Devoir Surveillé n 2 I Cône de Mach

DS n◦01 PCSI – 2013/2014
Devoir Surveillé n◦2
Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs réponses avec clarté et rigueur, rédiger avec soin dans un fran-
çais correct et reporter dans la marge les numéros des questions traitées. Les résultats seront encadrés.
Aucun document n’est autorisé. Il est conseillé de prendre rapidement connaissance de la totalité du
sujet avant de commencer. Le sujet est composé de 5 pages et de 4 exercices indépendants. On laissera
la première page vide pour les commentaires.
I Cône de Mach
1. L’air est composé en première approximation de 20% de dioxygène et de 80% de diazote. La masse molaire de
l’oxygène est 16 g.mol−1et la masse molaire de l’azote est 14 g.mol−1. Quelle est la masse molaire moyenne de
l’air ?
2. La célérité du son dans un gaz parfait dépend de la température T, de la masse molaire Met de la constante R
des gaz parfaits. Proposer, par analyse dimensionnelle, une relation donnant la vitesse du son dans le gaz. On
écrira la célérité du son sous la forme c= TaMbRdoù l’on précisera la valeur numérique des trois exposants a, b
et d(on utilisera la loi des gaz parfaits : PV = nRT avec nla quantité de matière).
3. En fait, dans la relation de la célérité du son, on doit multiplier la constante Rpar le coefficient numérique
1,4. Calculer la célérité du son en km.h−1pour de l’air à une température de −20 ◦C. On rappelle que
R = 8,31 J.K−1.mol−1.
4. Considérons un avion de chasse volant à la vitesse mach 2 dans un air à −20 ◦C. Cela signifie qu’il vole à deux
fois à la vitesse du son. Quelle est sa vitesse en km/h.
5. Ce même avion génère des ondes sonores. On va supposer que ces ondes sont émises de manière isotrope dans le
référentiel de l’avion et que l’avion est ponctuel. Ainsi tout se passe comme si l’on avait une source sonore ponc-
tuelle. L’air dans lequel se propage le son est immobile. Comment peut-on qualifier géométriquement (convergente
ou divergente, sphériques ou planes) ces ondes ?
6. L’avion se déplace à la vitesse vle long de l’axe des x. On prendra l’origine des temps à l’instant où l’avion passe
par x= 0. En quelle abscisse xτse trouvait l’avion à l’instant −τ? Quel est, à l’instant t > 0, le rayon de la
surface d’onde sonore émise à l’instant −τpar l’avion à l’abscisse xτ. On exprimera ce rayon en fonction de τ,t
et de la célérité du son c.
7. Le système possède une invariance par rotation autour de l’axe (Ox), il est donc intéressant d’utiliser les co-
ordonnées cylindriques ρ, θ, x. En utilisant le résultat de la question 6, déduire l’équation cartésienne de cette
même surface d’onde. On mettra l’équation sous la forme ρ=f(x, t, τ)de cette même surface d’onde. On admet
qu’une sphère en coordonnée cylindriques s’écrit mathématiquement sous la forme
(x−a)2+ρ2= R(t)2
avec ale centre du rayon et R(t)son rayon qui peut évoluer dans le temps.
8. Si la vitesse vde l’avion est supérieure à la célérité cdu son, l’énergie sonore va s’accumuler sur la surface
enveloppe des surfaces d’onde décrites ci-dessus (voir figure ci-dessous).
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On admettra que la surface enveloppe doit vérifier le système d’équations suivant :
f(x, t, τ) = ρ(1)
∂f(x, t, τ)
∂τ = 0 (2)
À partit de l’équation (2), exprimer τen fonction de v, c, x, t. Injecter cette relation dans l’équation (1) et montrer
que, si v > c, alors l’équation de la surface enveloppe est : ρ=ψ(vt −x)où l’on donnera ψen fonction de vet c.
9. En déduire que, si v > c, l’énergie sonore se concentre sur un cône de demi-angle au sommet βdont on exprimera
le sinus en fonction de vet c.
10. Avec les valeurs numériques de la question 3, calculer numérique l’angle β.
11. L’avion vole à la vitesse và une altitude h. Un observateur Pest sur la surface de la terre. Donner la relation
reliant l’intervalle de temps ∆tqui sépare les deux événements E1et E2suivants :
E1: l’avion passe au-dessus de la tête de P,
E2: P entend le « bang » du mur du son.
On exprimera l’intervalle ∆ten fonction de h, v et c.
II Couche antireflet
Lorsqu’une onde lumineuse se propageant dans un milieu transparent
d’indice n1arrive à la séparation avec un milieu transparent d’indice
n2, cette onde, appelée onde incidente, donne naissance à une onde
réfléchie qui revient dans le milieu d’indice n1et une onde transmise
qui se propage dans le milieu d’indice n2. On considère uniquement
le cas de l’incidence normale : toutes les ondes se propagent dans la
direction d’un axe (Ox), la surface de séparation entre les deux milieux
transparents étant la surface x= 0 (voir figure).
n2
O
onde réfléchie
onde incidente
onde transmise
xn1
De plus, l’onde incidente est supposée monochromatique de fréquence f, ce qui fait que les ondes transmise et
réfléchie sont aussi monochromatiques et de même fréquence.
1. L’onde réfléchie et l’onde transmise ont-elles la même longueur d’onde que l’onde incidente ? Ont-elles la même
couleur ?
2. La vibration lumineuse de l’onde incidente en Oest si(0, t) = Aicos(2πft −φi). Exprimer si(x, t)en un point
quelconque de l’axe (Ox)(on fera attention à l’indice optique).
3. La théorie électromagnétique permet d’établir que la vibration lumineuse de l’onde réfléchie vérifie :
sr(0, t) = n1−n2
n1+n2
si(0, t)
Exprimer sr(x, t)pour xquelconque. Quelle est l’amplitude de l’onde réfléchie ? Montrer que la réflexion s’ac-
compagne d’un déphasage de πsi n1< n2et ne modifie pas la phase si n1> n2.
On définit le facteur de réflexion Rcomme la fraction de l’énergie transportée par l’onde incidente qui part dans
l’onde réfléchie. De même, le facteur de transmission Test la fraction de l’énergie de l’onde incidente emportée par
l’onde transmise. La théorie électromagnétique permet d’établir les expressions suivantes :
R = n1−n2
n1+n22
et T = 4n1n2
(n1+n2)2
4. Que vaut R + T ? Commenter.
5. Calculer Ret Tdans le cas d’une lumière se propageant dans l’air qui se réfléchit sur un verre d’indice N = 1,52.
6. Un automobiliste qui conduit avec le soleil dans son dos porte des verres de lunettes ayant cet indice. L’éclairement
venant du soleil est 10 fois supérieur à l’éclairement venant du paysage. Calculer le rapport des éclairements
entrant dans l’œil de l’automobiliste provenant du soleil et du paysage. Conclure.
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Le système de la couche antireflet permet de réduire fortement le pourcentage du
flux lumineux réfléchi. On recouvre la surface de verre d’indice Npar une couche
d’indice n < Net d’épaisseur e. On utilise le phénomène d’interférences entre l’onde
qui est réfléchie sur la surface de séparation air-milieu d’indice n(onde réfléchie 1) et
l’onde qui est réfléchie sur la surface de séparation milieu d’indice n-verre d’indice N
(onde réfléchie 2). On suppose la lumière monochromatique de longueur d’onde dans
le vide λ.e
onde réfléchie 2
air N
onde incidente
onde réfléchie 1
n
7. Sachant que la transmission ne s’accompagne d’aucun déphasage, trouver l’expression du déphasage ∆φentre
les ondes réfléchies 1 et 2 en fonction de e, n et λ.
8. Quelles sont les valeurs de l’épaisseur epermettant d’avoir une amplitude de l’onde réfléchie totale minimale ?
9. Calculer la plus petite de ces valeurs pour n= 1,38 et la longueur d’onde λm= 500 nm. Commenter ce résultat
numérique.
On s’intéresse à un verre d’indice Nrecouvert d’une couche de fluorure de magnésium d’indice n= 1,38 et
d’épaisseur etelle que 4ne =λmavec λ= 500 nm. Par définition, le coefficient de réflexion R est le pourcentage
de la puissance lumineuse qui est réfléchie par le système. On rappelle que la puissance transportée par une onde
lumineuse monochromatique est proportionnelle au carré de son amplitude. On répondre aux questions suivantes dans
la modélisation où l’on ne tient compte que des ondes réfléchies 1 et 2 précédemment définies.
10. Que vaut le carré de l’amplitude résultante de deux signaux de même fréquence, d’amplitudes A1et A2différentes
et de phase φ1et φ2? On utilisera la représentation de Fresnel.
11. Que vaut φ2−φ1? Montrer alors que le coefficient de réflexion du système dépend de la longueur d’onde.
12. Expérimentalement R(λm) = 0,015. Commenter, notamment en comparant avec l’application numérique de la
question 6.
III Fibre optique à saut d’indice
Une fibre optique à saut d’indice, représentée sur la figure 1 est formée d’un cœur cylindrique en verre d’axe (Ox),
de diamètre 2aet d’indice nentouré d’une gaine optique d’indice n1légèrement inférieur à n. Les deux milieux sont
supposés homogènes, isotropes, transparents. Un rayon situé dans le plan (Oxy)entre dans la fibre au point O avec
un angle d’incidence θ. Les rayons lumineux sont supposés issus d’une radiation monochromatique de fréquence f, de
pulsation ωet de longueur d’onde λdans un milieu constituant le cœur.
1. Les différents angles utiles sont représentés sur la figure 1. À quelle condition sur i, angle d’incidence à l’interface
cœur/gaine, le rayon reste-il confiné à l’intérieur du cœur ? On note iℓl’angle d’incidence limite.
2. Montrer que la condition précédente est vérifiée si l’angle d’incidence θest inférieur à un angle limite θℓdont
on exprimera le sinus en fonction de net iℓ. En déduire l’expression de l’ouverture numérique ON = sin θℓde la
fibre en fonction de net n1uniquement.
3. Donner la valeur numérique de ON pour n= 1,50 et n1= 1,47.
On considère une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d’incidence θvariable
compris entre 0 et θℓ. On note cla vitesse de la lumière dans le vide.
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4. Pour quelle valeur de l’angle θ, le temps de parcours de la lumière dans la fibre est-il minimal ? maximal ? Montrer
que l’intervalle de temps δt entre le temps de parcours minimal et maximal s’écrit
δt =nL
c n n1−1!
5. On pose 2∆ = 1 −(n1/n)2. On admet que pour les fibres optiques ∆≪1. Donner dans ce cas, l’expression
approchée de δt en fonction de L, c, n et ∆. On pourra utiliser la relation
1
√1−ax ≃1 + a
2xsi ax ≪1
On conservera cette expression de δt pour la suite du problème.
On injecte à l’entrée de la fibre une impulsion lumineuse d’une durée caracté-
ristique t0=t2−t1formée par un faisceau de rayons ayant un angle d’incidence
compris entre 0 et θℓ. La figure ci-contre représente l’allure de l’amplitude A
du signal lumineux en fonction du temps t.
6. Reproduire la figure 2 en ajoutant à la suite l’allure du signal lumineux
à la sortie de la fibre. Quelle est la durée caractéristique t′
0de l’impulsion
lumineuse en sortie de fibre ?
Le codage binaire de l’information consiste à envoyer des impulsions lumineuses
(appelées « bits ») périodiquement avec une fréquence d’émission F.
7. En supposant t0négligeable devant δt, quelle condition portant sur la
fréquence d’émission Fexprime le non-recouvrement des impulsions à la
sortie de la fibre optique ?
Pour une fréquence Fdonnée, on définit la longueur maximale Lmax de la fibre optique permettant d’éviter le
phénomène de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le produit B = Lmax F.
8. Exprimer la bande passante Ben fonction de c, n et ∆.
9. Calculer la valeur numérique de ∆et de la bande passante B(exprimée en MHz.km) avec les valeurs de net
n1données dans la question 3. Pour un débit d’information de F = 100 Mbits.s−1= 100 MHz, quelle longueur
maximale de fibre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal ? Commenter la valeur de Lmax obtenue.
IV Étude d’un prisme
Le prisme utilisé est caractérisé par un indice nqui dépend de la longueur d’onde. Le prisme est placé dans l’air
dont l’indice sera pris égal à 1. Un rayon incident rencontre la face d’entrée au point B sous l’angle d’incidence iet
l’émergent associé ressort par l’autre face avec un angle i′au point D. Les angles ret r′sont définis sur le schéma
suivant.
Dest l’angle formé par le rayon incident et le rayon émergent, il est appelé angle de déviation. Les orientations
des angles sont choisies pour que les angles i, i′, r et r′soient positifs sur le schéma.
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Dans les conditions normales d’utilisation, iest positif (0◦< i < 90◦) et par conséquent tous les autres angles le
sont également.
1. On suppose que le prisme permet l’existence d’un rayon émergent et on néglige, dans la suite, toute réflexion.
(a) En appliquant les lois de Descartes, écrire la relation entre iet rd’une part, et i′et r′d’autre part.
(b) Trouver une relation entre r, r′et A.
(c) Établir une relation entre D, i, i′et A.
2. (a) En appliquant le principe du retour inverse de la lumière, montrer que, pour une valeur de Dpossible
donnée, il existe un couple de solutions (i1, i2). Quel lien physique existe-t-il entre i1et i2?
(b) En déduire l’égalité de iet de i′lorsque Dpasse par un minimum (supposé unique).
(c) Déterminer la valeur imde icorrespondant au minimum de déviation en fonction de Dm(valeur de Dau
minimum) et de A.
(d) Déterminer la valeur rmde rcorrespondant au minimum de déviation en fonction de A.
(e) Faire un schéma complet du prisme et de la marche d’un rayon dans le cas du minimum de déviation.
(f) En déduire que l’indice n, les angles Aet Dmvérifient une relation du type :
n=
fA + Dm
2
fA
2
où fest une fonction que l’on précisera.
(g) Faire l’application numérique pour A = 60◦et Dm= 65◦. On calculera également l’incertitude absolue ∆n
sachant que ∆A = ∆Dm= 1◦.
3. On éclaire le prisme avec une lampe à vapeur de mercure, pour laquelle on a mesuré Dmpour différentes longueurs
d’onde et obtenu les valeurs de ncorrespondantes (voir tableau suivant).
λ(µm) 0,4047 0,4358 0,4916 0,5461 0,5770
n1,803 1,791 1,774 1,762 1,757
1/λ2(µm−2)6,11 5,27 4,14 3,35 3,00
Par le tracé de nen fonction de 1/λ2, montrer que nvérifie la loi de Cauchy
n=a+b
λ2
où aet bsont des constantes dont on déterminera la valeur numérique et l’unité.
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