Périodicité des grandes marées

1PÉRIODICITÉ DES GRANDES
MARÉES
Les deux parties du sujet peuvent être traitées indépendamment. Lorsque l’on
n’arrive pas à démontrer une formule, on peut l’admettre et poursuivre le sujet.
PREMIÈRE PARTIE : ÉTUDE DE L’ORBITE LUNAIRE
I- EFFET DE MARÉE
1- On considère une planète (T)(ce sera la Terre) de centre Ten orbite
circulaire de rayon dautour de l’étoile (S)(ce sera le Soleil) de masse MS.
La constante de la gravitation universelle est G. Calculer, le plus rapidement
possible la vitesse angulaire λ.
2- On considère le référentiel (xT y)en translation circulaire autour de Sà
la vitesse angulaire λ;T x et T y gardent des directions fixes par rapport aux
étoiles lointaines. Pendant la durée étudiée, très courte devant 2π
λ, l’axe des x
reste en permanence la droite orientée −→ ST , avec Tpour origine.
•
•
y
PX
mθ
S d T x
r
×
Le point P(ce sera la Lune) de masse msubit dans le référentiel (xT y)la
force gravitationnelle due à Set la force centrifuge d’inertie d’entraînement due
à la rotation de Tautour de S. La somme de ces deux forces est la force de
marée. Montrer que, au premier ordre, et pour la position correspondant au
schéma ci-dessus : −→
F=GMSm
d32rcos θ
−rsin θ
On admettra cette formule pour la suite, si on n’arrive pas à la démontrer.
1tide
1
Pierre BOUTELOUP

3- Vérifier que l’accélération due à l’effet de marée ~gSs’exprime vectorielle-
ment par la formule :
~gS=GMS
d3[3(~r •~eS)~eS−~r]
~eSest le vecteur unitaire pointant du système Terre-Lune vers le Soleil, et
~r =−−→ T M.
II MÉCANIQUE NEWTONIENNE : LE PROBLÈME DE KE-
PLER
On considère le problème de Kepler d’un mouvement à force d’attraction
centrale en 1
r2:
−→
F=−GmM
r2~u
~u =−→
T P
k−→ T P k
T, le centre attractif est fixe et contient la masse M(masse de la Terre). Gest la
constante de la gravitation universelle. La particule Pa la masse m. On suppose
M≫m.
L’ellipse trajectoire de Pa pour équation en coordonnées polaires :
r=p
1 + ecos θ
4- Montrez que :
dθ
dt =√pGM r2
On pourra utiliser l’expression γr= ¨r−r˙ θ2pour l’accélération radiale. On
écrira cette expression au périgée, ¨rétant calculé en ce point.
5- Montrez que :
dr
dt =esGM psin θ
6- On pose ~σ =~r ∧~v ;~v étant la vitesse. Montrez que ~σ est constant et que :
k~σk=ppGM
2

Déterminez la position de ~σ par rapport l’ellipse trajectoire.
7- On définit le vecteur excentricité −→ Apar :
−→
A=−GM ~r
r+~v ∧~σ
Montrez que −→ Aest constant. On pourra utiliser la formule du double produit
vectoriel :
~u ∧(~v ∧~w) = (~u ~w)~v −(~u~v)~w
8- Déterminez la position de −→ Apar rapport à l’ellipse trajectoire, et montrez
que k−→ Ak=eGM.
III PRÉCESSION DU PÉRIGÉE
À cause de l’effet de marée du Soleil, la loi du mouvement n’est plus :
d~v
dt =−GM r3~r
mais
d~v
dt =−GM r3~r +~gS
~gSétant une petite perturbation.
9- Montrez que −→ An’est plus constant, mais que :
d−→ A
dt =~gS∧~σ +~v ∧(~r ∧~gS)
10- On suppose que l’excentricité de l’ellipse eest constante ; k−→ Akest alors
constant. D’autre part, on suppose que le plan de la trajectoire est fixe. −→ Atourne
donc lentement autour de ~σ, ce qui correspond à une précession du périgée.
Montrez que la vitesse de rotation du périgée, ~ω, peut s’écrire :
~ω =−(~
A•~gS)~σ
A2−1 A2(~
A•~v)(~r ∧~gS)
IV CALCUL EFFECTIF DE ~ω
On prend toujours les mêmes coordonnées cartésiennes, et ~ Aest porté par
l’axe des x. L’équation en coordonnées polaires de l’ellipse trajectoire est donc
toujours la même. Les composantes de ~r sont :
3

~r rcos θ
rsin θ
Mais du fait de la rotation de la Terre autour du Soleil, le Soleil est vu dans
une direction quelconque du plan de l’écliptique (plan de rotation de la Terre
autour du Soleil), de telle manière que les composantes du vecteur unitaire ~eS
pointant vers le Soleil sont :
~eS
cos ϕ
sin ϕ
11- Montrer que la valeur moyenne temporelle fsur un tour de l’ellipse d’un
quantité f, s’exprime par la formule :
f=1
2πab Z2π
0
f r2dθ
f≃1
2πp2Z2π
0
f r2dθ
12- Montrer que :
~
A•~v =−eGMsGM
psin θ
13- Calculer au premier ordre en e, la valeur moyenne temporelle pour un
tour de l’ellipse de
−(~
A•~gS)~σ
A2
On suppose ϕconstant pour le calcul de cette valeur moyenne, et ~ Afixe.
14- Calculer de même au premier ordre en e, la valeur moyenne temporelle
pour un tour de l’ellipse de
−1
A2(~
A•~v)(~r ∧~gS)
15- Le Soleil semble tourner autour de la Terre à la vitesse angulaire λ, tandis
que ~ Atourne également lentement, par rapport aux étoiles lointaines, de telle
manière que l’angle que fait ~ Aavec un axe des Xfixe vaut ψ(t).
Montrer que :
4

˙
ψ(t) = −3
2
MS
d3rp3G M2−5 cos2(ψ−λ t)
16- Posons u= 2λ t −2ψ. L’équation ci-dessus peut se mettre sous la forme :
˙u=a+bcos u
dont la solution est :
t=2
√a2−b2tan−1"ra−b
a+btan u 2#+constante
Montrer que :
t=u
√a2−b2+termes périodiques +constante
17- Calculer la période de rotation (précession du périgée) de l’ellipse trajec-
toire de la Lune en fonction de λet k=3
4
MS
d3qp3G M.
18- Application numérique :
Calculer ken radians par ans.
Calculer la période de précession du périgée de l’ellipse trajectoire de la Lune
en années.
On donne :
Gconstante de la gravitation universelle = 6.67 10−11 N.m2.kg−2
MSmasse du Soleil = 1.99 1030 kg
ddistance de la Terre au Soleil = 1.49 1011 m
pvoisin de la distance de la Lune à la Terre = 3.84 108m
19- En quoi la fin du calcul précédent serait-elle grandement simplifiée si la
Terre tournait beaucoup plus vite autour du Soleil, mettons par exemple en un
mois ?
20- En vous inspirant de la réponse à la question précédente, finalement à quel
phénomène général en physique peut-on attribuer la très grande augmentation
de la vitesse de rotation du périgée quand la vitesse de rotation du périgée et la
vitesse de rotation de la Terre autour du Soleil sont à peu près du même ordre
de grandeur ?
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