1 Exemples d`utilisation de l`opérateur gradient 2 De l`eau dans le

STATIQUE DES FLUIDES
1 Exemples d’utilisation de l’opérateur gradient
1) Rappeler la définition d’une force conservative. Établir l’expression générale reliant la force
~
Fet l’énergie potentielle Epdont elle dérive.
2) Établir de même le lien entre le champ électrostatique ~ Eet le potentiel électrique V. Com-
ment est orienté le champ ~ Epar rapport aux surfaces isopotentielles ?
2 De l’eau dans le diesel
Le principal danger pour les nouveaux mo-
teurs diesel (HDI, TDI,...) est une forte pré-
sence d’eau dans le carburant. L’indication de
remplissage d’un réservoir de carburant est pro-
portionnelle à la pression mesurée par une jauge
placée au fond du réservoir.
L’eau, de densité plus élevée que le diesel, vient
se loger au fond du réservoir, faussant ainsi la
mesure prise par la jauge. Le réservoir possède
une hauteur totale H.
On note ρela masse volumique de l’eau, ρdla masse volumique du diesel, gl’accélération de
la pesanteur et pala pression atmosphérique.
1) Déterminer la pression pmax indiquée par la jauge lorsque le réservoir est rempli uniquement
de diesel en fonction de pa,ρd,get H.
2) Le réservoir contient maintenant de l’eau sur une hauteur he, déterminer en fonction de ρe,
ρd,heet Hquelle est la hauteur hdde diesel pour laquelle la jauge indique le plein du réservoir.
Application numérique : Calculer le taux de remplissage T= 100hd
Hpour H= 250 mm,
he=18 mm , ρe= 1,00.103kg.m−3et ρd= 846 kg.m−3.
Réponses : hd=H−ρe
ρdhe;T= 91,5%.
3 Barrage poids
Un mur de barrage de hauteur h= 50 m de largeur `= 100 m, d’épaisseur à la base La le
profil indiqué ci-dessous :
1

1) Déterminer la résultante des forces de pression.
2) On suppose que la maçonnerie, non ancrée, repose directement sur le sol avec un cœfficient
de frottement f= 0,5. Quelle valeur minimale doit-on donner à Lpour que le mur ne glisse
pas ? La densité du matériau constituant le mur vaut 2.
Données complémentaires : masse volumique de l’eau ρ= 103kg.m−3, accélération de la
pesanteur g= 10 m.s−2, pression de l’atmosphère p0= 1,0bar.
Réponse : ~ F=ρg h2
2`~ux−p0`L~uz;L > ρgh2
(p0+ρgh).
4 Résultante des forces de pression s’exerçant sur un bar-
rage.
Un barrage a la forme d’un secteur cylindrique caractérisé par son rayon Ret l’angle α. Ce bar-
rage est rempli d’eau, de masse volumique ρ, sur une hauteur h. Déterminer la résultante des
forces de pression s’exerçant sur la paroi cylindrique. On notera gl’accélération de la pesanteur.
h
α
Réponse : k~ Fk=ρRgh2sin α
2
5 Soulèvement d’une calotte sphérique
Pour quelle hauteur d’eau la cloche sphérique, de masse m, va-t-elle se soulever ? On notera ρ
la masse volumique de l’eau.
h
Réponse : h>3m
πρ 1
3
6 Modèle de l’atmosphère polytropique
L’air atmosphérique est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M= 29 g.mol−1.
La température y est supposée varier avec l’altitude zselon la loi T(z) = T0−az où aest
une constante positive (gradient thermique uniforme). Le champ de pesanteur gest considéré
comme uniforme. Enfin, la pression et la masse volumique de l’air au sol z= 0 sont P0et ρ0
respectivement Pet ρà l’altitude z.
Établir la relation entre la pression Pet la température Tà l’altitude zet en déduire la loi
2

P
P0
=ρ
ρ0q
où qest une constante qui s’exprime en fonction de M, g, a et Rconstante des gaz parfaits (loi
polytropique).
Réponse : q=Mg
Mg−aR
7 Plate-forme flottante
On considère une plate-forme composée d’une plaque plane et de trois poutres cylindriques en
bois qui flottent à la surface de la mer.
On donne :
– les dimensions d’une poutre : diamètre d= 0,50 m et longueur L= 4,0m,
– la masse volumique du bois : ρbois = 700 kg.m−3,
– la masse volumique de l’eau de mer : ρmer = 1027 kg.m−3,
– la masse de la plaque Mp= 350 kg,
– l’accélération de la pesanteur g= 9,81 m.s−2.
1) Calculer le poids total P0de la plate-forme.
2) Exprimer la condition d’équilibre de la plate-forme.
3) En déduire la fraction F(%) du volume immergé des poutres.
4) Déterminer la masse Mcde la charge maximale qu’on peut placer sur la plate-forme sans
l’immerger.
Réponse : 3) F= 82,6%
4) Mc= 420 kg
3

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On considère une tige immergée de longueur
Let de section strès faible. La densité de la
tige par rapport à l’eau est de 0,75. Un fil
maintient l’équilibre. Calculer la longueur x
de la tige immergée.
fil
Réponse : x=L
2
9 "Peser" l’atmosphère
En vous appuyant sur vos connaissances estimer la masse de l’atmosphère terrestre.
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