10ème Séminaire International sur la Physique Energétique 10th International Meeting on Energetical Physics LIGNES DE COURANT PARIETALES D’UN ECOULEMENT TOURNANT ENTRE DEUX DISQUES COAXIAUX Noureddine Abdelkader1, Bouanane Mohamed El Houari and Medjaoui Fatima Zohra Laboratoire de Mécanique Appliquée1 USTO-MB-BP 1505 Oran El M’naouer (Algérie)- email : [email protected]. Abstract— Ce travail constitue une contribution à l’étude de l’écoulement d’un fluide entre un disque tournant et un disque fixe. Le modèle numérique utilisé est basé sur la méthode de Newton en utilisant la technique de tir corrigé, par contre sur le plan expérimental on a mis en application la technique de visualisation de l’écoulement pariétal par dépôt électrochimique. Celle-ci a donné de bons résultas dans différents types d’écoulements et en particulier dans le cas des solides en rotation. Cette technique est basée sur le principe du transfert de masse vers une surface de réaction de l’électrode sur laquelle on veut visualiser l’écoulement du fluide étudié. Cette méthode de visualisation des lignes de courant pariétales par dépôt électrochimique nous a permis de photographier quelques exemples de visualisation obtenus tant à la surface du disque tournant que le disque fixe. Nous avons pu comprendre et mettre en évidence les différents éléments caractérisant ce type d’écoulement car les lignes visualisées obtenues par cette technique sont ce qu’on appelle des spirales logarithmiques. Les phénomènes d’entrée ou de bord sont mis en évidence à travers notre étude théorique et expérimentale .Le but de ce travail est de préciser leur étendue à partir de la configuration des lignes de courant pariétales. Mots Clés : Dépôt électrolytique- Visualisation- Spirales logarithmiquesEcoulement pariétalfluide visqueux incompressible- Disque fixe et Disque tournant- Effets d’entrée ou de bord. I. INTRODUCTION L’étude de l’écoulement laminaire d’un fluide incompressible induit entre deux disques coaxiaux par au moins la rotation de l’un d’entre eux a été abordée par divers auteurs. Elle est depuis longtemps un sujet de recherche qui présente un très grand intérêt aussi bien du point de vue Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010) théorique qu’au niveau des applications pratiques [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Les travaux de recherche consacrés à ce type d’écoulement sont très nombreux. En 1921, Von KARMAN [7] a été le premier à étudier l’écoulement laminaire engendré par la rotation d’un seul disque de rayon supposé infini, en considérant la composante axiale indépendante du rayon local, il a réduit les équations de Navier-Stokes à un système d’équations différentielles ordinaires que COCHRAN [8] a intégré plus tard par une méthode mixte, analytique et numérique. BENTON [9] a repris cette intégration en utilisant les équations évolutives de l’écoulement par une méthode analytique-numérique plus performante que celle de COCHRAN. De nouvelles techniques expérimentales ont vu le jour et se sont développées par la suite dans le but de mieux comprendre et maîtriser les particularités de ce type d’écoulement et pouvoir faire par la suite une confrontation entre les modèles numériques utilisés et les résultats expérimentaux obtenus. Dans notre cas on a utilisé la technique de visualisation de l’écoulement pariétal par dépôt électrolytique qui a donné de bons résultats dans le cas de différents types d’écoulement [3, 4, 5]. II. POSITION DU PROBLEME On considère l’écoulement d’un fluide visqueux incompressible entre deux disques coaxiaux, parallèles dont l’un est en rotation. On suppose que le régime est laminaire et permanent, on désigne respectivement par la masse volumique et la viscosité cinématique du fluide. Le disque tournant est situé à la cote z*=e* et tourne autour de l’axe oz* avec une vitesse angulaire constante . Le disque fixe est situé à la cote z*=0 comme l’indique la fig. 1. 212 → → → → Re grad V V - grad p V → div V 0 Disque tournant z* (4) (5) Avec les conditions aux limites suivantes : ω → V(r, , 0) 0 w* v* y * → e* u * A. r* x * θ (6) Recherche d’une solution Le problème régi par les systèmes d’équations (4), (5) et (6) ressemble à un type de problème déjà traité au moyen de solutions exactes de l’équation de Navier-Stockes [5]. Il existe une solution affine du problème, obtenue en posant : Disque fixe O V(r, , 1) r j u r f (z, Re) Figure 1 v r g (z, Re) Schéma du problème Compte tenu des hypothèses, les équations de NavierStokes et l’équation de continuité s’écrivent : (1) → div V 0 (2) désigne la pression motrice au point Les conditions aux limites sont : → w 2 f (z, Re) p r 2 h (z, Re) l (z, Re) → → → 1 → grad V * V * - ( grad p*) V * p * (r*, , z*) M (r*, , z*) . Le programme de calcul utilisé a permis d’obtenir les fonctions du système jusqu’à une valeur du nombre de Reynolds de rotation égale à 270 [6]. La direction du vecteur vitesse en un point quelconque de l’écoulement se déduit en fonction des composantes u et v ; si on désigne par T l’angle forme par ce vecteur vitesse et la direction radiale centrifuge comme le montre la fig.2. Dans le cas où le repère angulaire est lié au disque tournant à la vitesse angulaire ω, l’angle T correspondant est donné par l’équation (8) : → V* (r*, , 0) 0 → T (r, z, Re) = Arctg → V* (r*, *, e*) r * j (3) Les données dimensionnelles du problème sont au nombre de 4 : e, ω, μ, ρ. Afin d’obtenir la représentation dimensionnelle la plus intéressante sur le plan physique, nous choisirons les grandeurs de référence de la façon suivante : L e* V = ωe* On définit alors les quantités sans dimensions : → → V* V V z z* L p* p r (7) → → OM* OM L r* L En reportant ces grandeurs dans les équations (1), (2) et les conditions aux limites (3), on obtient les relations adimensionnelles correspondantes : Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010) T (r, z, Re) = Arctg v(r, z, Re) - v (r,1, Re) u(r, z, Re) g (z, Re) - g(1, Re) f (z, Re) (8) avec ∀r, v (r,1) 1 Les lignes de courant pariétales à la surface du disque tournant correspondent à des angles TP tels que : g (1, Re) ∀r, TP = lim Z → 1 T (r, z, Re ) = Arctg (9) f (1, Re) où z et r sont les coordonnées axiale et radiale respectives et Re étant le nombre de Reynolds de rotation tel que : Re ω.e* 2 (10) où ω est la vitesse de rotation, e* est l’épaisseur du jeu entre les deux disques et υ la viscosité cinématique du fluide utilisé. 213 αTP u v de hauteur. Ce récipient qui contient la solution électrolytique repose sur un plateau doté d’un mouvement vertical d’amplitude maximale de 2540 mm. Ce système de déplacement utilise un vérin pneumatique, il permet de placer les disques au sein du bain d’électrolyse avant chaque opération de visualisation et de les dégager rapidement à la fin de chaque expérience afin de procéder à l’observation et à l’analyse des résultats expérimentaux. O Figure 2. Schéma d’une ligne de courant pariétale III. VISUALISATION ELECTROLYTIQUE DES LIGNES DE COURANT PARIETALES D’UN ECOULEMENT TOURNANT On met en œuvre la technique de visualisation de l’écoulement pariétal par dépôt électrolytique, cette méthode est basée sur un processus électrochimique qui a donné de bons résultats Le dépôt de Cu obtenu à la surface de la cathode présente une surface parfaitement unie pour des densités de courant d’électrolyse normales même en présence d’un mouvement relatif de l’électrode par rapport à la solution (disque tournant et fluide tournant).Si au contraire on introduit au sein de la solution un produit désigné dans la littérature par le nom « d’agent visualisant », des lignes dues à des différences de vitesse de dépôt électrolytique se dessinent à la surface de la cathode. Une explication de ce phénomène [10] est qu’une réaction hétérogène dans des « conditions convenables » provoque de faibles irrégularités à la surface de l’électrode. Dans le sillage de ces irrégularités (aspérités ou dépressions) le taux de la réaction chimique correspondant au dépôt de cuivre est différent de celui existant en un point normal de la paroi. Il s’en suit donc l’apparition d’une légère irrégularité du dépôt dans le sillage. Lorsque l’épaisseur de la couche de diffusion est petite devant celle de la couche limite dynamique, on peut démontrer [2] qu’à l’intérieur de la couche de diffusion, les lignes de courant peuvent être pratiquement confondues avec les lignes de courant pariétales de la couche limite dynamique au sein de laquelle le fluide a les mêmes propriétés physiques que le fluide extérieur. Ainsi les sillons qui se forment à la surface de l’électrode au bout de quelques minutes d’électrolyse, correspondraient aux lignes de courant pariétales. La vérification la plus courante de cette hypothèse a été réalisée par de nombreux expérimentateurs [2,5] dans le cas de l’écoulement engendré par un disque tournant au sein d’un milieu non confiné au repos. IV. MONTAGE EXPERIMENTAL Le dispositif utilisé lors des essais est schématisé fig.3 L’ensemble disque fixe disque tournant dont l’écartement et le parallélisme ont été réglés au préalable, est placé à l’intérieur d’une cuve cylindrique de 500 mm de diamètre et de 300 mm Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010) Figure 3 Montage expérimental A : ampèremètre- M : moteur- P : potentiomètre- V : voltmètre 1 : contact électrique tournant- 2 : arbre tournant-3 : disque tournant- 4 : disque fixe -5 : support de disque fixe- 6 : cuve d’électrolyse. Chaque disque a un diamètre de 166 mm et a été réalisé en deux exemplaires, l’un en cuivre et l’autre en duralumin. Le disque en duralumin est utilisé comme cathode lorsqu’on désire visualiser l’écoulement pariétal sur ce même disque. Le disque de cuivre joue au contraire le rôle d’anode pour obtenir une visualisation sur le disque opposé. Le disque tournant est fixé à l’extrémité d’un arbre vertical. Cet arbre est relié à un bâti par un ensemble de deux paliers munis de roulements à billes qui lui assurent une liberté de rotation. Ce dispositif associé à différents rapports de diamètres des poulies a permis d’obtenir des vitesses de rotation du disque comprises entre 1,1tr/s et 9,10 tr/s. Le contrôle de cette vitesse est assuré de manière continue lors d’un essai par l’intermédiaire d’une cellule photoélectrique associé à un compte tours électronique. L’erreur relative ainsi commise sur la mesure de N est inférieure à 0,5%. V. RESULTATS ET DISCUSSION A partir des photographies des visualisations obtenues sur la surface du disque tournant, il a été possible de mesurer la valeur locale de l’angle αTP entre la direction radiale et la tangente à la ligne de courant pariétale au point considéré. Une 214 autre méthode peut être utilisée pour mesurer l’angle ; elle est surtout valable quand les lignes de courant pariétales visualisées sur la surface du disque tournant forment des spirales logarithmiques obéissant à l’équation: k.L n (°) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 0,0 * r r0 (11) Ln(r/r0) où k = tg α TP e =4 mm N=1.10 tr/s Re=71 TP=50° -0,5 tg TP r r0 Ln -1,0 TP=50.37° TP=49.30° TP=50.26° -1,5 -2,0 Figure 5 Graphe de précision et de vérification de αTP 95 théorique Expérience e=2mm Expérience e=3mm 90 85 80 75 TP 70 65 60 55 Figure 4 Photo de lignes de courant pariétales 50 45 0 En suivant une ligne de courant pariétale allant du centre jusqu’à la périphérie du disque, on porte la valeur du logarithme du rayon réduit (Ln ri / r0) en fonction de la coordonnée polaire i (exprimée en radians). Si la ligne de courant considérée a la forme d’une spirale courbe obtenue est une droite de pente : r L n r0 i 1 - i r0 r L n i 1 - L n r0 r0 logarithmique, la tgα TP (12) Sur la fig. 5, on a porté trois tracés différents pour une même visualisation sur la surface du disque tournant. L’angle αTP obtenu par la relation (12) est compris entre 49,30 degrés et 50,37 degrés. La précision de cette méthode de mesure est donc de l’ordre de 0, 5 degrés. En dépit d’une précision plus faible la première méthode a été adoptée pour la présente étude. Elle permet un dépouillement plus rapide des restitutions photographiques et elle est surtout mieux adaptée aux conditions pour lesquelles les lignes de courant ne sont pas des spirales logarithmiques (cas très souvent rencontré lors de nos essais). Dans cette éventualité, la seconde méthode perd d’ailleurs tout son intérêt. Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Re Figure 6 Evolution de αTP en fonction du Re Les valeurs de TP déduites des paliers correspondants aux diverses expériences réalisées sont portées en fonction de Re sur la fig. 6 (mêmes valeurs que dans la fig.5).Les résultats théoriques ont été obtenus grâce au programme de calcul basé sur une méthode numérique itérative à tir corrigé [6]. On constate tout d’abord que la valeur de l’angle αTP atteint la valeur de 50 degrés au fur et à mesure que Re augmente audelà de 60. Il est à signaler une certaine dispersion des points expérimentaux qui s'amplifie avec la diminution de Re (Re < 30).Une explication possible de cette dispersion est l’imprécision affectant la mesure de l’épaisseur du jeu. Celle-ci est de l’ordre de 0,2mm, soit plus de 10% en valeur relative lorsque e* est faible, ce qui est le cas aux petits nombres de Reynolds. Si on compare, pour un même nombre de Reynolds, les résultats expérimentaux et théoriques (courbe en trait continu), on constate que les mesures fournissent dans tous les cas une valeur de αTP supérieure à celle prévue par le calcul. Pour les valeurs de Re supérieures à 30, l’écart entre les ordonnées des points expérimentaux et celles de la courbe théorique qui sont alors indépendantes de Re est lui même constant et égal à 2 degrés. Comme dans le cas des expériences réalisées au laboratoire à partir d’un disque tournant en milieu 215 non confiné ainsi que lors d’essais analogues rapportés précédemment dans la littérature [1, 2, 4]; la valeur de l’angle obtenue par la technique de visualisation par dépôt est légèrement supérieure à celle prévue par les résultats numériques. Cette surélévation s’amplifie lorsque l’expérience est réalisée aux petits nombres de Reynolds et pour Re égal à 10, l’écart dépasse 15 degrés. La comparaison entre les résultats des calculs théoriques effectués dans le cadre de l’hypothèse d’affinité et les valeurs expérimentales correspondantes montre que la technique de visualisation par dépôt électrolytique donne des résultats satisfaisants aux grands nombres de Reynolds. Cette technique de visualisation nous a permis aussi de mettre en évidence les phénomènes de bord et d’entrée pour ce type d’écoulement confiné entre deux disques coaxiaux ayant une dimension radiale finie [11]. REFERENCES [1] F.LAGHOUITER, A.DAGUENET, D.BODIOT and M. DAGUENET. Visualisation électrochimique des lignes de mouvement pariétales d’un fluide. Application à la mise en oeuvre de la dimicroélectrode.J.Cim. Phys.72 N°.2, 1975. [2] M.DAGUENET, J-L. PEUBE.Sur une méthode de visualisation des lignes de courant pariétales.C.R. Acad.de Paris.T.272 P.351-354, série A, 1971 [3] J-L.BOUSGARBIES and A.RENAUD. 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