¢÷ ª1 1 Théorèmes de convergence ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2 Outils de calcul ÷

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1 Année universitaire 2013-2014
Ayman Moussa
Rappels de Cours – Intégration.
Dans toute la suite X, Aµdésigne un espace mesuré. Pour f:XCmesurable et 1 p, on
définit :
fp:
X
fpdµ
1
p
, f : inf M0; f M p.p. ,
en convenant que 1
pet inf . On pose également :
Lpµ:f:XCmesurable ; fp,Lµ:f:XCmesurable ; f .
1 Théorèmes de convergence
Théorème de convergence monotone : (ou Beppo-Levi)
Soit fnn1une suite croissante de fonctions mesurables de Xdans R.
Alors la fonction f: lim
nfnest définie sur X, à valeurs dans Ret mesurable.
De plus :
X
fndµnX fdµ, la convergence ayant éventuellement lieu dans R.
Attention !
L’appellation “théorème de convergence monotone” peut laisser penser que le théorème s’applique pour
les suites décroissantes mais, comme on va le voir en exercice, ce n’est pas le cas !
Lemme de Fatou :
Soit fnn1une suite de fonctions mesurables positives, alors :
0
X
lim fndµlim
X
fndµ .
Théorème de convergence dominée :
Soit fnn0une suite de fonctions complexes mesurables sur X. On suppose que :
1. fnxconverge presque partout vers une limite : f x .
2. Il existe gL1µtelle que, pour tout nNon ait : fnx g x presque partout en x.
Alors fL1µet la suite fnn0converge vers fdans cet espace :
X
fnfdµn0.
2 Outils de calcul
2.1 Intégrale à paramètres
Dans les théorèmes de régularité qui suivent, E, d est un espace métrique. On considère f:E X C,
et on note :
F t :
X
ft, x dµ x .
1

Théorème : (continuité sous le signe intégral)
Soit a E. Si :
(i) Pour tout t E,x f t, x est mesurable.
(ii) Presque partout (en x), t f t, x est continue en a.
(iii) Il existe gL1µtelle que, pour tout t E :
f t, x g x
presque partout en x.
Alors Fest définie en tout point de Eet continue en a.
Théorème : (dérivation sous le signe intégral)
On suppose ici que E I est un intervalle ouvert non vide de R. Si :
(i) Pour tout t I,f t, L1µ.
(ii) Presque partout (en x), t f t, x est dérivable sur tout I.
(iii) Il existe gL1µtelle que, pour tout t E :
f
tt, x g x
presque partout en x.
Alors Fest définie et dérivable en tout point de I, de dérivée :
Ft
X
f
tt, x dµ x .
2.2 Fubini
Théorème :(Fubini-Tonelli)
Soient f:X Y, A B Rune fonction mesurable, µet νdeux mesures σ-finies respectivement
sur X, Aet Y, B. Alors :
(a) Les fonctions partout définies x
Y
fx, y ν dyet y
X
fx, y µ dxsont respectivement A
et B-mesurables.
(b)
X Y
fdµ ν
X Y
f x, y ν dy µ dx
Y X
f x, y µ dx ν dy .
(Ces égalités ont lieu dans R.)
2

Théorème :(Fubini-Lebesgue)
Sous les mêmes hypothèses que le théorème précédent, en supposant cette fois-ci fL1µ ν , à valeurs
dans C, on a :
(a) µ dx presque partout, y f x, y L1ν,
ν dy presque partout, x f x, y L1µ
(b) x
Y
fx, y ν dyL1µet y
X
fx, y µ dxL1ν, ces fonctions étant définies respec-
tivement µ-p.p. et ν-p.p.
(c)
X Y
fdµν
X Y
fx, y ν dy µ dx
Y X
fx, y µ dx ν dy .
3 Espaces Lp
3.1 Construction, complétude
Théorème : (Inégalité de Hölder)
Soient f, g :XRmesurables, et p, q 1tels que 1
p
1
q1. Alors :
fg 1fpgq.
Si ces quantités sont finies, il y a égalité si et seulement si fpλ g qpour un certain λR.
Théorème : (Inégalité de Minkowski)
Soit p1,,f, g Lpµ. Alors :
(a) f g Lpµet f g pfpgp.
(b) De plus :
- si p1, il y a égalité si et seulement si g0µ-p.p. ou f λg pour un certain λR.
- si p1, il y a égalité si et seulement si f g 0µ-p.p.
L’inégalité de Minkowski prouve (entre autre !) que Lpµest un espace vectoriel. Il faut travailler
encore un peu plus pour obtenir la structure d’EVN : pn’est pas une norme sur Lpµ.
On définit donc une relation d’équivalence sur Lp:
fg f g µ-p.p.
Cette relation est compatible avec l’addition et la multiplication par un scalaire, on peut donc munir
l’ensemble des classes d’équivalence :
Lpµ:Lpµ
d’une structure de C-espace vectoriel. Comme f g f pgp, on peut définir psur Lpµ, et
cela en fait un espace vectoriel normé. À partir de maintenant on confondra tout élément de Lpavec sa
classe d’équivalence (qui est donc un élément de Lp).
Théorème : (Riesz-Fisher)Soit 1p.Lpµ , pest un espace de Banach.
Théorème :(Réciproque partielle du théorème de convergence dominée)
Soit 1 pet fnnNune suite de Lpµqui admet une limite fdans ce même espace. Alors il
existe gLpµet une sous-suite fnkkNtelle que :
fnkkf µ-p.p.
kNfnkg µ-p.p.
3

3.2 Sous-espaces dans les Lp
Définition : Une fonction f:X, AR,Rou Cest dite étagée si elle est mesurable et ne prend
qu’un nombre fini de valeurs.
Lemme fondamental d’approximation :
Soit f:X, AR,Rou C, mesurable. Il existe une suite fnn1de fonctions étagées, telle que,
pour tout x X,lim
nfnx f x . En outre,
(a) Si f0, on peut choisir la suite fnn1croissante et positive.
(b) Si fest bornée, on peut choisir la suite fnn1de sorte qu’il y est convergence uniforme sur X.
Théorème :
Soit Ωun ouvert de Rnmuni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue notée µ. Soit p1,.
Les trois ensembles suivants sont denses dans LpΩ, µ :
(i) Les fonctions étagées.
(ii) Les fonctions en escalier, i.e. Vect 1n
i1ai,bi:ai, biR.
(iii) Les fonctions continues à support compact.
Remarque :
En réalité il existe un résultat de densité encore plus marquant : CcΩ, l’ensemble des fonctions infi-
niment dérivables et à support compact dans un ouvert ΩRn, est non vide (ce qui n’est pas trivial
a priori !) et dense dans tous les LpΩ, pour p. L’outil fondamental permettant d’aboutir à ces
résultats est la convolution que vous découvrirez bientôt !
3.3 Séparabilité
Soit Ωun ouvert de Rn. Pour 1p,LpΩ, µ est séparable et L Ω, µ ne l’est pas.
3.4 Dualité
Théorème :(Dual de Lp,1p)
Soit X, A, µ un espace mesuré σ-fini, p1,. Le dual topologique de Lpµest isométriquement
isomorphe à Lpµ. Plus précisément, étant donnée ϕune forme linéaire continue sur Lpµ, il existe
un unique uLpµ, tel que, pour tout fLpµ:
ϕ, f
X
uxf xdx,
et de plus uLpµϕLpµ.
Remarque :
Le cas pp2indique que L2µest son propre dual, ce que l’on peut obtenir directement grâce à sa
structure hilbertienne. On peut d’ailleurs démontrer le théorème précédent en se ramenant à ce cas.
Terminons par un dernier résultat de dualité (qui sort du cadre Lp).
Théorème : (Représentation de Riesz)
Soit Kun espace métrique compact et Φune forme linéaire continue sur l’espace CK, Cdes fonctions
continues sur Kà valeurs complexes. Alors il existe une mesure µfinie sur la tribu borélienne de Ket
une fonction mesurable bornée ωsur Ktelles que, pour toute fonction fCK, C,
Φf
K
fx ω x dµ x .
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