Ch IV LES TRIANGLES 1. Pour prendre un bon départ • Ce triangle

Ch IV LES TRIANGLES
1. Pour prendre un bon départ
• Ce triangle s’appelle ABC ou ACB ou BAC ou BCA ou CBA ou CAB.
A, B et C sont ses trois sommets.
[AB] , [BC] , [CA] sont ses trois côtés.
BAC
,
ABC
, et
ACB
sont ses trois angles.
L’angle
ABC
peut se noter aussi
CBA
ou
B
.
• A est le sommet opposé au côté [BC].
A
est l’angle opposé au côté [BC]
B
et
C
sont les angles adjacents au côté [BC].
• Voici un triangle ABC tel que AB = 5 cm , AC = 4 cm , BC = 2 cm
ABC est un triangle quelconque.
( Les côtés ne sont pas égaux, les angles non plus et il n’y a pas d’angle droit )
• Voici un triangle ABC tel que
AB = 5 cm AC = 5 cm BC = 3 cm
ABC est un triangle isocèle.
A est son sommet principal.
A
et
C
sont les angles à la base.
Ils sont égaux.
B
=
C
• Voici un triangle ABC tel que
AB = 3 cm AC = 3 cm BC = 3 cm
ABC est un triangle équilatéral.
Ses trois angles sont égaux.
A
=
B
=
C
A
B
C
4,75
3,8
1,9
5
42
AB
C
5
5
3
A
B
C
II
II
(
(
2,85
2,85
3
3
3
A
B
C
I
I
I
(
(
(

• Voici un triangle ABC tel que
A
= 90 ° AB = 5 cm AC = 3 cm
ABC est un triangle rectangle.
[BC] est l’hypoténuse. ( le plus long des
côtés )
• Voici un triangle ABC tel que
A
= 90° AB = 3 cm AC = 3 cm.
ABC est un triangle rectangle isocèle.
Les deux angles à la base sont égaux à 45°.
2. Construction d’un triangle.
A) On connaît un côté et les deux angles adjacents à ce côté
Exemple : le triangle EFG tel que EF = 7 cm,
E
= 30° et
F
= 40°
B) On connaît deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés.
Exemple : le triangle RST tel que
SRT
= 120° , RS = 4 cm et RT = 3 cm
7
30
40
E
F
G
3,8
2,85
4
3
120
R
S
T
2,85
4,75
3
5
A
B
C
2,85
4,75
3
33
A
B
C
I
I
!
!

C) On connaît les trois côtés
Exemple 1 : MNP tel que MN = 5 cm , MP = 3 cm et NP = 6 cm
Exemple 2 : Construisons un triangle MNP tel que NP = 6 cm , MN = 2 cm et MP = 3 cm
On ne peut pas obtenir le sommet M.
En effet : 2 cm + 3 cm < 6 cm et les deux cercles ne se coupent pas.
Exemple 3 : Construisons un triangle MNP tel que NP = 6 cm , MN = 2 cm et MP = 4 cm
Le point M est sur le segment [NP].
En effet, 2 cm + 4 cm = 6 cm et les deux cercles se coupent exactement sur [NP].
Le triangle MNP est " aplati ".
Propriété 1
Dans un triangle non aplati, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres.
Cette propriété s’appelle l’inégalité triangulaire.
Propriété 2
Si N, M et P sont 3 points alignés dans cet ordre ALORS NP = NM + MP
3,8
3,8
5,7
1,9
6
4
2
NP
M
3,8
2,85
5,7
4,75
6
53
NP
M
3,8
2,85
5,7
1,9
6
3
2
NP

3. Angles d’un triangle
A) Rappel
Dans un triangle quelconque, les 3 angles sont différents. ( et pas droits )
Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux.
Dans un triangle équilatéral, les 3 angles sont égaux.
quelconque isocèle équilatéral
B) Propriété des angles d’un triangle
— manipulation et collage
33 ° + 105,5° + 41,5° = 180°
— Propriété : Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°.
C) Conséquence pour le triangle équilatéral
D’après la propriété précédente, on a
A
+
B
+
C
= 180°
Or, les angles d’un triangle équilatéral sont égaux :
A
=
B
=
C
donc
A
+
A
+
A
= 180°
3 x
A
= 180°
A
= 180° : 3
A
= 60°
Finalement
A
=
B
=
C
= 60°
Propriété : Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux à 60 °.
B
C
A
B
C
AA
BC
B
C
AA
BC
A
C
B
2,85
2,85
3
3
3
A
B
C
I
I
I
41,5 °
105,5 °
33,0 °
33,0
105,5
41,5

D) Conséquence pour le triangle rectangle
D’après la propriété des angles d’un triangle, on a
A
+
B
+
C
= 180°
90° +
B
+
C
= 180°
B
+
C
= 180° – 90°
B
+
C
= 90°
Propriété : Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l’angle droit sont aigus
et complémentaires. ( leur somme est égale à 90° )
C
A
B
(
((