Vaisseau spatial dans un champ newtonien

PCSI. 03/04. 4heures.
Physique. Devoir surveillé N°4.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Problème 1. Réponse du circuit à un échelon de tension.
On considère un circuit électrique constitué d’un générateur G, d'un interrupteur K, d’une résistance R
puis d'un condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance L montés en parallèle entre les points
A et B. Le générateur fournit une tension continue E positive; on considère la résistance de la bobine
comme négligeable.
Soient i, il et i2 les intensités, en fonction du temps, des courants relatifs aux différentes branches du
circuit et q2 la charge du condensateur.
1. A un instant donné que l'on prendra comme origine des temps, le circuit est fermé.
Sachant que le condensateur a été déchargé au préalable, indiquer les valeurs de i(o), i1(o), i2(o)
et q2(o). Comment se comporte ce circuit juste après la fermeture?
Au bout d’un temps considéré comme infini, calculer i(
), i1( ) et i2( ).
Comment se comporte alors le circuit ?
2. Etablir que i est solution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants
de la forme:
2
2
d i di
a b i cE
dt dt
et donner les expressions des paramètres a, b et c en fonction de R, L et C.
3. On suppose réalisée la condition: L < 4R2C ; démontrer que la solution de l’équation
différentielle précédente est donnée par :
( cos sin )
t
E
i e A t B t
R
Expliciter les paramètres et en fonction des données du problème. On conservera ces
grandeurs comme données du problème pour les questions suivantes.
4. Déterminer les constantes A et B. En déduire les expressions, en fonction du
temps, de i, i1 et i2 (on donnera les résultats en fonction de E, R, , et t).
5. Exprimer la charge du condensateur en fonction du temps. Donner les valeurs de q2(o) et q2(
).

Problème 2. Vaisseau spatial dans un champ newtonien.
On considère un vaisseau supposé ponctuel de masse
m
, mobile par rapport à un astre de masse
M
, de
centre
O
et de rayon
R
. Le champ de gravitation de cet astre est à symétrie sphérique. La constante de
gravitation est notée
G
. La distance entre le vaisseau et le centre de l’astre est
r
,
rR
. On se placera
dans le référentiel (supposé galiléen) lié à l’astre. Sauf mention contraire, le moteur fusée est éteint.
1. Montrer que le moment cinétique
O
L
(calculé en
O
) du vaisseau est une constante du
mouvement.
2. Cette constance de
O
L
a deux conséquences sur la trajectoire du vaisseau : lesquelles ? Les
affirmations sont à justifier.
3. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle
p
E
du vaisseau en fonction de
G
,
M
,
m
et
r
en la choisissant nulle à l’infini.
4. Dans le cas d’une orbite circulaire de rayon
0
r
, exprimer l’énergie mécanique
m
E
du vaisseau et
sa période de révolution
rev
T
en fonction de
G
,
M
,
0
r
et, si nécessaire,
m
. Commenter le signe
de
m
E
.
5. Dans le cas où l’astre est notre Terre, on considère une masse de
1kg
, initialement au repos à la
surface de la Terre (rayon
6400km
T
R
), puis placée sur une orbite circulaire de
rayon
07000kmr
. En prenant
02
T
GM
gR
l’intensité du champ gravitationnel terrestre, au
niveau du sol, égale à
2
10m.s
, évaluer numériquement la différence d’énergie mécanique
m
E
entre ces deux états. On suppose que le Terre n’est pas animée d’un mouvement de rotation
autour de l’axe des pôles.
6. 1 « kilowatt-heure » électrique revient environ à 0,15 € ; en déduire numériquement le coût
théorique de la satellisation d’un
kg
de charge utile. Le coût réel est de l’ordre de 1000 €
par
kg
. Commenter ces valeurs.
On peut montrer que la trajectoire d’un vaisseau (moteur coupé) dans le champ gravitationnel de l’astre
est une conique, d’équation polaire
1/ (1 cos )/r e p
, où
e
est l’excentricité de la conique et
p
le
paramètre. On se limitera ici au cas où la trajectoire est fermée, donc elliptique.
7. Dessiner l’allure de la trajectoire du satellite en plaçant l’astre attracteur, l’apogée et le périgée.
Exprimer le demi-grand axe de l’ellipse
a
en fonction de
e
et
p
.
8. Donner la relation entre la période orbitale
orb
T
, le demi-grand axe
a
,
G
et
M
(troisième loi de
Kepler).
9. Supposons qu’à la distance
0
r
du centre de l’astre, la norme
V
de la vitesse d’un vaisseau soit
la même que pour une orbite circulaire mais que l’angle entre le support du vecteur vitesse
et la tangente au cercle de centre
O
et de rayon
0
r
appartienne à
0, /2
. Déterminer en
fonction de
0
r
et les caractéristiques de la trajectoire de ce vaisseau : sa nature, le demi-
grand axe
a
, les distances
A
r
du centre
O
à l’apogée et
P
r
du centre
O
au périgée,
l’excentricité
e
, le paramètre
p
.
Vitesse de libération.
10. Le vaisseau est initialement sur une orbite circulaire de rayon
0
r
décrite à la vitesse
0
V
. On
allume le moteur pendant un temps court, de sorte que la vitesse varie mais pas la distance au
centre de l’astre. Évaluer la vitesse
1
V
qu’il faut communiquer au vaisseau pour qu’il échappe
au champ gravitationnel de l’astre en fonction de
G
,
M
et
0
r
.

11. Le commandant de bord dispose en fait d’un « budget de vitesse »
V
égal à
0
4V
; cela signifie
que la quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en une
ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations de vitesses n’excède
pas
0
4V
.
option 1 : le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse initiale à
0
5V
. Évaluer sa vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de
0
V
.
option 2 : on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de
0
V
à
0/2V
en un temps
très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction. Décrire la nouvelle
trajectoire : le demi-grand axe
a
, les distances
A
r
du centre
O
à l’apogée et
P
r
du centre O au
périgée, les normes des vitesses
A
V
et
P
V
à l’apogée et au périgée en fonction de
0
r
. Quelle
condition doit vérifier
P
r
?
12. On utilise ensuite le reste du « budget vitesse » au passage au périgée pour augmenter au
maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminer la
nouvelle vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de
0
V
.
13. Comparer les deux options, et commenter.
Problème 3. Etude d'un système avec ressort.
i
r
j
r
x
y
,o kl
M
k
r
r
e
ur
e
uur
O
Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à
un repère (O,
i
,
j
,
k
). Un palet
M
de masse
m
peut se mouvoir sans frottement dans le plan
( , , ) O x y
horizontal (table à coussin d'air par exemple).
Le champ de pesanteur est suivant la verticale Oz :
g
=
gk
.
La masse
m
est accrochée à l'extrémité d'un ressort (point
M
) de longueur à vide
o
l
, de raideur
k
, dont
l'autre extrémité est fixée en O. La position de
M
est repérée dans la base (
i
,
j
) par
OM xi y j
ou
dans la base (
r
e
,
e
) par
r
OM re
.
1. Faire un bilan des forces. Montrer qu'il y a conservation du moment cinétique,
o
L
par
rapport à O.
A t =0, la masse est lâchée, sans vitesse initiale d'une longueur
0
1,2l
:
0
0 1,2OM t l i
.

2.1 Calculer
o
L
. Quelle est la nature de la trajectoire ?
2.2 Déterminer l'évolution temporelle de la longueur du ressort,
()l t OM t
. Préciser
l'intervalle de variation de
l
, longueur du ressort.
On lance la particule d'un point
1
0
o
OM OM t l i  
, avec une vitesse initiale
1o
v l j
, orthogonale
à
o
OM
. Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan
( , , ) O x y
.
3.1 Préciser
o
L
en fonction
r
et
d
dt
puis en fonction des conditions initiales et des vecteurs
de base. On notera
L
, le module de
o
L
.
3.2 Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique.
Doit-on tenir compte de l'énergie potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ?
Montrer qu'il y a conservation de l'énergie mécanique,
m
E
.
Préciser l'expression de
m
E
:
en fonction des conditions initiales,
en fonction de r,
dr
dt
,
d
dt
,
m
,
k
et
o
l
.
3.3 Montrer que l'énergie mécanique peut s'écrire :
2
1()
2
m eff
dr
E m E r
dt
.
Préciser l'expression de
()
eff
Er
. Tracer l'allure de
()
eff
Er
.
3.4 La masse peut-elle s'éloigner indéfiniment du pôle d'attraction ?
3.5 La vitesse de la particule peut-elle s'annuler au cours de son mouvement ?
3.6 La particule peut-elle passer par le centre d'attraction au cours de son mouvement ?
On cherche à déterminer une condition entre l1 et pour avoir un mouvement circulaire.
4.1 Montrer que dans ce cas, le mouvement est uniforme.
4.2 Déterminer
1
l
en fonction de
,o kl
et . Est-elle valable pour tout ?