DS 4 le second degré Exercice 1: discriminant (8pts) 1. Résoudre

le second degré
DS 4
discriminant (8pts)
Exercice 1:
1. Résoudre 4x 2 + 17x − 15 = 0.
2. Résoudre 4x 2 + 17x − 15 ≤ 0.
3.
(a) Donner la forme factorisée de 4x 2 + 17x − 15.
(b) Résoudre 4x 2 + 17x − 15 + (x + 5)(x 2 − 2x) = 0.
(c) Simplifier
4x 2 + 17x − 15
.
4x − 3
œufs (5pts)
Exercice 2:
Trois concurrents lancent des œufs au dessus de leur tête respective. Marc a son œuf qui a pour altitude z0 (t ) =
−5t 2 + 10t + 2, celui de Piotr z1 (t ) = −5t 2 + 14t + 2 et enfin celui de Naranbaatar z2 (t ) = −5t 2 + 8t + 2. Les altitudes sont
données en mètres.
1. Ils ont lâché l’œuf au niveau de leur tête et le chronomètre s’est enclenché (t = 0s). Quelle est la taille des intervenants ?
2. Quel est l’œuf qui est allé le plus haut ? Préciser les altitudes maximales des œufs.
3. Combien de temps l’œuf de Naranbataar est resté en l’air avant de s’écraser violemment sur sa tête ?
Exercice 3:
liens entre coefficients et courbes (4pts)
On sait que très peu de choses sur chacun des polynômes du second degré P,Q, R, S, les nombres a, b, c, x2 sont
différents et inconnus pour chacun d’eux. Les quatre polynômes sont différents.
16
C1
14
P (x) = a(x − 5)(x + x2 )
Q(x) = −2x 2 + bx + c et a un discriminant
positif.
−b
R(x) = ax 2 + bx + c avec
= 2.
2a
S(x) a un discriminant négatif.
12
10
8
6
C2 C3 C4
4
2
−3
−2
−1−2
1
2
3
4
5
6
−4
1. Dire quelles sont les représentations graphiques de chacun d’eux (C 1 est la courbe de P ,Q,R ou S ?).
2. Justifier ses choix.
Exercice 4:
œufs la suite (3pts)
Naranbataar vient de recevoir son œuf sur la tête.
Gengis Khan, fou de rage devant un tel spectacle, décide de lancer l’œuf à plus de 20 mètres au dessus de sa tête.
1. Quelles sont les valeurs de b qui conviennent (si z3 (t ) = −5t 2 + bt + 2) ?
2. Calculer en fonction de b le temps nécessaire pour voir Gengis Khan convulser car il aura reçu son œuf sur la
tête.
3. Donner un programme qui demande la valeur de b puis calcule et affiche le temps avant réception de l’œuf.
DS 4 correction
le second degré
discriminant (8pts)
Exercice 1:
1. Résoudre 4x 2 + 17x − 15 = 0.
2
C’est une équation du second
p degré avec a=4,b=17,c=-15. On calcule donc le discriminant ∆ = 17 − 4 × 4 × (−15) = 529. Comme ∆ > 0 il y a
−17 − 529
3
deux solutions. x 1 =
= −5 et x 2 = .
8
4
2. Résoudre 4x 2 + 17x − 15 ≤ 0.
On forme
·
¸ le tableau de signes en pensant « qu’à l’intérieur »des racines le signe est celui de −a = −4. Ainsi les solutions sont dans l’intervalle
3
−5;
.
4
3.
(a) Donner la forme factorisée de 4x 2 + 17x − 15.
¶
µ
¶
µ
3
3
= 4(x + 5) x −
∆ est positif donc la forme factorisée est du type a(x − x 1 )(x − x 2 ) soit ici 4(x − (−5)) x −
4
4
(b) Résoudre 4x 2 + 17x − 15 + (x + 5)(x 2 − 2x) = 0. Développer conduit à un polynôme du troisième degré. Il existe des formules. Mais
nous ne les³ connaissons
pas. On tente donc de remplacer le polynôme par sa forme factorisée. 4x 2 + 17x − 15 + (x + 5)(x 2 − 2x) = 0
´
⇔ 4(x + 5) x − 43 + (x + 5)(x 2 − 2x) = 0
´
i
h ³
£
¤
⇔ (x + 5) 4 x − 43 + (x 2 − 2x) = 0 ⇔ (x + 5) 4x − 3 + x 2 − 2x = 0
£
¤
⇔ (x + 5) x 2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x + 5 = 0 ou x 2 + 2x − 3 = 0 On reconnait une autre équation du second degré qui a pour discriminant
∆ = 16 donc deux solutions que l’on sait calculer.
⇔ x = −5 ou x = 1 ou x = −3
4x 2 + 17x − 15
(c) Simplifier
.
4x − 3
´
³
3
(x + 5)(4x − 3)
4x 2 + 17x − 15 4(x + 5) x − 4
=
=
= x + 5 pour x 6= 43 .
4x − 3
4x − 3
4x − 3
Exercice 2:
œufs (5pts)
Trois concurrents lancent des œufs au dessus de leur tête respective. Marc a son œuf qui a pour altitude z 0 (t ) = −5t 2 + 10t + 2, celui de Piotr
z 1 (t ) = −5t 2 + 14t + 2 et enfin celui de Naranbaatar z 2 (t ) = −5t 2 + 8t + 2. Les altitudes sont données en mètres.
1. Ils ont lâché l’œuf au niveau de leur tête et le chronomètre s’est enclenché (t = 0s). Quelle est la taille des intervenants ?En remplaçant t par
0 on trouve 2m pour tous.
2. Quel est l’œuf qui est allé le plus haut ? Préciser les altitudes maximales des œufs.L’extremum est atteint en t = −b
2a . Vu que a = −5 pour les
trois polynômes on aura bien un maximum en cette valeur. Pour z 0 le plus haut point est atteint en t = 1s et vaut 7m. Pour z 1 le plus haut
point est atteint en t = 1,4s et vaut 11,8m. Pour z 2 le plus haut point est atteint en t = 0,8s et vaut 5,2m. Piotr a lancé son œuf plus haut.
3. Combien de temps l’œuf de Naranbataar est resté en l’air avant de s’écraser violemment sur sa tête ? On cherche quand l’œuf est à une
altitude de 2m. Soit z 2 (t ) = 2 ⇔ −5t 2 + 8t = 0 ⇔ t = 0s ou t = 1,6s. On n’est pas trop surpris de voir que l’oeuf met autant de temps pour
redescendre qu’il avait mis pour monter 0,8s +0,8s.
Exercice 3:
liens entre coefficients et courbes (4pts )
On sait que très peu de choses sur chacun des polynômes du second degré P,Q,R,S, les nombres a,b,c, x 2 sont différents et inconnus pour
chacun d’eux. Les quatre polynômes sont différents.
16
C1
14
12
P (x) = a(x − 5)(x + x 2 )
Q(x) = −2x 2 + bx + c et a un discriminant positif.
−b
= 2.
R(x) = ax 2 + bx + c avec
2a
S(x) a un discriminant négatif.
10
8
6
4
C2
C3
C4
3
4
5
2
−3
−2
−1−2
1
2
6
−4
P admet une racine 5 donc sa courbe passe par (5,0) et C 4 est la seule à passer par ce point.
Q a sa courbe tournée vers le bas et traverse l’axe des abscisses deux fois mais plusieurs courbes sont dans ce cas.
R a son extremum en x = 2 donc forcément sa courbe est C 3 et celle de Q est forcément C 2
S a sa courbe qui ne rencontre pas l’axe des abscisses donc elle est C 1
Exercice 4:
œufs la suite (3pts)
Naranbataar vient de recevoir son œuf sur la tête.
Gengis Khan, fou de rage devant un tel spectacle, décide de lancer l’œuf à plus de 20 mètres au dessus de sa tête.
1. Quelles sont les valeurs de b qui conviennent (si z 3 (t ) = −5t 2 + bt + 2) ? Il faut que z 3 (t ) = 20 aitpau moins
p une solution dans [0;+∞[. Le
discriminant de −5t 2 + bt − 18 doit être positif ou nul. ∆ = b 2 − 360 ≥ 0 est équivalent à b ∈] − ∞;−6 10] ∪ [6 10;+∞[. Mais le maximum est
atteint en −b
devine que si b est négatif la solution serait dans les temps négatifs. Le tableau de variation en apporte la preuve. Il faut donc
2a on
p
b > 0 soit b ∈ [6 10;+∞[.
2. Calculer en fonction de b le temps nécessaire pour voir Gengis Khan convulser car il aura reçu son œuf sur la tête. item Il faut résoudre
z 3 (t ) = 2 donc −5t 2 + bt = 0 ou encore t = 0s ou t = b5 . Gengis Khan doit attendre b/5 secondes.
3. Donner un programme qui demande la valeur de b puis calcule et affiche le temps avant réception de l’œuf.
0 b=input ( ’ valeur de b ? ’ )
i f b<=0:
print ( ’aucune chance de
r ecev oi r son oeuf sur
la tete ’ )
i f b>0:
print ( b/5 , ’ secondes avant
reception ’ )
DM 7
second degré
1. Le polynôme P (x) = x 2 + 4x + c a son coefficient c obtenu par un lancer de dé. Le dé a six faces.
(a) Calculer les racines de P suivant les valeurs de c.
(b) Quelle est la probabilité que le polynôme n’ait pas de racine ?
2. Développer a(x − x 1 )(x − x 2 ) et déterminer la valeur de a,b et c en fonction de celles de a, x 1 et x 2 .
3. Sur python recopier, puis faire tourner le programme (on pourra répondre faux pour voir ce qu’il se passe).
0 import random
reponse_correcte= False
nombre_tentatives =0
while not ( reponse_correcte ) :
x1=random . randint ( 1 , 1 1 )
5
x2=random . randint ( 1 , 1 1 )
a=1
b=x1+x2
c=x1 * x2
print ( ’ quelles sont l e s s oluti on s de x^2+ ’ ,b , ’ x+ ’ , c , ’ =0? ’ )
10
xx1=input ( ’ x1 ? ’ )
xx2=input ( ’ x2 ? ’ )
i f ( ( x1== f l o a t ( xx1 ) ) and ( ( x2== f l o a t ( xx2 ) ) ) or ( x2== f l o a t ( xx1 ) ) and ( x1== f l o a t ( xx2 ) ) ) :
reponse_correcte=True
e l se :
15
print ( ’non l e s bonnes reponses e t a i e n t x1= ’ , x1 , ’ et x2= ’ , x2 )
nombre_tentatives=nombre_tentatives +1
print ( ’ ex er ci ce r e u s s i en ’ , nombre_tentatives , ’ t e n t a t i v e ( s ) ’ )
4. Modifier le programme pour qu’il demande 10 équations et affiche la note obtenu sur 20.
5. Modifier le programme pour que les équations aient un coefficient a non nul mais différent de 1 (attention les coefficients b et c changent.
DM 7
second degré
1. Le polynôme P (x) = x 2 + 4x + c a son coefficient c obtenu par un lancer de dé. Le dé a six faces.
(a) Calculer les racines de P suivant les valeurs de c.
(b) Quelle est la probabilité que le polynôme n’ait pas de racine ?
2. Développer a(x − x 1 )(x − x 2 ) et déterminer la valeur de a,b et c en fonction de celles de a, x 1 et x 2 .
3. Sur python recopier, puis faire tourner le programme (on pourra répondre faux pour voir ce qu’il se passe).
0 import random
reponse_correcte= False
nombre_tentatives =0
while not ( reponse_correcte ) :
x1=random . randint ( 1 , 1 1 )
5
x2=random . randint ( 1 , 1 1 )
a=1
b=x1+x2
c=x1 * x2
print ( ’ quelles sont l e s s oluti on s de x^2+ ’ ,b , ’ x+ ’ , c , ’ =0? ’ )
10
xx1=input ( ’ x1 ? ’ )
xx2=input ( ’ x2 ? ’ )
i f ( ( x1== f l o a t ( xx1 ) ) and ( ( x2== f l o a t ( xx2 ) ) ) or ( x2== f l o a t ( xx1 ) ) and ( x1== f l o a t ( xx2 ) ) ) :
reponse_correcte=True
e l se :
15
print ( ’non l e s bonnes reponses e t a i e n t x1= ’ , x1 , ’ et x2= ’ , x2 )
nombre_tentatives=nombre_tentatives +1
print ( ’ ex er ci ce r e u s s i en ’ , nombre_tentatives , ’ t e n t a t i v e ( s ) ’ )
4. Modifier le programme pour qu’il demande 10 équations et affiche la note obtenu sur 20.
5. Modifier le programme pour que les équations aient un coefficient a non nul mais différent de 1 (attention les coefficients b et c changent.