Proposition 2

1) Analyse des réponses d'élèves :
élève 1 :
– ne voit que le problème du sens de lecture du résultat
– ne prend pas de bons entiers pour tester l'algorithme (d'où le fait qu'il ne voit pas le
problème de retenue)
– l'élève fait une confusion entre le pseudo-code et le code lui-même (notamment lorsqu'il
propose une modification de l'algorithme)
élève 2 :
– choisit des « bons » entiers et du coup cerne bien le problème de la retenue dans l'addition
– n'arrive pas à modéliser sa pensée sous forme d'algorithme
– l'élève fait une confusion entre le pseudo-code et le code lui-même (notamment lorsqu'il
propose une modification de l'algorithme)
– problème dans sa modification d'algorithme au niveau de la gestion des indices
– dans sa modification : il doit écrire a [i]+b[i]≥10 et non pas a [i]+b [i]>10
L'élève 2 a un niveau supérieur de compétences par rapport à l'élève 1.
2) Correction
Prog:=Add1(a,b)
n:= taille de a ;
r:=retenue ;
r:=0 ;
de i=1 à n faire
c[i]:=r ;
si c[i]+a[i]+b[i]<10 alors
c[i]:=c[i]+a[i]+b[i] ;
r:=0 ;
sinon c[i]:=c[i]+a[i]+b[i]-10 ;
r:=1 ;
fin si
fin faire
c[n+1]:=r ;
écrire c ;
fin prog
3) Exercices proposés
Exercice n°32 p.51 (math'x)
1) Justifier que l'équation x 3−2x²+2x−2=0 admet une unique solution sur l'intervalle
[0;2].
2) Écrire un algorithme utilisant la méthode de dichotomie pour obtenir une valeur approchée
de cette solution.
3) Le programmer. Quel résultat obtient-on ?
Corrigé :
1) On pose f ( x )=x 3−2x²+2x−2 . f est dérivable sur [0;2] et pour tout x de [0;2],
f ' ( x)=3x²+2x+1>0. f est donc continue et strictement croissante sur [0;2]. De plus, 0
est bien compris entre f(0)=-2 et f(2)=2 donc, d'après le TVI, l'équation f(x)=0 admet une
unique solution c sur [0;2].
2) voir Xcas
3) c≈1,544 .
Rappel :
Théorème des valeurs intermédiaires:
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que a<b. Pour tout réel k
compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Méthode de dichotomie
Description :
Cette méthode consiste donc à construire deux suites (an) et (bn) de [a;b] qui vont encadrer et
converger vers la solution c de l'équation f(x)=k (ce sont les mêmes suites qui permettent de
démontrer le théorème des valeurs intermédiaires).
On sait que c appartient à l'intervalle [a;b]. On effectue les opérations suivantes :
• On construit deux suites (an) et (bn) avec a 0=a ; b0=b ;
a n+b n
a +b
)<0 alors an+1= an et b n+1= n n
• Pour n≥0 , si f (a n )× f (
2
2
a n+bn
a n+bn
si f (a n )× f (
et bn+1=bn.
)≥0 alors a n+1=
2
2
Dans les deux cas, on a trouvé un intervalle d'amplitude deux fois plus petite que l'intervalle de
départ [a;b] dans lequel est situé la racine c. On recommence le procédé avec ce nouvel intervalle et
ainsi de suite jusqu'à l'obtention de l'approximation voulue.
Cette méthode peut être programmée à l'aide de logiciel de programmation ou sur une calculatrice
programmable. On donne ici l'algorithme de calcul :
Entrée : f, a , b et Ԑ
Tant que b-a >Ԑ faire
a+b
)<0 alors
si f (a )× f (
2
a+b
b=
2
a+b
sinon a=
2
fin du si
fin du tant que
afficher la solution
Exercice : (math'x 1re S)
En empilant des cubes de hauteurs 1m,
tour eiffel (324 m, antenne comprise) ?
1
m,
2
a+b
ou (a,b)
2
1
m,
3
1
m etc... atteindra-t-on la hauteur de la
4
1 1
1
Soit h n=1+ + +...+
pour tout n≥1 .
2 3
n
Partie A : Avec un tableur
1) calculer les premiers termes hn
2) Peut-on obtenir une pile de hauteur 4m, 8m, 11m, 13m ?
Partie B : En programmant un algorithme
1) Exprimer hn+1 en fonction de hn pour tout n≥0 .
2) Créer un algorithme qui affiche la première valeur de n telle que hn dépasse une hauteur
donnée.
3) Le programmer. Peut-on obtenir une pile de hauteur 4m, 13m, 15m, 16m ?
4) Lancer le programme pour trouver une réponse au problème étudié.
Partie C : A la main
1
1) Écrire h2, h4 et h8 (ne pas les calculer) puis h4 -h2, h8- h4 . Vérifier que h 4−h 2≥
et
2
1
h8 −h 4≥ .
2
1
2) Vérifier que h16−h8 est une somme de termes tous supérieurs ou égaux à
.
16
1
Combien de termes figurent dans cette somme ? En déduire que h16−h8≥
puis que
2
1
h16−h2 ≥3×
.
2
1
3) Justifier de même que pour tout n≥1 h 2n−hn≥
puis en déduire que
2
1
h 2 −h 2≥ ×(n−1).
2
4) Peut-on dépasser la hauteur de la tour Eiffel ? Quelle limite conjecture-t-on pour la suite
(hn) ? Expliquer.
n
Corrigé :
Partie A :
2) On obtient une pile de hauteur au moins 4m pour n=31, de hauteur au moins 8m pour
n=1674. Pour n≤20000 sur le tableur, on n'obtient pas de pile d'au moins 11m ou 13m.
Partie B :
1
1) Pour tout n≥1 , h n+1=h n+
.
n+1
2) Algorithme :
Variables : n,h,s nombres
Entrée : saisir h
Initialisation : n prend la valeur 1
s prend la valeur 1
Traitement : Tant que s<h faire
n prend la valeur n+1
s prend la valeur s+ 1/n
fin tant que
Sortie : Afficher n
3) Le programme donne une pile de hauteur au moins 4m pour n=31.
4) Et avec un peu de patience, une pile de hauteur au moins 13m pour n=248 397 et 16m pour
n=4 989 191.
Partie C
2) En ajoutant membre à membre les inégalités obtenues, on obtient h16−h8≥8×
1
donc
16
1
car c'est une somme de termes tous supérieurs ou égaux à 1/16.
2
1
1
+...+
3) De même, h 2n −hn=
est une somme de n termes tous supérieurs ou
n+1
2n
1
1
égaux à
donc h 2n −hn≥
.
2n
2n
1
1
1
On a alors h 4−h 2≥ , h8−h 4≥ , ... , h2 −h2 ≥ .
2
2
2
1
On ajoute membre à membre ces n-1 inégalités : h 2 −h 2≥(n−1)× .
2
4) On cherche un entier p tel que h p≥324.
1
Or (n−1)× ≥324 équivaut à n≥649 .
2
Donc h 2 −h2 ≥324. La pile pourra donc dépasser la Tour Eiffel . Il suffit de prendre
649
.
n=2
1
1
Comme (n−1)× peut devenir aussi grand que l'on veut et que h 2 ≥(n−1)×
;
2
2
on peut penser que la suite (hn) tend vers l'infini.
h16−h8≥
n
n−1
n
649
n