Modélisation de la dispersion chromatique et de l`atténuation dans

Modélisation de la dispersion chromatique et de
l’atténuation dans les fibres microstructurées à coeur
suspendu
Mémoire
Pierre-Louis Gagnon
Maîtrise en mathématiques
Maître ès sciences (M.Sc.)
Québec, Canada
© Pierre-Louis Gagnon, 2016

Résumé
D’abord, nous présentons les principes physiques nous permettant de modéliser et com-
prendre le phénomène de propagation linéaire des impulsions lumineuses dans un milieu
homogène, dans les guides d’ondes planaires et enfin dans les fibres optiques microstructu-
rées.
Ensuite, nous faisons une analyse mathématique rigoureuse des équations linéaires de pro-
pagation et posons le problème comme celui de la recherche de valeurs propres d’opérateurs
auto-adjoints dans un espace de Hilbert. On verra que ces résultats théoriques s’appliquent
aux équations simulées dans le logiciel Comsol Multiphysics.
Enfin, nous recensons et proposons différentes façons de prédire les valeurs de dispersion
chromatique et d’atténuation dans les fibres microstructurées à coeur suspendu en utilisant
les notions et équations discutés dans les deux premiers chapitres. Le choix de la géométrie,
du matériau et de la longueur d’onde de la lumière transmise sont parmi les variables étu-
diées numériquement. Nous ferons également un exemple détaillé d’utilisation du logiciel
Comsol Multiphysics pour construire un modèle de fibre optique microstructurée.
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Table des matières
Résumé iii
Table des matières v
Liste des figures vii
Nomenclature ix
Remerciements xiii
1 Introduction 1
1.1 Nature de la lumière ............................... 1
1.2 Électromagnétisme et équations de Maxwell ................. 2
1.2.1 Relations constitutives et polarisation électrique ........... 3
1.3 Matériaux pour l’optique ............................. 4
1.3.1 Condition d’interface pour le champ électrique ............ 5
1.3.2 Modèle de Lorentz et formule de Sellmeier .............. 6
1.3.3 Relations de Kramers-Kronig ...................... 9
1.4 Milieu homogène ................................. 10
1.4.1 Superposition d’ondes planes monochromatiques .......... 13
1.5 Milieu non-homogène .............................. 16
1.5.1 Guide d’ondes optiques planaire .................... 16
1.5.2 Dispersion et vitesse de propagation .................. 18
1.5.3 Fibres optiques microstructurées .................... 20
2 Analyse spectrale du problème de modes dans les fibres optiques 23
2.1 Formulation du problème ............................ 23
2.1.1 Espaces fonctionnels et opérateurs de base pour fibres optiques . . 23
2.1.2 Définition des modes guidés, de radiation et de fuite ........ 27
2.1.3 Reformulation du problème de mode guidé ............. 29
2.1.4 Formulation de β(ω)versus ω(β)................... 29
2.2 Analyse spectrale avec le champ magnétique ................. 30
2.2.1 Bornes sur les valeurs propres ..................... 32
2.2.2 Spectre essentiel des fibres optiques .................. 33
2.2.3 Application du principe du min-max ................. 34
2.2.4 Théorème d’existence de valeurs propres ............... 35
2.3 Généralisation au cas tensoriel ......................... 36
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