14 - Géométrie dans l`espace

Chapitre 14 - Géométrie dans l'espace
3ème
Chapitre 14 - Géométrie dans l'espace
1
!
Exercice 1
Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées
parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm.
Le pot de glace au chocolat ayant la forme d’un
parallélépipède rectangle et plein, ainsi que le pot
de glace cylindrique à la vanille.
Le restaurateur veut constituer des coupes avec
deux boules au chocolat et une boule à la vanille.
1. Montrer que le volume d’un pot de glace au
chocolat est!
3600 cm3
.
2. Calculer la valeur arrondie au
cm3
du volume
d’un pot de glace à la vanille.
3. Calculer la valeur arrondie au
cm3
du volume
d’une boule de glace contenue dans la coupe.
4. Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes
de glace, combien doit-il acheter de pots au
chocolat et de pots à la vanille ?
Exercice 2
On considère une bougie conique représentée
ci-contre.
Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
La longueur du segment au
SA
⎡
⎣⎤ ⎦
est 6,5 cm.
La figure n’est pas aux dimensions réelles.
1. Sans justifier, donner la nature du triangle
SAO et le construire en vraie grandeur.
2. Montrer que la hauteur SO de la bougie est
6 cm.
3. Calculer le volume de cire nécessaire à la
fabrication de cette bougie. On donnera la
valeur arrondie au dixième de
cm3
.
4. calculer l’angle
ASO
!
. On donnera la
valeur arrondie au degré.

3ème
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2
Exercice 3
Le cube représenté ci-contre d’arête 6 cm.
La figure n’est pas aux dimensions réelles.
On considère :
• Le point M milieu de l’arête
BB'
⎡
⎣⎤ ⎦
;
• Le point N milieu de l’arête
CC'
⎡
⎣⎤ ⎦
;
• Le point P milieu de l’arête
DC
⎡
⎣⎤ ⎦
;
• Le point R milieu de l’arête
AB
⎡
⎣⎤ ⎦
.
1. Quelle est la nature du triangle BRM ?
2. Construire ce triangle en vraie grandeur.
3. Calculer la valeur exacte de RM.
4. On coupe le cube par le plan passant par R
et parallèle à l’arête
BC
⎡
⎣⎤ ⎦
. La section est le
quadrilatère RMNP. Quelle est la nature de
cette section ?
5. Construire RMNP en vraie grandeur. Donner ses dimensions exactes.
6. Calculer l’aire du triangle RBM.
7. Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur
BC
⎡
⎣⎤ ⎦
.
Exercice 4
On réalise la section d’une pyramide SABCD
à base rectangulaire par un plan parallèle à sa
base à 5 cm du sommet.
AB =4,8
cm ;
BC =4,2
cm ;
SH =8
cm.
1. Calculer le volume de la pyramide
SABCD.
2. La pyramide
SA'B'C'D'
!est une réduction
de la pyramide SABCD. Donner le rapport
de cette réduction.
3. En déduire le volume de la pyramide .

3ème
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3
Exercice 5
Une lanterne, entièrement vitrée, a la forme d’une
pyramide reposant sur un parallélépipède
rectangle ABCDEFGH.
S est le sommet la pyramide.
O est le centre du rectangle ABCD.
SO est la hauteur de la pyramide.
Première partie
Dans cette partie, la hauteur SO est égale à 12
cm.
1. Calculer le volume du parallélépipède
rectangle ABCDEFGH.
2. Calculer le volume de la pyramide SABCD.
3. En déduire le volume de la lanterne.
4. Sachant que le segment
OC
⎡
⎣⎤ ⎦
mesure 7,25 cm,
calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de
la mesure de l’angle
OSC
!
.
Deuxième partie
Dans cette partie, on désigne par x la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD.
5. Montrer que le volume en
cm3
de la lanterne est donné par :
Vx
( )
=1470 +35x
.
6. Calculer ce volume pour
x=7
.
7. Pour quelle valeur de x le volume de la lanterne est-il de 1862
cm3
?
8. Un tableur est utilisé pour calculer le volume
de la lanterne, noté
Vx
( )
, pour plusieurs
valeurs de x, hauteur de la pyramide.
Parmi les formules ci-dessous, entoure celle que
l’on peut saisir dans la case
B2
!pour obtenir le
calcul du volume de la lanterne :
1470 +35∗A1
!
=1470 +35 / A1
!
=1470 +35∗A1
!
Justifier la réponse.

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Exercice 6
Un menuisier fabrique une poupée culbuto à partir de deux sphères.
La petite sphère
S
( )
de centre a pour rayon 1,5 cm. La grande sphère
S'
( )
de centre
O'
!a pour
rayon 4,1 cm.
L’artisan coupe la petite sphère par un plan .
La distance du point O au plan
P
( )
est la longueur
OH =1,2
cm.
Il doit ensuite couper la grande sphère par un plan
P'
( )
. La distance du point
O'
!au plan
P'
( )
!
est la longueur
O'H'
.
Afin de les assembler, il veut que les deux sections aient le même rayon.
Calculer la longueur
O'H'
.
Exercice 7
On coupe un cylindre de révolution par un plan
P
( )
!parallèle à son axe
OO '
( )
.
Le quadrilatère KLMN est la section obtenue.
La hauteur du cylindre est 4,5 cm et sa base a un
rayon de 3 cm.
On donne
OH =2
cm.
1. calculer la valeur exacte de KL.
2. Construire en vraie grandeur la section KLMN.