constante quelque soit l’altitude z. On rappelle que l’altitude z est repérée par
rapport au sol ; c’est à dire que z=0 au niveau du sol.
b) Retrouver l’expression de la pression dP exercée sur un petit élément de
volume de fluide de masse volumique
ρ(
z
)
et de hauteur dz : dP = -
ρ
g dz . On
pourra s’aider d’un schéma représentant les forces agissant sur ce petit
éléments de gaz.
c) En utilisant les expressions de
ρ(
z
)
obtenue en a) et celle de dP démontrée en
b), trouver l’expression de dP/P en fonction de
ρ
, g et dz .
d) Intégrer par rapport à z l’expression obtenue en c). Montrer que la pression
P(z) dans un fluide à l’altitude z s’écrit : P(z) = P0 exp (-M g z / R T)
dans laquelle Po est la pression au niveau du sol (z = 0) et M est la masse
molaire du gaz.
II Problèmes
Les deux problèmes sont indépendants
A- Changements de phase
1- La sonde spatiale Huyghens de masse mH = 400 kg et de diamètre dH = 4 m a atterri
sur Titan, satellite de Saturne, le 14 janvier 2005. Faire un schéma des forces qui
s’exercent sur la sonde lorsque celle-ci pénètre dans l’atmosphère. On veillera à bien
représenter la force de friction visqueuse qu’exerce l’atmosphère sur la sonde. La
sonde Huyghens peut être considérée comme une sphère.
2- L’atmosphère de Titan est principalement constituée d’azote moléculaire. La force de
friction visqueuse de cette atmosphère, pour une sphère de rayon r et de vitesse v dans
un fluide de viscosité
η
, est de la forme :
fT = - 6
π η
r v .
Montrer que l’équation du mouvement de la sonde s’écrit :
mH (d2z/dt2) = -6
πη
r (dz/dt) - mH g
3- Τrouver l'expression de la vitesse limite vl, la vitesse atteinte lorsque l’accélération est
nulle. On admettra que l’atmosphère de Titan a une viscosité de
η
= 3. 10−3 kg. s-1.m-1
et que la constante de gravitation sur Titan est g = 1,35 m.s-2 . Calculer cette vitesse
limite.
4- En fait la sonde est ralentie artificiellement avant de toucher le sol. Elle est arrivée au
niveau du sol avec une vitesse vH = 5 m.s-1 . Calculer pour cette vitesse l’énergie
cinétique Ec de la sonde au moment du choc, donner sa valeur littérale puis sa valeur
numérique.
5- La surface de Titan est constituée presque exclusivement de méthane gelé.
Connaissant la chaleur latente de sublimation de la glace de méthane L’sub = 103 J.g-1 à
la surface de Titan et en considérant qu’au moment du choc, toute l’énergie cinétique
de la sonde a été transformée en chaleur à la surface de Titan, donner l’expression
littérale de la masse de méthane mm qui a été transformé de glace en vapeur puis
donner sa valeur numérique.
6- Une sonde de masse ms = 400 kg et de rayon rs = 0,5 m va heurter la comète Temple
1 le 4 juillet 2005 avec une vitesse vs = 10 km.s-1. Quelle est la valeur de l’énergie
cinétique Ec’ de la sonde au moment du choc sur la comète ? On donnera sa valeur
littérale avant de faire le calcul numérique.
7- Connaissant la chaleur latente de sublimation de la glace d’eau Lsub = 2500 J.g-1
constituant cette comète, donner l’expression littérale de la masse mv d’eau vaporisée
par la collision puis faire le calcul numérique.