Avec utilisation des TICE

Avec utilisation des TICE
TYPE D’ACTIVITÉ PÉDAGOGIQUE :
Activités de synthèse.
THÈME :
Angles-Angles inscrits-Rotations
NIVEAU :
3ème.
CE DOSSIER COMPREND :
2 pages d’exercices.
TRAVAIL DEMANDÉ :
1. Proposer une activité, à mettre en œuvre à l’aide d’un logiciel de Géométrie dynamique,
qui permette de mobiliser les connaissances des élèves de Troisième sur le thème précisé.
2. En admettant que les élèves sachent utiliser un logiciel de Géométrie dynamique que vous
préciserez, donner les énoncés de deux exercices qui utilisent certaines fonctionnalités - que
l’on précisera – de ce logiciel.
SUR LA FICHE D’EXPOSÉ, ON INDIQUERA :
Le plan de l’activité proposée en 1. et deux exercices avec leur corrigé choisis, ou non, dans
les exercices fournis en annexe.
Exercice 1 : Soit ACDE un carré de centre O et ABC un triangle rectangle isocèle en B.
a) Quelle est l’image de D par la rotation de centre O et d’angle 90° dans le sens positif ?
Dans le sens négatif ?
b) Quelle est l’image de C par la rotation de centre A et d’angle 90° dans le sens négatif ?
c) Quelle est l’image de B par cette même rotation ?
d) On note D’ le symétrique D par rapport à C. Que pensez-vous des points A, B, D’ ?
Justifier.
Exercice 2 : C désigne un cercle de centre O ; A, B et C trois points de C. Faire une figure, puis
calculer les angles du triangle ABC vérifiant :
1) AOC 70° et BAC 100°.
2) a) OAC 20°, BAC 30° O et B ne sont pas du même côté de (AC).
2) b) Mêmes valeurs des deux angles mais cette fois, O et B sont d’un même côté de (AC).
Exercice 3 : ABCDEFGH est un octogone régulier de centre O, tel que AB = 2 cm.
1. a) Montrer que ABC 135°.
1. b) Construire l’octogone et le point O.
1. c) Calculer le périmètre de cet octogone.
2. On noté O’ le milieu de [AB].
a) Calculer OO’, puis l’aire de ABO.
b) Calculer la valeur exacte de l’aire de l’octogone, puis donner l’arrondi de cette aire au
mm².
Exercice 4 : C désigne un cercle de centre O et de rayon 3 cm. A, B et C désignent trois points
de C. Dans chaque cas, calculer les angles du triangle Aco, puis faire la figure correspondante.
a) BAC 30° et ACB 40°.
b BAC 70° et ACB 30°.
Exercice 5 : C est un cercle, A, B, C, D sont des points de ce cercle tels que le quadrilatère
ABCD soit un trapèze de bases [AB] et [CD]. On note I le point d’intersection des diagonales
du trapèze.
1. Démontrer que ABD ACD CAB CDB.
2. Quelle est la nature des triangles ABI et DCI ?
Exercice 6 : Montrer que pour la figure présentée ci-dessous, on a ABC
EGF.
L’énoncé de cet exercice parait incomplet car les positions des points B et G ne sont pas
précisées. L’utilisation d’un logiciel de Géométrie dynamique permet de s’apercevoir que ces
deux points peuvent être quelconques sur les cercles de centre O et O’ respectivement.
À partir de cette remarque, la mobilisation du théorème de l’angle inscrit (si l’idée ne vient
pas, on pourra demander de comparer ABC, par exemple, aux autres angles présents sur la
figure) et l’égalité des angles opposés par le sommet en le point de contact des deux cercles
donnent la justification.
Exercice 7 : La figure suivante est composée de deux carrés et de trois triangles équilatéraux
réalisant ainsi un heptagone ABCDEFG.
1. Montrer que les côtés de l’heptagone ont tous la même longueur.
2. Déterminer les sept angles de l’heptagone. En déduire que ABCDEFG n’est pas un
heptagone régulier.
Exercice (non choisi sur la liste proposée en annexe) à traiter avec un LGD : construction
d’une infinité de pentagones équilatéraux non réguliers !
On démarre avec un segment AB.
On trace le cercle de centre A et de rayon AB puis le cercle de centre B et de rayon AB.
Sur ce dernier cercle on choisit un point (fonction : point sur objet) quelconque C et on trace
le cercle de centre C et de rayon CB(=AB).
On choisit sur le cercle de centre C, un point D et en ce point D on centre un cercle de rayon
DC(=CB=BA). Si ce dernier cercle coupe le premier cercle tracé (de centre A et de rayon
AB), on note E un point d’intersection. Alors, le polygone ABCDE a ces 5 côtés de longueurs
égales.
En faisant varier certains des points choisis arbitrairement sur les cercles tracés, on fait varier
les angles aux sommets du pentagone et on obtient ainsi une infinité (potentielle) de
pentagones équilatéraux.
On peut ensuite construire des pentagones équilatéraux non réguliers particuliers. Par
exemple, un tel pentagone avec deux angles droits … Avec un peu de trigonométrie (dans les
triangles rectangles, il n’est pas difficile de faire « observer-calculer-vérifier » les valeurs des
autres angles du pentagone « bi-rectangle ».
Description de l’activité retenue :
Le but de l’activité est de montrer que sous certaines hypothèses, il existe un point du plan à
partir duquel on voit les trois côtés d’un triangle, noté ABC, sous des angles tous égaux à
120°. Un tel point (qui s’appelle le point de Fermat du triangle) possède une propriété
remarquable (qui dépasse ce qui peut être démontré au Collège), il réalise le minimum de la
somme des distances MA+MB+MC.
Chacune des étapes, correspondant aux questions ci-dessous, sera illustrée et expérimentée à
partir des fonctionnalités d’un logiciel de Géométrie dynamique (Cabri-Géomètre par
exemple).
Soit ABC un triangle quelconque acutangle. On construit sur chaque côté un triangle
équilatéral de la façon suivante.
1) Que vaut l’angle AC B ? Si on note Γ le cercle circonscrit au triangle ABC’ et si M
appartient à l’arc AB contenant C’ du cercle Γ , que vaut AMB ? Et si M appartient à l’arc AB
ne contenant pas C’ de ce même cercle ?
2) On note Γ le cercle circonscrit au triangle BCA’. Quels sont les points N de ce cercle pour
lesquels BNC 120° ?
3) a) Existe-t-il des points du plan, notés R, tels que on ait à la fois BRC 120° et ARC
120° ?
b) Si un tel point existe que vaut l’angle CRA ? Sur quels cercles ce point est-il situé ?
Si l’œil d’un observateur est placé au point R, « sous quel angle » voit-il chaque côté du
triangle ?
4. Afficher la valeur RA+RB+RC, puis à partir d’un point P quelconque du plan afficher
PA+PB+PC. Que peut-on conjecturer pour le point R ?