Proposition 2

1) Analyse des réponses d'élèves :
élève 1 :
–ne voit que le problème du sens de lecture du résultat
–ne prend pas de bons entiers pour tester l'algorithme (d'où le fait qu'il ne voit pas le
problème de retenue)
–l'élève fait une confusion entre le pseudo-code et le code lui-même (notamment lorsqu'il
propose une modification de l'algorithme)
élève 2 :
–choisit des « bons » entiers et du coup cerne bien le problème de la retenue dans l'addition
–n'arrive pas à modéliser sa pensée sous forme d'algorithme
–l'élève fait une confusion entre le pseudo-code et le code lui-même (notamment lorsqu'il
propose une modification de l'algorithme)
–problème dans sa modification d'algorithme au niveau de la gestion des indices
–dans sa modification : il doit écrire
a[i]+b[i]≥10
et non pas
a[i]+b[i]>10
L'élève 2 a un niveau supérieur de compétences par rapport à l'élève 1.
2) Correction
Prog:=Add1(a,b)
n:= taille de a ;
r:=retenue ;
r:=0 ;
de i=1 à n faire
c[i]:=r ;
si c[i]+a[i]+b[i]<10 alors
c[i]:=c[i]+a[i]+b[i] ;
r:=0 ;
sinon c[i]:=c[i]+a[i]+b[i]-10 ;
r:=1 ;
fin si
fin faire
c[n+1]:=r ;
écrire c ;
fin prog
3) Exercices proposés
Exercice n°32 p.51 (math'x)
1) Justifier que l'équation
x3−2x²+2x−2=0
admet une unique solution sur l'intervalle
[0;2].
2) Écrire un algorithme utilisant la méthode de dichotomie pour obtenir une valeur approchée
de cette solution.
3) Le programmer. Quel résultat obtient-on ?
Corrigé :
1) On pose
f(x)=x3−2x²+2x−2
. f est dérivable sur [0;2] et pour tout x de [0;2],
f ' (x)=3x²+2x+1>0.
f est donc continue et strictement croissante sur [0;2]. De plus, 0
est bien compris entre f(0)=-2 et f(2)=2 donc, d'après le TVI, l'équation f(x)=0 admet une

unique solution c sur [0;2].
2) voir Xcas
3)
c≈1,544
.
Rappel :
Théorème des valeurs intermédiaires:
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que a<b. Pour tout réel k
compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Méthode de dichotomie
Description :
Cette méthode consiste donc à construire deux suites (an) et (bn) de [a;b] qui vont encadrer et
converger vers la solution c de l'équation f(x)=k (ce sont les mêmes suites qui permettent de
démontrer le théorème des valeurs intermédiaires).
On sait que c appartient à l'intervalle [a;b]. On effectue les opérations suivantes :
•On construit deux suites (an) et (bn) avec
a0=a ; b0=b
;
•Pour
n≥0
, si
f(an)× f(an+bn
2)<0
alors an+1= an et
bn+1=an+bn
2
si
f(an)× f(an+bn
2)≥0
alors
an+1=an+bn
2
et bn+1=bn.
Dans les deux cas, on a trouvé un intervalle d'amplitude deux fois plus petite que l'intervalle de
départ [a;b] dans lequel est situé la racine c. On recommence le procédé avec ce nouvel intervalle et
ainsi de suite jusqu'à l'obtention de l'approximation voulue.
Cette méthode peut être programmée à l'aide de logiciel de programmation ou sur une calculatrice
programmable. On donne ici l'algorithme de calcul :
Exercice : (math'x 1re S)
En empilant des cubes de hauteurs 1m,
1
2
m,
1
3
m,
1
4
m etc... atteindra-t-on la hauteur de la
tour eiffel (324 m, antenne comprise) ?
Entrée : f, a , b et Ԑ
Tant que b-a >Ԑ faire
si
f(a)× f(a+b
2)<0
alors
b=a+b
2
sinon
a=a+b
2
fin du si
fin du tant que
afficher la solution
a+b
2
ou (a,b)

Soit
hn=1+1
2+1 3+...+1 n
pour tout
n≥1
.
Partie A : Avec un tableur
1) calculer les premiers termes hn
2) Peut-on obtenir une pile de hauteur 4m, 8m, 11m, 13m ?
Partie B : En programmant un algorithme
1) Exprimer hn+1 en fonction de hn pour tout
n≥0
.
2) Créer un algorithme qui affiche la première valeur de n telle que hn dépasse une hauteur
donnée.
3) Le programmer. Peut-on obtenir une pile de hauteur 4m, 13m, 15m, 16m ?
4) Lancer le programme pour trouver une réponse au problème étudié.
Partie C : A la main
1) Écrire h2, h4 et h8 (ne pas les calculer) puis h4 -h2, h8- h4 . Vérifier que
h4−h2≥1
2
et
h8−h4≥1
2
.
2) Vérifier que
h16−h8
est une somme de termes tous supérieurs ou égaux à
1
16
.
Combien de termes figurent dans cette somme ? En déduire que
h16−h8≥1
2
puis que
h16−h2≥3×1
2
.
3) Justifier de même que pour tout
n≥1
h2n−hn≥1
2
puis en déduire que
h2n−h2≥1
2×(n−1).
4) Peut-on dépasser la hauteur de la tour Eiffel ? Quelle limite conjecture-t-on pour la suite
(hn) ? Expliquer.
Corrigé :
Partie A :
2) On obtient une pile de hauteur au moins 4m pour n=31, de hauteur au moins 8m pour
n=1674. Pour
n≤20000
sur le tableur, on n'obtient pas de pile d'au moins 11m ou 13m.
Partie B :
1) Pour tout
n≥1
,
hn+1=hn+1
n+1
.
2) Algorithme :
Variables : n,h,s nombres
Entrée : saisir h
Initialisation : n prend la valeur 1
s prend la valeur 1
Traitement : Tant que s<h faire
n prend la valeur n+1
s prend la valeur s+ 1/n
fin tant que
Sortie : Afficher n
3) Le programme donne une pile de hauteur au moins 4m pour n=31.
4) Et avec un peu de patience, une pile de hauteur au moins 13m pour n=248 397 et 16m pour
n=4 989 191.
Partie C

2) En ajoutant membre à membre les inégalités obtenues, on obtient
h16−h8≥8×1
16
donc
h16−h8≥1
2
car c'est une somme de termes tous supérieurs ou égaux à 1/16.
3) De même,
h2n−hn=1
n+1+...+1 2n
est une somme de n termes tous supérieurs ou
égaux à
1
2n
donc
h2n−hn≥1
2n
.
On a alors
h4−h2≥1
2, h8−h4≥1 2,... , h2n−h2n−1≥1 2
.
On ajoute membre à membre ces n-1 inégalités :
h2n−h2≥(n−1)× 1
2
.
4) On cherche un entier p tel que
hp≥324.
Or
(n−1)× 1
2≥324
équivaut à
n≥649
.
Donc
h2649−h2≥324.
La pile pourra donc dépasser la Tour Eiffel . Il suffit de prendre
n=2649
.
Comme
(n−1)× 1
2
peut devenir aussi grand que l'on veut et que
h2n≥(n−1)× 1
2
;
on peut penser que la suite (hn) tend vers l'infini.