Vendredi 18 décembre 2009 PGCD ET PPCM Algorithme binaire du

1e L
Vendredi 18 décembre 2009
PGCD ET PPCM
Algorithme binaire du calcul du PGCD
L’algorithme qui suit est particulièrement adapté à l’arithmétique binaire. En effet, la seule division que
l’on demande d’effectuer est la division par 2, qui est particulièrement facile si les nombres sont écrits en
base 2.
Algorithme. Étant donné deux entiers u et v strictement positifs, l’algorithme détermine le PGCD de
ces deux nombres.
1. (Trouver la puissance de 2.) Affecter k ← 0, puis répéter, tant que u et v sont pairs, les instructions
k ← k + 1, u ← u/2, v ← v/2.
2. (Initialisation.) [Maintenant, les nombres u et v ont été divisés par 2k , et au moins l’un des entiers u et
v est impair.] Si u est impair, t ← −v et aller en 4, sinon t ← u.
3. (Division de t par 2.) t ← t/2.
4. (Est-ce que t est pair?) Si t est pair, aller en 3.
5. (Remplacer max(u, v).) Si t > 0, alors u ← t, sinon v ← −t. [Le plus grand des nombres u et v est
remplacé par |t|, sauf peut-être à la première exécution de cette étape.]
6. (Soustraire.) Affecter t ← u−v. Si t 6= 0, aller en 3, sinon l’algorithme est terminé, et 2k .u est la réponse.
Exercices
1. Dans l’algorithme binaire ci-dessus, suivre l’évolution des valeurs des variables k, u, v, t au cours de
l’exécution de l’algorithme, lorsque les valeurs de u et v sont initialement données par u = 40 902, v = 24 140.
Comparer le temps d’exécution de l’algorithme avec la détermination du PGCD de 40 902 et 24 140 par
l’algorithme d’Euclide.
2. Justifier les résultats mathématiques suivants, qui assurent la validité de l’algorithme.
a. Si u et v sont pairs, alors PGCD(u, v) = 2PGCD(u/2, v/2).
b.Si u est pair et v est impair, alors PGCD(u, v) = PGCD(u/2, v).
c.Comme pour l’algorithme d’Euclide, PGCD(u, v) = PGCD(u − v, v)
d.Si u et v sont impairs, alors u − v est pair et |u − v| < max(u, v).
3. Que devient le PGCD de nombres entiers, si l’on multiplie les nombres un même entier naturel a (non
nul)?
4. On divise 4 936 et 5 327 par un même entier a, et on obtient respectivement pour restes 40 et 47. Quel
est le nombre a?
5. La somme de deux nombres a et b est s = 276 ; le plus grand diviseur commun à ces deux nombres est
D = 23. Quels sont les deux nombres a et b?
6. Reprendre l’exercice précćedent avec s = 165, D = 15.
7. Décomposer 3 528 en produit de deux facteurs premiers entre eux. Donner toutes les solutions.
8.a. Démontrer que deux nombres entiers consécutifs sont premiers entre eux.
b.En déduire que, si n dśigne un nombre entier, les nombres n et 2n + 1 sont premiers entre eux, et les
nombres n + 1 et 2n + 1 sont premiers entre eux.
9. Deux livres ont respectivement 960 et 1 216 pages. Ils sont formés de fascicules qui comportent chacun
le même nombre de pages compris entre 50 et 70. Quel est le nombre de page de chaque fascicule?
10. On dispose de 48 pommes, 72 poires et 240 oranges. Avec ces fruits on garnit le plus grand nombre
possible de corbeilles de même composition. Combien remplit-on de corbeilles? Quelle est la composition de
chacune d’elles?
11. Calculer le PPCM aux paires de nombres suivantes :
a. 24 et 56 ;
b.128 et 182 ;
c.225 et 600 ;
12. Calculer le PPCM des nombres 48, 72 et 81.
13. Calculer le PPCM des nombres 72, 180 et 270.
14. Le PPCM de deux entiers a et b est 210 ; le nombre a est égal à 15 ; calculer le nombre b ; donner toutes
les solutions.
15. On a placé sur le bord d’une route, à partir d’un point A des poteaux télégraphique espacés de 84 m
et des bornes kilométriques. Quelle est la plus petite distance que l’on puisse parcourir sur cette route pour
trouver à nouveau ensemble un poteau et une borne? Quel est le nombre de poteaux et le nombre de bornes
rencontrés sur cette distance?
16. Le nombre d’élèves d’une école est compris entre 500 et 999. Si l’on répartit ces élèves en groupes de 18,
ou en groupes de 20, ou en groupes de 24, il reste à chaque fois 9 élèves non groupés. Quel est le nombre de
ces élèves? Peut-on disposer ces élèves en carré?
35 23
35
17. Réduire les quatre fractions 23
45 , 60 , 90 et 75 au même dénominateur.