Vendredi 18 décembre 2009 PGCD ET PPCM Algorithme binaire du

1eL Vendredi 18 d´ecembre 2009
PGCD ET PPCM
Algorithme binaire du calcul du PGCD
L’algorithme qui suit est particuli`erement adapt´e `a l’arithm´etique binaire. En effet, la seule division que
l’on demande d’effectuer est la division par 2, qui est particuli`erement facile si les nombres sont ´ecrits en
base 2.
Algorithme. ´ Etant donn´e deux entiers uet vstrictement positifs, l’algorithme d´etermine le PGCD de
ces deux nombres.
1. (Trouver la puissance de 2.) Affecter k←0, puis r´ep´eter, tant que uet vsont pairs, les instructions
k←k+ 1, u←u/2, v←v/2.
2. (Initialisation.) [Maintenant, les nombres uet vont ´et´e divis´es par 2k, et au moins l’un des entiers uet
vest impair.] Si uest impair, t← −vet aller en 4, sinon t←u.
3. (Division de tpar 2.) t←t/2.
4. (Est-ce que test pair?) Si test pair, aller en 3.
5. (Remplacer max(u, v).) Si t > 0, alors u←t, sinon v← −t. [Le plus grand des nombres uet vest
remplac´e par |t|, sauf peut-ˆetre `a la premi`ere ex´ecution de cette ´etape.]
6. (Soustraire.) Affecter t←u−v. Si t6= 0, aller en 3, sinon l’algorithme est termin´e, et 2k.u est la r´eponse.
Exercices
1. Dans l’algorithme binaire ci-dessus, suivre l’´evolution des valeurs des variables k,u,v,tau cours de
l’ex´ecution de l’algorithme, lorsque les valeurs de uet vsont initialement donn´ees par u= 40 902, v= 24 140.
Comparer le temps d’ex´ecution de l’algorithme avec la d´etermination du PGCD de 40 902 et 24 140 par
l’algorithme d’Euclide.
2. Justifier les r´esultats math´ematiques suivants, qui assurent la validit´e de l’algorithme.
a.Si uet vsont pairs, alors PGCD(u, v) = 2PGCD(u/2, v/2).
b.Si uest pair et vest impair, alors PGCD(u, v) = PGCD(u/2, v).
c.Comme pour l’algorithme d’Euclide, PGCD(u, v) = PGCD(u−v, v)
d.Si uet vsont impairs, alors u−vest pair et |u−v|<max(u, v).
3. Que devient le PGCD de nombres entiers, si l’on multiplie les nombres un mˆeme entier naturel a(non
nul)?
4. On divise 4 936 et 5 327 par un mˆeme entier a, et on obtient respectivement pour restes 40 et 47. Quel
est le nombre a?
5. La somme de deux nombres aet best s= 276 ; le plus grand diviseur commun `a ces deux nombres est
D= 23. Quels sont les deux nombres aet b?
6. Reprendre l’exercice pr´ec´cedent avec s= 165, D= 15.
7. D´ecomposer 3 528 en produit de deux facteurs premiers entre eux. Donner toutes les solutions.
8.a. D´emontrer que deux nombres entiers cons´ecutifs sont premiers entre eux.
b.En d´eduire que, si nd´signe un nombre entier, les nombres net 2n+ 1 sont premiers entre eux, et les
nombres n+ 1 et 2n+ 1 sont premiers entre eux.
9. Deux livres ont respectivement 960 et 1 216 pages. Ils sont form´es de fascicules qui comportent chacun
le mˆeme nombre de pages compris entre 50 et 70. Quel est le nombre de page de chaque fascicule?
10. On dispose de 48 pommes, 72 poires et 240 oranges. Avec ces fruits on garnit le plus grand nombre
possible de corbeilles de mˆeme composition. Combien remplit-on de corbeilles? Quelle est la composition de
chacune d’elles?
11. Calculer le PPCM aux paires de nombres suivantes :
a.24 et 56 ;
b.128 et 182 ;
c.225 et 600 ;
12. Calculer le PPCM des nombres 48, 72 et 81.
13. Calculer le PPCM des nombres 72, 180 et 270.
14. Le PPCM de deux entiers aet best 210 ; le nombre aest ´egal `a 15 ; calculer le nombre b; donner toutes
les solutions.
15. On a plac´e sur le bord d’une route, `a partir d’un point Ades poteaux t´el´egraphique espac´es de 84 m
et des bornes kilom´etriques. Quelle est la plus petite distance que l’on puisse parcourir sur cette route pour
trouver `a nouveau ensemble un poteau et une borne? Quel est le nombre de poteaux et le nombre de bornes
rencontr´es sur cette distance?
16. Le nombre d’´el`eves d’une ´ecole est compris entre 500 et 999. Si l’on r´epartit ces ´el`eves en groupes de 18,
ou en groupes de 20, ou en groupes de 24, il reste `a chaque fois 9 ´el`eves non group´es. Quel est le nombre de
ces ´el`eves? Peut-on disposer ces ´el`eves en carr´e?
17. R´eduire les quatre fractions 23
45 ,35 60 ,23 90 et 35 75 au mˆeme d´enominateur.