lignes de courant parietales d`un ecoulement tournant entre deux

Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
212
LIGNES DE COURANT PARIETALES D’UN
ECOULEMENT TOURNANT ENTRE DEUX
DISQUES COAXIAUX
Noureddine Abdelkader1, Bouanane Mohamed El Houari and Medjaoui Fatima Zohra
Laboratoire de Mécanique Appliquée-
USTO-MB-BP 1505 Oran El M’naouer (Algérie)- email1: [e-mail].
Abstract— Ce travail constitue une contribution à l’étude de
l’écoulement d’un fluide entre un disque tournant et un disque
fixe. Le modèle numérique utilisé est basé sur la méthode de
Newton en utilisant la technique de tir corrigé, par contre sur le
plan expérimental on a mis en application la technique de
visualisation de l’écoulement pariétal par dépôt électrochimique.
Celle-ci a donné de bons résultas dans différents types
d’écoulements et en particulier dans le cas des solides en rotation.
Cette technique est basée sur le principe du transfert de masse
vers une surface de réaction de l’électrode sur laquelle on veut
visualiser l’écoulement du fluide étudié. Cette méthode de
visualisation des lignes de courant pariétales par dépôt
électrochimique nous a permis de photographier quelques
exemples de visualisation obtenus tant à la surface du disque
tournant que le disque fixe. Nous avons pu comprendre et mettre
en évidence les différents éléments caractérisant ce type
d’écoulement car les lignes visualisées obtenues par cette
technique sont ce qu’on appelle des spirales logarithmiques. Les
phénomènes d’entrée ou de bord sont mis en évidence à travers
notre étude théorique et expérimentale .Le but de ce travail est
de préciser leur étendue à partir de la configuration des lignes de
courant pariétales.
Mots Clés : Dépôt électrolytique- Visualisation- Spirales
logarithmiques- Ecoulement pariétal- fluide visqueux
incompressible- Disque fixe et Disque tournant- Effets d’entrée ou
de bord.
I. INTRODUCTION
L’étude de l’écoulement laminaire d’un fluide
incompressible induit entre deux disques coaxiaux par au
moins la rotation de l’un d’entre eux a été abordée par divers
auteurs. Elle est depuis longtemps un sujet de recherche qui
présente un très grand intérêt aussi bien du point de vue
théorique qu’au niveau des applications pratiques [1, 2, 3, 4, 5,
6]. Les travaux de recherche consacrés à ce type d’écoulement
sont très nombreux. En 1921, Von KARMAN [7] a été le
premier à étudier l’écoulement laminaire engendré par la
rotation d’un seul disque de rayon supposé infini, en
considérant la composante axiale indépendante du rayon local,
il a réduit les équations de Navier-Stokes à un système
d’équations différentielles ordinaires que COCHRAN [8] a
intégré plus tard par une méthode mixte, analytique et
numérique. BENTON [9] a repris cette intégration en utilisant
les équations évolutives de l’écoulement par une méthode
analytique-numérique plus performante que celle de
COCHRAN. De nouvelles techniques expérimentales ont vu le
jour et se sont développées par la suite dans le but de mieux
comprendre et maîtriser les particularités de ce type
d’écoulement et pouvoir faire par la suite une confrontation
entre les modèles numériques utilisés et les résultats
expérimentaux obtenus. Dans notre cas on a utilisé la technique
de visualisation de l’écoulement pariétal par dépôt
électrolytique qui a donné de bons résultats dans le cas de
différents types d’écoulement [3, 4, 5].
II. POSITION DU PROBLEME
On considère l’écoulement d’un fluide visqueux
incompressible entre deux disques coaxiaux, parallèles dont
l’un est en rotation. On suppose que le régime est laminaire et
permanent, on désigne respectivement par  la masse
volumique et  la viscosité cinématique du fluide. Le disque
tournant est situé à la cote z*=e* et tourne autour de l’axe oz*
avec une vitesse angulaire constante . Le disque fixe est situé
à la cote z*=0 comme l’indique la fig. 1.
10
ème Séminaire International sur la Physique Energétique
10
th International Meeting on Energetical Physics

Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
213
Figure 1 Schéma du problème
Compte tenu des hypothèses, les équations de Navier-
Stokes et l’équation de continuité s’écrivent :
→
*V p*)
grad
→
(
1
-*
→
V*
→
V grad 
(1)
0Vdiv →
(2)
*)z, ,(r**p 
désigne la pression motrice au point
M
*)z, ,(r* 
.
Les conditions aux limites sont :
→→ 0)0 ,*,r(*V 
→→ j*r*)e*,*,r(*V 
(3)
Les données dimensionnelles du problème sont au nombre
de 4 : e, ω, μ, ρ. Afin d’obtenir la représentation
dimensionnelle la plus intéressante sur le plan physique, nous
choisirons les grandeurs de référence de la façon suivante :
*eL 
*e =V ω
On définit alors les quantités sans dimensions :
V
*V
V
→
→
*p p
L*OM
OM
→
→
L
*z
z
L
*r
r
En reportant ces grandeurs dans les équations (1), (2) et les
conditions aux limites (3), on obtient les relations
adimensionnelles correspondantes :
→→→→ Vp grad-VV gradRe 
(4)
0Vdiv →
(5)
Avec les conditions aux limites suivantes :
 0)0 ,,r(V
→
 jr)1 ,,r(V
→
(6)
A. Recherche d’une solution
Le problème régi par les systèmes d’équations (4), (5) et (6)
ressemble à un type de problème déjà traité au moyen de
solutions exactes de l’équation de Navier-Stockes [5]. Il existe
une solution affine du problème, obtenue en posant :
Re),z(fru 
Re),z(grv 
(7)
Re),z(f2w 
Re),z(lRe),z(hrp 2
Le programme de calcul utilisé a permis d’obtenir les
fonctions du système jusqu’à une valeur du nombre de
Reynolds de rotation égale à 270 [6]. La direction du vecteur
vitesse en un point quelconque de l’écoulement se déduit en
fonction des composantes u et v ; si on désigne par T l’angle
forme par ce vecteur vitesse et la direction radiale centrifuge
comme le montre la fig.2. Dans le cas où le repère angulaire est
lié au disque tournant à la vitesse angulaire ω, l’angle T
correspondant est donné par l’équation (8) :
Re)z,u(r, Re)(r,1, v-Re)z,v(r,
Arctg=Re)z,(r, T
Re)(z, f Re) g(1,-Re)(z, g
Arctg=Re)z,(r, T
(8)
11) (r, vr, ∀ avec 
Les lignes de courant pariétales à la surface du disque
tournant correspondent à des angles TP tels que :
Re)(1, f Re)(1, g
Arctg = ) Rez, (r, lim = r, ∀ T1 → ZTP 
(9)
où z et r sont les coordonnées axiale et radiale respectives et
Re
étant le nombre de Reynolds de rotation tel que :
2
*e . ω
Re
(10)
où ω est la vitesse de rotation, e* est l’épaisseur du jeu entre
les deux disques et
υ
la viscosité cinématique du fluide utilisé.
u
*
w
*
v
*
y
*
x
*
e
*
r
*
ω
z
*
Disque
tournant
O
θ
Disque fixe
(2-4)

Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
214
O
αTP
u
v
Figure 2. Schéma d’une ligne de courant pariétale
III. VISUALISATION ELECTROLYTIQUE DES LIGNES DE
COURANT PARIETALES D’UN ECOULEMENT
TOURNANT
On met en œuvre la technique de visualisation de
l’écoulement pariétal par dépôt électrolytique, cette méthode
est basée sur un processus électrochimique qui a donné de bons
résultats Le dépôt de Cu obtenu à la surface de la cathode
présente une surface parfaitement unie pour des densités de
courant d’électrolyse normales même en présence d’un
mouvement relatif de l’électrode par rapport à la solution
(disque tournant et fluide tournant).Si au contraire on introduit
au sein de la solution un produit désigné dans la littérature par
le nom « d’agent visualisant », des lignes dues à des différences
de vitesse de dépôt électrolytique se dessinent à la surface de la
cathode. Une explication de ce phénomène [10] est qu’une
réaction hétérogène dans des « conditions convenables »
provoque de faibles irrégularités à la surface de l’électrode.
Dans le sillage de ces irrégularités (aspérités ou dépressions) le
taux de la réaction chimique correspondant au dépôt de cuivre
est différent de celui existant en un point normal de la paroi. Il
s’en suit donc l’apparition d’une légère irrégularité du dépôt
dans le sillage. Lorsque l’épaisseur de la couche de diffusion
est petite devant celle de la couche limite dynamique, on peut
démontrer [2] qu’à l’intérieur de la couche de diffusion, les
lignes de courant peuvent être pratiquement confondues avec
les lignes de courant pariétales de la couche limite dynamique
au sein de laquelle le fluide a les mêmes propriétés physiques
que le fluide extérieur. Ainsi les sillons qui se forment à la
surface de l’électrode au bout de quelques minutes
d’électrolyse, correspondraient aux lignes de courant pariétales.
La vérification la plus courante de cette hypothèse a été
réalisée par de nombreux expérimentateurs [2,5] dans le cas de
l’écoulement engendré par un disque tournant au sein d’un
milieu non confiné au repos.
IV. MONTAGE EXPERIMENTAL
Le dispositif utilisé lors des essais est schématisé fig.3
L’ensemble disque fixe disque tournant dont l’écartement et le
parallélisme ont été réglés au préalable, est placé à l’intérieur
d’une cuve cylindrique de 500 mm de diamètre et de 300 mm
de hauteur. Ce récipient qui contient la solution électrolytique
repose sur un plateau doté d’un mouvement vertical
d’amplitude maximale de 2540 mm. Ce système de
déplacement utilise un vérin pneumatique, il permet de placer
les disques au sein du bain d’électrolyse avant chaque opération
de visualisation et de les dégager rapidement à la fin de chaque
expérience afin de procéder à l’observation et à l’analyse des
résultats expérimentaux.
Figure 3 Montage expérimental
A : ampèremètre- M : moteur- P : potentiomètre- V : voltmètre
1 : contact électrique tournant- 2 : arbre tournant-3 : disque
tournant- 4 : disque fixe -5 : support de disque fixe- 6 : cuve
d’électrolyse.
Chaque disque a un diamètre de 166 mm et a été réalisé en
deux exemplaires, l’un en cuivre et l’autre en duralumin. Le
disque en duralumin est utilisé comme cathode lorsqu’on désire
visualiser l’écoulement pariétal sur ce même disque. Le disque
de cuivre joue au contraire le rôle d’anode pour obtenir une
visualisation sur le disque opposé. Le disque tournant est fixé à
l’extrémité d’un arbre vertical. Cet arbre est relié à un bâti par
un ensemble de deux paliers munis de roulements à billes qui
lui assurent une liberté de rotation. Ce dispositif associé à
différents rapports de diamètres des poulies a permis d’obtenir
des vitesses de rotation du disque comprises entre 1,1tr/s et
9,10 tr/s. Le contrôle de cette vitesse est assuré de manière
continue lors d’un essai par l’intermédiaire d’une cellule
photoélectrique associé à un compte tours électronique.
L’erreur relative ainsi commise sur la mesure de N est
inférieure à 0,5%.
V. RESULTATS ET DISCUSSION
A partir des photographies des visualisations obtenues sur
la surface du disque tournant, il a été possible de mesurer la
valeur locale de l’angle αTP entre la direction radiale et la
tangente à la ligne de courant pariétale au point considéré. Une

Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
215
autre méthode peut être utilisée pour mesurer l’angle ; elle est
surtout valable quand les lignes de courant pariétales
visualisées sur la surface du disque tournant forment des
spirales logarithmiques obéissant à l’équation:
0
nrr
L.k
(11)
où k = tg α TP
Figure 4 Photo de lignes de courant pariétales
En suivant une ligne de courant pariétale allant du centre
jusqu’à la périphérie du disque, on porte la valeur du
logarithme du rayon réduit (Ln ri / r0) en fonction de la
coordonnée polaire
i
(exprimée en radians). Si la ligne de
courant considérée a la forme d’une spirale logarithmique, la
courbe obtenue est une droite de pente :
TP
0
0
n
0
1i
n
i1i
0
n
tg
r
r
L-
r
r
L
-
rr
L
α
(12)
Sur la fig. 5, on a porté trois tracés différents pour une
même visualisation sur la surface du disque tournant. L’angle
αTP obtenu par la relation (12) est compris entre 49,30 degrés et
50,37 degrés. La précision de cette méthode de mesure est donc
de l’ordre de 0, 5 degrés.
En dépit d’une précision plus faible la première méthode a
été adoptée pour la présente étude. Elle permet un
dépouillement plus rapide des restitutions photographiques et
elle est surtout mieux adaptée aux conditions pour lesquelles
les lignes de courant ne sont pas des spirales logarithmiques
(cas très souvent rencontré lors de nos essais). Dans cette
éventualité, la seconde méthode perd d’ailleurs tout son intérêt.
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0 010 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
e*=4 mm
N=1.10 tr/s
Re=71
TP=50°
TP
n
tg
r
r
L
0
 (°)
Ln(r/r0)
TP=50.37°
TP=49.30°
TP=50.26°
Figure 5 Graphe de précision et de vérification de αTP
010 20 30 40 50 60 70 80 90 100
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
TP
Re
théorique
Expérience e=2mm
Expérience e=3mm
Figure 6 Evolution de αTP en fonction du Re
Les valeurs de TP déduites des paliers correspondants aux
diverses expériences réalisées sont portées en fonction de Re
sur la fig. 6 (mêmes valeurs que dans la fig.5).Les résultats
théoriques ont été obtenus grâce au programme de calcul basé
sur une méthode numérique itérative à tir corrigé [6]. On
constate tout d’abord que la valeur de l’angle αTP atteint la
valeur de 50 degrés au fur et à mesure que Re augmente au-
delà de 60. Il est à signaler une certaine dispersion des points
expérimentaux qui s'amplifie avec la diminution de Re (Re <
30).Une explication possible de cette dispersion est
l’imprécision affectant la mesure de l’épaisseur du jeu. Celle-ci
est de l’ordre de 0,2mm, soit plus de 10% en valeur relative
lorsque e* est faible, ce qui est le cas aux petits nombres de
Reynolds. Si on compare, pour un même nombre de Reynolds,
les résultats expérimentaux et théoriques (courbe en trait
continu), on constate que les mesures fournissent dans tous les
cas une valeur de αTP supérieure à celle prévue par le calcul.
Pour les valeurs de Re supérieures à 30, l’écart entre les
ordonnées des points expérimentaux et celles de la courbe
théorique qui sont alors indépendantes de Re est lui même
constant et égal à 2 degrés. Comme dans le cas des expériences
réalisées au laboratoire à partir d’un disque tournant en milieu

Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
216
non confiné ainsi que lors d’essais analogues rapportés
précédemment dans la littérature [1, 2, 4]; la valeur de l’angle
obtenue par la technique de visualisation par dépôt est
légèrement supérieure à celle prévue par les résultats
numériques. Cette surélévation s’amplifie lorsque l’expérience
est réalisée aux petits nombres de Reynolds et pour Re égal à
10, l’écart dépasse 15 degrés. La comparaison entre les
résultats des calculs théoriques effectués dans le cadre de
l’hypothèse d’affinité et les valeurs expérimentales
correspondantes montre que la technique de visualisation par
dépôt électrolytique donne des résultats satisfaisants aux grands
nombres de Reynolds. Cette technique de visualisation nous a
permis aussi de mettre en évidence les phénomènes de bord et
d’entrée pour ce type d’écoulement confiné entre deux disques
coaxiaux ayant une dimension radiale finie [11].
REFERENCES
[1] F.LAGHOUITER, A.DAGUENET, D.BODIOT and M. DAGUENET.
Visualisation électrochimique des lignes de mouvement pariétales d’un
fluide. Application à la mise en oeuvre de la dimicroélectrode.J.Cim.
Phys.72 N°.2, 1975.
[2] M.DAGUENET, J-L. PEUBE.Sur une méthode de visualisation des
lignes de courant pariétales.C.R. Acad.de Paris.T.272 P.351-354, série
A, 1971
[3] J-L.BOUSGARBIES and A.RENAUD. Study of the wall streamlines
inside an annular cavity with two rotating walls-flow.visualisation II,
Wolfgang Merzkirch P.641-645,1982.
[4] A.NOUREDDINE. Application de la technique de visualisation par
dépot électrolytique à l'écoulement d'un fluide visqueux entre un disque
tournant et un disque fixe.CIMASI’96, Casablanca (MAROC) ,1996.
[5] M.R.H HILL and G.T ROGERS. Polyethylene glycol in cooper
electrodeposition on to rotating disk electrode. J.Electroanual Chem.86,
P .179-188, 1978.
[6] L.A.OLIVEIRA. Contribution a l’étude de l’écoulement entre un disque
fixe et un disque tournant; influence des phénomènes d’entrée liés à la
valeur finie des rayons.Thèse de Docteur Ingénieur-Poitiers-
(France),1981.
[7] T. VON KARMAN Uber laminare und turbulente Reibung. Z. Angew.
Math. Mech., 1:233–252, 1921.
[8] BENTON E.R.On the flow due to a rotating disc.Proc.Cambridge
Phil.Soc.30, 365 ; 1966
[9] COCHRAN W.G (1934)-The flow due to a rotating.disc.Proc
Cambridge.Phil.Soc.30, 365
[10] F.LAGHOUITER, A.DAGUENET, D.BODIOT and M.DAGUENET-
Visualisation électrochimique des lignes de mouvement pariétales d’un
fluide. Application à la mise en oeuvre de la dimicroélectrode.J.Cim.
Phys.72 N°.2 ,1975.
[11] A.NOUREDDINE and F.Z MEDJAOUI. Analyse des phénomènes
d’entrée et de bord à travers un écoulement confiné entre deux disques
coaxiaux. 19ème Congrès Français de Mécanique- Marseille-(France)-
24-28 août 2009.