DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE

Cours de M. Jules v 1.1 Classe de Quatrième Contrat 8 page 1
Nom et prénom : ……………………………………………….. 4ème 1
DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
« Hélas trop souvent l’on préfère la liberté d’être stupide à l’obligation d’être intelligent… »
I. Activité : _________________________________________________________________________ 2
II. Médiatrices des côtés d’un triangle. _________________________________________________ 3
A. Définition :_____________________________________________________________________ 3
B. Propriétés des médiatrices :_______________________________________________________ 3
1. Propriétés métriques de la médiatrice (rappel contrat 2) : _______________________________ 3
2. Concourance des 3 médiatrices d’un triangle (rappel contrat 2) : _________________________ 4
3. Exercice de base : ______________________________________________________________ 4
III. Médianes d’un triangle.___________________________________________________________ 5
A. Définition :_____________________________________________________________________ 5
B. Concourance des 3 médianes d’un triangle : _________________________________________ 5
C. Exercice de base : _______________________________________________________________ 5
IV. Hauteurs d’un triangle. ___________________________________________________________ 6
A. Définition :_____________________________________________________________________ 6
B. Concourance des 3 hauteurs d’un triangle : _________________________________________ 7
C. Exercice de base : _______________________________________________________________ 7
V. Bissectrices d’un triangle. ___________________________________________________________ 8
A. Définition :_____________________________________________________________________ 8
B. Concourance des 3 bissectrices d’un triangle : _______________________________________ 8
C. Exercice de base : _______________________________________________________________ 9
VI. Droites remarquables et triangles particuliers._________________________________________ 9
A. Cas du triangle isocèle : __________________________________________________________ 9
B. Cas du triangle équilatéral :_______________________________________________________ 9
VII. Exercices. _____________________________________________________________________ 10

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Vous aurez besoin pour ce cours de votre matériel usuel de géométrie (compas, rapporteur, équerre…).
I. ACTIVITE :
Soit OFU, un triangle quelconque :
On a l’énorme envie de tracer une droite (d) « traversant » le
triangle comme sur la figure ci contre.
(d) a-t-elle ici quelque chose de remarquable à noter ? …….
Contrairement à l’exemple ci dessus, on voudrait tracer une droite (d) ayant une ou plusieurs propriétés
remarquables. Parmi les propositions suivantes, 3 semblent nouvelles et intéressantes, les entourer.
Remarque : la situation correspondant à la dernière proposition a déjà été étudiée : c’est le théorème de ……………….
Ainsi donc, 3 propositions vont nous intéresser :
 (d) passe par un sommet.
 (d) passe par le milieu d’un côté.
 (d) est perpendiculaire à un côté.
En fait, chacune de ces 3 propositions prises séparément n’est pas très intéressante en elle même !
C’est la conjonction de 2 parmi ces 3 propositions, qui va aboutir à quelque chose de remarquable.
Exemple : réunissons les propositions  et  :
 (d) passe par le milieu d’un côté ( [UF] par exemple ).
 (d) est perpendiculaire à ce même côté.
Tracer (d) (n’oubliez pas le codage !)
Comment s’appelle (d) ? (d) est la ……………………………. de [UF].
Au total, combien de couples de 2 propriétés choisies parmi les 3, pouvons nous former ? …….
Ecrivez les et dessinez la droite (d) correspondante sans oublier le codage quand il y en a.
Comment s’appelle (d) dans ce cas ? ……………………………………
F
O
U
(d)
(d) passe
par un
sommet.
(d) est de la
même couleur
que le triangle.
(d) est
confondue
avec un
côté.
(d) bile.
(d) coupe
en 3 un
côté.
(d) est aussi
épaisse que les
côtés du triangle.
(d) passe par
le milieu
d’un côté.
(d) est
perpendiculaire
à un côté
(d) fait un
angle de 60°
avec un côté
(d) est
parallèle à
un côté.
F
O
U
F
O
U

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Comment s’appelle (d) dans ce cas ? ……………………………………
Maintenant, résumons tout cela dans un cours bien propre !
II. MEDIATRICES DES COTES D’UN TRIANGLE.
A. Définition :
Dans un triangle, la médiatrice relative à un côté est ..…… droite :
 qui passe par le ………………… de ce côté.
 et qui est …………………………. à ce même côté.
2 remarques :
• Puisqu’un triangle a 3 côtés, alors il y a …… médiatrices dans un triangle.
• Par abus de langage, on entend parfois « médiatrice d’un triangle » au lieu de « médiatrice relative à un
côté du triangle ». C’est imprécis !
B. Propriétés des médiatrices :
1. Propriétés métriques de la médiatrice (rappel contrat 2) :
Propriété métrique de la médiatrice :
(…. condition ou hypothèse) (….. résultat ou conclusion)
Quand
M est sur la médiatrice d’un
segment [AB] alors
MA = MB
Autrement dit : Lorsque un point est situé sur la médiatrice d'un segment, alors il est situé à la même distance des deux
extrémités de ce segment.
Utilité : cette propriété sert à prouver une égalité de …………………..
La réciproque est vraie aussi :
Réciproque de la propriété métrique de la médiatrice
(….. condition ou hypothèse) (….. résultat ou conclusion)
Quand
………….. alors
M est sur la
……………………………
Autrement dit : Lorsque. un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors c’est un point de la médiatrice de ce
segment.
Utilité : cette propriété sert à prouver qu’un point est sur une …………………..
F
O
U

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2. Concourance des 3 médiatrices d’un triangle (rappel contrat 2) :
Les 3 médiatrices d’un triangle ABC se …………………………….. (sont concourantes) en un point O.
Ce point O est le centre du ……………………………………………………….. à ce triangle ABC.
Ce centre O est donc ………………………………… des 3 sommets A,B et C c-à-d ….… = ….… = ….…
Preuve : voir contrat 2 p.2.
Remarque : 2 médiatrices suffisent pour construire le cercle ………………………
Figure : Construire à la règle et au compas les cercles circonscrits des 2 triangles suivants (codages !) :
Cas particulier du triangle rectangle (rappel) :
Le centre du cercle circonscrit à un triangle
rectangle est le ……….………….……………
de ………………………………………
Cas d’ un triangle ayant un angle obtus :
le centre du cercle circonscrit se trouve à
………………….……….. du triangle.
3. Exercice de base :
Dans le triangle IRC suivant, tracez :
• la perpendiculaire à (RI) passant par C’.
• la perpendiculaire à (CI) passant par R’.
Ces 2 droites se coupent en P.
1) Montrer que P est équidistant de C,R, et I.
2) Tracez (PI’). Montrer que (RC) ⊥ (PI’).
2 remarques :
• La question 1) est parfois posée autrement : « Montrer que P est équidistant de R et C. » ou bien
« Montrer que le triangle RCP est isocèle. ». Elle est souvent supprimée mais sous entendue.
• Cet exercice de base exploite la situation suivante :
on part plus ou moins directement de 2 médiatrices, puis on exploite la troisième (question 2).
C
I
R
R'
C'
I'

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III. MÉDIANES D’UN TRIANGLE.
A. Définition :
Dans un triangle, la médiane relative à un sommet est ..…… droite :
 qui passe par ce ……………………..
 et qui passe par le ………………… du côté opposé à ce sommet.
2 remarques :
• Puisqu’un triangle a 3 côtés, alors il y a …… médianes dans un triangle.
• On dit parfois médiane relative à un côté : elle passe par le milieu de ce côté.
Figure :
• Tracer les 3 médianes du triangle ci contre.
Que remarquez vous ? …………………………………
Appelez G le point de concours.
• Mesurez RG puis RR’, puis calculer à la calculette RG
RR’ ≈ …….
De même, calculer à la calculette CG
CC’ ≈ ……. et IG I I’ ≈ …….
Que constatez vous ? ……………………….
B. Concourance des 3 médianes d’un triangle :
Dans un triangle CRI, on note comme d’habitude I’ le milieu de [CR], R’ le milieu de [IC] et C’ le milieu de [IR].
Les 3 médianes d’un triangle CRI se ………………………….. (sont concourantes) en un point G.
Ce point G s’appelle le centre de gravité (ou « point d’équilibre ») du triangle CRI.
Le centre de gravité G est situé au 2
3 de chaque médiane en partant du sommet relatif à chaque médiane.
Autrement dit : IG = 2
3 I I’ et RG = 2 3 …….. et …….. = ………..
Remarque : 2 médianes suffisent pour construire le centre de gravité.
C. Exercice de base :
Dans le triangle IRC suivant, tracez (RR’) et (CC’).
Ces 2 droites se coupent en M.
1) Montrer que RM = 2
3 RR’.
C
I
R
R'
C'
I'
C
I
R
R'
C'