Les quadrilatères

Chapitre 8
QUADRILATÈRES PARTICULIERS
A - RECOMMANDATIONS
I. INTRODUCTION
Il s'agit de consolider les connaissances acquises en 6e sur les parallélogrammes particuliers (rectangle,
losange, carré) et le trapèze, et de les approfondir en liaison avec la symétrie centrale.
Un accent particulier sera mis sur le raisonnement déductif. Le professeur s'efforcera d'entraîner les
élèves à utiliser les "propriétés directes" de ces quadrilatères pour faire des démontrations simples Les
caractérisations sont entièrement au programme de 4e. Elles peuvent cependant faire l'objet d'exercices
d'approfondissement.
II. COMPÉTENCES EXIGIBLES
Connaître et utiliser les propriétés d'un trapèze, d'un rectangle, d'un losange, d'un carré concernant les
longueurs des côtés, les diagonales et les égalités de mesures d'angles.
Construire un quadrilatère à l'aide d'un compas.
Reconnaître qu'un quadrilatère est un trapèze, un losange, un rectangle, un carré.
Reconnaître qu'un quadrilatère est un trapèze isocèle à l'aide des égalités d'angles.
Utiliser les propriétés "directes" des quadrilatères pour :
démontrer que des droites sont concourantes, parallèles, perpendiculaires,
calculer et comparer des aires, des longueurs,
démontrer qu'un point est milieu d'un segment,
calculer des mesures d'angles,
démontrer l'alignement.
III. PRÉREQUIS DE LA CLASSE
Propriétés du parallélogramme
Définition et construction d'un rectangle, d'un losange ou d'un carré.
Aire d'un parallélogramme, d'un rectangle, d'un losange, d'un carré.
Propriétés des triangles particuliers.
Axe de symétrie.
Équations dans D.
IV - ADÉQUATION DU LIVRE C.I.A.M AU PROGRAMME EN VIGUEUR
PARTIES TRAITÉES HORS PROGRAMME PARTIES A AJOUTER
Rectangle :
propriétés des diagonales
axes de symétrie.
losange.
Carré :
le carré est à la fois un rectangle
et un losange ;axes de symétrie.
Trapèze :
définition,
trapèze rectangle, isocèle
axes de symétrie d'un trapèze
isocèle;caractérisation du trapèze
isocèle; aire du trapèze.
Rectangle :
Caractérisation à partir des
angles, des diagonales.
Losange :
caractérisation d'un losange;
comment reconnaître qu'un
quadrilatère est un losange ;
comment reconnaître qu'un
parallélogramme est un
losange :
- à partir des diagonales,
- à partir des côtés.
Rectangle :
centre de symétrie;
utilisation de la formule lit-
térale de l'aire du périmètre.
Losange :
propriétés des diagonales;
utilisation de la formule lit-
térale de l'aire du périmètre ;
centre de symétrie.

B - COURS
I. CONSOLIDATION DES PRÉREQUIS
Exercice 1
ABCD et AECF sont des parallélogrammes. Quelle est la nature du quadrilatère EBFD ?
Exercice 2
Quelle est l'aire d'un carré dont le périmètre est 20 cm ?
Quelle est l'aire d'un rectangle dont le périmètre est 16 cm et dont un côté mesure 2 cm ?
Exercice 3
Construis un triangle ABC tel que AB = AC = 5 cm. Soit I le milieu de [BC]. Que peux-tu dire de la droite
(AI) ?
Exercice 4
Soient un segment [BC] de longueur 6 cm et I le milieu de ce segment. A est un point tel que AI = 3 cm.
Quelle est la nature du triangle ABC ?
Exercice 7 (Exercice 1-e page 107 CIAM 5°)
Calcule l'aire d'un trapèze dont les longueurs respectives de la grande base, de la petite base et de la
hauteur sont 5 cm, 3 cm et 6,5 cm.
Exercice 8
Pour chacune des figures suivantes indique le nombre d'axes de symétrie ; fais une figure et place le (ou
les ) axe(s) :
-rectangle ; - losange ; - carré ; - triangle isocèle ; - triangle équilatéral.
Exercice 5
ABCD est un carré de 36 cm de périmètre. DCEF est
un rectangle dont l'aire est 11,7 cm2.
Calcule les dimensions du rectangle ABEF.
ADF
ECB
Exercice 6
Le carré IJKL a une aire de 1 m2 ; le triangle IKM une
aire de 0,75 m2.
Calcule les dimensions du rectangle LKNM.
ILM
NKJ

II. RECTANGLE
III. LOSANGE
1. Parallélogramme particulier
Un rectangle est un parallélogramme.
Un rectangle a donc toutes les propriétés d'un
parallélogramme.
Un rectangle admet pour centre de symétrie le point
d'intersection de ses diagonales.
2. Propriété des diagonales
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses
diagonales ont la même longueur.
3. Configuration
ABCD est rectangle donc AC = BD
A
D
B
C
I
Activité
1) Construis un rectangle ABCD. Justifie que les
droites (AB) et (CD) d'une part, et (AD) et (BC)
d'autre part, sont parallèles.
2) Que peux-tu en déduire pour le quadrilatère
ABCD?
3) Que représente alors le point I d'intersection
de ses diagonales ?
4) Trace les axes de symétrie (∆) et (∆') de
ABCD.
5) Détermine le symétrique du segment [AC] par
rapport à (∆), puis par rapport à (∆').
6) Que peux-tu dire des longueurs des segments
[AC] et [BD] ?
7) Justifie ta réponse.
1. Parallélogramme particulier
Un losange est un parallélogramme.
Un losange a donc toutes les propriétés d'un
parallélogramme.
Un losange admet pour centre de symétrie le point
d'intersection de ses diagonales.
2. Propriété des diagonales
Si un quadrilatère est un losange, alors ses
diagonales sont perpendiculaires.
3. Axes de symétrie
Les diagonales d'un losange sont ses axes de
symétrie.
4. Configuration
ABCD est un losange donc (AC) ≠ (BD)
A
B
C
DI
Activité
1) Construis un losange ABCD.
2) Justifie que la droite (AC) est médiatrice du
segment [BD] et que la droite (BD) est
médiatrice du [AC].
3) Montre que ABCD est un parallélogramme.
4) Que représente alors le point I d'intersection
des diagonales pour ABCD ?
5) Détermine les symétriques de ABCD par
rapport à (AC) puis par rapport à (BD).
6) Que représentent (AC) et (BD) pour ABCD ?

IV. CARRÉ
V. TRAPÈZES PARTICULIERS
1. Trapèze isocèle
Propriétés
Un carré est à la fois un rectangle, un losange et un
parallélogramme
Si un quadrilatère est un carré, alors :
ses côtés consécutifs sont perpendiculaires et
de même longueur ;
ses diagonales sont perpendiculaires, ont
même longueur et même milieu ;
il possède un centre et quatre axes de
symétrie.
A
B
C
D
I
Configuration :
Activité (Bilan des propriétés du rectangle et du
losange)
Construis un carré ABCD (on sait que le carré
ABCD est à la fois un rectangle et un losange).
Que peux-tu dire des côtés [AB], [BC], [CD], [DA]
du carré ?
Que peux-tu dire des diagonales [AC] et [BD] du
carré ?
Combien d'axes de symétrie possède le carré
ABCD ?
Construis et nomme tous les axes de symétrie
du carré ABCD.
Quel est le centre de symétrie du carré ABCD?
Définition
Un trapèze dont les deux côtés non parallèles sont
de même longueur est isocèle .
(AD)//(BC) et AB = DC
donc .ABCD est un trapèze isocèle
Propriété
Un trapèze isocèle admet un axe de symétrie qui
est la médiatrice commune de ses bases.
Configuration
(∆) médiatrice de [AB] et de [CD] est axe de
symétrie du trapèze ABCD
donc
A
B
C
D
Configuration
A
DC
B
(∆)
A = B
et
C
=
D
ABC est un triangle isocèle en A.
(EF) est une droite parallèle à (BC).
Trace l'axe de symétrie (D) du triangle ABC
1) Justifie que les angles ont même
mesure.
2) Justifie que (D) est axe de symétrie pour le
quadrilatère EFCB. (Pour cela, justifie que (D) est
la médiatrice de [EF].)
3) Justifie que BE =CF.
Activité
1.3 page 105
CIAM
5°
A
EF
CB
E
et
F
2. Trapèze rectangle

C - EXERCICES
I. APPLICATION
Exercice 1 ( 10 page 100 du livre CIAM 5°)
Construis un triangle ABC rectangle en B dont les longueurs des côtés [BC] et [AC] sont respectivement 4 et
7 cm.
Construis le milieu O du côté [AC] ; construis le point D, symétrique de B par rapport à O.
Justifie que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
Quelle est la longueur du segment [BD] ? Justifie ta réponse.
Exercice 3 ( 13 page 100 du livre CIAM 5°)
Trace un segment [AI] de 2,5 cm. Construis le losange ABCD de centre I et dont la longueur du côté est 6
cm.
Exercice 2 ( 12 page 100 du livre CIAM 5°)
L'unité de longueur est le cm ; construis un losange ABCD tel que AC = 4 et BD = 7.
Exercice 4 ( 17 page 100 du livre CIAM 5°)
Un trapèze est rectangle si et seulement si l'un de
ses côtés est perpendiculaire à ses deux bases.
Exemple :
ABCD est un trapèze tel que (AD)//(BC) et (AD)^
(AB) et (AB)^(BC), alors ABCD est un trapèze
rectangle.
A
BC
D
ABC est un triangle rectangle en B. (EF) est une
droite parallèle à (BC).
1°) Nomme tous les angles droits du quadrilatère
EFCB.
2°) Quelle est la nature de ce quadrilatère ?
Activité :
1.2 page 104
CIAM 5°
A
F
C
B
E
6 . Aire d'un trapèze
A =
A = aire du trapèze ;
B = longueur de la grande base ;
b = longueur de la petite base ;
h = hauteur.
Exemple
AB =5 cm ; CD = 8 cm ; h = 7 cm (hauteur du
trapèze ABCD).
L'aire du trapèze ABCD est :
A = = 45,5
Réponse
L’aire mesure 45,5 cm2.
(B + b) x h
2
(CD + AB) x h
2 = (8 + 5) x 7
2
Activité (D'après 1.4 page 106 CIAM 5°)
On veut calculer l'aire du trapèze dont l'esquisse
codée est proposée ci-dessus.
Le point I est le milieu du [BC].
1°) Construis les points E et F symétriques respectifs
des points D et A par rapport au point I.
2°) Justifie que le quadrilatère AEFD est un
parallélogramme.
3°) Calcule l'aire de ce parallélogramme.
4°) Calcule l'aire du trapèze ABCD.
AB E
F
CD
I
5 cm
8 cm
7 cm