19), donc H est réductible. Inversement, supposons rad(H) isotrope ou H réductible. Si rad(H) est isotrope, alors H est isotrope. On suppose que H est réductible, c’est-à-dire admet un sous-groupe parabolique propre P/S muni d’un sous-groupe de Levi L/S. On note Q = rad(L). Il existe alors un homomorphisme non trivial Q → Gm,S (XXVI.6.7), donc Q est isotrope. A fortiori H est isotrope. Si P est un sous–groupe parabolique de G/S, on note radu (P)/S son radical unipotent et Pred /S = P/ radu (P) son quotient réductif (XVI.1.21). On dit qu’un faisceau étale principal homogène E/S sous NG (P) est irréductible si le schéma en groupes tordu (Pred )E /S est irréductible. Ceci passe aux classes et on note alors H1 (S, NG (P))irr ⊂ H1 (S, NG (P)) le sous-ensemble formé des faisceaux étales E/S principaux homogènes sous NG (P) qui sont irréductibles. Lemme 3.12. — On suppose que S = Spec(A) est affine. Soit E/S un NG (P)–faisceau principal homogène pour la topologie étale. Les conditions suivantes sont équivalentes: 1. [E] ∈ H1 (S, NG (P))irr ; 2. le schéma en groupes (G0 )E admet un sous-groupe parabolique minimal qui est localement G–conjugué à P pour la topologie étale; 3. PE est un sous–groupe parabolique minimal de (G0 )E . Démonstration. L’application de la proposition 3.1 à (G0 )E /S et à son sous– groupe parabolique PE /S montre que les applications Q 7→ Q. radu (PE )/ radu (PE ), M 7→ p−1 (M) sont des bijections réciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des sousgroupes paraboliques de GE contenus dans PE et l’ensemble des sous-groupes paraboliques de PE / radu (PE ) = PE red . Le lemme suit. SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 13 3.5. Décomposition, forme générale. — Théorème 3.13. — On suppose que S = Spec(A) est non vide connexe semilocal. On suppose que G0 /S est épinglé. Soit B (resp. T) le sous–groupe de Borel (resp. le tore maximal) de G donné par cet épinglage et soient P1 , ... , Pl des S-sous–schémas en groupes paraboliques de G0 contenant B tels que P1 ,...,Pl représentent les classes d’équivalence de S–sous-groupes paraboliques de G pour la relation d’équivalence P ∼ Q si P et Q sont localement G– conjugués pour la topologie étale. On note Lj l’unique sous–groupe de Levi de Pi contenant T pour j = 1, .., l. Alors on a G G H1 (S, NG (Pj , Lj ))irr ∼ H1 (S, NG (Pj ))irr ∼ = = H1 (S, G). j=1,...,l j=1,...,l La démonstration est une variation sur un thème de Bruhat-Tits [BT87, section 3]. Démonstration. Le premier isomorphisme se démontre de la même façon que XXVI.2.3. Montrons la surjectivité de la seconde flèche. Soit E un faisceau étale homogène sous G. Alors (G0 )E admet un sous–groupe parabolique minimal Q/S, unique à G(S)–conjugaison près. Comme S est connexe, Q est de type constant et Q est localement G–conjugué pour la topologie étale à un des Pj (XXVI.3). Le lemme 2.2 montre que [E] provient de H1 (S, NG (Pj )) et le lemme 3.12 montre que [E] provient de H1 (S, NG (Pj ))irr . Le corollaire 3.5 indique que chaque facteur H1 (S, NG (Pj ))irr se plonge dans 1 H (S, G). L’unicité de Q garantit que ces facteurs ne se rencontrent pas. La décomposition suivante généralise celle de Tits dans le cas des corps [Ti66a]. Théorème 3.14. — On suppose que S = Spec(A) est non vide connexe semilocal. On suppose que G0 = G est que G est quasi-épinglé. Soit B (resp. T) le sous–groupe de Borel (resp. le tore maximal) de G donné par cet épinglage; soient P1 , ... , Pl les S-sous–schémas en groupes paraboliques de G contenant B et soient L1 ,..., Ll les sous–groupes de Levi respectifs contenant T. Alors on a les bijections G G H1 (S, Lj )irr ∼ H1 (S, Pj )irr ∼ = = H1 (S, G). j=1,...,l j=1,...,l La démonstration de la surjectivité nécessite le lemme suivant. Lemme 3.15. — Sous les hypothèses de 3.14, soient E/S un G–torseur et P un sous-groupe parabolique du schéma en groupes tordu GE /S. Alors P est 14 PHILIPPE GILLE localement conjugué pour la topologie étale à un S-sous-groupe parabolique de G. Démonstration. L’isomorphisme GE ×E S ∼ = G ×E S produit des flèches Par(GE )(S) t Of(Dyn(GE ))(S) / Par(GE )(E) ∼ t / Of(Dyn(GE ))(E) ∼ / Par(G)(E) o t / Of(Dyn(G))(E) o Par(G)(S) Of(Dyn(G))(S). Par descente, on a Of(Dyn(G))(S) = Of(Dyn(G))(E), ce qui montre que le type de P définit un élément de Of(Dyn(G))(S). Puisque G est quasi-épinglé, le lemme XXVI.3.8 montre que tous les types Of(Dyn(G))(S) sont représentés par des S–sous–groupes paraboliques de G. Ainsi P est localement conjugué pour la topologie étale à un S-sous-groupe parabolique de G suivant XXVI.3.3. Démonstration du théorème 3.14. Le premier isomorphisme est XXVI.2.3. L’injectivité de la seconde application suit du même argument que pour 3.13. Pour la surjectivité, on se donne un faisceau étale E/S principal homogène sous G. Suivant XXVI.5.7, le schéma en groupes tordu GE /S admet un sousgroupe parabolique minimal Q/S. Le lemme 3.15 montre que Q est localement G-conjugué pour la topologie étale à un S-sous-groupe parabolique de G. Le corollaire 3.5 montre que E admet une réduction à P et celle-ci est bien irréductible suivant le lemme 3.12. 3.6. Questions d’isotrivialité. — Nous commençons par appliquer le théorème d’isotrivialité semi-locale XXIV.4.1.5 et le théorème de conjugaison des sous–groupes paraboliques XXVI.5.2. Corollaire 3.16. — On suppose que G0 est de type constant et que G/G0 est représentable par un schéma fini étale sur S. On suppose que G0 /S est semi-localement isotrivial.(4) 1. Soit E un S–torseur sous G, alors E est semi-localement isotrivial. 2. Soit P un schéma en groupes paraboliques de G0 , de type constant. Soit F un S–torseur sous NG (P), alors F est semi-localement isotrivial. Démonstration. L’argument du corollaire XXIV.2.4 indique que la propriété “semi-localement isotrivial”se comporte bien par extension de S–groupes, c’està-dire que si 1 → H → H0 → H00 → 1 est une suite exacte de S-schémas en groupes affines (pour fpqc), et que H et H00 ont la propriété que leurs T-torseurs sont semi-localement isotriviaux pour tout schéma T/S, il en est de même de H. (4) Ce qui est équivalent à la même condition pour le tore rad(G0 ). t SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 15 (1) On est ramené par dévissage aux cas de G0 et G/G0 . Pour G0 , c’est XXIV.4.1.5.b, et pour G/G0 , c’est évident. (2) Il est loisible de supposer S semi-local connexe. On note E/S = NG (P)∧G F le G-torseur produit contracté. Quitte à remplacer S par S0 /S fini étale, on peut supposer que le G–torseur E est trivial. Mais la flèche H1 (S, NG (P)) → H1 (S, G) a un noyau trivial suivant 3.5, d’où la trivialité de F. 4. Le cas du schéma en groupes des automorphismes d’un schéma de Chevalley Soit R = (M, M∗ , R, R∗ ) une donnée radicielle épinglée (XXIII.1.5), i.e. munie d’un système de racines simples ∆ ⊂ R. On note G/ Spec(Z) = ÉpSpec(Z) (R) le schéma de Chevalley correspondant. Il est muni d’un sous– groupe de Borel B/Z contenant un tore maximal déployé T/Z de groupe des caractères M. On a une suite exacte (scindée) de Z-schémas en groupes p 1 −→ Ad(G) −→ Aut(G) −→ Autext(G) −→ 1 où Autext(G) est un groupe constant à engendrement fini (§ XXIV.3) de groupe abstrait sous-jacent noté Autext(G). La section h : Autext(G) → Aut(G) de cette suite exacte est définie en prenant la réciproque de ∼ l’isomorphisme ESpec(Z) −→ Autext(G) où ESpec(Z) désigne le schéma en groupes constant associé au groupe abstrait E ⊂ Aut(G)(Z) des Zautomorphismes qui préservent l’épinglage. 4.1. Normalisateurs des sous-groupes paraboliques. — Pour chaque partie I ⊂ ∆, on dispose du Z–groupe parabolique “standard” PI (XXVI.1.4 et ) de sorte que P∅ = B et P∆ = G. On définit le réseau MI = M/ ⊕r∈I Z.r /torsion et on note TI /Z son tore dual, c’est le tore maximal du noyau commun des α ∈ I. Suivant XXVI.1.12, LI := CentrG (TI ) est l’unique sous–groupe de Levi de PI qui contient T. On note UI = radu (PI ). Lemme 4.1. — Soient I, J ⊂ ∆. Soit S un schéma non vide. Alors les assertions suivantes sont équivalentes: 1. Il existe e ∈ E tel que J = e I. 2. les Z–sous–groupes Aut(G, PI ) et Aut(G, PJ ) de Aut(G) sont Aut(G)(Z)–conjugués; 3. les S–sous–groupes Aut(G, PI ) et Aut(G, PJ ) de Aut(G)S sont Aut(G)(S)–conjugués. 4. les S–sous–groupes Aut(G, PI ) et Aut(G, PJ ) de Aut(G)S sont localement Aut(G)S –conjugués pour la topologie fpqc. 16 PHILIPPE GILLE Démonstration. Les implications (1) =⇒ (2) =⇒ (3) =⇒ (4) sont triviales. On suppose (4). Il existe alors un point Spec(k) → S où k est un corps algébriquement clos tel que Aut(G, PI ) ×Z k et Aut(G, PJ ) ×Z k sont Aut(G)(k)–conjugués. Il existe donc un automorphisme f de G ×Z k tel que f (Aut(G, PI ) ×Z k) = Aut(G, PJ ) ×Z k. En prenant les composantes connexes, il vient f (PI ×Z k) = PJ ×Z k. Quitte à modifier f par un élément convenable de Ad(PI )(k), il est loisible de supposer que f préserve B ×Z k et T ×Z k. Suivant XXVI.2.1, f = e ad(t) avec e ∈ E et t ∈ T(k). Ainsi f (PI ) = Pe I = PJ et J = e I. Pour I ⊂ ∆, nous allons décrire suivant [Spr98, 16.3.9.(4)] le normalisateur AutI (G) := Aut(G, PI , LI ) de LI . Lemme 4.2. — On note EI ⊂ E le sous–groupe qui préserve I ⊂ ∆. Alors AutI (G) = LI /C(G) o EI,Spec(Z) et on a une suite exacte scindée de Z–groupes 1 −→ LI /C(G) −→ AutI (G) −→ AutextI (G) −→ 1, où AutextI (G) = p(EI,Spec(Z) ). En outre Aut(G, PI ) = UI o AutI (G). Démonstration. On étudie le morphisme fI : AutI (G) → Aut(G) → Autext(G). On a ker(fI ) = Gad ∩ Aut(G, PI , LI ) = NGad (PI /C(G), LI /C(G)) = . . . = NPI /C(G) (LI /C(G)) = LI /C(G). La seconde égalité provient de la correspondance entre sous–groupes paraboliques (resp. sous-groupes de Levi d’iceux) pour G et Gad (XXII.5.8.4); la troisième égalité provient de NPI /C(G) (PI /C(G)) = PI /C(G) (XXVI.1.2) et la dernière est XXVI.1.6.b. Par ailleurs, le morphisme fI est à valeurs dans EI et la section E → Aut(G) induit une section EI → AutI (G). 4.2. Décomposition de Witt-Tits. — En tenant compte du lemme 4.1, un cas particulier de 3.13 est donc le corollaire suivant. Corollaire 4.3. — On suppose que S = Spec(A) est non vide connexe semilocal. G G H1 (S, AutI (G))irr ∼ H1 (S, Aut(G, PI ))irr ∼ = = H1 (S, Aut(G)). [I]⊂∆/E [I]⊂∆/E SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 17 5. Le cas adjoint On suppose ici que G/ Spec(Z) adjoint. Alors Aut(G)/ Spec(Z) est affine et Autext(G)/ Spec(Z) est le schéma en groupes constant associé au groupe fini Aut(∆). Le théorème d’isotrivialité semi-locale XXIV.4.16 indique que dans la décomposition 4.3, les ensembles de cohomologie considérés ne contiennent que des classes isotriviales. Les racines simples induisent un isomorphisme (XXIV.3.13) ∼ T −→ (Gm )∆ . ∼ De plus, si I ⊂ ∆, cet isomorphisme induit TI −→ (Gm )∆\I . Suivant XII.4.1.6, on a Centr(LI ) = TI , en particulier, le quotient LI /TI est adjoint. On peut alors passer au quotient par le tore TI 1 / TI 1 o / TI 1 1 / LI / LI /TI /1 / Aut (G) I / Aut (G)/TI I / 1. AutextI (G) 1 ∼ / AutextI (G) 1 Lemme 5.1. — On suppose que Pic(S0 ) = 0 pour tout EI –revêtement S0 → S (e.g. S semi-local). L’application H1 (S, AutI (G)) → H1 (S, AutI (G)/TI ) est injective. Démonstration. Par l’argument habituel de torsion (comme dans la preuve de 3.5.2), on doit vérifier que l’application H1 (S, AutI (G)F ) −→ H1 S, (AutI (G)/TI )F a un noyau trivial pour tout AutI (G)-expace principal homogène F. Ce noyau 1 F est l’image de H1 (S, TF I ) dans H (S, AutI (G) ). Or le groupe fini AutextI agit sur TI = (Gm )∆\I Q en permutant les racines; ainsi TF I est un S–tore quasi– F trivial, i.e. TI = S0 /S Gm,S0 (XXIV.3.13) où S0 /S est un revêtement fini 1 0 étale de groupe EI . Alors H1 (S, TF I ) = H (S , Gm ) = 0 par hypothèse, d’où le résultat. 18 PHILIPPE GILLE Ainsi l’ensemble H1 (S, AutI (G)) s’identifie à un sous–ensemble de H1 (S, AutI (G)/TI ). On considère la flèche naturelle AutI (G)/TI → Aut(LI,ad ) et on s’intéresse au composé H1 (S, AutI (G)) −→ H1 (S, AutI (G)/TI ) −→ H1 (S, Aut(LI,ad )) qui s’insère dans le diagramme suivant H1 (S, AutI (G)) / H1 (S, Aut(LI,ad )) H1 (S, Aut(G)) Dans le cas S est semi-local connexe, si on se donne un S–torseur F sous AutI (G) qui est irréductible, alors le S-schéma en groupes LF I,ad est appelé le F noyau anisotrope du schéma en groupes G . Une question naturelle est de savoir si ce noyau anisotrope détermine GF . Au vu du lemme 5.1, c’est le cas lorsque le morphisme AutI (G)/TI → Aut(LI,ad ) est un isomorphisme. (5) Dans le cas général, une réponse précise à cette question ne nous semble pas connue, voir toutefois [PS11, § 4] pour une version orientée qui généralise le cas des corps dû à Tits [Ti66a]. 6. Invariants cohomologiques des groupes semi-simples Selon XXIV.1, la classification des schémas en groupes semi-simples sur une base S se réduit essentiellement à celle des schémas en groupes semi-simples adjoints (ou de façon équivalente simplement connexe). En d’autres mots, cela passe par l’ensemble pointé H1 (S, Aut(G)). oú G/S est toujours supposé déployé épinglé et adjoint. On associe à une S-forme G0 de G la classe du S-torseur Isom(G0 , G). 6.1. Une décomposition. — Si S0 /S est un revêtement galoisien de groupe E, le théorème XXIV.3.11 associe le schéma en groupes quasi–épinglé qép(S0 )/S qui est le tordu de G par S0 /S suivant l’action E → Aut(G). Notons que 0 ∼ Aut(qép(S0 )) = qép(S0 ) o ES /S −→ qép(S0 )oAutext(qép(S0 )). On définit alors la flèche 1 0 1 0 H (S, qép(S )) −→ H (S, Aut(qép(S ))) (5) τIsom(Aut(qép(S0 ))) ∼ −→ H1 (S, Aut(G)) Ce morphisme n’est en général ni un monomorphisme, ni surjectif. SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 19 où τ désigne la bijection de torsion [Gir70, III.2.6]. De plus, le groupe Autext(qép(S0 ))(S) agit sur H1 (S, qép(S0 )), [Gir70, III.3.3]. Par application du lemme 2.3, on obtient la décomposition suivante. Proposition 6.1. — Les flèches précédentes induisent une bijection G ∼ H1 (S, qép(S0 ))/ Autext(qép(S0 ))(S) −→ H1 (S, Aut(G)) S0 /S où S0 /S parcourt les classes d’isomorphie de revêtements galoisiens de groupe E. Le premier invariant des S-formes de G est donc défini par l’application p∗ H1 (S, Aut(G)) −→ H1 (S, Autext(G)). En termes de torseurs, elle applique une S–forme G0 sur Isomext(G0 , G). Puisque Autext(G) = Aut(∆), cet invariant est aussi donné par le schéma ∼ de Dynkin Dyn(G0 )/S de G0 , qui est alors un ES −→ Autext(G)–torseur sur S, voir XXIV.3. On considère maintenant le Aut(G)-torseur h∗ Dyn(G0 ) dont la forme tordue correspondante est notée 0 G0q,ép /S := h∗ Isom(G ,G) G/S. Sa classe d’isomorphisme ne dépend pas bien sur du choix de l’épinglage pris sur G. Comme dans le cas des corps (voir [KMRT98, Prop. 31.6]), nous avons le fait suivant dont la démonstration est semblable. Lemme 6.2. — On note F0 = Isom(G0q,ép , G0 ). Alors le Aut(G0 )–espace principal homogène F0 admet une réduction à G0 . En d’autres mots, il existe un 0 0 ∼ G0 -torseur D0 /S tel que Gq,ép −→ GF = Gint(D ) /S. De plus, la classe de [D0 ] constitue la fibre de l’application int∗ : H1 (S, G0 ) −→ H1 (S, Aut(G0 )) en [Gq,ép ]. Démonstration. On a vu que le Aut(G0q,ép )-espace homogène Isom(G0 , G0q,ép ) admet une réduction à G0q,ép . En considérant les torseurs opposés, on obtient que le Aut(G0 )–espace principal homogène F0 admet une réduction à G0 et on note D0 /S une telle réduction. La fibre de H1 (S, Aut(G0 )) → H1 (S, Autext(G0 )) en [F0 ] est décrite par la torsion [Gir70, III.3.3.4] 20 PHILIPPE GILLE H1 (S, G0 ) int∗ / H1 (S, Aut(G0 )) O p∗ / H1 (S, Autext(G0 )) O τD 0 o 0 H1 (S, G0 D ) O o τ F0 o / H1 (S, Aut(G0 )D0 ) O / H1 (S, Autext(G0 F0 )) O o H1 (S, G0q,ép ) o / H1 (S, Aut(G0 )) q,ép H1 (S, Autext(G0q,ép )) c’est-à-dire ∼ 0 ker H1 (S, G0q,ép ) −→ H1 (S, Aut(G0q,ép )) −→ p−1 ∗ ([F ]). Vu que Aut(G0q,ép ) = qép(G0q,ép ) o Autext(G0q,ép ) il suit que H0 (S, Aut(G0q,ép )) −→ H0 (S, Autext(G0q,ép )) est surjective. Ainsi ker H1 (S, G0q,ép ) → H1 (S, Aut(G0q,ép )) = {1}, ce qui achève la démonstration. 6.2. Classe de Tits. — On note alors νG0 = [D0 ] ∈ H1 (S, G0 ) cette classe remarquable. Ceci donne lieu à la classe de Tits de G0 . On considère la suite exacte de S–schémas en groupes e 0 −→ G0 −→ 1 1 −→ µ0 −→ G e 0 désigne le revêtement universel de G0 . Par construction, cette suite où G q,ép e → G → 1 par le Aut(G)–torseur Isom(G0 , G). En est la tordue de 1 → µ → G particulier, µ0 est un S–schéma en groupes de type multiplicatif isotrivial. On considère le bord de cohomologie plate [Gir70, IV.4.2] ∂G0 : H1 (S, G) = H1f ppf (S, G) −→ H2f ppf (S0 , µ0 ). La classe de Tits de G0 est définie par la formule suivante tG0 = −δ(νG0 ) ∈ H2f ppf (S, µ0 ). C’est le second invariant cohomologique de G0 , notons que µ0 dépend seulement du schéma de Dynkin de G0 . On considère maintenant le G0q,ép –torseur opposé 0 0 ∼ D0 op /S à D0 /S. Puisque Gq,ép −→ GF = Gint(D ) /S, on a int(D0 op ) Gq,ép = G/S, Suivant la compatibilité du bord avec la bijection de torsion τD0 [Gir70, IV.4.2] SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES H1 (S, G0 ) ∂G0 21 / H2 (S, µ0 ) f ppf o ? − ∂G0 ([D0 ]) o τD 0 H1 (S, G0q,ép ) ∂G0 / H2 (S, µ0 ), f ppf on tire que op op ∂G0q,ép ([D0 ]) = 0 + ∂G0q,ép ([D0 ]) = −∂G0 ([D0 ]) = tG0 . Sous une hypothèse d’annulation cohomologique, les deux invariants permettent de classifiser les schémas en groupes. e 0 ) = 1. Proposition 6.3. — Supposons que H1 (S, G 1. Le bord H1 (S, G0 ) → H2f ppf (S, µ0 ) a un noyau trivial. 2. Soit L/S un G0ad -torseur et posons G00 = G0 L . Alors µG0 = µG00 et G0 et G00 sont isomorphes si et seulement si tG0 = tG00 . Démonstration. (1) C’est une conséquence immédiate de la suite exacte d’ensembles pointés [Gir70, § IV.4] ϕ 0 G e 0 (S) −→ G0 (S) −→ ... 1 −→ µ0 (S) −→ G ∂G0 e 0 ) −→ H1 (S, G0 ) −→ H2f ppf (S, µ0 ). H1f ppf (S, µ0 ) −→ H1f ppf (S0 , G f ppf 0 00 L 0D 00 0 G (2) On a GL = (G0 D q,ép ) = G q,ép où D = D ∧ L. Par hypothèse, tG = tGL , c’est-à-dire δG0q,ép ([D0 ]) = δG0q,ép ([D00 ]) ∈ H2f ppf (S, µ0 ). La compatibilité ci-dessus indique que 0 = δG0 ([L]) ∈ H2f ppf (S, µ0 ), d’où [L] ∈ ker H1 (S, G0 ) −→ H2f ppf (S, µ0 ) . Par 1), [L] = 1 ∈ H1 (S, G0 ) et on conclut que les schémas en groupes G0 et G00 sont S–isomorphes. 22 PHILIPPE GILLE 7. Cohomologie des schémas en groupes de Weyl Soit G/S est un schéma en groupes réductifs et T un S-tore maximal de G, on considère son groupe de Weyl WT = NG (T)/T. La cohomologie étale de H1 (S, WT ) intervient dans l’étude des tores de G à travers le composé (G/NG (T))(S) −→ H1 (S, NG (T)) −→ H1 (S, WT ) où la première application est l’application caractéristique et la seconde le changement de groupes de NG (T) à WT . Notons qu’il est loisible de travailler le cas échéant avec un groupe adjoint. L’étude de l’application ci-dessus pour un groupe déployé et un tore déployé pour un corps est déjà intéressant, voir [Gil04] et [Rag04]. On suppose que le schéma de base S est connexe et est muni d’un point géométrique s. On note (Ssc , ssc ) le revêtement universel de (S, s) [SGA1, § V.7]. Cette référence nécessite S d’être localement noethérien, le cas général se trouve dans le livre [Sz09, § 5.4]. Si WT /S est un groupe constant tordu ∼ et on a un isomorphisme H1 (π1 (S, s), WT (Ssc )) −→ H1 (S, WT ) pour un point base s. En d’autres mots, le calcul de la cohomologie se ramène à des calculs galoisiens que l’on va faire préalablement avec la théorie des immeubles de Tits. Comme dans le cas de la cohomologie de G, on obtient une expression agréable dans le cas quasi-déployé fondée sur l’indice de Tits dans ce cadre. 7.1. Indice de Tits. — Soit R = (M, R, M∗ , R∗ ) une donnée radicielle réduite que l’on voit comme une donnée radicielle constante sur S. Soit W son groupe de Weyl et Aut(R) son groupe d’automorphismes (XXI.6.7). Soit ∆ une base de R. Si I est une partie de ∆, on note WI le sous–groupe de W engendré par les réflexions sα pour α ∈ I. On dit qu’un sous-groupe de W est parabolique s’il est conjugué à un WI . On rappelle qu’une partie A de R est parabolique si elle est close et si R = A ∪ (−A) [Bou3, VI.1.7]. On sait qu’il existe alors w ∈ W tel que ∆ ⊂ wA. Le sous-ensemble ∆ ∩ −wA est indépendant du choix de w (loc. cit., prop. 21), on l’appelle le type de A. Si I est une partie de ∆, on note RI = R+ ∪ −[I] où I désigne les racines qui sont combinaisons linéaires à coefficients entiers d’éléments de I. Alors RI est une partie parabolique de R de type I et toute partie parabolique A de R est W–conjuguée à un unique RI . Si λ ∈ M∗ , l’ensemble n o R(λ) := α ∈ R | hλ, αi > 0 est une partie parabolique de R. En effet, on a R = R(λ) ∪ −R(λ), il est clos puisque stable par addition et satisfaisant N.R(λ) ∩ R ⊂ R(λ) (XXI.3.1.3). En SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 23 outre, il est bien connu que les R(λ) pour λ parcourant M∗ fournissent tous les sous-ensembles paraboliques de R [LN04, 11.1]. Soit R 0 = (M0 , R0 , M0 ∗ , R0 ∗ ) une donnée radicielle localement isomorphe à R pour la topologie fpqc. On lui associe son diagramme de Dynkin Dyn(R 0 ) par le même procédé que celui définissant le diagramme de Dynkin d’un schéma en groupes réductifs (XXII.3). Par descente, on a alors un isomorphisme ∼ Isom(R, R 0 ) ∧Aut(R) Dyn(R) −→ Dyn(R 0 ). On dit qu’un sous-faisceau fpqc Q de R0 est parabolique si il est localement isomorphe à une partie parabolique de R. On note Par(R 0 ) le schéma fini des sous–faiceaux paraboliques de R0 . De même que pour définir le type des sous–schémas en groupes paraboliques d’un groupe réductif (XVI. 3.2), on dispose d’un morphisme t : Par(R 0 ) −→ Dyn(R 0 ). Proposition 7.1. — On suppose que S est connexe. Alors les sous-faisceaux paraboliques minimaux de R0 ont même type dans Dyn(R 0 )(S). Ce fait est démontré au § 7.5 et permet de définir l’indice de Tits ∆0 (R 0 ) ⊂ Dyn(R 0 )(S) comme le type d’un sous-faisceau parabolique minimal de Dyn(R 0 ). Soit G/S est un schéma en groupes réductifs muni d’un S–tore maximal T. On considère la donnée radicielle tordue Ψ(G, T) = ∗ b b (T, (T) , R(G, T), R∗ (G, T)) (XXII.1.9). on a a une correspondance n o sous–faisceaux paraboliques de R(G, T) < −− > n o S–sous–groupes paraboliques de G contenant T . Dans un sens on associe à un sous-faisceau parabolique A de R(G, T) l’unique S-groupe parabolique PA dont l’algèbre de Lie est localement pour fpqc Lie(G/S)A (XXVI.1.4); dans l’autre sens, on associe à un sous–groupe parabolique P contenant T le sous-faisceau de racines R(P, T). Cette correspondance commute au type suivant l’isomorphisme canonique Dyn(Ψ(G, T)) ∼ = Dyn(G). Etant donné un cocaractère λ : Gm → T, on note que le sous-faisceau R(G, T)(λ) correspond au schéma en groupes parabolique PG (λ), voir [Con12, § 5.2.6]. Proposition 7.2. — On suppose que S est semi-local connexe. Soit ∆0 (G) ⊂ Dyn(G)(S) l’indice de Tits de G/S, i.e. le type d’un S-sous– groupe parabolique minimal de G (XXVI.7). Soit T un sous-tore maximal de ∼ G et u : Dyn(Ψ(G, T)) −→ Dyn(G) l’isomorphisme canonique associé. (1) ∆0 (G) ⊂ u ∆0 (Ψ(G, T)) . 24 PHILIPPE GILLE (2) On a ∆0 (G) = ∆0 (Ψ(G, T)) si et seulement si Tdép est un S–tore maximal déployé de G. Soit A un sous S-faisceau parabolique de R(G, T) de type ∆0 (Ψ(G,T)). Alors le S-sous-groupe parabolique PA est de type u ∆0 (Ψ(G, T)) de Dyn(G)(S). Vu que ∆0 (G) est le type des S–sous-groupes paraboliques mini maux de G, il suit que ∆0 (G) ⊂ u ∆0 (Ψ(G, T)) . L’assertion (1) est donc établie. Pour (2), si ∆0 (G) = ∆0 (Ψ(G, T)), alors PA est un S–sous–groupe parabolique minimal de G. Notant L le sous–groupe de Levi contenant T, on sait que L = Centr(Tdép ) et que la minimalité de PA entraı̂ne la maximalité de Tdép parmi les sous-tores déployés de G (XXVI.6.8 et 6.16). Réciproquement, on suppose que Tdép est un tore maximal déployé de G. On sait alors que L = Centr(Tdép ) est le sous–groupe de Levi d’un sousgroupe parabolique minimal P de G. Par suite R(P, T) est un sous-faisceau parabolique de R(G, T) de type u−1 (∆0 (G)). Par définition de ∆0 (Ψ(G, T)), 0 −1 0 0 on a ∆ (Ψ(G, T)) ⊂ u (∆ (G)), d’où u ∆ (Ψ(G, T)) ⊂ ∆0 (G). En tenant 0 compte de (1), on conclut que u ∆ (Ψ(G, T)) = ∆0 (G). 7.2. Calculs galoisiens. — 7.2.1. Immeuble d’une donnée radicielle réduite. — On pose V = M⊗Z Q. On note Rsc = (Msc , R, M∗sc , R∗ ) la donnée radicielle simplement connexe associée (XXI.6.5), on a un morphisme de données radicielles u : R → Rsc . Alors Vsc = Msc ⊗Z Q est un quotient de V. Chaque racine α ∈ R définit l’hyperplan Hα = ker(α) de V∗ et on note Σ le complexe cellulaire de Coxeter défini par l’arrangement d’hyperplans (Hα )α∈R . ∼ On a un isomorphisme Σ −→ Σsc qui nous permet de nous ramener le cas échéant au cas d’une donnée radicielle semi-simple. Si F est une telle cellule (ou facette), on note Supp(F) son support. Rappelons que \ Supp(F) = Hα α(F)=0 pour α parcourant R; c’est aussi le sous-espace vectoriel de V∗ engendré par F. On rappelle qu’il y a une correspondance bijective [LN04, prop. 15.9] n o n o Parties paraboliques de R < −− > Facettes de V∗ . Dans un sens, on associe à une partie parabolique A ⊂ R la facette FA qui est l’intérieur du cône dual n o D∗ (A) = φ ∈ V∗ | hφ, αi > 0 ∀ α ∈ A . SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 25 Dans l’autre sens, on associe à une facette F la partie parabolique n o R(F) = α ∈ R | hφ, αi > 0 ∀ φ ∈ F . Cette correspondance permet de définir le type d’une facette. On note FI = F(RI ); on a \ \ αi −1 (Q>0 ). FI = Hαi ∩ i∈I Il suit que Supp(FI ) = T i∈∆\I Hα et on sait α∈I FixW (FI ) = StabW (FI ) = WI où WI est le sous–groupe de W engendré par les n sα pour α parcourant I. De o plus, sait que NW (WI ) = WI o WI où WI = w ∈ W | w.α = α∀ α ∈ I [Lu76, § 5.1] ou [Ho80] . Toute facette F de Σ est W–conjuguée à une unique facette FJ pour un unique J ⊂ ∆ qui le type de F. On note C = F∅ la chambre de Weyl de V∗ associée à ∆. On rappelle que Aut(R) = W o Aut(R, ∆). On considère un groupe intermédiaire c ⊂ Aut(R), il s’écrit W c = W o E où E ⊂ Aut(R, ∆). W⊂W Les sous–groupes paraboliques de W étant les stabilisateurs des facettes, on étend cette définition de cette façon la définition des sous-groupes paraboliques c On pose W cI = Stabc (FI ), on l’appelle le sous-groupe parabolique à W. W c attaché à I. Le lemme suivant est une variante de [Spr98, standard de W 16.3.9.4]. Lemme 7.3. — (1) Aut(R, ∆, I) = Aut(R, ∆, FI ). cI = WI o (E ∩ Aut(R, ∆, I)). (2) W Démonstration: (1) On a Aut(R, ∆, I) ⊂ Aut(R, ∆, FI ). Réciproquement si h ∈ Aut(R, ∆, FI ), alors h(FI ) = Fh(I) = FI . Or h(I) ⊂ ∆, d’où h(I) = I par définition des FJ . c = Aut(R). On a WI o Aut(R, ∆, I) ⊂ W cI . (2) Il suffit de traiter le cas W c Réciproquement, étant donné g ∈ WI , g(C) est une chambre. Par suite g(C) = w(C) pour un unique w ∈ W. Puisque w(C) contient FI , on a w ∈ WI et gw−1 ∈ Aut(R, ∆). Mais Aut(R, ∆, FI ) = Aut(R, ∆, I) d’après (1), il résulte que g ∈ WI o Aut(R, ∆, I). Lemme 7.4. — Soit I une partie de ∆. cI ) = Nc (WI ) = Stabc (Supp(FI )). (1) Nc (W W W W 26 PHILIPPE GILLE n o cI = h ∈ W c | h(α) = α ∀ α ∈ I . Alors (2) On pose W cI = Nc (WI ) = Nc (W cI ). WI o W W W Le groupe StabW c (Supp(FI )) normalise FixW c (Supp(FI )) et donc aussi WI = FixW (Supp(FI )). Ceci montre que StabW c (Supp(FI )) ⊂ NW c (WI ). Inverse−1 = hFix (Supp(F ))h−1 = ment, si h ∈ StabW (Supp(F )), on a hW h I I W I c FixW (h. Supp(FI )) = WI , donc h ∈ NW Ensuite, on va montrer c (WI ). c l’inclusion évidente NW c (WI ) ⊂ NW c (WI ) = StabW c (Supp(FI )) est une égalité. −1 Etant donné h ∈ StabW = hFixW (Supp(FI ))h−1 = c (Supp(FI )), on a hWI h FixW (h. Supp(FI )) = WI , donc h ∈ NW c (WI ). cI = 1 et Pour le second point, on observe en premier lieu que WI ∩ W c que l’inclusion WI o WI ⊂ NW c (WI ) est évidente. Réciproquement, soit h ∈ NW (W ). Alors h normalise Supp(F I I ) et le système de racines R ∩ Supp(FI ) c dont I est une base et dont le groupe de Weyl est WI . Alors h(I) est une base donc il existe un unique w ∈ WI tel que h(α) = w(α) tout α ∈ I. Ainsi cI . On a établi que WI o W cI = Nc (WI ). h = ww−1 h avec w−1 h ∈ W W Lemme 7.5. — Soient A, B des facettes de Σ. Alors les assertions suivantes sont équivalentes: (a) Aut(R, A) = Aut(R, B); (b) WA = WB ; (c) Supp(A) = Supp(B). Pour (1), l’implication (a) =⇒ (b) est évidente. Pour montrer (b) =⇒ (c), on utilise la projection D = projA (B) de A sur B [Ti74, 2.30]; elle contient A dans son adhérence. De plus, WA ∩ WB = WD (ibid, prop. 12.5) d’où WD = WA = WB avec notre hypothèse. Or A = projA (B) équivaut à Supp(B) ⊂ Supp(A) [AB08, 1.41.(1)]. De même, Supp(A) ⊂ Supp(B), d’où l’on conclut que Supp(B) = Supp(A). Montrons (c) =⇒ (a). Sans perte de généralité, on peut supposer que A = FI de stabilisateur Aut(R, FI ) = WI o Aut(R, ∆, I). Vu que WI = FixW (Supp(FI )) = FixW (Supp(FI )) ⊂ FixW (B), on est ramené à montrer que Aut(R, ∆, I) stabilise B. Or la facette B ⊂ V∗ est définie par des équations α(ϕ) = 0 ∀ α ∈ I et α α(ϕ) > 0 ∀ α ∈ ∆ \ I, où les α sont des signes. Un élément de Aut(R, ∆, I) préserve ces équations, donc préserve B. Cette méthode permet d’établir aussi le fait suivant (??). SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 27 7.3. Données radicielles tordues. — Soit Γ un groupe fini. Soit c un morphisme de groupes (ou autrement dit une action de Γ sur f :Γ→W c ⊂ Aut(R)). Une telle donnée est appelée (M, R, M∗ , R∗ ) factorisant par W une donnée radicielle tordue. On note Wf , Rf , Σf , etc.. pour distinguer ces objets de ceux avec action triviale; le groupe Wf est alors un Γ–groupe. On cf est parabolique s’il est le stabilisateur dans W c dit qu’un sous-groupe de W d’une partie parabolique de R préservée par l’action f . Etant donné une partie I ⊂ ∆, on dit que f est I–réductible si R admet une partie parabolique A de type I qui est Γf -stable. On dit que f est réductible si il existe une partie I propre de ∆ tel que f est I–réductible. Lemme 7.6. — (1) Soit I une partie de R. (a) f est I–réductible; (b) ΣΓf contient une facette de type I. (2) Les assertions suivantes sont équivalentes: (c) f est réductible; (d) ΣΓf 6= {0}. Démonstration. (1) a) =⇒ b) : Il existe une partie parabolique A de R qui Γf –stable et de type I. Alors la facette F(A) est aussi Γf –stable est de type I. b) =⇒ a) : Etant donné une facette F stable par Γf , alors la partie parabolique R(F) de R est Γf –stable et de type I, c’est-à-dire f est I-réductible; (2) Chaque assertion s’obtient du (1) en ajoutant le quantificateur “il existe une partie propre I de ∆ telle que”. Lemme 7.7. — (1) Toutes les facettes de Σf Γ–invariantes et maximales pour cette propriété ont même support, même dimension et même stabilisateur dans Aut(R). (2) Soient A, B des facettes de Σf Γ–invariantes. On suppose A maximale pour cette propriété. Si WA = WB , alors B est aussi maximale. Démonstration. On peut supposer que R est semi-simple pour la démonstration. (1) Soient A, B des facettes de ΣΓf maximales. On considère la projection D = projA (B) [Ti74, 2.30] de A sur B, elle appartient à ΣΓf et contient A dans son adhérence, donc A = projA (B) par maximalité de A. Or A = projA (B) équivaut à Supp(B) ⊂ Supp(A) [AB08, 1.41.(1)]. Par symétrie, il vient Supp(A) = Supp(B). Ainsi A et B ont même dimension et le lemme 7.5 montre que Aut(R, A) = Aut(R, B). 28 PHILIPPE GILLE (2) Le lemme 7.5 montre que Supp(A) = Supp(B). Le (1) permet de conclure que B est maximale dans ΣΓf . Le lemme 7.7.(1) associe donc à l’action f un sous–groupe parabolique P(f ) b ) de W cf ) qui est le stabilisateur d’une facette maximale de ΣΓ de Wf (resp. P(f f et aussi le stabilisateur de ΣΓf dans Σf . Cet invariant satisfait la compatibilité b f h−1 ) = h P(f b ) h−1 ) pour tout suivante P(h f h−1 ) = h P(f ) h−1 (resp. P(h c h ∈ W. Remarque 7.8. — L’analogie avec l’immeuble sphérique d’un groupe réductif est dangereuse ici. En effet, si le stabilisateur d’une facette de ΣΓf donne cf , il n’est pas vrai en général que les lieu à un sous–groupe parabolique de W c stables par f proviennent tous de cette façon. sous-groupes paraboliques de W Donnons l’exemple de la donnée radicielle de PGL4 de groupe de Weyl W = S4 où l’on considère l’action de Γ = Z/4Z donnée par la conjugaison par le cycle (1324). Alors ΣΓf = 0, c’est-à-dire l’action est irréductible mais S2 × S2 est un parabolique de S4 qui est préservé par l’action. c (pour l’action f ) on dispose de l’action Etant donné un 1-cocycle z : Γ → W tordue par z, (z f )(γ).v = zγ . fγ (v) ; cela définit la donnée radicielle tordue associé à z f . b f est un sous-groupe parabolique de W cf . On définit le sous-ensemble Soit P b f )irr ⊂ H1 (Γ, P b f ) consistant en des classes de cohomologie irréductibles H1 (Γ, P les classes n’admettant pas de réduction à un sous–groupe parabolique propre bf . de P c Lemme 7.9. — Soit [z] ∈ H1 (Γ, W). (1) Les conditions suivantes sont équivalentes: bf , (a) [z] admet une réduction à P (b) L’action z f stabilise une partie parabolique de R de même type que R(F). b z f ) de W c est W–conjugué à un sous-groupe (c) le sous-groupe parabolique P( bf . parabolique de P b z f ) de W c est W–conjugué c (d) le sous-groupe parabolique P( à un sous-groupe b parabolique de Pf . (2) Les conditions suivantes sont équivalentes: b f )irr → H1 (Γ, W cf ), (a’) [z] appartient à l’image de H1 (Γ, P b z f ) de Wf est (b’) le sous-groupe parabolique P( b z f ) de W cf est (c’) le sous-groupe parabolique P( c bf . W–conjugué à P c bf . W–conjugué à P SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 29 (d’) L’action z f stabilise une partie parabolique de même type que R(F) et celui-ci est minimal parmi les parties paraboliques Γz f -stables de R. b f = Stabc (F) = Démonstration. Il existe une facette F de ΣΓf telle que P W StabW c (RF ). b ) agit sur R(F), on peut alors tordre R(F) par z. (1) a) =⇒ b) : Vu que P(f Cela produit une partie parabolique de R stabilisée par z f et de même type que R(F). b) =⇒ c) : On se donne une partie parabolique A stabilisée par z f et de même type que R(F). Il existe w ∈ W tel que A = w(R(F)). Alors z f a valeurs dans −1 = w P c b f w−1 . Il suit que P( b z f ) ⊂ wP b f w−1 . StabW c (A) = w Stab W(RF )w c) =⇒ d) : évident. d) =⇒ a) : Commençons par le cas particulier où z est à valeurs dans b f = Stab(F). Alors la facette F est stabilisée par z f , d’où P( b zf ) ⊂ P bf . P 0 Dans le cas général, il existe un 1–cocycle z cohomologue à z zγ0 = h−1 zγ fγ hfγ−1 b f où h ∈ W. c Alors z 0 f = h−1 z f h, d’où P( b z f ) = h P( b z 0 f ) h−1 . à valeurs dans P b z f ) contient h P b f h−1 par le premier cas. Ainsi P( (2) Cela correspond au cas d’égalité dans (1). 7.4. Indice de Tits. — On définit l’indice de Tits ∆0 (f ) ⊂ ∆ de f comme le type d’une facette Γ–invariante de Σf ou de façon équivalente comme le type d’une partie parabolique invariante par Γf de R et minimal pour cette propriété. c on a ∆0 (hf h−1 ) = h∗ ∆0 (f ). En particulier, vu que Pour tout h ∈ W, 0 ∆ (f ) ne dépend que de l’image de f , on note que ∆0 (f ) est stabilisé par NAut(R) Im(Γ → Aut(R) . On peut donner aussi une formulation relative intrinsèque, c’est-à-dire définir pour une donnée radicielle tordue R 0 son indice de Tits comme la partie ∆0 (R 0 ) ⊂ H0 (Γ, Dyn(R 0 )) où Dyn(R 0 ) désigne le tordu de Dyn(R) par le Autext(R)-torseur Isomext(R, R 0 ). ∼ Dans ce but, on se donne un isomorphisme ϕ : R −→ R 0 et on considère le cocycle associé zγ = ϕ−1 γ ϕ = γR ϕ−1 γR 0 ϕ γR de Γ à valeurs dans Aut(R). ∼ ∼ L’isomorphisme ϕ : R −→ R 0 produit un isomorphisme ϕ∗ : Dyn(R) −→ Dyn(R 0 ) et on pose ∆0 (R 0 ) = ϕ∗ (∆0 (z)) ⊂ H0 (Γ, Dyn(R 0 )). Cette expression ne dépend pas du choix de la trivialisation ϕ. 30 PHILIPPE GILLE 7.5. Démonstration de la proposition 7.1. — On rappelle que l’on suppose ici schéma de base S est connexe et est muni d’un point géométrique s. Quitte à remplacer R par Rsc , il est loisible de supposer R semi-simple. Le groupe Aut(R) est un groupe fini et la forme tordue R 0 de R est une forme isotriviale de R. En d’autres mots, cela permet de supposer que R 0 est le tordu de R par un homomorphisme f : Γ → Aut(R)(S). Par descente galoisienne, les sous-faisceaux paraboliques de R0 correspondent aux parties paraboliques de R stables par l’action de Γf . Ainsi la sous-section précédente montre l’unicité du type des sous-faisceaux paraboliques minimaux de R0 . 7.6. Décompositions de Tits. — On commence par le cas de l’action ∼ c W c −→ c triviale où Hom(Γ, W)/ H1 (Γ, W). c un homomorphisme. Alors u est Lemme 7.10. — (1) Soit u : Γ → W c irr . irréductible si et seulement si [u] ∈ H1 (Γ, W) cI , ..., W cI un ensemble de représentants des classes de W– c (2) Soient W 1 l c Alors on a la décomposition conjugaison de sous–groupes paraboliques de W. G ∼ cI )/N b I −→ c Homirr (Γ, W H1 (Γ, W). j j j=1,...,l b I = Nc (W cI ). où N W b I est décrite au § 7.4. La structure des groupes N b c ce qui est Démonstration. (1) Par définition, u est irréductible ssi P(u) = W, 1 c équivalent à [u] ∈ H (Γ, W)irr suivant le lemme 7.9.(2). c On note F une facette (2) Montrons d’abord la surjectivité. Soit u : Γ → W. Γ maximale de Σu . Alors F = w.FI pour w ∈ W et un unique ensemble I ⊂ ∆. Quitte à remplacer u par son conjugué par w−1 , on peut supposer que FI est cI , donc u est à valeurs une facette maximale ΣΓu . En particulier, Im(u) ⊂ W cI . Il existe un unique indice j tel que W cI soit W–conjugué c cI , i.e. dans W à W j −1 0 −1 c c c c WI = hWIj h pour h ∈ W. Ainsi u = h u h est à valeurs dans WIj . En outre, h−1 .FI et FIj et sont des facettes de ΣΓu0 ayant même stabilisateur dans c et a fortiori dans W. Le lemme 7.7.(2) appliqué aux facettes A = h−1 .FI W et B = FIj montre que FIj est une facette maximale de ΣΓu0 . La maximalité de cI . Ceci montre la surjectivité. FIj entraı̂ne l’irréductibilité de u0 : Γ → W j L’indice Ij précédent est unique, ceci établit que les images des cI )irr → H1 (Γ, W) c sont disjointes. Pour l’injectivité, il reste donc Homirr (Γ, W c b I → H1 (Γ, W) c est injective pour j = 1, ..., l. à voir que Homirr (Γ, WIj )/N j cI ) tels que u = h v h−1 pour h ∈ W. c Alors FI et Soient u, v ∈ Homirr (Γ, W j j SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 31 h.FIj sont des facettes de dimension maximale de ΣΓu . Le lemme 7.7.1 indique que cF = W ch.F = hW cF h−1 W Ij Ij Ij bI . donc h ∈ N j Proposition 7.11. — On suppose que f : Γ → Aut(R) est à valeurs dans Aut(R, ∆). (1) Si I ⊂ ∆ est stable par Im(f ), alors WI et WI le sont aussi et NWf (WI,f ) = WI,f o WI,f . (2) Soient I1 , ..., Il ⊂ S les parties stables de ∆ par Im(f ). Alors on a la décomposition G ∼ H1 (Γ, WIj ,f )irr /H0 (Γ, WIj ,f ) −→ H1 (Γ, Wf ). j=1,...,l Démonstration. Montrons la surjectivité de cette application. Soit z : Γ → Wf un 1–cocycle. Soit F une facette de Σ stable pour l’action tordue par z f et maximale pour cette propriété. On a zγ fγ ∈ Aut(R, F) pour tout γ ∈ Γ. Il existe une unique partie I de ∆ telle que F = wFI . On considère le 1–cocycle cohomologue zγ0 = w−1 zγ fγ w fγ−1 et on vérifie que (∗) zγ0 fγ (FI ) = w−1 zγ fγ w(FI ) = w−1 zγ fγ (F) = w−1 (F) = FI , c’est-à-dire zγ0 fγ ∈ Aut(R, FI ). Ainsi quitte à remplacer z par un cocycle cohomologue, on peut supposer que FI est une facette maximale de ΣΓz f . Nous affirmons alors que fγ ∈ Aut(R, I) pour tout γ ∈ Γ. En effet, puisque zγ ∈ W, la facette fγ (FI ) = Ffγ (I) est de même type que I et fγ (I) ⊂ R donc fγ (I) = I. Ainsi I est bien stable par Im(f ) et zγ ∈ WI,f pour tout γ ∈ Γ. La maximalité de FI entraı̂ne que le cocycle z : Γ → WI,f est irréductible. Ceci montre la surjectivité. L’indice I précédent est unique, ceci établit que les images des 1 H (Γ, WIj ,f )irr → H1 (Γ, Wf ) sont disjointes. Pour l’injectivité, il reste donc à voir que l’application H1 (Γ, WI,f )irr /H0 (Γ, WIj ,f ) → H1 (Γ, Wf ) est injective pour chaque partie I ⊂ ∆ stable par Im(f ). Soient z, t ∈ Z1 (Γ, WI,f )irr tels que (∗∗) tγ = w−1 zγ fγ w fγ−1 pour un certain w ∈ W. Le calcul (*) ci-dessus indique que w.FI est une facette de dimension maximale de ΣΓz f . Le lemme 7.7.1 montre que WFI = Ww.FI = wWFI w−1 , 32 PHILIPPE GILLE d’où w ∈ NW (WI ). On écrit w = w1−1 × w2 avec w1 ∈ WI , w2 ∈ WI . Quitte à remplacer t par le cocycle cohomologue t0γ = w1−1 tγ fγ w1 fγ−1 , il est loisible de supposer que w = w2 ∈ WI . On note w l’image de w dans le quotient NW (WI )/WI ⊂ Aut(R, FI )/WI , −1 l’identité (∗∗) devient 1 = w−1 f γ w f γ , d’où w ∈ H0 (Γ, NWf (WI,f )/WI,f ). Or WI,f ∼ = NWf (WI,f )/WI,f d’après (1) donc w2 ∈ H0 (Γ, WI,f ). Il résulte que [t] = [z].w2 . 7.7. Cohomologie des schémas en groupes de Weyl. — On suppose que le schéma de base S est connexe et est muni d’un point géométrique s. On note (Ssc , ssc ) le revêtement universel de (S, s). Soit R 0 une donné radicielle qui est une S–forme de R supposée isotriviale (ce qui est automatique si S est normal ou si R est semi-simple). Par descente étale on a une suite exacte 1 −→ W(R 0 ) −→ Aut(R 0 ) −→ Autext(R 0 ) −→ 1 c 0 ) de Aut(R 0 ) qui est constant et on considère un S–schéma en groupes W(R 0 tordu et contient W(R ). c 0 ) le stabilisateur d’un sous-faisceau On dit qu’un S–sous–groupe de W(R 0 parabolique de R(R ). Il faut prendre garde aux deux écueils suivants : (a) Il n’y a pas d’unicité d’un sous-faisceau parabolique A de R(R 0 ) tel que b = Stabc (A). P W c 0 ) n’est pas locale pour (b) La notion de sous–groupe parabolique de W(R la topologie étale comme le montre l’exemple galoisien de la remarque 7.8. b est un sous-groupe parabolique de W(R c 0 ), on dit qu’un P–torseur b Si P/S E est irréductible si E n’admet pas de réduction à un sous-groupe parabolique b On note alors H1 (S, P) b irr l’ensemble des classes de P–torseurs b propre de P. irréductibles. Nous allons vérifier que l’irréductibilité se traduit bien dans le cadre galoisien. Lemme 7.12. — Soit e S → S un revêtement fini galoisien de groupe Γ. Soit b e (zγ )γ∈Γ un 1–cocycle à valeurs dans P( S). Alors les conditions suivantes sont équivalentes: b irr ; (a) [z] ∈ H1 (S, P) b e (b) [z] ∈ H1 (Γ, P( S))irr au sens du § 7.2. Démonstration. (1) Il est clair que a) implique b). On raisonne par l’absurde b est réductible. Alors il existe un en supposant que la classe [z] ∈ H1 (S, P) SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 33 b de W(R c 0 ) tel que Q b $P b et tel que [z] admette une réduction parabolique Q b à Q, ce qui est équivalent à [Ser97, II.5.4] b Q) b (S) 6= ∅. (P/ z Par descente galoisienne, on a n o b Q) b (S) = x ∈ (P/ b Q)( b e (P/ S) | zγ . γ(x) = x ∀ γ ∈ Γ . z c 0 )×S e S est un S–groupe constant Par hypothèse e S déploie R 0 , de sorte que W(R b et Q. b Par suite, (P/ b Q)( b e b e b e et il en est de même de P S) = P( S)/Q( S), et b e b e en reportant ci-dessus, il vient z P( S)/Q( S)) 6= ∅, c’est-à-dire la classe b e b e [z] ∈ H1 (Γ, P( S)) admet une réduction à Q( S) (ibid), qui est bien un sous– 0 c e groupe parabolique de W(R )(S) au sens du § 7.2. 7.7.1. Le cas déployé. — On reprend les notations de la section 4 en considérant un schéma en groupes adjoint G/ Spec(Z) de Chevalley épinglé. On note W = NG (T)/T et A = Aut(G, T)/T, ce sont des schémas en groupes constants c un sous-groupe de A contenant W, c’est un groupe fini. finis. Soit W Proposition 7.13. — Soient AI1 , ..., AIl un ensemble de représentants des c c Alors on a la classes de W–conjugaison de sous–groupes paraboliques de W. décomposition G ∼ cI )/N b I −→ c Homct,irr (π1 (S, s), W H1 (S, W). j j j=1,...,l b I = Nc (W cI ). où N W Démonstration. Soit e S/S un revêtement galoisien (connexe). D’après le lemme c on a la décomposition 7.10 appliqué à W, G cI )/N bI Homirr (Gal(e S/S), W j j ∼ c −→ H1 (Gal(e S/S), W). j=1,...,l En prenant la limite sur tous les revêtements galoisiens de (S, s), le lemme 7.12 entraı̂ne que l’on a bien la décomposition souhaitée. 7.7.2. Le cas quasi-déployé. — On se donne un homomorphisme continu ∼ f : π1 (S, s) → E −→ Autext(G) et on note Gf le schéma en groupe quasidéployé associé, et Tf /S, Wf /S les tordus respectifs de T et W. On a Wf = NGf (Tf )/Tf , c’est-à-dire Wf /S est le schéma en groupe de Weyl du tore Tf . 34 PHILIPPE GILLE Proposition 7.14. — Soient I1 , ..., Il les parties de ∆ stables par Im(f ). Alors on a la décomposition ∼ G H1 (S, WIj ,f )irr /H0 (S, WIj ,f ) −→ H1 (S, Wf ). j=1,...,l Démonstration. La preuve est la même que celle de la proposition 7.13 à ceci près que l’on applique cette fois la proposition 7.11 et que le passage à limite se fait sur les revêtements galoisiens déployant le tore T. 8. Résolutions de schémas en groupes réductifs En pratique, on aime se ramener par dévissage à des suites exactes faisant intervenir des groupes de type mutiplicatifs remarquables (e.g. tores, tores quasi-triviaux) et des groupes semi-simples simplement connexes. Le but est de décrire ici trois types de présentations provenant du cas des corps et dus respectivement à Ono-Sansuc [Sa81, 1.10], Kottwitz [K82], et Colliot-Thélène [CT08]. 8.1. Quelques faits. — Rappelons d’abord que tout schéma en groupes semi-simples H admet un revêtement universel Hsc → H [Con12, exercice 6.5.3.i]; c’est une isogénie centrale.(6) Soit G/S un schéma en groupes réductifs. Alors on a deux suites exactes fondamentales 1 −→ DG −→ G −→ corad(G) −→ 1 et 1 −→ rad(G) −→ G −→ G/ rad(G) −→ 1 où DG est le groupe dérivé de G. Les schémas en groupes DG et G/ rad(G) sont semi-simples et le morphisme DG → G/ rad(G) est une isogénie centrale (XXII.6). Si G0 → G est une isogénie centrale de noyau µ, rappelons qu’il existe un diagramme commutatif exact (6) Rassurons le lecteur, la solution de l’exercice se trouve dans le § 1.2 de [Ha67]. SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 1 1 1 1 /µ / G0 /G /T T0 /H ∼ 35 /1 o /G /1 / T0 1 1 0 où T, T sont des S-tores et H un schéma en groupes réductifs [Ha67, Satz 1.2.1]. On dit qu’un S–tore T est quasi-trivial s’il existe un revêtement fini étale Q 0 Gm,S0 . On dit qu’un S–groupe réductif S /S de sorte que T est isomorphe à S0 /S H est quasi-trivial si DH est semi-simple et simplement connexe et si corad(H) est un S-tore quasi-trivial. 8.2. Résolutions spéciales. — On appelle isogénie spéciale une isogénie centrale G0 → G de S-groupes réductifs tel que G0 soit le produit d’un schéma en groupes semi-simples simplement connexes par un S-tore quasi-trivial. En particulier, DG0 est le revêtement universel de DG. Théorème 8.1. — On suppose que S est connexe et que le tore radical (ou coradical de façon équivalente) de G/S est isotrivial. Alors il existe un entier n > 1 et un S-tore quasi-trivial E1 tel que Gn ×S E1 admette une S-isogénie spéciale. De façon plus précise, il existe un S-tore E2 quasi-trivial et une isogénie centrale (DGsc )n × E2 −→ Gn × E1 . S S On note r le rang de T = rad(G) et e S/S un revêtement galoisien qui déploie T. On note Γ le groupe de Galois de e S/S, alors T est isomorphe au tordu de Grm par un homomorphisme f : Γ → GLr (Z). Ceci donner lieu à une représentation rationnelle de Γ notée fQ . Suivant un théorème de E. Artin [Ser98, § 8], on sait que le caractère de fQ est combinaison linéaire à coefficients rationnels de caractères induits par des caractères de sous-groupes cycliques. Ainsi il existe un entier n > 1 tel que M ∼ fQ ⊕ · · · fQ (n fois) ⊕i∈I IndΓCi (Vi ) −→ ⊕j∈J IndΓCj (Vj ) 36 PHILIPPE GILLE où les Ci (resp. Cj ) sont des sous-groupes cycliques de G et les Vi (resp. Vj ) des représentations rationnelles de Ci (resp. Cj ). Chaque Vi (resp. Vj ) étant stablement une représentation de permutation Ci (resp. Cj ), il suit que l’on peut supposer que les Vi et les Vj sont des représentations de permutation. Il suit que fQ⊕n est stablement une représentation de permutations, c’est-à-dire ∼ fQ⊕n ⊕P1,Q −→ P2,Q où Pi est Z[Γ]-module de permutation pour i = 1, 2. Ainsi b i est un S-tore quasi-trivial. Revenant au tore T, il suit que Tn ×S E1 Ei := P est isogène à E2 . En d’autres mots, il existe une isogénie h : E2 → Tn ×S E1 . Par ailleurs, on dispose de l’isogénie centrale (XXII.6.2.4) q DGsc × T −→ G. S Le composé q n ×id id×h (DGsc )n × E2 −→ (DGsc )n × Tn × E1 −→ Gn × E1 S S S S est l’isogénie centrale désirée. 8.3. z–extensions. — On dit qu’un morphisme f : G0 → G de S-groupes réductifs est une z-extension si f satisfait les conditions suivantes: (Z1) f est surjectif et ker(f ) est un S-tore quasi-trivial central dans G0 ; (Z2) DG0 est semi-simple simplement connexe. La seconde condition montre que DG0 est le revêtement universel de DG. Le fait suivant indique que les z-extensions peuvent être comparées entre elles. Lemme 8.2. — Soit G/S un schéma en groupes réductifs. Si q1 : H1 → G et q2 : H2 → G sont des z-extensions de G, alors H1 ×G H2 est une z-extension de G. En effet, si H = H1 ×G H2 , alors le noyau de H est ker(q1 ) ×G ker(q2 ); c’est un S tore quasi trivial. Le S-groupe DH1 ×S DH2 est le revêtement universel de DG ×S DG. Par suite, DH1 ×DG DH2 = DH1 ×G DH2 est le revêtement universel de DG. Or l’isogénie centrale DH → DG factorise par DH1 ×G DH2 d’où l’on conclut que le S-groupe semi-simple DH est simplement connexe. Théorème 8.3. — (issu de [Th11, § 2.2.1]) On suppose que S est connexe. Soit G/S un groupe réductif. Alors G/S admet une z-extension. On part de l’isogénie centrale q : DGsc ×S rad(G) → G. Alors ker(q) est un S-groupe multiplicatif fini, il est isotrivial. Par suite, ker(q) se plonge dans SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES 37 un S-tore quasi-trivial E. On pose H = DGsc ×S rad(G) ∧ker(q) E, on a le diagramme commutatif exact de S-groupes 1 1 1 1 / ker(q) / DGsc ×S rad(G) /G /H /E T 1 ∼ /1 o /G / 1. /T 1 En particulier, H est un S-groupe réductif et le morphisme DGsc ×S rad(G) → H induit un isomorphisme DGsc ∼ = H. On conclut que H → G est une zextension. 8.4. Résolutions flasques. — On dit qu’un S-tore T est flasque si pour toute composante connexe Z de S, il existe un revêtement galoisien fini Z0 → Z b ∗ (Z0 )) = 0 pour tout sous-groupe Γ déployant le tore T ×S Z tel que H1 (Γ, (T) 0 de Gal(Z /Z) [CTS87, § 1]. La définition est indépendante du choix d’une structure de sous-schéma fermé sur les composantes connexes de S. En outre, elle ne dépend pas du choix d’un revêtement galoisien trivialisant T ×S Z. On rappelle qu’un S-schéma en groupes G/S est quasi-trivial si DG est semi-simple simplement connexe et corad(G) est un S-tore quasi-trivial. Un morphisme f : G0 → G de S-groupes réductifs est une résolution flasque de G si G0 est quasi-trivial et ker(f ) est un S-tore flasque central dans G. Théorème 8.4. — (Gonzales-Aviles [GA11, § 3]) On suppose que S est connexe, localement noethérien et géométriquement unibranche. Soit G/S un schéma en groupes réductifs. Alors G admet une résolution flasque. Le cas des résolutions flasques de tores est antérieur [CTS87]. On dispose aussi d’un énoncé de comparaison des résolutions flasques sous les mêmes hypothèses [GA11, prop. 3.7]. Références [AB08] P. Abramenko, K.S. Brown, Buildings. Theory and applications, Graduate Texts in Mathematics 248 (2008), Springer. 38 [Bou3] PHILIPPE GILLE N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie (Ch. 4–6), Springer–Verlag, Berlin, 2006. [BT87] F. Bruhat, J. Tits, Groupes algébriques sur un corps local III. Compléments et application à la cohomologie galoisienne, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 34 (1987), 671–698. [BIBLE] C. Chevalley, Classification des groupes algébriques semi-simples (with Cartier, Grothendieck, Lazard), Collected Works, volume 3, Springer– Verlag, 2005. [CTS79] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, Fibrés quadratiques et composantes connexes réelles, Math. Annalen 244 (1979), 105-134. [CTS87] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, Principal homogeneous spaces under flasque tori: applications, J. Algebra 106 (1987), 148–205. [CT08] J.-L. Colliot-Thélène, Résolutions flasques des groupes linéaires connexes, J. reine angew. math. 618 (2008), 77–133. [Con11] B. Conrad, Finiteness theorems for algebraic groups over function fields, to appear in Compositio Math., 2011. [Con12] B. Conrad, Reductive group schemes, ce volume. [De09] C. Demarche, Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnels sur les espaces homogènes, thèse Orsay (2009). [DG70] M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques, Masson, Paris, 1970. [SGA3] M. Demazure, A. Grothendieck, Schémas en groupes I, II, III, Lecture Notes in Math 151, 152, 153, Springer-Verlag, New York (1970) et réédition : Documents Mathématiques 7, 8, Société Mathématique de France (2011). [GA11] C. Gonzales-Aviles, Flasque resolutions of reductive group schemes, prépublication (2011). [Gil04] P. Gille, Type des tores maximaux des groupes semi-simples, J. Ramanujan Math. Soc. 19 (2004), 213–230. [Gir70] J. Giraud, Cohomologie non abélienne, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 179 (1971), Springer-Verlag. [EGA] A. Grothendieck, Eléments de Géométrie Algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné, Publ. Math. IHES 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32, 1960–7. [SGA1] A. Grothendieck, Séminaire de géométrie algébrique I, LNM 224, Springer-Verlag, 1971, et réédition : Documents Mathématiques 3, Société Mathématique de France (2011). [Ha67] G. Harder, Halbeinfache Gruppenschemata über Dedekindringen, Invent. Math. 4 (1967), 165–191. [Ho80] R.B. Howlett, Normalizers of parabolic subgroups of reflection groups, J. London Math. Soc. 21 (1980), 62–80. [K82] R. E. Kottwitz, Rational conjugacy classes in reductive groups, Duke Math. J. Volume 49 (1982), 785–806. [KMRT98] M-A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J-P. Tignol, The book of involutions, AMS Colloq. Publ. 44, Providence, 1998. SUR LA CLASSIFICATION DES SCHÉMAS EN GROUPES SEMI-SIMPLES [LN04] [Lu76] [PS11] [Rag04] [Sa81] [Ser97] [Ser98] [Spr98] [Sz09] [Th11] [Ti66a] [Ti74] 39 O. Loos, E. Neher Locally finite root systems, Memoir of the AMS 811 (2004), AMS. G. Lusztig, Coxeter orbits and eigenspaces of Frobenius, Inventiones math 38 (1976), 101–159. V. Petrov, A. Stavrova, The Tits indices over semilocal rings, Transform. Groups 16 no. 1 (2011), 193–217. M.S. Raghunathan, Tori in quasi-split-groups, J. Ramanujan Math. Soc. 19 (2004), 281–287. J.-J. Sansuc, Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. reine angew. Math. 327 (1981), 12–80. J-P. Serre, Cohomologie galoisienne, cinquième édition, Springer-Verlag, New York, 1997. J-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, cinquième édition, Hermann, 1998. T. A. Springer, Linear algebraic groups (2nd ed.), Birkhäuser, New York, 1998. T. Szamuely, Galois groups and fundamental groups, Studies in advanced math. 117 (2009), Cambridge University Press. Nguyêe n Quôć Thǎńg, Equivalent conditions for (weak) corestriction principle for non-abelian étale cohomology of group schemes, Vietnam J. Math. 38 (2010), 89–116. J. Tits, Classification of algebraic semisimple groups in Algebraic groups and discontinuous groups, Proc. Symp. Pure Math.,vol. 9, AMS, 1966. J. Tits, Buildings of spherical type and finite BN-pairs, Lecture Notes in Mathematics 386 (1974), Springer-Verlag. 29 mars 2012 Philippe Gille, UMR 8553 du CNRS, École Normale Supérieure, 45 rue d’Ulm, 75005 Paris, France. • E-mail : [email protected]