Vaisseau spatial dans un champ newtonien

PCSI. 03/04. 4heures.
Physique. Devoir surveillé N°4.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Problème 1. Réponse du circuit à un échelon de tension.
On considère un circuit électrique constitué d’un générateur G, d'un interrupteur K, d’une résistance R
puis d'un condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance L montés en parallèle entre les points
A et B. Le générateur fournit une tension continue E positive; on considère la résistance de la bobine
comme négligeable.
Soient i, il et i2 les intensités, en fonction du temps, des courants relatifs aux différentes branches du
circuit et q2 la charge du condensateur.
1. A un instant donné que l'on prendra comme origine des temps, le circuit est fermé.
Sachant que le condensateur a été déchargé au préalable, indiquer les valeurs de i(o), i1(o), i2(o)
et q2(o). Comment se comporte ce circuit juste après la fermeture?
Au bout d’un temps considéré comme infini, calculer i(), i1() et i2().
Comment se comporte alors le circuit ?
2. Etablir que i est solution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants
de la forme:
d 2i
di
a 2  b  i  cE
dt
dt
et donner les expressions des paramètres a, b et c en fonction de R, L et C.
3. On suppose réalisée la condition: L < 4R2C ; démontrer que la solution de l’équation
différentielle précédente est donnée par :
E
i   e  t ( A cos t  B sin t )
R
Expliciter les paramètres  et  en fonction des données du problème. On conservera ces
grandeurs comme données du problème pour les questions suivantes.
4. Déterminer les constantes A et B. En déduire les expressions, en fonction du
temps, de i, i1 et i2 (on donnera les résultats en fonction de E, R, ,  et t).
5. Exprimer la charge du condensateur en fonction du temps. Donner les valeurs de q2(o) et q2().
Problème 2. Vaisseau spatial dans un champ newtonien.
On considère un vaisseau supposé ponctuel de masse m , mobile par rapport à un astre de masse M , de
centre O et de rayon R . Le champ de gravitation de cet astre est à symétrie sphérique. La constante de
gravitation est notée G . La distance entre le vaisseau et le centre de l’astre est r , r  R . On se placera
dans le référentiel (supposé galiléen) lié à l’astre. Sauf mention contraire, le moteur fusée est éteint.
1. Montrer que le moment cinétique LO (calculé en O ) du vaisseau est une constante du
mouvement.
2. Cette constance de LO a deux conséquences sur la trajectoire du vaisseau : lesquelles ? Les
affirmations sont à justifier.
3. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle E p du vaisseau en fonction de G , M , m et r
en la choisissant nulle à l’infini.
4. Dans le cas d’une orbite circulaire de rayon r0 , exprimer l’énergie mécanique Em du vaisseau et
sa période de révolution Trev en fonction de G , M , r0 et, si nécessaire, m . Commenter le signe
de Em .
5. Dans le cas où l’astre est notre Terre, on considère une masse de 1kg , initialement au repos à la
surface de la Terre (rayon RT  6400 km ), puis placée sur une orbite circulaire de
GM
rayon r0  7000 km . En prenant g 0  2 l’intensité du champ gravitationnel terrestre, au
RT
6.
niveau du sol, égale à 10 m.s 2 , évaluer numériquement la différence d’énergie mécanique Em
entre ces deux états. On suppose que le Terre n’est pas animée d’un mouvement de rotation
autour de l’axe des pôles.
1 « kilowatt-heure » électrique revient environ à 0,15 € ; en déduire numériquement le coût
théorique de la satellisation d’un kg de charge utile. Le coût réel est de l’ordre de 1000 €
par kg . Commenter ces valeurs.
On peut montrer que la trajectoire d’un vaisseau (moteur coupé) dans le champ gravitationnel de l’astre
est une conique, d’équation polaire 1/ r  (1  e cos  ) / p , où e est l’excentricité de la conique et p le
paramètre. On se limitera ici au cas où la trajectoire est fermée, donc elliptique.
7. Dessiner l’allure de la trajectoire du satellite en plaçant l’astre attracteur, l’apogée et le périgée.
Exprimer le demi-grand axe de l’ellipse a en fonction de e et p .
8. Donner la relation entre la période orbitale Torb , le demi-grand axe a , G et M (troisième loi de
Kepler).
9. Supposons qu’à la distance r0 du centre de l’astre, la norme V de la vitesse d’un vaisseau soit
la même que pour une orbite circulaire mais que l’angle  entre le support du vecteur vitesse
et la tangente au cercle de centre O et de rayon r0 appartienne à 0,  / 2 . Déterminer en
fonction de r0 et  les caractéristiques de la trajectoire de ce vaisseau : sa nature, le demigrand axe a , les distances rA du centre O à l’apogée et rP du centre O au périgée,
l’excentricité e , le paramètre p .
Vitesse de libération.
10. Le vaisseau est initialement sur une orbite circulaire de rayon r0 décrite à la vitesse V0 . On
allume le moteur pendant un temps court, de sorte que la vitesse varie mais pas la distance au
centre de l’astre. Évaluer la vitesse V1 qu’il faut communiquer au vaisseau pour qu’il échappe
au champ gravitationnel de l’astre en fonction de G , M et r0 .
11. Le commandant de bord dispose en fait d’un « budget de vitesse » V égal à 4V0 ; cela signifie
que la quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en une
ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations de vitesses n’excède
pas 4V0 .
option 1 : le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse initiale à
5V0 . Évaluer sa vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de V0 .
option 2 : on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de V0 à V0 / 2 en un temps
très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction. Décrire la nouvelle
trajectoire : le demi-grand axe a , les distances rA du centre O à l’apogée et rP du centre O au
périgée, les normes des vitesses V A et VP à l’apogée et au périgée en fonction de r0 . Quelle
condition doit vérifier rP ?
12. On utilise ensuite le reste du « budget vitesse » au passage au périgée pour augmenter au
maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminer la
nouvelle vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de V0 .
13. Comparer les deux options, et commenter.
Problème 3. Etude d'un système avec ressort.
y
r
k
uur
e
M
k , lo
r
j
O
ur
er

r
i
x
Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à
un repère (O, i , j , k ). Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan
(O, x, y ) horizontal (table à coussin d'air par exemple).
Le champ de pesanteur est suivant la verticale Oz : g =  gk .
La masse m est accrochée à l'extrémité d'un ressort (point M ) de longueur à vide lo , de raideur k , dont
l'autre extrémité est fixée en O. La position de M est repérée dans la base ( i , j ) par OM  xi  y j ou
dans la base ( er , e ) par OM  rer .
1.
Faire un bilan des forces. Montrer qu'il y a conservation du moment cinétique, Lo par
rapport à O.
A t =0, la masse est lâchée, sans vitesse initiale d'une longueur 1, 2l0 : OM  t  0   1, 2l0 i .
2.1
2.2
Calculer Lo . Quelle est la nature de la trajectoire ?
Déterminer l'évolution temporelle de la longueur du ressort, l  t   OM (t ) . Préciser
l'intervalle de variation de l , longueur du ressort.
On lance la particule d'un point OM o  OM  t  0   l1 i , avec une vitesse initiale vo  l1 j , orthogonale
à OM o . Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan (O, x, y ) .
d
3.1
Préciser Lo en fonction r et
puis en fonction des conditions initiales et des vecteurs
dt
de base. On notera L , le module de Lo .
3.2
Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique.
Doit-on tenir compte de l'énergie potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ?
Montrer qu'il y a conservation de l'énergie mécanique, Em .
Préciser l'expression de Em :
en fonction des conditions initiales,
dr d
en fonction de r,
,
, m , k et lo .
dt dt
3.3
Montrer que l'énergie mécanique peut s'écrire : Em 
3.4
La masse peut-elle s'éloigner indéfiniment du pôle d'attraction ?
3.5
La vitesse de la particule peut-elle s'annuler au cours de son mouvement ?
3.6
La particule peut-elle passer par le centre d'attraction au cours de son mouvement ?
2
1  dr 
m    Eeff (r ) .
2  dt 
Préciser l'expression de Eeff ( r ) . Tracer l'allure de Eeff ( r ) .
On cherche à déterminer une condition entre l1 et  pour avoir un mouvement circulaire.
4.1
Montrer que dans ce cas, le mouvement est uniforme.
4.2
Déterminer l1 en fonction de k , lo et  . Est-elle valable pour tout  ?