Ch IV LES TRIANGLES 1. Pour prendre un bon départ • Ce triangle

Ch IV
LES TRIANGLES
1. Pour prendre un bon départ
3,8
A
• Ce triangle s’appelle ABC ou ACB ou BAC ou BCA ou CBA ou CAB.
A, B et C sont ses trois sommets.
[AB] , [BC] , [CA] sont ses trois côtés.
 

BAC , ABC , et ACB sont ses trois angles.



L’angle ABC peut se noter aussi CBA ou B .
B

• A est le sommet opposé au côté [BC]. A est l’angle opposé au côté [BC]
C


B et C sont les angles adjacents au côté [BC].
• Voici un triangle ABC tel que AB = 5 cm , AC = 4 cm , BC = 2 cm
C
4
A
2
5
B
ABC est un triangle quelconque.
( Les côtés ne sont pas égaux, les angles non plus et il n’y a pas d’angle droit )
• Voici un triangle ABC tel que
AB = 3 cm AC = 3 cm BC = 3 cm
C
5
(
(
• Voici un triangle ABC tel que
AB = 5 cm AC = 5 cm BC = 3 cm
C
II
3
II
5
(
A
(
ABC est un triangle isocèle.
A est son sommet principal.


A et C sont les angles à la base.
 
Ils sont égaux. B = C
I 3
I
3
B
A
3
I
(
ABC est un triangle équilatéral.
Ses trois angles sont égaux.

 
A = B= C
B
4,75
• Voici un triangle ABC tel que

A = 90 ° AB = 5 cm AC = 3 cm
• Voici un triangle ABC tel que

A = 90° AB = 3 cm AC = 3 cm.
B
(❨
B
3
A
I
3
A
3
5
C
ABC est un triangle rectangle.
[BC] est l’hypoténuse. ( le plus long des
côtés )
I
(❨
3
C
ABC est un triangle rectangle isocèle.
Les deux angles à la base sont égaux à 45°.
2. Construction d’un triangle.
A) On connaît un côté et les deux angles adjacents à ce côté


Exemple : le triangle EFG tel que EF = 7 cm, E = 30° et F = 40°
G
E
30
40
7
F
B) On connaît deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés.

Exemple : le triangle RST tel que SRT = 120° , RS = 4 cm et RT = 3 cm
R
3
T
4
S
120
3,8
5,7
C) On connaît les trois côtés
Exemple 1 : MNP tel que MN = 5 cm , MP = 3 cm et NP = 6 cm
3,8
M
1,9
5
3
6
N
P
5,7
Exemple 2 : Construisons un triangle MNP tel que NP = 6 cm , MN = 2 cm et MP = 3 cm
3,8
3
2
N
P
6
1,9
On ne peut pas obtenir le sommet M.
En effet : 2 cm + 3 cm < 6 cm et les deux cercles ne se coupent pas.
Exemple 3 : Construisons un triangle MNP tel que NP = 6 cm , MN = 2 cm et MP = 4 cm
4
2
N
M
6
P
Le point M est sur le segment [NP].
En effet, 2 cm + 4 cm = 6 cm et les deux cercles se coupent exactement sur [NP].
Le triangle MNP est " aplati ".
Propriété 1
Dans un triangle non aplati, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres.
Cette propriété s’appelle l’inégalité triangulaire.
Propriété 2
Si N, M et P sont 3 points alignés dans cet ordre ALORS NP = NM + MP
3. Angles d’un triangle
C
A) Rappel B
Dans un triangle quelconque, les 3 angles sont différents. ( et pas droits )
Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux.
B
Dans un triangle équilatéral, les 3 angles sont égaux.
B
A
B
A
A
A
C
C
B
C
quelconque
équilatéral C
isocèle
B) Propriété des angles d’un triangle
— manipulation et collage
105,5
33,0
105,5 °
41,5 °
41,5
33,0 °
33 ° + 105,5° + 41,5° = 180°
— Propriété :
Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°.
C) Conséquence pour le triangle équilatéral
D’après la propriété précédente, on a



A + B + C = 180°
Propriété :
C
3
I 3
I



Or, les angles d’un triangle équilatéral sont égaux : A = B = C



A + A + A = 180°
donc

3 x A = 180°

A = 180° : 3
A

A = 60°

 
A = B = C = 60°
Finalement
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux à 60 °.
3
I
B
D) Conséquence pour le triangle rectangle
Propriété :
B
(
D’après la propriété des angles d’un triangle, on a



A + B + C = 180°


90° + B + C = 180°


B + C = 180° – 90°


B + C = 90°
((
A
C
Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l’angle droit sont aigus
et complémentaires. ( leur somme est égale à 90° )