magnetostatique - Le Blog à STRUBEL

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LycéeSCHWEITZERMulhouse
MAGNETOSTATIQUE
Notions et contenus
Capacités exigibles
1. Magnétostatique
3.1 Champ magnétostatique
Équations
locales
de
la Choisir un contour, une surface et les orienter pour
magnétostatique et formes intégrales : appliquer le théorème d’Ampère.
flux conservatif et théorème d’Ampère.
Utiliser une méthode de superposition.
Linéarité des équations.
Propriétés de symétrie.
Exploiter les propriétés de symétrie des sources (rotation,
symétrie plane, conjugaison de charges) pour prévoir des
propriétés du champ créé.
Justifier qu’une carte de lignes de champs puisse ou non
Propriétés topographiques.
être celle d’un champ magnétostatique ; repérer
d’éventuelles sources du champ et leur signe/sens.
Associer l’évolution de la norme de B à l’évasement des
tubes de champ. 3.2
Exemples
de
champs
magnétostatiques
Câble rectiligne « infini ». Limite du fil Déterminer le champ créé par un câble rectiligne infini.
rectiligne infini.
Calculer et connaître le champ créé par un fil rectiligne
infini. Utiliser ces modèles près d’un circuit filiforme réel.
Solénoïde long sans effets de bords.
Calculer et connaître le champ à l’intérieur, la nullité du
champ extérieur étant admise.
Inductance propre. Densité volumique Établir les expressions de l’inductance propre et de
d’énergie magnétique.
l’énergie d’une bobine modélisée par un solénoïde.
Associer cette énergie à une densité d’énergie volumique. 3.3 Dipôles magnétostatiques
Moment magnétique d’une boucle de Utiliser un modèle planétaire pour relier le moment
courant plane.
magnétique d’un atome d’hydrogène à son moment
cinétique.
Rapport gyromagnétique de l’électron. Construire en ordre de grandeur le magnéton de Bohr par
Magnéton de Bohr.
analyse dimensionnelle. Interpréter sans calculs les
sources microscopiques du champ magnétique.
Évaluer l’ordre de grandeur maximal du moment
magnétique volumique d’un aimant permanent.
Obtenir l’expression de la force surfacique d’adhérence
par analyse dimensionnelle.
Ordre de grandeur de la force
surfacique d’adhérence entre deux
aimants permanents identiques en
contact.
Actions subies par un dipôle Utiliser des expressions fournies.
magnétique placé dans un champ
magnétostatique d’origine extérieure :
résultante et moment.
Approche documentaire de l’expérience de Stern et
Énergie
potentielle
d’un
dipôle Gerlach : expliquer sans calculs les résultats attendus
magnétique rigide
placé dans un dans le cadre de la mécanique classique ; expliquer les
champ
magnétostatique
d’origine enjeux de l’expérience. extérieure.
1
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Bibliographie:
• Feynman«électromagnétisme2»chapitre34:lemagnétismedelamatière.
• Cagnac,Pebay-Peyroula«Physiqueatomique»Tome1.
Les sources du champ magnétostatique sont les aimants et les courants permanents. Les
aimantspeuventêtredécritsentermesdecourantsmicroscopiques.
1. Equationsgénérales:
Leséquationslocalesvérifiéespar𝑩enrégimestatique(=stationnaire)sont:
𝒅𝒊𝒗 𝑩 = 𝟎 ; 𝒓𝒐𝒕 𝑩 = 𝝁𝟎 !
Laformeintégraledel’équationdeMaxwell-fluxest:
𝐵. 𝑑𝑆 = 0
Lefluxde𝐵àtraversunesurfaceferméeestnul.
Les lignes de champ 𝐵 ne peuvent divergerà travers une surface fermée ; il n’existe pas de
«chargesmagnétiques».
Laformeintégraledel’équationdeMaxwell-Ampèreportelenomdethéorèmed’Ampère:
la circulation du champ 𝐵 le long d'un contour fermé est égale au produit de l'intensité
enlacéeparµ0,soit:
𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇! 𝐼!"#$%é Celatraduitlefaitquelechampmagnétique«tourne»autourdescourants.
2. Exemple:champcrééparunfilrectiligneinfiniparcouruparuncourantI.
Lescoordonnéesadaptéessontlescordonnéescylindriques.
Expérience:spectreduchampcrééparunfilassimiléàunfilinfini.
Onconstateexpérimentalementqueleslignesdechampmagnétiquesontdescerclesd’axe
Oz,soit:
!"
!"
!
B = B.uθ .
Ladistributiondecourantétantinvariantepartranslationd’axeOzetrotationd’angleθ,onen
déduitque𝐵 nedépendnidez,nideθ,ainsi:
B=B(r)
Onchoisitpourcontourd’Ampèreuncerclederayonretd’axeOz.
Onmontrequelechampcrééest:
𝜇! 𝐼
𝐵=
𝑢 2𝜋𝑟 !
Remarque:lavaleurdeµ0résultedeladéfinitiondel'Ampère:c'estl'intensitéd'uncourant
continuqui,maintenudansdeuxfilsrectilignesinfinisparallèlesplacésdanslevide,distants
deunmètre,produitentreeuxuneforcede2.10-7Nparunitédelongueur.
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3. Symétriesduchampmagnétique:
On rappelle que 𝐵 obéit au principe de superposition, car les équations vérifiées par 𝐵 sont
linéaires.
3.1.Plandesymétried’unedistributiondecourant:
Considéronsdeuxfilsrectilignesinfinisparallèlesetparcouruspardescourantsidentiqueset
circulantdanslemêmesens.
Cettedistributiondecourantspossèdeunplandesymétrie(P).
!!!!⃗
𝐵! !!!!⃗! + 𝐵
!!!!⃗! 𝐵
I
I
!!!!⃗
𝐵! Onconstatequedansleplandesymétrie𝐵 𝑀 estperpendiculaireàceplan;cettepropriété
estgénéralepourtouteslesdistributionsdecourant.
!"
EnunpointMd'unplandesymétried’unedistributiondechargeslechamp B(M ) est
perpendiculaireàceplan.
3.2.Pland’antisymétried’unedistributiondecourant:
Considéronsunedistributionsimilaireaveclescourantscirculantdansdessensopposés.
Leplan(P)estàprésentunpland’antisymétrie.
!!!!⃗
𝐵! + !!!!⃗
𝐵! !!!!⃗
!!!!⃗
𝐵! 𝐵! I
-I
Onconstatequedansleplandesymétrie𝐵 𝑀 estcontenudansceplan;cettepropriétéest
généralepourlesdistributionsdecourant.
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EnunpointMd'unpland’antisymétried’unedistributiondechargeslechamp𝑩 𝑴 est
contenudansceplan.
Dans le cas général, une distribution de courants peut présenter à la fois des plans de
symétrieetdesplansd’antisymétrie,ainsiilestsouventpossibledeconnaîtreladirectionde
𝐵 𝑀 entoutpointdel’espace.
Onditqueaucontrairede𝐸 𝑀 ,quiestunvecteurvrai,𝐵 𝑀 estunpseudo-vecteur(ou
vecteuraxial).
Lesvecteursenphysiquesontsoitdesvecteursvrais,etilsobéissentauxsymétriesde𝐸 𝑀 ,
soit des vecteurs axiaux, et ils obéissent aux symétries de 𝐵 𝑀 ( voir complément les
symétriesenphysique).
3.3.Exemples:
Pourcaractériserlesplans,ilfautd’abordchoisirunsystèmedecoordonnéesadaptées.
Exemple1:Coucheplaneinfinieperpendiculaireàl’axeOzetparcourueparunedensitéde
courant𝚥 = 𝑐𝑡𝑒.
Exemple2:solénoïdeassimiléàunsolénoïdeinfini.
Exemple3:bobinetorique.
4. Topographieduchampmagnétique:
Rappel: les lignes de champ magnétiques sont souvent fermées, et «tournent» autour des
courants.
Ilestpossiblededistinguerdeslignesdechampmagnétiquedeslignesdechampélectrique
auvoisinagedechargesoudecourants:
• le champ électrostatique diverge à partir des charges, le champ magnétostatique
tourneautourdescourants;
• lechampélectrostatiqueestàcirculationconservative,lechampmagnétostatiqueest
àfluxconservatif.
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5. Exemplesdecalculdechampmagnétique:
5.1. Méthodedecalculduchampgrâceauthéorèmed’Ampère:
• Choisirunsystèmedecoordonnéesadaptées;
• Etudier les invariances de la distribution de courants, afin d’en déduire de quelles
variablesdépendlechamp(ounedépendpaslechamp!);
• Placer un point M quelconque; chercher les plans de symétrie ou d’antisymétrie passant
parM;
• Endéduireladirectionduchamp
• Chercheruncontourd’AmpèrepassantparMpermettantuncalculdecirculation.
• Appliquerlethéorèmed’Ampère.
z
5.2. Câblerectiligneassimiléàuncâbleinfini:
Le câble possède une section circulaire de rayon R centré sur l’axe Oz; il est
parcouruparuncourantd’intensitéIrépartiuniformément.
Ladensitédecourantcirculantdanslecâbleestdonc:
𝐼
𝚥=
𝑢 𝜋𝑅! !
On doit distinguer deux régions pour le calcul du champ: intérieur et
extérieurducâble.
Lecalculdonne:r<R:
𝜇! 𝐼𝑟
𝐵=
𝑢 2𝜋𝑅! !
!! !
r>R:𝐵 = !!"
𝑢! .
Remarque1:lechampmagnétiqueestcontinuenr=R.
Remarque2:lefilestlalimited’uncabledontlerayonesttrèspetitdevantlalongueur.
5.3.Solénoïdelong.
On considère un solénoïde long, de rayon R, comportant N
spires jointives bobinées uniformément , et parcourues par le
courantI.
On le caractérisera par le nombre de spires par unité de
longueurn=N/l.
Onpeutenpremièreapproximationnégligerleseffetsdebord,
ieconsidérerlesolénoidecommeinfini.
Onadmetalorsquelechampàl’extérieurdusolénoïdeestnul.
En effet , on peut considérer ce solénoïde infini comme la limite
d’untoreferméderayondecourbureRtendantversl’infini.Pour
cetoreilestfaciledevoirque:
𝐵!"# = 0
Oncalculealors:
𝑁
𝐵 = 𝜇! 𝐼𝑢! ℓ
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Onremarquequelechampàl’intérieurdusolénoideestuniforme.
5.3. Inductancepropredusolénoïde:
L’énergiemagnétiquestockéedanslabobineest:
Em=½.L.I2
Cette énergie est localisée dans le champ magnétique avec une densité volumique d’énergie
magnétique:
𝐵!
𝑢! =
2𝜇!
avec:
𝑁
𝐵 = 𝜇! 𝐼𝑢! ℓ
Oncalculealors:
𝐸! =
=
!"#$%!
𝑢! . 𝑑𝑉 =
!
.
!"#é!"#$!
!!
!
!" !"#$%"&'$
!
𝜇! ℓ 𝐼
𝑢! . 𝑑𝑉 !"#é!"#$!
!" !"#$%"&'$
!
!
!
!
𝑑𝑉 = !! . 𝜇! ℓ 𝐼 .π.R2.l
!
Paridentification,oncalculel’inductancepropredusolénoïde:
L=µ0.N2.π.R2/ l.
AN:Lestdel’ordrede10à100mHpourlesbobinesdulabo.
Ordredegrandeurdel’énergieemmagasinée:Imax≈4,5A;Emag≈100mJ.
6. Magnétismedanslamatière:
6.1.Momentmagnétiquemicroscopique:
𝑆⃗
Qu’estcequiexpliquelemagnétismedelamatière?
Aucune théorie classique ne peut l’expliquer, seule la mécanique
I
quantiquepermetdecomprendrelesrésultatsexpérimentaux.
On a vu en PCSI qu’à un circuit plan peut être associé un moment
magnétiqueanalogueàceluid’unaimant,etdéfinipar:
𝑀 = I. 𝑆
Remarque:levecteursurfaceestorientéenconcordanceavecIparlarègledutire-bouchon.
Onpeutaveclemodèleplanétaireassocierunmomentmagnétiqueàunatomed’hydrogène,
enconsidérantquel’électronauneorbitecirculairederayonaetdepulsationω.
𝑒
𝑒
𝑒
𝑀 = i. π. a! 𝑢! = − . 𝜋. 𝑎! 𝑢! = = − . 𝑎𝑢! ⋀𝑎𝜔𝑢! = − . 𝑟⋀𝑣
𝑇
2
2
Quelestl’ordredegrandeurdecemomentmagnétique?
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Onconstatequecemomentmagnétiqueestproportionnelaumomentcinétiqueorbitalde
l’électron:
𝜎 = 𝑟⋀𝑚𝑣
Lerapportdesdeuxquantitésestappelérapportgyromagnétiqueetnoté𝜸.Onadonc:
𝑒
𝑀 = γ. 𝜎 avec 𝛾 = −
pour un électron
2𝑚
Cettepropriétésegénéraliseàtoutmomentcinétique,pouruneparticule,unatomeisoléou
unnoyau:
𝑀 = γ. 𝜎 L’expériencedeEinstein-deHaas1915(cfexercice)montrequel’onmodifielemoment
cinétiqued’uncorpsenmodifiantsonaimantation.
Celaresteravraienmécaniquequantique,àconditiond’introduiredanslerapport
gyromagnétiqueunfacteurcorrectifsansdimensiondit«facteurdeLandé»notég:
𝑒
𝛾 = −𝑔
2𝑚
Onapumesurerquepourl’électrongestvoisinde2,carl’électronpossèdeégalementun
momentcinétiquedit«despin»quis’ajouteaumomentcinétiqueorbital.
6.2.Quantificationdumomentcinétique:
Lamécaniquequantiquemontrequelaprojectiondumomentcinétiquetotald’uneparticule,
d’unatomeoud’unemoléculesurunaxequelconqueestquantifié:
𝜎! = 𝑚! ℏ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑚! ∈ −𝑗, −𝑗 + 1, … 𝑗 − 1, 𝑗 𝑒𝑡 ℏ = ℎ/2𝜋
mjestlenombrequantiquemagnétique
jestlenombrequantiquedemomentcinétiquetotal.
Onmontrequelemomentcinétiqueestalors:
𝜎 = 𝑗(𝑗 + 1) ℏ
Laconstanteℏ apparaîtcommel’ordredegrandeurlittéraldumomentcinétique.
6.3.Quantificationdumomentmagnétique:
Laprojectionselonunaxequelconquedumomentmagnétiqueestquantifiée:
𝑀! = γ. 𝜎! = γ. m! . ℏ = 𝑔. 𝑚! . 𝜇! L’ordredegrandeurdumomentmagnétiqueestlemagnétondeBohretnotéµB:
!ℏ
𝜇! = !!=9,3.10-24A.m2.
PrécessiondeLarmor:cfexercice.
6.4.Forcesurfaciqueentredeuxaimantspermanents:
Atempératureambiante,leferαcristallisedansunestructurecubiquecentréedeparamètre
demaillea=289pm.
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Onaaumaximumdel’ordrede2. 𝜇! parmaille,doncunmomentmagnétiquevolumique(
appeléeaimantation)maximaldel’ordrede7,7.105A.m-1;enpratiquel’aimantationestde
l’ordrede106A.m-1
Ordredegrandeur:pourunaimantusuel,V=1cm3:M=1A.m2.
LaforceFexercéeparunaimantsurunsupport(autreaimantouplaquemétallique)avec
lequelilestencontact,dépenddesonaimantation,delaconstanteμ0etdelasurfaceSde
contact.
SiteSupermagnete.fr.Lechamp
Bproduitparl’aimantproposé
estdel’ordredeB=1T.
Paranalysedimensionnelle,on
a:
𝑑𝑀 !
𝐹 = 𝐾. 𝜇!
𝑆
𝑑𝑉
oùKestunfacteursans
dimensions.
UncalculexactmontrequeK=
½.
Applicationnumérique:M=106A.m-1;S=π.(5.10-3)2;μ0=4.π.10-7H.m-1.
F=100N.
7. Dipôlemagnétostatique:
7.1. Définition:
Undipôlemagnétiqueestunedistributiondecourantspermanentsde
momentmagnétiquenonnulétudiéàunedistancegrandedevantses
dimensions.
Onlacaractériseparsonmomentmagnétique𝑀.
7.2.Actionssubiesparledipôledansunchampextérieur:
Larésultantedesforcessubiesparledipôles’écrit:
𝐹 = 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑀. 𝐵)calculéà𝑀constant.
Lecouplerésultantest:
Γ = 𝑀 ∧ 𝐵
L’énergied’interactionest:
U=-𝑀. 𝐵
M
𝑚
!!⃗
𝑆I⃗
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8. ExpériencedeSternetGerlach(1922):
Le but de cette expérience était de mesurer certaines composantes du moment magnétique
desatomes.
Desatomesd’argentsontenvoyésdansunchampmagnétique,etonmesureladéviationsubie
parlejet.
Lesatomespossèdentunmomentmagnétique;ladirectiondecemomentestquelconque.
x
Document1:schémagénéraldel’expérience.
Document2:coupedel’aimant
Document3:résultatsdeSternetGerlach
Gauche:sanschampmagnétique;droite:avecchamp
1)
2)
3)
4)
Orienterleslignesdechampmagnétiqueetdessinerquelquesvecteurschamp.
Quellecomposanteduchampestnulle?
Lechampest-iluniforme?
!!
!!
Comparerlesgradientsdechamp !"! et !"! auvoisinagedel’axeOx.
5) Onnégligelesautresgradientsdechamp;quelssont-ils?
6) Enneconservantqueletermeprépondérantpourlechamp,àquelleforcesontsoumis
lesatomes?
7) Schématisercetteforce.
8) Quel est le résultat attendu si les moments magnétiques des atomes sont orientés
aléatoirement?
9) Lerésultatdel’expérienceest-ilconformeàcesprévisions?
10)Pourquoi?
11)CombiendevaleursdeMzsont-ellesmisesenévidence?
12)Peut-onendéduirelesvaleursdecertainsnombresquantiquesdel’atome?
13)Serait-il possible d’observer un nombre différents d’impacts pour d’autres types
d’atomes?Fairelecaséchéantunereprésentationdesimpacts.
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