méthode de calcul - ETH E

Prom. No. 2428
MÉTHODE
CALCUL
DE
A L'AIDE
DE SUITES
THÈSE
PRÉSENTÉE
POUR
A
L'OBTENTION
L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE, ZURICH,
DU
GRADE
DE
DOCTEUR
ES SCIENCES TECHNIQUES
PAR
MICHEL
CUÉNOD
DE VEVEY ET CORSIER
(VAUD)
Rapporteur:
Prof. E. Gerecke
Corapporteur :
Prof. Dr E. Stiefel
LAUSANNE
-
IMPRIMERIE LA CONCORDE
1955
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-
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AVANT-PROPOS
L'auteur tient
rapporteurs de
à
cette
exprimer
ici
sa
vive
reconnaissance
thèse, MM. les professeurs E. Gerecke
Leurs conseils et leur aide bienveillante lui ont
l'élaboration de
Genève,
ce
mars
travail.
1955.
et
aux
deux
E. Stiefel.
grandement
facilité
Leer
-
Vide
-
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INTRODUCTION
Plusieurs
méthode
article
linear
:
de
«
travaux
calcul
in
A. Tustin montre
tion donnée
au
en
of
comment
une
été
de
analysing
terms
moyen
certain nombre
déjà
l'aide
A method of
Systems
effectuer
ont
à
suite de
des
consacrés
suites.
séries
décomposer
triangles et
d'opérations
ainsi
telles
»
une
Ce nouvel exposé
la
son
the behaviour of
time
suites
à
Dans
dements
établit la relation
(1) *,
de
fonc¬
calcul
comment
définies
un
que addition,
la signification
produit, quotient, en se basant sur
géométrique de ces opérations. En intégrant
comment
calculer
à
l'aide
—
—
particulier l'intérêt de cette méthode de calcul
lorsque les phénomènes que l'on considère sont
caractérisés par des décalages dans le temps. En
conclusion, il déclare que cette méthode de calcul
des perspectives intéressantes qui mérite¬
ouvre
raient d'être approfondies.
—
Dans l'article
«
Contribution à l'étude des
(2),
phé¬
temps
»
le
produit composé
que
correspond à l'intégrale de
Duhamel et que le quotient composé correspond
à la résolution de l'équation intégrale de Volterra.
Nous avons mis en évidence certaines analogies
que l'on peut relever entre le calcul opérationnel
nous
entre
avons
deux
montré
suites
et le calcul à l'aide de suites.
Les
graphie
chiffres entre parenthèses
donnée en annexe.
se
réfèrent à la biblio¬
méthode
part, le
d'autre part. Il expose certains
où la méthode analytique classique conduit à
compliqués
résolution
et où
d'équations
la méthode de calcul
avantageuse
:
différentielles
second membre d'allure
et
résolution
d'équations
avec
déca¬
quelconque,
différentielles
non
équations différentielles aux
partielles auxquelles conduit l'étude
phénomènes de propagation, compte tenu
résolution
des
des
—
de leurs pertes et de leurs réflexions,
étude de fonctions aléatoires,
calcul
de
transformation
la
opérateur-temps
opérationnel dans certains cas
l'intégrale de Laplace n'est pas applicable.
du
Il
calcul
montre
parti qu'offre
illustre
et
à
l'aide
d'exemples
où
le
le calcul à l'aide de suites dans le
domaine des
réglages automatiques, tant pour la
caractéristiques dynamiques des
organes de réglage que pour le calcul de la variation
de la grandeur à régler à la suite d'une perturbation
quelconque agissant sur le dispositif de réglage.
détermination des
Il expose l'utilisation du calcul à l'aide de suites
dans le domaine des
L'essentiel de
Il
a
fait
l'objet
ce
réglages multiples.
travail était terminé
en
d'une thèse de doctorat.
demande des rapporteurs, il
des exemples et par certaines
1952.
Sur la
complété par
adjonctions concer¬
a
été
en
particulier l'exactitude de ce mode de
calcul, compléments qui en ont retardé la publi¬
nant
*
cette
d'une
dérivées
en
nomènes transitoires à l'aide de suites de
qui existe entre
analytique
calcul
linéaires,
—
comportement d'un réglage automatique. Il expose
les fon¬
opérationnel
lage
suites le
de
le
à l'aide de suites s'avère
utiliser la suite de la dérivation pour résoudre des
différentielles du premier et du deuxième
et
et
des calculs
équations
ordre
calcul
cas
un
triangle unitaire, A. Tustin définit la suite qui
correspond à l'opération de l'intégration. Il indique
que l'inverse de cette suite donne la suite qui
correspond à la dérivation. Il montre comment
reprend, puis élargit
du calcul à l'aide de suites et
théoriques
cation.
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PREMIÈRE
PARTIE
PRINCIPES DU CALCUL A L'AIDE DE SUITES
DÉFINITION
I.
Nous considérons
une
certaine fonction
déterminée par rapport à
réelle,
indépendante. A chaque valeur
pendante correspond donc une
et
une
univoque
variable
de la variable indé¬
et une
seule valeur
de la fonction.
Lorsque
veut
ration fonctionnelle à
appliquer
cette
certaine opé¬
fonction et lorsque l'on
une
peut admettre que cette opération a un caractère
linéaire, il peut être avantageux de la décomposer
en
fonctions élémentaires
opération,
tats
obtenus.
autre
chose
auxquelles
on
applique
de superposer ensuite les résul¬
calcul opérationnel n'est pas
et
Le
qu'une
utilisation
systématique
de
ce
procédé ; les fonctions élémentaires sont, dans ce
cas particulier, les
composantes harmoniques ; cette
et
cette
décomposition
recomposition peuvent être
ramenées à des intégrations, sans
que l'on ait besoin
de traiter chaque composante individuellement.
Une autre façon de décomposer une fonction est
de la considérer
comme
étant constituée par
une
suite
d'impulsions. La forme même que l'on donne
à ces impulsions importe peu. Elles peuvent avoir
l'allure d'un triangle, d'une impulsion rectangu¬
laire, d'une fonction exponentielle, etc. Il est pos¬
sible d'appliquer l'opération fonctionnelle considérée
à chacune des impulsions élémentaires,
puis de
les
résultats
ainsi
obtenus.
A
superposer
l'analyse
spectrale à laquelle conduit l'intégrale de Fourier
correspond ainsi une analyse impulsionnelle.
Soit F(t) une certaine fonction représentée
par
la figure 1 avec, en abscisse, la variable indépen¬
dante t. A cette fonction F(t) nous faisons corres¬
pondre la suite S(F). Nous exprimons conventionnellement cette correspondance par le signe (.AJ
*
F(t)AS(F)
Cette suite
tion
*
les
F(t)
=
\j1;...îf.;...].
donnée par les valeurs de la fonc¬
correspondant aux valeurs t, 2t, 3t,...,
est
Conformément
choisie
pour
la
indépendante,
mesure
de
cette
ainsi la fonction
t
étant l'unité
Nous
variable.
suite
décomposons
F(t)
base
t
comme
d'impulsions rectangulaires ayant
et les ordonnées /1; /2, ...,/„,
comme hauteur.
L'unité T doit être choisie suffisamment petite pour
que l'on puisse admettre que sur l'intervalle d'une
unité, la fonction varie linéairement, c'est-à-dire
qu'elle puisse être assimilée à sa tangente. L'exac¬
en
une
...
l'on
cette
de la variable
m,...
aux
symboles littéraux
et
«Règles et Recommandations pour
les signes», ASE, Publ. 192, N° 124.
titude du calcul à l'aide de suites peut être amé¬
en réduisant l'unité choisie
pour la mesure
liorée
de la variable
indépendante.
Réciproquement, nous pouvons dire que toute
suite définit une certaine fonction en considérant
que chaque terme de la suite donne la valeur
moyenne de la fonction pour la valeur de la variable
indépendante caractérisée par l'ordre du terme
de la
suite, puis
en
joignant
entre eux
les
points
ainsi définis. Cette fonction n'a pas besoin d'être
analytique. Elle peut être donnée par un relevé
expérimental ou une analyse statistique. La
indépendante peut être quelconque, cepen¬
variable
dant,
nous
fonctions
Dans
ne
avec
considérons dans la suite que des
seule variable indépendante.
une
la
plupart des exemples d'applications que
développerons, cette variable sera le temps ;
aussi c'est la variable que nous adopterons dans
nos considérations générales ; toutefois, ces consi¬
dérations sont valables également pour toute
nous
autre
Si
variable.
décomposition d'une fonc¬
harmoniques et sa décom¬
position en une suite d'impulsions, nous voyons
qu'à l'intégrale de Fourier correspond le calcul
tion
nous
en ses
comparons la
composantes
de la fonction pour les valeurs unités de la variable
indépendante. Cette seconde façon de procéder
particulièrement avantageuse lorsque la fonc¬
sous forme analytique, mais
d'un
relevé expérimental. Il
résulte, par exemple,
est
tion n'est pas donnée
suffit de
mesurer
de la variable
la fonction pour les valeurs unités
indépendante.
10
OPÉRATIONS AVEC LES SUITES
II.
Addition et soustraction
1.
2.
F(t) et G(t) deux fonctions, et S(F)
; gn ;...]
[/i 5 /2 S •••»/»;•••] et S(G)
[gl; g2;
les deux suites correspondantes. Les termes de
la suite S(F -\- G) résultant de l'addition de deux
suites S(F) et S(G) sont donnés par la somme des
termes correspondants
Soit
=
=
S(F + G)
S(F) + S(G)
=
+ [gi
=
[/i +
ëi ;
=
...
[/2
;
/. +
;
gn ;
suite
S(F-G) résultant du
produit simple
S(F) et S(G) sont donnés
le
des
termes
produit
correspondants. Nous
par
cette
désignons
opération par un point ().
termes
S(F.G)
la
[gi>
S(F).S(G)
•••; gn-, ]
=
es;
En
si
particulier,
k fois à la
caractérise
multipliée
suite est
une
cette
puissance simple sont
considérée, élevés
donnés
par les termes de la suite
à
puissance
cette
S(F*)
simple
chacun
:
m-, /!;...; /„;...]•
=
Les termes de la suite
tient
k fois
disons que la suite est « élevée
simple ». Les termes de la suite
nous
puissance
.
qui
\fii /2;...;/„;•..]•
[figi;hgz; ••.;fngn;...].
=
=
par elle-même,
=
U+
de
quotient simples
des suites
/2 ;...;/„;...]
;...]
; & ;
Les
Produit et
S(F:G)
S(F) par
de la suite
résultant du quo¬
S(G)
la suite
sont
donnés par le quotient des termes correspondants.
Nous désignons cette opération par deux points (:).
S(F:G)
Définition de la suite
Fie. 1.
à
une
correspondant
[gii
fonction donnée.
De
De la définition même des suites découle la
suivante
pondance
corres¬
=
S(F):S(G)
=
définition même
la
correspondances
\~; -f
...]=
g2i ; gn-,
Lgl
des
suivantes
De même à la soustrac-
tion de deux suites
W
respond
une
les termes
•
J
découlent les
A
A S {F1)
G{t)
:
A
-S(FtG)
Il
«
est
suite
S{(F)
tion des deux suites
térisées
les
par
S
Fie. 2.
Définition de
l'addition à l'aide de suites
—
(F)
S(G)
[1
; 2 ;
2
donne la
1] + [1
; 2 ; 2 ;
=
=
1]
carac¬
[1
[1
-
S{F
:
G).
nécessaire
souvent
intercalaire
»
=
[fa
; 2 ;
fa
=
fin
=
-
fa
;
/«
;
termes
...
;
se
servir
les
termes
voisins
fin; ...]
(/0 + fx)
:
1]
; 2 ; 2 ;
[2
avec
1
;
de
dont
Si(F)
valeurs
suivantes
numériques
S{F-G)
Suites intercalaire et échelonnée
3.
des
Nous effectuons l'addi¬
figure
•
>
gn
suites
F{t)k
donnés par la moyenne des
addition.
...]:
:
F{t).G{t)
F(t)
donnés
Exemple
La
•;-
;
#2
;
suite dont
sont
correspondants.
termes
S(G)
cette
/„
...;
cor¬
par la soustraction
S(F + G)
;
:
F(t) + G{t)AS{F+ G).
=
[f1; /2
1]
; 4 ; 3 ;
signification géométrique
K
(fn—1
~T~
fn)
1].
de
avec
f0
=
valeur de
F(i)
pour {
=
0.
:
de
la
sont
11
Ainsi que le
calaire
représente
Si(F)
la
caractérise
tion la valeur moyenne de
le
premier,
le deuxième,
.,
approximativement
.
Elle donne
fonction
et
3t/2
;
correspond
d'environ
.
Ions sont décalés les
uns
par rapport aux autres
d'une unité ; leur hauteur est donnée par la diffé¬
rence entre les termes voisins de la suite intercalaire.
Nous définissons ainsi la
nième intervalle.
le
les
une
;
5t/2
;
...
la suite
à
demi-unité
;
(2n-l) t/2
S[F)
en
«
suite échelonnée
Se{F)
avec
;
...
avec
/«i
=
[fel
/«2
;
h + f*
-
,"
feS',
/» + /3
_
-
fl + ft
_
fn~l ~1~ fn
Produit et
qu'il
Considérons
façon de décomposer
position
comme
d'une
laires, ainsi
Si(F).
fonction
d'échelons
représente la figure
fen
',
•
•]
/« —/o
h —h
fn—2 + fn~l
fn
fn
quotient composés
composé
existe
une
certaine
relation
grandeurs A(t) et B(t).
Par exemple A(t) est la force qui agit sur un point
et B{t) caractérise la position de ce point, ou A(t) est
une force électromotrice et B(t) est le courant qui
est
rectangu¬
4. Ces éche-
les deux
entre
résulte.
en
étant donnée par la super¬
succession
que le
une
,'
_
fonctionnelle
autre
•
fo + h
A. Produit
Une
•
—
4.
Définition de la suite intercalaire
•
_
=
fen
de la considérer
Nous supposons que l'on ait fait varier A(t) selon
une impulsion unitaire I(t) représentée par la figure
5a et caractérisée par un rectangle dont la base est
égale à l'unité choisie et dont l'amplitude est égale
à
1/t,
c'est-à-dire
dont la
surface
est
égale
à 1.
Nous supposons que l'on ait pu mesurer la varia¬
tion de B(t) résultant de l'impulsion unitaire de A
l'on ait obtenu la courbe
et que
par la
figure
5b
S{GAB)
et
=
la
GAB(t) représentée
S(Gab) :
caractérisée par la suite
[gt
; g2 ; g3 ;
Nous définissons la fonction
«
rm
réponse impulsionnelle
...
; g„
Gab^)
de B par
;...].
comme
étant
rapport à. A »,
1
f
fntf-tn-t
%.
¥
4-4
&}û
/
Fie. 4.
—
'
1
ir
en
nX
o
—•>
une
a
d'une fonction
suite d'échelons
T
—-»
Définition de la suite échelonnée
Décomposition
:
décalage
un
avant.
/«3
—
Se (F)
fo + fi
=
u
Fie. 3.
»
valeurs de la
pour les abscisses intercalaires
F(t)
t/2
figure 3, la suite inter¬
première approxima¬
la fonction F(t) pendant
en
F(t)
rectangulaires.
Se[F).
Fie.
5. —Définition
d'une
de la réponse impulsionnelle C^^(t)
une variation de la
grandeur A
grandeur
B à
selon
une
impulsion unitaire I(t).
12
c'est-à-dire
«
taire de A
».
la
réponse
de B à
une
uni¬
impulsion
supposons que le phénomène considéré
est linéaire et superposable, c'est-à-dire
que l'effet,
Nous
à savoir la variation de
proportionnel à
A(t). Nous suppo¬
0.
0, A(t)
B(t)
B(t),
est
=
bx
=
T
(angi)
b2
=
T
{aagi + aagi)
b3
=
T
(aag3 +
o.-2g2 +
aagi)
T
(aagn +
ai2gn-l
+
la cause, à savoir la variation de
également
que pour t <
proposons de déterminer la variation
résultant
d'une variation quelconque
sons
Nous
=
B(t)
de A(t) représentée
par la suite S(A) :
S(A)
6o
figure
par la
=
=
t
±
=
2(4((*
dont
la
suite
représente
figure 6a,
la
ri
est
intercalaire
(ao + ai)
2
abscisses
l'amplitude
S{(A)
[aa
=
i
5
2
+ Clingl)
varia¬
cette
t;
2t;
...
•
; m;
duit par
une
^(*t))
•
((n +
Gu
1
A)t).
-
termes
...
; a{n;
•
•
'
2
S(B) est
produit composé de la suite
suite S (Gab) et représentons ce pro¬
étoile (*) :
S(B)
...
le
t([S{(A)*S(Gab)]).
=
de
Le schéma de calcul
produit
1
'
1) t) +
comme
par la
Si(A)
:
; a« ;a« ;
(ai + aa)
0;
donnée par les
Si(A)
-
Nous définissons la manière dont la suite
tion de A peut être considérée comme étant cons¬
tituée par une
suite d'impulsions intervenant
et
•
an
0
obtenue
aux
•
n
...]
A(t)
successivement
•
n
avec:
Ainsi que le
telle que
...]
;
t=l
[ai;
=
bn
caractérisée
et
b„
;
...
=
nous
de
[b1; b2;
S(B)
...]
=
(an_1 + a")
"1
'
•
'
•
composé
d'après lequel
du
ressort
(1)
s'effectue le
tableau
suivant ;
considérons d'une façon générale que l'on
pose de faire le produit S(A) * S(B) :
S{A)= at
S(B)= 6,
r
«1*1
o2
a3
62
h
o2&!
Ol&2
a3bt
o„TBji-n)
5(.A)*5(B)=a1fr1;
a162+o261;
...
...
...
se
pro¬
On
6n
dnbl
...
...
...
a262
...On—162...
atb3
...On—263...
ox63-f o262+a361;...
n
Vat
...;
r
ZT
)T
b
a
Via. 6.
—
Définition du
produit composé
de deux suites.
Nous constatons que l'on procède de la même
façon que pour la multiplication, dans le système
décimal,
Ainsi que le représente la
de B résultant de la première
figure 66, la variation
impulsion aa est égale
à la réponse G^s(t) de B(t) à une impulsion unitaire,
Ta*i e* caracté¬
réponse multipliée par aa '• 1/t
deux
—
les
:
il
—
[aagi
;
o«g2 ; aag3 ;
aagn ;
La variation de B résultant de la 2me
est
égale
à la
.].
[0
; aagi; aagz ; atig3 ;
...
;
impulsion aa
par raa et
aag(n^.1) ; a^gn;
qu'il
dizaines, puis
ne
.]•
Si
impulsion aa
réponse de B multipliée par raa et
décalée de 2 unités, et ainsi de suite.
La variation de B représentée par la figure 66 est
donnée par la superposition de ces différentes
variations partielles. Elle est caractérisée par la
suite S(B) :
égale
:
doit
les
centaines,
qui
donne le résultat
produit composé d'une
k fois, nous disons symboli¬
élevons cette suite à la puis¬
effectuons
quement que
nous
composée
k
«
le
»
S(A)*S(A)
à la
unités, puis
etc.
multiplication.
suite par elle-même
sance
retourné, c'est-
être
faut pas faire les reports d'une colonne
nous
La variation de B résultant de la 3me
est
suivantes
chiffres
faut d'abord écrire les
de la
réponse de B multipliée
des
à l'autre lors de l'addition
décalée de 1 unité
T
différences
l'ordre
à-dire
==
t
des chiffres donnés par la succession des
suites considérées, avec toutefois les
des
termes
risée par la suite
6n+l—*;...
i=l
t
*
...
*
S(A)
=
[S(A)]K
puissance composée » ne doit pas être
avec la «puissance simple» (suite S(A*)),
obtenue en élevant chaque terme de la suite à la
puissance k ainsi que nous l'avons définie dans le
paragraphe précédent.
Cette
«
confondue
13
Exemple.
Nous
suites
vantes
as
effectuons
multiplication
la
caractérisées par les valeurs
(en
admettant
S(A)
S[B)
S(A)
S(B)
*
t
==
==
==
=
1)
entre
numériques
h
"i-
2
sui¬
1
1
2
1
1
2
2
1
2
4
4
2
1
2
2
1
7
7
4
1
W
«i
b2\
^
«3—«1
2
4
deux
:
1
1
les
«4
»1
b2
b2
11A
T"
/b2\
Nous cherchons combien de fois
b^ entre dans
donne
le
de
la suite du
terme
qui
premier
alf
quotient. Nous multiplions chaque terme de la
suite S(B) par a1/b1 et soustrayons la suite ainsi
obtenue de S(A). Nous cherchons combien de fois
bx entre dans le premier terme de cette nouvelle
suite, ce qui donne le deuxième terme de la suite
du quotient, et l'opération se continue ainsi.
Nous constatons que ce quotient composé s'ef¬
fectue selon les mêmes règles que la division dans
ce
figure 7 donne la signification géométrique de
produit composé. La surface hachurée (1) représente
la suite S (A) multipliée par le facteur 1 ; la surface
hachurée (2) représente la suite S(A) multipliée par 2
et décalée de 1 unité, la surface hachurée (3) repré¬
sente la suite S (A) multipliée par 1 et décalée de
La
ce
2 unités.
le
système décimal des chiffres donnés par la
termes des suites considérées, avec
la différence que, lors des soustractions, on ne
succession des
fait
de
pas
résultat des
d'une
report
colonne
soustractions, positif
l'autre ;
à.
négatif,
ou
le
est
conservé dans la même colonne.
Le
calcul
numérique
d'un
quotient composé
peut s'effectuer le plus commodément
Soit
S(C)
[cj
=
; c2 ;
c„ ;
...
...
]
faisant
en
usage de la formule de récurrence suivante
:
la suite cherchée
obtenue par le quotient composé des suites S(A)
et S(B) ; le terme général c„ se calcule au
moyen
de la relation suivante
Cn
=
ainsi
SWS(B)
c,
du
B.
^(«2-Vl)
quotient composé est l'opération inverse de
produit composé. Soit h nouveau les deux
grandeurs A(t) et B(t) reliées entre elles par une
fonctionnelle.
Nous
S(B)
variations.
Si
et
S(A) qui
l'on effectue
S(B) par S(A),
qui correspond à la
de
:
=
^(«2-«l^)
on
caractérisent
le
Nous
retrouvons
bien
effectuant directement le
les
obtenus
termes
en
quotient composé.
supposons
que l'on ait déterminé la variation de BU) résultant
d'une variation donnée de AU) et que l'on connaisse
les suites
fc2en_i)
.
^3_ai___^2_ai_^etc.
Le
relation
.
Quotient composé
celle du
certaine
obtenons
&„_2C3—
h
Signification géométrique
produit composé.
—
nous
&n_\Ci
bnCl
(«n
=
=
Fig. 7.
7-
:
ces
deux
quotient composé
S(G^b)
détermine la suite
Exemple
Nous contrôlons
[1
on
;
qu'en
divisant la suite
4 ; 7 ; 7 ; 4 ; 1] par la suite
retrouve bien la suite S (A)
1
4
7
7
variation de A selon
1
2
2
1
savoir la
0
2
5
6
4
2
4
4
2
0
1
2
2
1
2
2
1
0
0
0
0
variation de B résultant d'une
une
impulsion unitaire, h,
réponse de B à une impulsion unitaire.
Nous
exprimons symboliquement ce quotient
composé par le signe ($) ou par une double barre
de fraction. La façon dont il s'opère ressort du
tableau suivant :
4
1
1
S(B)
[1 ;
=
S(A)*S(B)—
[1 ; 2 ; 2 ; 1]
2 ;
1]
12
2
1
12
1
=
:
14
Remarques
Nous voyons que la
Nous considérons les deux
a)
A
(x)
B(x)
obtenons
=
(bjx+ J2z2 + b3a? + ...)•
produit
de
•
•
deux
ces
suivant
•
)
:
x3 +
=
coefficients des
puis¬
du
ou
quotient
que celles
règles
qui permettent de calculer les coefficients du polynôme
obtenu par le produit ou le quotient de 2 polynômes.
Il est connu que le produit entre polynômes est
lequel
associatif,
produit
que l'on peut
et
pas
effectue le
on
entre
mettre
évidence
en
=
également commutatif et associatif,
est
ZS(C)
un
c'est-à-dire que
:
=
tient composé.
d)
Considérons les deux suites
S {A)
produit
2
3
2
1
3
2
1
—
1
—
1
1
dit,
0
si la variation de B résultant
de B à
pouvons
nous
A,
impulsion
une
vu
unitaire.
de suites
à l'aide
sont
considérées s'étendent
du calcul
Cependant, les règles
valables lorsque les
sur
un
intervalle très
fonctions
grand
par
rapport à celui de l'unité choisie, ce qui n'est pas le
cas pour l'impulsion unité. Aussi, est-il préférable de
ne
pas choisir cette
unitaire de
1
(t)
Puisque
U
référence,
ou
=
unité
impulsion
mais de
la fonction
comme
fonction
l'échelon unité
prendre
exponentielle F(t)
=
1
—
e~^T.
produit composé est commutatif, il est
avantageux, en ce qui concerne l'exactitude des calculs,
de commencer par faire le produit composé de la
suite qui figure au numérateur par la suite de la fonc¬
tion unitaire, puis d'appliquer à la suite qui en résulte
l'opération du quotient composé avec la suite qui
figure
c)
et
le
au
dénominateur.
Considérons le
effectuons la
S(C)
=
c1
+
c2
S(A)*S(B)
produit composé S(C)
des termes de S(C) :
=
somme
+
c3
...
+
c„
+
...
...
=
•
h+
...
•
•
+ b„+ ...).
•
•
•
3 ; 2 ;
1].
2
—
—
1
•9
21
1
0
12
8
4
—
;
1
4
9
6
—
9
4
—
27
—
—
21
obtenons
18
0
—
14
ainsi
indications
Quelques
du quotient
Dans
e)
unit A
alterné
de
9
9
&AB de B
suite
une
le
sur
alternée
problème
instable.
de la
stabilité
données dans l'annexe I.
sont
nombreux
à B
cas
est connue
la relation
par
la
«
dynamique qui
courbe
de
réponse
rapport à A», dite aussi «réponse indi¬
cielle de B par rapport à A », c'est-à-dire par la varia¬
par
tion de B
résultant
d'une variation
de A
selon
un
rectangulaire. Cette courbe de réponse peut
soit avoir été calculée, soit avoir été relevée expéri¬
mentalement ; l'impulsion unité / (t) est égale lorsque
l'unité T est suffisamment petite à la dérivée de l'éche¬
lon rectangulaire unitaire U(t) ; en première appro¬
ximation la réponse Gab(() à l'impulsion unité est
donnée par la dérivée de la courbe de réponse Q>ab [t).
échelon
Nous
avons vu
que la suite échelonnée Se
(A)
décom¬
posait la fonction A (t) en une suite d'échelons rectan¬
gulaires. La variation de B résultant d'une variation
quelconque de A peut également se calculer en faisant
le produit composé de la suite échelonnée Se(A) par
la suite caractérisant la courbe de réponse <Pab (<) :
=
[Se(A)*S(4>AB)].
.
Ce
mode
de
...
...
;
3
1
S(B)
..
...
1
2
...
a1b1+a1b2+a2b1+a1b3-\-a2b2-\-a3b1-\-a1bi-{+ bn+
)
a1(b1+ b2+ b3
+ bn+ ...) +
+ a2(b1+b2+b3+
+ bn +...)+...
+ On {bj, + b2 + b3 +
+ «n +
) {h + b2 +
(«1 + «2 + «3 +
=
=
1
0
Nous
avons
[1
applications
avantageuse dans certaines
que le quotient composé de la suite
S(A) par la suite S(B) donne en principe la variation
de la grandeur A résultant d'une variation de B selon
Nous
=
quotient composé S(A) ï S(B)
3
nécessaire pour cela de connaître l'expression analy¬
tique des variations de A et B. Nous verrons que cette
propriété est
pratiques.
:
S(B)
et
soit
qu'il
sans
1]
4
—
variation unitaire de
une
—
0
les variations
ramener
3 ; 2 ;
1
3
—
de la variation de A est connue, calculer la variation
de B résultant d'une variation quelconque de A.
Autrement
; 2 ;
1
quotient
le
et
[1
=
Nous effectuons le
0
=
le
IS(4):IS(B).
=
facteur
S(B)*S{A)
S{A)*S{B)
S{A)*S(B) + S(A)*S(C)
S{A)*[S(B)+S(C)].
b) Si nous combinons
composé, nous pouvons,
des termes de la
somme
:
Cette propriété est très commode pour le contrôle
numérique de l'opération d'un produit ou d'un quo¬
produit composé
le
1S(A)-1S{B).
=
suite du dénominateur
polynômes n'importe
Nous voyons ainsi que
commun.
:
également démontrer que lorsque l'on
quotient composé entre deux suites S(C)
S (A) | S(B), la somme des termes du quotient est
égale au quotient de la somme des termes de la
c'est-à-dire que l'ordre dans
commutatif et
produit
produit
des termes
somme
peut
x
que les termes de la série du produit
composé s'obtiennent selon les mêmes
d'un
termes
effectue le
les termes de la suite obtenue par le pro¬
duit composé de S (.A) par S (B). Nous en concluons
de
sances
des
de la
effectue le
on
suite du numérateur par la
•••
dans les
On
somme
produit
au
ZS(C)
polynômes
(ax bj) x2 + (a2 bt + ax b2)
A(x)-B(x)
+ (aih +. aih + «3fci)x* +
Nous reconnaissons
égale
est
des suites dont
(c^a; -f- e^a:2 + a33? +
polynôme
le
:
=
Nous effectuons le
et
polynômes
composé
lorsque
A
(t)
mais tend
des
termes
limité,
faire
est avantageux, en particulier
s'annule pas en régime permanent,
une valeur constante, car le nombre
ne
vers
de
la
suite
Se(A)
Si(A) ont
échelonnée
tandis que les suites
de termes illimité.
S(A)
et
se
trouve
un
nombre
15
Selon la forme que l'on donne à la fonction unité
fonction exponentielle, etc.), on peut donner
6.
(triangle,
A.
d'autres
significations au produit composé, mais
l'opération de ce produit reste la même.
Réciproquement si l'on fait le quotient composé
de la suite S(B) qui caractérise l'effet par la suite
échelonnée Se(A) qui caractérise la cause, on obtient
en première approximation comme résultat la suite qui
caractérise la
réponse indicielle
G[t)
pour
*
< T*
t
> T*
:
o
=
F(t—T*).
=
\ [/o + h
h+ U
;
de la suite
seul terme
5<(F)
=
=
=
...
;
•
•
•
;
/-i + U;
S(F)
ajoute
on
;
[h;h; ...;/»; ...]*[0;0;
[0;0;
0;/i;/2 ;...;/„; ...]
S(F)*D(+T).
...
0 ;
produit
0,5 [1 ; 1],
I^U
réduite à
-*
:
=
S(F)»0,5[1;1]
+
[|].
Cette
suite
donne
intercalaire
en
première
approximation la valeur moyenne de la fonction
pendant les différents intervalles unitaires ; ainsi
que l'indique la figure 3, les valeurs de l'intégrale
F(t)dt peuvent
calculer
se
/
en
faisant la
somme
impulsions définies par les termes de la
et multipliées par l'unité choisie :
des
1]
suite
le
par
par la suite
la suite
•]•
cette
que
donc la fonction
est
...
=
Si(F)
un
=
S(G)
=
produit auquel
=
F(t) décalée
de l'intervalle T* ainsi que le représente la figure 8.
Soit S(F)
[/i ; k ; ••;/»; ...] la suite qui
à
F(t). On voit immédiatement que
correspond
la suite S(G) qui correspond à G(t) s'obtient par le
produit composé de la suite S(F) par la suite
0 ; 1], le nombre de zéros étant donné par
[0 ;
T.
le quotient T* /t
La fonction
G(t)
G(t)
G{t)
intégration.
Soit S(F)
[f1 ; f2 ;
; f„; ...] la suite qui
correspond à la fonction F(t) et 5,- (F) sa suite inter¬
calaire, ainsi que le représente la figure 3.
composé
fonction telle que
une
Première
Nous voyons immédiatement
intercalaire S< (F) est obtenue
Décalage
5.
Soit
de B par rapport à A.
Intégration
suite
intercalaire
...
i
F{t)dt
=
tl^Jl
T
2t
/o + /i
fF(t)dt
JF{t)dt (k+Ji
=
,
+
/i+ U
Hfê+'i+ï)-
L+A^
.+h±+L)T
0
La suite
Fie. 8.
Définition du
—
décalage.
suivante
qui
caractérise
l'intégrale
est
donc la
:
t
Nous définissons par
térise
l'opération
D(+T)
Autrement
dit,
D[-\-T) signifie
cette
le
=
la suite
D(-j-T)
décalage
du
qui
carac¬
produit composé
que la
fonction
en
d'une suite
avec
correspondant
à
arrière de l'intervalle T.
—
=
—
D(—1)
*
S{F)
Z)(-l)*[/i;/2;/3;...
[/2
>
/3 ;
ti
;
•
=
[0;0; ...;0;1].
suite est décalée
=
fF(t)dt\
o
Inversement, nous définissons par le produit
composé avec la suite D(
T) le décalage de T
unité en avant, c'est-à-dire que le (T -f- l)nième
terme devient le premier terme de la nouvelle suite,
le (T + 2)nième terme devient le 2e terme, etc.,
les termes pour t < 0 étant supprimés.
Ainsi par exemple :
S(G)
s(
•
•
; /»+i ;
;
/
«
;
•
avec
t
Elle
=
nr.
est
obtenue
suite intercalaire
en
faisant
unitaire [1 ; 1 ;
; 1 ; ...]
produit composé ci-dessous :
...
0.5 (fo + fi
le
produit
de
la
S( par la suite de la fonction
comme
le
montre
le
fi + ft
k+ h
1
i
...)
...)
0,5 (/0 + h
0,5 (
0,5 (
h + k
h+ h
k +h
h + k
U+ h
..-)
)
••)
0,5 (/„ + /!
h + 2A + h
U + ih+ih + h---)
1
•]
16
Nous
avons
produit composé était
le
que
vu
commutatif, c'est-à-dire
effectuait le
que l'ordre dans lequel on
n'avait pas d'influence sur son
produit
résultat. Nous
en
concluons que
s(
0
:
=
t
s(
fF(t)dt\
+
=
o
=
=
=
t([s(F)*0,5[1;1]+|J*[1;1;...;1;...])
^S(F)*[1;1]*[1;1;...;1;...] /0[1;1;...;1;...])
t(5(F)*[0>5;1;1;...;1;...]+^[1;1;...;1;...]).
+
la
retrouvons
formule
même
que celle
le terme en
indiquée
plus
(1)
/0. Ce procédé d'intégration est bien connu
le nom d' intégration selon la règle du trapèze
par A. Tustin
avec en
«
sous
».
t[0,5;1;1;...;1;...]*[t([0,5;1;1;...1;...]*5(F)
§[1;1;...;1;. ..])]•
Nous
proposons de
nous
=
=
[1
; 2 ;
...
; n;
.
(2)
=
En
la hihne
obtenons
nous
intégration
<
;1;
..]» +
.
<
la
même
opé¬
suivante pour
l'expression
:
t-
S^fdtJdt...jF(t)dt^=T^S(F)*[OM;l;...-,l-,...y
T
avec
=
1
et
/„
=
|([l;l;...;l;...]*[0,5;l;l;...;l;...]w))
1
2
3
4
0,5
1
1
1
.
0,5
1
1,5
2
.
1
2
3
1
2
.
1
.
.
proposons de calculer la deuxième inté¬
U{t)
[1
=
; 1 ; 1 ;
=
...
j
; 1 ;
...
nA
...
..
n-2
...
n-3
...
0 pour
t < 0
pour
t > 0
...]
£7(0)
avec
1
=
et
T
i
0,5
2; 4,5:8
](fd,f
=
..
effet, les termes de
parabolique correspondant à la fonction t2/2.
Nous retrouvons,
en
U(t)dt
=
[0,5;1;1;...;1;...]3*[1;1;...;1;...] +
+ 0,5 [1;1;...; 1 ;...]* [0,5 ; 1 ; 1 ;
; 1 ;
la
=
[0,25
=
[0,5 ;2;4,5;8 ;...].
suite
Intégrations successives
appliquant cette même opération à la pre¬
mière intégrale, nous pouvons déterminer les inté¬
grales d'un ordre plus élevé. Nous obtenons ainsi,
pour l'intégrale double, en tenant compte du fait
que si F(0) ^ co on a :
En
u
F(t)dt
;
1,25
;
3,25 ;...] + [0,25
bien à la fonction
0
;
0,75
s'y attendre, cette
parabolique t2/2.
Cependant, pour les intégrales
élevé, l'approximation est moins
.]
;
1,25
suite
;
...]
correspond
d'un ordre
plus
bonne. Cela pro¬
varie plus linéai¬
vient du fait que la fonction ne
pendant un intervalle unitaire. La valeur
rement
moyenne de la fonction sur cet intervalle n'est
plus donnée par sa valeur médiane. Une meilleure
approximation
=
..
[0,25; 1;2;3;...]*[1;1;...;1 ;...] +
+ 0,5 [0,5; 1,5; 2,5; 3,5; ...]
Comme il fallait
B.
1
t
...
=
=
fd,fU{t)dt
0,5n...
..
unitaire
i
t
1...
..
rectangulaire
donné par la
n
.
nous
de l'échelon
0.
=
)dt)
+
0
0
S(U)
=
successivement
appliquant
ration,
Nous
:
S(F)
.
^0([0,5;1;1;...;1;...]*[1;1;...;1;. ..])).
grale
produit composé
Nous effectuons le
formule
Çtdt
=
?
o
..]
.
Exemple
t
o
S(F)
.
o
que c'est
/V(t)&
t
:
<
o
+
donne
l'intégrale de la
une parabole.
calculer
savons
t
F{t)
expression
cette
s(JdtfF(t)d?)= T*(V)*[0,5;1;1;
+
fonction linéaire. Nous
regroupement de
t
0
Exemple
=
0
Un
(2)
Nous
Çdt fF(t)dt)
sant usage
nous
de
l'intégration
est
de la suite échelonnée
l'avons définie
au
paragraphe
obtenue
Se(F),
3.
en
fai¬
telle que
17
Il
est
que la /cième intégrale d'un échelon
unitaire est donnée par l'expression
connu
rectangulaire
suivante
:
t
t
0
0
fu{t)dt
...
la suivante
•.
Nous
à cette
La base de
petit triangle
ce
égale
est
à
l'unité choisie t, sa hauteur est égale à la différence
entre les deux termes voisins de la suite intercalaire.
0
qui correspond
La suite
£
=
=
figure 9.
t
fdt fdt
Nous nous proposons de déterminer la dérivée
de la fonction à l'abscisse t
nx et pour ce faire,
considérons le petit triangle hachuré de la
nous
intégration
concluons
en
:
est
dF(t) I
:
dt
(F((n
ë
\~
+ 1)t) + F(m)
\
S(n)=jïï[l;2*;3»;...;»*;...]•
mi
F (m)
+F((n-l)x)\l
2
)r
2
.
a
Considérons à
nouveau
une
fonction
F(i)
carac¬
térisée par la suite S(F) et la suite échelonnée
Nous pouvons intégrer chacun des termes de
et
ensuite superposer le résultat de
ces
Se{F).
Se[F),
li,tn*'n'i'
0
Ainsi pour la fritale
t
pour t
=
=
intégration,
nous
2t
:
3t
:
Fig. 9.
+
Ainsi pour
3*)-/^°(l + 2*) + k^.
la suite échelonnée par la suite
produit composé
T*
j-r
kl
...]. La suite
produit composé de
la suite [1 ;
1] :
échelonnée
[1
;
2* ; 3* ;
;
donnée par le
la suite intercalaire S{(F) par
;
est
Se{F)
=
[s(ii,)*0>5[l;l]+^0]]*[l;-l].
;
1
dt
t
1]
1
t
fo + h
2
.
,
/, + /,
/, + /,
2
2
'
2
fn+l + /n
t
si fdt fdt...
oo
et
1..
/.+/_i\
fn + /n-1
:
t
-
fF{t)dt\
=
rS(F)*0,5 [i; 1] +
=
1 et A-
deuxième
(3)
2, c'est-à-dire pour la première
intégrales, nous pouvons aisément
contrôler que nous obtenons le même résultat
que
celui déjà obtenu.
A. Première dérivation
Considérons
à
nouveau
intercalaire
Si[F).
la
une
suite
; /3
fi
i
•
•
;
/n+i
•
/«-i ;...]•
intercalaire par la suite [1 ;
1], en divisant le
résultat ainsi obtenu par l'unité choisie t et en
—
décalant
à-dire
en
ce
résultat d'une unité
prenant le deuxième
mier terme, le troisième terme
terme,
en
terme
avant, c'estcomme
comme
pre¬
deuxième
etc.
=
fonction
S(F)
/o
s(ï)==K[5(7r)*0,5[1;l]+&]]*[i;~i]*z)(-i))
^([5(F)*[l;0;-l]+/0[l;-l]J*Z)(-l)). (4)
Dérivation
laquelle correspondent
[/2
obtenue
=
7.
2ï
Nous voyons immédiatement que cette suite est
en faisant le produit composé de la suite
o
[^]]*[l;-l]*j£[l;2*;3*;...;>**;...].
Pour A*
£</.-/.)
fh + h_f» + f1\_ 1
2
V
^^(/e-/!)
[fl+h
\dtj~xl
Nous voyons ainsi que la /cième intégrale d'une
F(t) est donnée par le produit composé
+
1
=
)
_l//,+1+/,
dF
fonction
suivant
/,+/0\
2
Nous obtenons donc pour la suite correspondant
l'expression suivante :
St{F)
[1
dF
\
à la fonction dérivée
=
—
T
t=nx
—
*
dt
de
...
:
=
17
,_oT
l'aide de suites.
1//.+ A
dF
Nous obtenons le résultat du
»
Définition de la dérivation
—
à
^ (^±h (1 + 2*) f-^fo
+ 2* +
'\
(n-Vt
:
*=T,
£(/-^(l
nk
obtenons
*.**+&
pour<=T:
pour
/*&,#- —i
différentes
intégrations.
et
F(t)
la
à
suite
Le
en
signe symbolique
avant
D
(—1) signifie
de 1 unité de temps.
ce
décalage
18
obtenons
Nous
expression légèrement diffé¬
indiquée par A. Tustin (1) qui définit
la suite correspondant à la différentiation comme
l'inverse de la suite correspondant à l'intégration
une
rente de celle
qui
et
obtient le résultat suivant
\dt)
t
:
f'0
où
dF
donnée par la valeur de
-j- pour
est
[0,5;1;1;...;1;...]
=
indiquée
dans l'annexe I
D(—2)
et
formule
(4)
est
D'une
fonction
parabolique
l]2
—
F{t)
51
y
1
Nous
effectuons
formule
(4)
le
=
0
•••'Y
S---
avecT
=
l.
4,5
donné
par
la
Nous
0,5
—
0,5
Nous
obtenue
12,5
8
ce
qui
est
=
Sto
le
premier
cette
=
terme
de la suite ainsi
en
résulte
La seconde dérivée s'obtient
mière dérivée
à la suite
qui
0,5
2
pose k
0,5
2
calculer
...
(5)
la
deuxième
:
=
12,5
1
12,5
L'inexactitude
=
1 et
effectuant
en
la formule
(5)
dans
18
24,5
18
24,5
0,5
2
4,5
4
4
4
les
deux
par 4
premiers
termes
et
:
[°'875;1;1;---;1;--]
nous
obtenons
bien
le
{7=1, ainsi qu'il fallait s'y attendre.
qui affecte le premier terme montre
précision du calcul à l'aide de suites
dérivées d'un ordre supérieur.
les limites de la
pour les
F'(0) =0.
—16 —25
—9
part le premier terme,
constant
T
par
0
supprimons
=
:
après avoir divisé
[d2 t2\
YT([s(F'H^,0;-l]+f'mi;-l]]*D(-l)
2
4
S(^2)
A
donné
8
—4
la
:
F(0)
admettant
8
1
3,5
obtenons
terme
=
=
4,5
2
caractérise la pre¬
appliquant
en
4,5
—
il fallait s'attendre.
en
de
parabolique
avec
10—2
:
[l;2;3;4;...;»;...],
auquel
0,5
on
Nous
opération
avant.
en
[l;0;-l]*-\]
proposons
produit composé
laquelle
suite par 2. Il
bien le résultat
de deux unités
^([/ri,[i;-i]]*D(-i))-
Nous obtenons
le
B. Dérivations successives
même
*
F(i)=^
12,5
—4,5
8
—2
=
....
8
divisons
s(|0
4,5
0,5
2
supprimons
et
décalage
nous
10—1
2
1]
[1;0;-2;0;1]
dérivée de la fonction
2
—
Exemple
produit composé
:
0,5
1]*[1; 0;
façon générale, la suite de la dérivée
façon suivante :
+
0,5; 2; 4,5; 8; 12,5 ;
=
F(0)
t
dt
2
—
*£(-*))+
(2^i([/é[l ;-!]*[!; 0; -l]*-2]*Z)(l-*))+
+
dF
:
=
[1; 0;
=
/„[!;-!]
+
:
?
;
A.
sous
de calculer la dérivée de la
proposons
nous
+
d'ordre k est obtenue de la
Exemple
Nous
; o ;
*
(2ïji
[1;0;
avec
de la dérivation
qui affecte le résultat
par l'application de la
L'erreur
0
+
i*[2;_4;+4;-4;...]=S(f)4-==-
obtenu
=
{[[S(F) [i -1]2 /o [i -1]
»[l;0;-l]]*i)(-2)]) l(/ai;-l]*I>(-l))
S{F"]
=
=
t
19
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
III.
1.
Considérons tout d'abord
*%+>*
Cette équation est
l'équation intégrale
la
est
m
=
obtenue
axn+i
dérivée
la
par
suivante
xdt + C
—
br(-j+
ax0+
xx
:
+xz-\-
...
+xn+^~±)
de
:
t
I
j
=
o
constante
d'intégration
aux
linéaire
donné par la relation suivante
o
les conditions
quotient composé permet de calculer la suite
S(x) qui caractérise la solution de l'équation diffé¬
rentielle. On voit que le (n + l)ième terme est
Ce
ordre
:
t
ax+ b
1er
équation
une
différentielle du type suivant
C
du
Equations différentielles linéaires
limites. Pour
Si l'on soustrait
F(t)dt.
le
pour
suivante
récurrence
à déterminer par
t
=
0
nous
(#n+i
a
obte¬
de celle obtenue
expression
cette
nlème terme,
obtient
on
bx
x«) + y (Xn + Xn+^
—
formule
la
de
:
T
=
2
^" "f~ ^"+1^
nons :
C
cuc(0) +
C
donc
=
Nous obtenons ainsi
a
{x
—
Cette
0
=
(0).
ax
la formule
±[S[x)
:
*(0)) +
Çxdt
b
=
Nous
traduisons
forme
d'équations de
...] la suite
JF{t)dt.
équation intégrale
suites. Soit 5 (x)
[x1
=
sous
...]
la valeur
+
S(x)
=
...
qui correspond à la fonction F(t),
initiale f0
F(0).
formule (2), nous obtenons :
=
—
; 1 ;
[1
ax0
; 1 ;
T
...
(S(F)
+
Nous résolvons
*
[0,5
1;
;
...
; 1 ;
...
équation
en
b S
(x)
=
S(F).
produit composé
obtient
que contient la
les termes voisins du
entre
la relation suivante
S(x)
a
t
i
+
OXn
ôr^n-l
—
=
:
i
U-
correspond à celle que nous avons
déjà obtenue, avec la différence que dans le cas
précédent l'unité était réduite de moitié et que
la relation était appliquée entre les termes voisins
Cette relation
le terme intermédiaire de la suite intercalaire.
particulier
+
de
d'Adams. Il
est connu que
équations
(40):
aux
différentielles
dx
linéaires du type
non
.
,
a^=q>(*,t).
...])•
par rapport à
correspond à un cas
d'intégration classique
cette méthode s'applique
la méthode
...] +
En
t„
S(x)
on
intégrant
à
tn+i
et
obtient
cette
dans l'intervalle
en
la
équation
appliquant
règle
du
t
:
:
a(x„+i
—
x„)
S(F)«TtO,5;l;l;...;l
[a + 0,5
6
;...]+(| fJ(f-fcr0)+BX0)[l;l;...!l;...l
T ;
6
t
;
6
t
;
...
;
6
t
;
...]
=
/ <p{x,t)dt
^
k
de
trapèze,
=
(6)
=
:
Cette formule de récurrence
=
; 1 ; 1 ;
§[1;1;
cette
;
1] *D(- 1)] +
-
a
...] +
6t(%)*[0,5;1;1;...;1;...]
1;
^[1;1;
...])
+
=
...
;
Klxn+1
et
a
0
on
; x2 ;
la suite
En utilisant la
;
obtenue
différentielle
de la différentiation à l'aide de suites
nièœe terme de la suite
;xn;
avec
S(x)
[1
parenthèse,
cette
=
;
(4)
En effectuant le
o
de la fonction que l'on se
propose de déterminer et dont on connaît la valeur
initiale x(0)
[fx ; /2 ;
;
x0, et soit S(F)
fn
*
également
l'équation
être
peut
directement à
appliquant
—
o
...
formule
(«P^n, tn) +<p[xn+1,tn+1)y
20
Dans le
particulier
cas
linéaire,
est
on
cp(a;, t)=
Il
d
(xn+1
+
bx +
—
t
:
dt
c
F(t).
i
0
t
:
0
bxn + fn
—
—
bxn+1 + fn+1).
l'aide
suites
de
selon la formule
identique
l'application
lorsque l'intégration que
effectuée selon la
est
considérations
sion
étendues à notre
(40
préci¬
peuvent ainsi
d'Adams
cas
Toutes les
trapèze.
la stabilité et la
d'un
Çdt ÇF(t)dt + (ax{0) +
bx
(0))
t
+
ax
nouveau cette équation inté¬
d'équation de suites et introdui¬
les expressions des premières et deuxièmes
sons
intégrations à l'aide de suites :
forme
sous
être
ordre
S(x) +
(S(x)* [0,5
6t
; 1 ;
1 ;
.
.
; 1 ;
.
..
Considérons
équation différentielle
une
+
:
d2x
dx
,
,
Cette
équation est
l'équation suivante :
+
obtenue
+ bx-\-
dérivée
la
par
de
+
+
t
xdt +
+
avec
C1=
avec
x0
ax0[l; 1;1;
=
x(0)
=
t
pour
-j-
0.
=
effectuons les
et
les
Nous introduisons
tion que
avions
nous
cette
dans
constante
obtenue,
ce
qui
donne
l'équa¬
(
J— (0)] +
b
x
(x
—
équation est
l'équation suivante :
x(0)) + cfxdt
obtenue
t
a(x
=
c
Çdt Çxdt
=
C2
+
+
=
En considérant que
tantes, nous obtenons
a
(x
—
x(0)
—
;1;
...
i(0)
;
/0
=
.
.
.]
.F(O).
de
+
=
(/0
+
t
équation par rapport à S(x)
produits composés contenus dans
cette
:
ÏS(F)
-
t
*
t2
cx0)[0,5
[0,25
;
1,5
(ax0 + bx0)[l
; br
+ 3ct2
Cdt /V(«) dt
;
2,5
3,5
;
; 2 ; 3 ;
;
...] +
...]
+
...] +
(a*6-^)[l;l;...;l;...]]
[a + 0,5&t + 0,25ct2
t
; 1 ; 2 ; 3 ;
+ ct2
;...].
;
bz + 2ct2 ; 6t +
(7)
oo
oo
avec
~
+
lx(0)dt\
—
t
C.C2
dérivée
0
tt
xdt
+
t
0
t
+
la
t
0
fF(t)dt.
0
par
ix(0) dt\+ b( jxdt
—
S(x)
t
0
Cette
parenthèses
:
i
a
=
...] +
...;n;
(ax(0) + bx{0))
—
Nous résolvons
x(0)
et
; x0
1 ;...; 1
;
t(ai0+ bx0) [1;2;3;
/ F(t)dt
C1=
1
...;
+
c
=
T*(V)*[0,5;l;l;...;l;...;p
;...]* [1
§[0,5;1;1;
;...])+
=
,
t
a~
du deu¬
.] +
+CT»(S(*)*[0,5;1;1;...;!;...]»
|[0,5;1;1;...;1;...]*[1;1;1;...;1;...])
•
supérieur
xième ordre
(O)-
o
Nous traduisons à
grale
a
linéaires
ô
o
c
o
44).
à
différentielles
Equations
2.
du
règle
=
est
nécessite cette méthode
concernant
la méthode
de
(6)
de la méthode d'Adams
à
=
/ dt I xdt
c
o
i
l'expression déjà
t
t
I xdt -f-
-\- b
ax
obtenue. On peut en
conclure que la méthode de résolution d'une équa¬
tion différentielle du premier ordre au moyen du
à
0
t
—Xn)=-^{
On retrouve
calcul
F(t)dt
dt
xdt=
0
t
soit
résulte
en
différentielle
l'équation
où
peut poser
x(0)
—
ax(0).
x(0)
et
i(0)
sont
des
cons¬
:
t)
+ b
( (xdt
On peut aisément étendre ce procédé de calcul
équations différentielles d'un ordre supérieur.
à des
Cependant les calculs deviennent assez compliqués
l'approximation devient moins bonne par suite
des intégrations d'un ordre supérieur que cela
et
—
x{0)t +
nécessite.
21
résoudre
Pour
Exemples
3.
nous
dispositif mécanique représenté
Considérons le
la
figure
10 formé par
un
amortisseur B
et
un
calculer la course X
proposons de
fonction de la force K qui agit
Nous
en
a
au
nous
point
/
et
considérons
Nous
de K
du ressort.
caractéristique
=
et
posons
état
un
:
X
=
12
un
par
et
X0 + AI.
0
—
un
ressort.
Nous
-
0
=
dt
compte du fait que K0
tenons
obtenons
et
=
fX0,
Si
que
on
—
une
3
4 ;
;
;...]
0
=
variation de la
obtenons,
et
...;
1;
quotient composé
ce
5
8,5;
...
en
•]
.
.
.]
:
1;
1;
1;
0,118; 0,221; 0,313; 0,393;
...
...
...
...
...
...
3,348 4,348
...
:
1= [0,118 ; 0,221
Cette variation
;
0,313 ; 0,393 ; 0,463 ; 0,527 ;...].
confond
se
correspond
figure
analytique.
,
=
n;
:
bdx
x0
1;...].
[8,5; 1; 1;
obtient
11
; 1
rectangulaire
; 2 ;
2,661 3,661 4,661
2,661 0,313 0,313
0
=
:
[1
4
3
amortisseur
...
nouveau
01,882 2,882 3,882 4,882
1,882 0,2210,2210,221
et
dX,
8
10,118 0,118 0,118 0,118
Dispositif
mécanique constitué
Fig.10.
K=K0+ AK
et
=
Nous effectuons
I
variation
une
de X par rapport à
et
initial de repos
ç=>
d'amortissement
/„
et
; 1 ; 1 ;
[0,5
échelon
"ï
avec
constante
un
admettant T
b^+fx^m
=
selon
1
=
à
considérons
Nous
force
*
T
^[l;i;
+
point. Ce système obéit à
l'équation différentielle suivante, dans
l'hypothèse que l'on peut négliger la
masse de la partie mobile :
b
=
S(*)*[0J5;1;1;...;1;...]
=
P
ce
sur
:
TS(x)+S{x)
par
ressort F.
suites,
(6)
de
l'aide
à
Nous utilisons la formule
1.
=
b
T,
=
équation
cette
T
ainsi
obtenons
et
dispositif mécanique
A. Calcul d'un
admettons
et
avec
bien
au
la courbe 2 de la
résultat obtenu par
voie
A A'
AK
_
avec
Nous définissons par T
dispositif
du
j-
la
constante
mesurée à l'aide de l'unité
dx
„
T-x
Considérons le
=
dt
x
=
ainsi que le
rectangulaire
figure 11
*
+
—
particulier
cas
échelon
de la
=
*[1; 1;
...;
T et
de temps
obtenons
:
A-.
où A-
la forme d'un
a
représente la courbe 1
1
15
;...].
Fie. 11.
Nous admettons par exemple que la constante de
1 sec. La solution ana¬
8 sec et que T
temps T
=
=
lytique
culier
de
est
l'équation
donnée par
différentielle dans
ce
cas
exponentielle
courbe
une
parti¬
—
à
:
Courbe 2
:
Courbe 3
:
:
—^-
=
1
—
e
t
=
1
e~ 5
:
un
l'unité
variation
La suite
choisie
relative
de
n'est
la
pas
course
négligeable.
d'un
dispositif
variation relative de la course X
de suites lorsque l'unité
calculée
choisie
au
est
correspondant à cette fonction, que repré¬
figure 11, est la suivante :
la courbe 2 de la
grand mérite
gration est qu'elle
Le
Sf
rectangulaire.
retard.
moyen
sente
échelon
variation relative de la course X calculée par
voie analytique et calculée au moyen de suites
avec
Courbe 4
du dispositif mécanique
variation de la force
variation relative de la force K.
lorsque
i
I
Réponse
une
selon
Courbe 1
SK.
4)= [0,119
;
0,221
;
0,313
;
0,393
;
0,463
0,581; 0,631; 0,675;...].
;
0,527
;
de cette dernière méthode d'inté¬
à l'intégration des
se prête bien
équations différentielles dont le terme perturbateur est
quelconque, tel que, par exemple, celui qui est défini
22
par la courbe de la
suite suivante
S[k)
[1
ft
=
;
figure
A-0
,
la
Il
1,6
1,5
;
; 1 ;
1,3
;
0,09
;
;
0,7
0,04
;
0,5
;
;
0,4
;
0,3
;
0,22
connu
y{x)
que
;
Nous
intégrons
w{x)
dx*
K
équation
cette
x,t
donnée
est
deux fois et obtenons
XX
y(*)
15
C1
et
=
C2
—
sont
^1
Pour
x
intégrales
les constantes
de x,
0,
=
sont
nous
en
:
X
( fdxf^ dx+ I Cidx + c-.
par les conditions
/
l'équation
par
:
d2y{x)
0,02]
0.
=
est
différentielle suivante (3)
0,15
avec
laquelle correspond
12 à
:
d'intégration
à déterminer
limites.
aux
nous
posons
y(x)
=
Comme
0.
nécessairement nulles pour
concluons que :
2/(0)
=
0
=
cette
les
valeur
C2.
2
La constante
condition
«5
y{l)
=
d'intégration Cx
se
détermine par la
0.
Nous obtenons ainsi
:
i(/V'w(x)dx -f- C±x
1
S
0
Fie 12.
à
une
Réponse
—
variation
/i
du
i.
t
stc
C1
dispositif mécanique
allure quelconque.
une
Courbe 1
:
variation relative de la force K.
:
variation relative
de
la
du
course
point
Si la
X.
se
effectuons le
nous
par la suite
[0,5
r-rr
I dx I w{x)dx.
de la force selon
Courbe 2
Si
=
b
; 1 ; 1
composé
par la suite
obtenons
:
produit composé
; 1 ;
; 1 ; ...]
[8,5 ; 1 ; 1 ;
;
de cette suite
.
.
quotient
...] nous
et le
...
1 ;
.
répartition de
exprimer
laisse pas
la
de
charge
est
quelconque
façon analytique, il
et
ne
est avan¬
tageux de se servir du calcul à l'aide de suites pour
effectuer ces intégrales doubles.
d'illustration, nous considérons le cas parti¬
charge constante égale à w0 entre xx et x2
ailleurs, ainsi que le représente la courbe 1 de
A titre
culier d'une
et nulle
la
figure 14.
t0,5;l;l;...;l;...]*[l;l,6 ; 1,5 ; 1,3 ;1; 0,7; 0,5; 0,4 ;0,22;0,15; 0,09; 0,04; 0,02]
=
[8,5;i;i;i;... ;i;..J
Le résultat de
ce
quotient composé
est
représenté
par la courbe 2 de la figure 12. Nous voyons que par
suite de l'amortissement, la variation de x se trouve
ralentie
et
en
quelque
B. Calcul d'une corde
La
13
figure
représente
points A
une
tendue entre deux
dont
la
répartition
Soit K la traction à
est
la flèche
y(x)
en
donnée
chargée
longueur l
charge
courbe w(x).
la
Dans
une
la corde est soumise à
ses
proposons de déterminer
chacun des points de cette corde.
w„
y
y
chargée
particulier.
charge.
Courbe 1
:
allure de la
Courbe 2
:
allure de la corde.
ce
cas
de
charge particulier, il
12.
=
x
=
—
_
«ï-,\V—*i)2
analytique
et
est
possible
de
l'on obtient le
charge répartie
de
façon quelconque.
('—^)2
p°ur
o<x<x1
l
x1 <
x
<C x2
^î{(i-xi)2-(i-x2)2)-(*-*i)2+(x-*i)2]
Détermination de la flexion d'une corde
avec
cas
nous
pour
—
un
faire le calcul par voie
résultat suivant :
1K
Fie. 13.
Flexion d'une corde
de
portant
par
—
dans
corde
et B et
laquelle
deux extrémités. Nous
Fie. 14.
sorte écrasée.
pour
x2
<^
x
<^ l.
23
En
admettant,
obtenons
nous
de la
2
vantes
y
y
§
2tf
l
=10
xx
=
4
xz
=
7,
Nous déterminons la suite
double de
s(
=
H2'7x
(2,7 s-(s-4)*)
x
=
P°ur
oo<4
/dx/w(2;)^
o
Cl
x
—
16 + **
—
14
x
+ 49)
(Va
La suite
vante
%)
—
+ 33)
pour
qui correspond
7 <
x
=
—
=
=
^(-3,3^
=
à cette fonction est la sui¬
-^
/y
< 10.
~^fdxfW(x)dx -^=~l,Z5^.
=
Ce
[0
=
; 2 ;
3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ;
0,5
; 2 ;
4,5
;
0 ; 0 ;
appliquons
S(w)
S[w)
=
la méthode de calcul à l'aide de
la suite
«•„
[0
qui
caractérise la
charge
; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ;
0].
:
;
7,5
;
10,5
;
10]
13,5]]
-
=
[1,35 ; 2,70 ; 4,05; 5,40; 6,25 ; 6,10; 4,95 ; 3,30 ; 1,65].
sont
les mêmes valeurs que celles obtenues par
analytique.
Cet exemple présente
aérienne
^ [1,35; 2,70; 4,05; 5,40; 6,25; 6,10; 4,95; 3,30; 1,65].
:
^ [1,35 [1
comment résoudre
Nous
0
voie
:
suites. Soit
i
O
%)
+ 10,7
l'intégrale
»v0[0;0;0;0,5;2;4,5;7,5;10,5;13,5]
=
Nous obtenons ainsi
<^ 7
caractérise
o
donc
|£(_*«+ 10,7*-16)
qui
:
I
-£ (— ir2
=
w(x)
X
X
flexion représentée par la courbe
14 caractérisée par les équations sui¬
figure
4 <C
=
:
:
pour
y
exemple
la
Hâ(36-9)
=
=
par
avec
le
pratique, car il indique
problème d'une ligne électrique
un
côté
charge inégalement répartie.
Il permet
position des conducteurs pour une
portée partiellement déchargée de givre, contrôle qui,
sinon, doit se faire par voie graphique ou empirique.
D'autres problèmes tels que celui de la flexion d'une
poutre encastrée avec une répartition quelconque de
la charge peuvent être traités selon le même principe.
de
contrôler
la
24
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
IV.
parfois, en particulier dans l'étude de
de propagation et de réglage, que l'on
ait à résoudre des équations différentielles dont la
variable est caractérisée par un décalage. L'an¬
nexe III
expose les données d'un problème condui¬
sant à une équation de ce genre.
De telles équations conduisent à des calculs
très compliqués si l'on se propose de les résoudre
à l'aide des méthodes de calculs classiques ; elles
Il arrive
phénomènes
laissent par contre aisément résoudre au moyen
du calcul à l'aide de suites. Soit par exemple une
se
différentielle du 1er
équation
degré
DÉCALAGE
AVEC
8 est la valeur du
l'unité
t
petite,
on
décalage
lorsque
;
,
,
,
a^+bx(tNous
intégrons
cette
T)
aux
moyen
de
suffisamment
T
A
T
Nous résolvons cette
S(x)
équation
par
rapport
à
S(x)
:
=
[jM-ozoJ-rï&z.J. i>(+6)
Sf.?>-r[0,5;l;l;...;l ;...] +
[a;
0 ; 0 ;... ; 0 ;
0,5
6t ; 6t ; Jt ;... ; Jt
.[1;1;...;1;...J
;...]
:
minateur
F(t).
équation
compte des conditions
tenant
=
au
est
peut admettre que
qui
Le nombre de zéros
dxlt)
mesurée
unité
cette
et
obtenons
limites
en
est
égal
à 9
caractérise la suite du déno¬
—
1.
Exemple
Nous admettons que la fonction F{t) est caractérisée
un échelon rectangulaire et admettons les valeurs
:
par
<
j
a{x—x0) + b
x(t—T)
dt
=jF{t)
traduisons
d'une
a
équation
+ bx
S(x)
+
équation
cette
de suites
([S(x)
dt.
:
8
; b
a
=
sec
*o
sous
la
forme
En choisissant l'unité
comme
:
équation
=
=
/o
égale
[0,5 ;1;1;
...
;1; ...] +
=
S(F)*T[0,5;1;1;...;1 ;...] +
S(x)
Le résultat de
1 ; T
=
=
4 sec,
0.
à 1
seconde,
nous
obtenons
:
8S(x) + S(x), [0,5 ;1;1 j...;l ;...]
*
!°[l;l;...;l;...]]*Z)(+e))
=
suivantes
0
T
Nous
numériques
<
[1 ;
1 ;... ; 1
[8
=
;...]
[1;1;...;1 ;...], [0,5 ;1;1;...;1 ;...]
«
[0,5 ; 1 ;
1 ;... ; 1 ;
; 0 ; 0 ; 0 ; 0,5 ; 1 ; 1 ;... ; 1
]
;...]
quotient composé
figure 11. On voit
est représenté par
que cette courbe 3
est située au-dessus de la courbe 2 obtenue au para¬
0 ; par suite du décalage
graphe précédent avec T
ce
la courbe 3 de la
=
qu'il
faut
prendre
en
considération,
la variation de
x
dépasse tout d'abord sa nouvelle valeur d'équilibre.
Si ce décalage est important, le phénomène prend une
allure oscillatoire. Nous verrons au paragraphe II de la
avec :
6<-<8+l,
partie que ce phénomène peut
(voir fig. 31).
deuxième
instable
même devenir
25
V.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
ET
problèmes posés par la technique
des équations différentielles dont les
de
Beaucoup
conduisent à
coefficients
variables soit
sont
variable
indépendante,
variable à intégrer.
Le principe même du
implique que l'on puisse
des
en
fonction
en
de
la
calcul à l'aide de suites
superposer les variations
Il n'est donc pas appli¬
équations de ce type. Cepen¬
fonctions unitaires.
cable
sans
autre aux
dant,
nous
avons vu
consiste
une
soit
fonction de la
que le formalisme de
première approximation
en
fonction continue par
une
à
ce
calcul
fonction discontinue
varie par échelon. Ce formalisme peut également
être appliqué aux coefficients des équations diffé¬
des
chacun
Pour
échelons,
peut
on
admettre que les coefficients sont constants et on
est ainsi ramené au cas des équations différen¬
tielles linéaires
avons
coefficients
à
constants
nous
que
déjà
justifiée en particulier pour
l'étude de certains problèmes (self qui se sature,
régulateur qui arrive à fin de course, etc.) pour
lesquels la variation des coefficients n'est pas
connue, mais s'effectue par palier.
Le principe de la résolution d'équations de ce
genre est de l'effectuer par étapes successives,
de
chaque étape
il
faut
résoudre.
à
tenir
initiales de la variable à
nouvelles valeurs
des
des
un
début
des
compte
que
des
une
équation
les
coefficients
diffé¬
sont
fonction du temps.
en
=
palier
pour le
«(*)
a{t)
-
+ b(t)
x
=
:
S(F)«B(—«).T[0,5;ljl;...;l ;...]+
Q(/(—Jfatf+ajirç)
[ai + O.&bir; biT, Ht,
...; 6,-t;
[1;1 ;...;! ;...]
...]
Lorsque t atteint la valeur tu, il faut arrêter l'opé¬
ration, puis la recommencer avec les valeurs /*, a*,
bic et xk qui correspondent à xk.
Le principe de la résolution est le même lorsque
coefficients
les
de
fonction
sont
la
variable
à
intégrer.
a(x)^ + b(x)x
F(t).
=
Nous admettons que pour
xu
Lorsque
x
<C
<
x
xp
compris
est
a
=
const.
=
b
=
const.
=
entre ces
valeurs,
au,
on
bu.
obtient
:
S(F)./)(—«u).T[0,S;l;l;...;l;...]+Q(/tt- 4*u) aBza)[l;l;...l;...]
+
l"u + 0,5iiBT;6uT;6aT;...;6aT;...]
Les valeurs tu,
résultent
xu
ne
du
mais
lorsque x atteint la
l'opération doit être
ensuite
en
F(t).
U << t < tk
=
avec
Lorsque
/T'Y*
x
précédente étape
de l'équation était plus élevé que le premier, il
faudrait prendre également en considération les
valeurs des dérivées de x correspondant à a;,-.
En utilisant le calcul à l'aide de suites, on obtient
de
valeurs
coefficients.
par exemple
1er ordre dont
du
Au
intégrer, ainsi
Considérons
rentielle
à
caractérisent la variation des coeffi¬
qui
de l'équation
variables
obtenue par le calcul de la
U. Si l'ordre
correspondant à t
valeur de
est
étapes correspondant
ces
échelons
cients
=
traité.
Cette méthode
chacune
X{
LINÉAIRES
NON
remplacer
qui
rentielles.
avec
VARIABLES
COEFFICIENTS
A
valeur
d'avance,
précédent ;
pas
connues
du
palier
xv
ce
qui
détermine U,
arrêtée pour être recommencée
les nouvelles valeurs des paramètres.
coefficients
les
fonction de
lution
sont
calcul
indiqués
varient
simultanément
de t, les deux modes de réso¬
ci-dessus doivent être conjugués.
x
et
Nous admettons que pour
h < t < tk
Nous
t
est
a
=
const.
=
en
b
=
const.
=
bi.
intégrons cette équation
compris entre U et tt :
et
(x
—
x{) + bi !
H
x
Circuit
et
obtenons, lorsque
Nous
>t
a>
Exemple
>k
I F(t)dt,
dt=
H
électrique formé
d'une résistance
d'une induction saturable
considérons
le
circuit
électrique représenté
par la figure 15 et formé d'une résistance R et d'une
inductivitc avec noyau de fer L (i). La figure 16 indique
la valeur de l'induction en fonction du courant. En
première approximation,
cette valeur est
donnée par
26
2 segments de droite. Soit i, la valeur du courant de
saturation. Il en résulte que pour
0 < i < i,
LU)
i, < i <
LU)
oo
i—innilruir—
Lx
=
=
Lorsque
le courant atteint la valeur de
saturation,
devons introduire la constante de temps T2 et
tenir compte du fait que la valeur initiale du courant
nous
est
alors
Lv
égale
à i,. Il
en
résulte
:
[l;2,8î..,„...]+Q(l-Q+^T.)[l;l;..,l;...]
an
;1;...]
[r2+0,5;l;l;...
\W
L,
Nous
L
admettons,
par
L
7^
hn
Fig. 15.
—
Circuit
tion
en
fonction du courant,
pour
différentielle
bien
qui permet
de
calculer
=
LU)
^
„
T{
=
LU)
—=^-
—
M
'
4+
dl
u
=
—
courant
3.
,
de
=
maximum
Ri-
;
...]
[1 ;2;3;...;n;...] +1,5 [1 ; 1;-;1;...]
\ij
'
im
:
[3,5; 1;1;... ;!;...;
[3,5; 1; !;...;!;...]
lm
temps
•
,
Cette variation
•
circuit,
du
pour t
s établit
=
représentée
brusquement
et
par la
connu
oo.
XI
.
est
courant
17 ; on peut y reconnaître le coude bien
dû à la saturation.
xi
Nous admettons que la tension u est
enclenchée puis maintenue constante
de
[0,715; 0,795; 0,853; 0,895; 0,926;...].
figure
.,,,..
qui
[8,5;1;1;...;1;...]
[0,118 ; 0,221 ; 0,313 ; 0,393
=
i
.
=
\im)
[2,5;3,5;4,5;5,5;...]
-f-
constante
=
=
pour
xi
im
Un
le
di
Ti
7'.
[1;2;3;..;»;...]
<C 0,4
=
Nous divisons par R et obtenons
avec
—
connue :
u
8
:
Nous obtenons
d'une inductance saturable.
courant est
=
que
Fig. 16. —Valeur del'induc-
électrique
formé d'une résistance et
L'équation
exemple
l
lm
——
1
obtenons
avec :
Z,(0)=0
i\
'(-)
m^r»
US
[l;l;l;...;l;...]*[0,5;l;l;...;l;-]+0,5[l;l;...;l;-]
=
\lm]
[T1 + Ofi;i;U...lU.:]
[1;2;3;4;„.
/^\
\im)
[1;2;3;4;„.
[T,+0,5;l;l;... ;!;...;
i,.
tt
io
a
f
;n;...l
=
pour i <
6
*
t
0
;n;...]
Fig. 17.
dans
un
circuit
et
—
Variation du courant
électrique
formé d'une résistance
d'une inductance saturable.
27
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
VI.
Le calcul à l'aide de suites peut
également être
phénomènes de propaga¬
utilisé pour l'étude des
tion ; nous considérons
propagations
obéissent
suivant
Il
est
des
cas
qu'elles
différentielles
:
dH_
=—
suivantes
au
début de la transmission
ces
de la transmission pour
'
mw
des
2
dt
de
symboles
h2(t)
système
(4).
ce
est donnée par le tableau I
Nous admettons de faibles variations par rapport
à un état initial et posons :
d'équations
H
j
H0 + AH
=
V=V0+ AV.
\
Nous introduisons les
Vr
et
définissons les variations
et
vantes
Notre
AH
Hr
v
2W
=
le
T)+B(t + T)
—
+ n
z
z
parcourir
l'onde à
la transmission. Pour déterminer les fonctions
A
B
et
suites
=
—
nous
temps que
S(h2)
=
SM
=
met
faisons usage du calcul à l'aide de
obtenons
et
:
S(A) *D(+T) + S(B) *D(-T)
w
dv
dx
z
dt
d^
=
_
J_
wz
chiffre
=
la forme sui¬
bien
générale
connue
;
nous
limites.
S{A)
S(B)
A{>-ï,)+B{>+$
=
=
et
Nous
B
en
S(A»)~zSW
=
"(*,«)=—*-;
système d'équations représente
tèmes d'ondes
qui
propagation.
se
déplacent
qui
quelconque
deux
dans les deux
Les fonctions
sys¬
S(h(x))
sens
=
A[t, x)
et
B(t,x)
W
:
qui
caractérisent les
fonction des conditions
=
s(^
*D(+ T) -S(v2)
ces
aux
:
^D{_T)
caractérisent
x
respec¬
SV)-z1S[v1)
obtenons
Nous introduisons
-•
que les
SK).
S(hJ&SM
sions
—
limites deviennent
Nous considérons les suites
la
la vitesse d'écoulement V par
rapport à la vitesse de translation w des ondes :
*<*.<)
aux
S(h2)
de ce système d'équations
obtenons, en admettant que
*
z
D(—T) et D(-\-T) signifient
5 (B) doivent être décalées
(A)
tivement du laps de temps —T, +T.
dt
de
W- D(-T).
et
S{h1)
caractéristique
-
Les suites
suites S
dh
puisse négliger
=
*
Les conditions
transmission.
La solution
M D(+T)
z
fonctions A
de la
(')•
z2 c2
toute
=
Vf
dh
wmHr
Ce
(t)
T
sui¬
:
z
l'on
z1 vx
—
avec
=
système d'équations prend
dx
est
A(t
=
x
^^('-D-ae
AV
et
=
_
avec
relatives
h2(t)
=
:
h
vante
grandeurs
de référence Hr
=
f(t)
h^t)
préciserons par la suite la signification
grandeurs. Nous considérons une trans¬
de longueur lc et obtenons ainsi à la fin
mission
dx
:
à la fin de la transmission
de
les condi¬
d'après
limites. Nous considérons les conditions
aux
Nous
dt
dV_
signification
fonctions à déterminer
sont des
tions
dV_
m
=
dx
La
le
connu
d'équations
système
au
d'abord
tout
pertes.
sans
DÉRIVÉES PARTIELLES
AUX
Z2 + 2
tDf_ T)
y *D(+ T).
valeurs dans les expres¬
h(x)
et
c(x)
en
un
point
de la transmission et obtenons
:
=
*
\hY1D{T* ~T)
+
^ D(T
-
r,)]
28
S(r{x))
=
S(v2)
+
lZ*
*
ZD(TX—T)
1z
Z
Z2
+
D(T
2z
Tx)]
—
Tx
=
l'onde de
met
temps que
=
—
trans-
exprimé
à la distance x,
parvenir
particulier
Tx
avons
S(K)
Sfa)
=
S(f)
=
0. Il
=
z2+
nous
^±-Z
D{- T)
z,
—
(l J)
introduisons
S(h(x))
la suite
5(c2)
^ (l
1
avec
rx
de la
r»
—
dans
expression
après quelques
distance
de
celle
calculs
:
la
*
1
—
% +
z2+
au
de
long
temps Tx à la
temps T l'extrémité
au
il
où
puis
temps 2T—Tx.
transmission
Si
réfléchi
sera
étant
en
il
où
à
réfléchi
nouveau
facteur de réflexion r±
par le
multiplié
temps 2T le début de
au
est
en
et
dessinons
nous
fonction du temps la varia¬
le
en
signal à la distance x nous obtenons
diagramme représenté par la figure 19.
au
début
z
h(x)\
transmission,
facteur de réflexion à la fin de la
=
transmission
forme
la
début
au
voyager le
va
arriver
et
atteindra
puis
x
signal
tion du
rjraD(2T)
facteur de réflexion
=
Ce
émis
soit
ainsi de suite.
D{Tx) + r2D(2T—Tx)
rx
unitaire
multiplié par le facteur de réflexion rz. Il parcourt
la transmission en sens inverse, il atteint l'abscisse
étant
2?(_D —v.Dt+T)
2
par
perte.
qu'un signal ayant
supposons
impulsion
de cette transmission
î1)
-
la
S(/)
et
deux extré¬
ses
d'une transmission
Représentation
—
transmission.
cette
cette
2
par la
représentée
longueur lc
une
:
Nous
+ D(+ T)
obtenons,
et
est
:
x
sans
x au
=
caractérisée par
Fig. 18.
z
^— D(+ T).
-
équation
+
suite
cette
mités.
d'une
Nous
et
f
=
D{- T)
18
z
5(/)
de
figure
Tx.
à
:
z,—
Nous tirons de cette
5W
transmission,
z
z2+ z
±±-
*
de
égal
:
+
-^- D(+ T)
-*-%-D(- T)
*
S(,2)
Zl
-
résulte
en
nombre de termes nuls
un
les facteurs de réflexion r± et r2 à
début de la
au
rl4 ;2TxxO; farj*; ...].
X 0 ;
T,)
Considérons la transmission
moyen
au
de l'unité de temps choisie.
En
—
signification physique
évidente
w
lation à
(T
signifie
X 0
Tx
La
avec
2
(ly,)»;
=
Tx
2(T-Tx)
»
.
T
z
*T*
.
r,r,(hrj
-"
2
2T
*
~T
transmission.
2
Considérons,
par
Tx
Nous obtenons
s(M*))=s(/):
Si
nous
S(h(x))
=
exemple,
=
2
T
particulier
=
avec :
5.
S{h(x))
1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;—rxr2
i^p [0
façon générale,
=
division,
; 0 ; 1 ; 0 ;
nous
0;
obtenons
0;
0 ;
rxr2 ;
2{T
obtenons
nous
S{f) -=-^ [Tx
r„2r,x0;
Variation du
signal
à la distance
x
—
X
0
T.)
:
0 ; 0 ;r2;
de
la suite caractérisant la variation à la suite d'une
impulsion unitaire. Considérons, par exemple, le
cas où
f(t) a la forme d'un échelon rectangulaire
unitaire
:
; 1 ; 2
(T— Tx)
X
0 ;
r^f ; 2TX
X 0 ;
X
première impulsion. Après
laps
temps 2{T—Tx) cette impulsion arrive
en retour, multipliée par le facteur de réflexion r2.
Après le laps de temps 2Tx, cette impulsion arrive
à nouveau multipliée par r^2 et ainsi de suite.
Si la fonction f(t) a une allure quelconque, il
suffit de faire le produit composé de la suite S(t) par
Au temps Tx arrive la
le
0;0;0;0;rir2;0;0; ...].
De
—
du début d'une transmission.
0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; r2
2
Fig. 19.
:
effectuons cette
S(f)
un cas
0 ;
;
nous
S(A(*i))
2TX
X
=
obtenons
^p \T'
(1 + r2)
;
2(T
—
:
X 0 ;
Tx)
X
2{T—TX)
(1 +
rx
X
+ r2)
1 ;
;
...].
29
Centrale à moyenne
chute
Centrale à haute
chute
Exemple
de bélier dans
Coup
conduite
une
une
d'une conduite forcée ali¬
cas
Nous admettons
hydro-électrique.
centrale
jet est
grandeur de référence,
Pelton et que le
que les turbines sont du type
choisissons, comme
statique H0 et la vitesse
libre. Nous
la
hauteur
obtenue à
pleine
du vannage et Lm la course
la pleine ouverture de l'obturateur.
course
du terme
signe négatif
considérons à
à
obtenons
gauche provient
de
:
nouveau
de faibles
par rapport à l'état initial et obtenons
Vm
rateur
pleine
variations
l0
=
à l'instant
m
1=
Il
en
^
relative de l'obturateur
ouverture
=
~
tique
g
#o
h
/ —Zi<»i
Par identification
Zi
+z
2-°'5
g
=
—
=
nfin
2~5
n«
d'équilibre
peut être consi¬
pour la durée des
constant
comme
phénomènes
que nous considérons.
Il en résulte :
initial,
=
—
2
**
=
0
2
l
—
T
obtenons
nous
=
c2 r
Z2+
Nous
:
=
—2r
nous
en
manœuvre
et
zi
=
r
d'abord
—1.
Z
proposons de déterminer la variation de
d'une
résultant
aval de la conduite
donnée de l'obturateur et considérons
faible variation selon
une
un
tout
échelon rectan¬
gulaire. Nous choisissons l'unité égale à la durée
de la propagation des ondes de pression le long de
:
mwVT
wVm
Hr
g//„
conduite forcée et obtenons
_
avec
5
Nous supposons que la conduite forcée est alimentée
par une chambre d'équilibre et que le niveau du plan
pression
D'autre part
m/sec
;
=
/
1000
0,5
z
résulte
m/sec
:
variation relative de l'obturateur.
=
m/sec
caractéris¬
Chiffre
déré
:
5
m/sec
1000
pression
du
:
5
....
d'eau dans cette chambre
avec
m
Vitesse de propaga¬
tion des ondes de
de l'extrémité aval
partir
fait que les x sont mesurés à
de la conduite.
Nous
Vm
correspondant
Nous
100
1000:
de l'obtu¬
ouverture
\/-liL
=
Le
maximum
de l'obturateur. Soit L la
ouverture
H0
Vitesse de l'eau dans
forcée
la conduite à
Nous considérons le
mentant
Hauteur de chute
constante
d'accélération
ÊM
1
9,81 m/sec2
=
_
—
—
—
m
:
0,6 ; 0,36 ;
0,60) [1 ; 1 ; —0,6
0,36 ;
0,216 ; 0,1296 ; 0,1296 ;
0,216 ;
0,0776 ; —0,0776 ; 0,0466 ; 0,0466 ;
0,0279 ; 0,01679 ; 0,01679 ;
0,0279 ;
0,01008 ; 0,0060 ; 0,0060 ;...]
0,01008 ;
0,24 ;
0,24 ; 0,144 ; 0,144 ;
[0,4 ; 0,4 ;
0,0863 —0,0863 ; 0,0517 ; 0,0517 ;
0,031 ;
0,031 ; 0,01865 ; 0,01865 ; —0,0112 ;
0,0112 ; 0,0066 ; 0,0066 ; ...].
=
(1
T
la
—
—
w
vitesse de
=
propagation
des ondes de
pression
—
=
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Tw=
poids spécifique
e
coefficient de
=
D
=
E
=
e
=
Cette variation
de l'eau
compressibilité
la
de l'eau
en
diamètre de la conduite
module d'élasticité des
épaisseur
des
parois
tive
parois.
marche à
pleine
ouverture et considérons les
:
par la courbe
1 de
{hx > 0)
ce
(l <[ 0) la surpression est posi¬
qui explique le signe négatif du terme
de droite.
Nous supposons que la conduite est à caractéristique
nous admettons comme état de régime initial
particuliers suivants
représentée
20. Nous voyons que la surpression s'annule
oscillant autour de sa valeur initiale. En cas de
fermeture de l'obturateur
unique,
une
est
figure
2
cas
simplification, cette variation est repré¬
forme positive sur la figure 20 et les
figures suivantes qui indiquent donc les surpressions
A titre de
sentée
sous
sa
résultant d'une fermeture de l'obturateur.
30
Pour la conduite à moyenne
chute,
obtenons
nous
Pour
:
fa
-s(t)
(1 + 0,43) [1 ; 1 ; 0,428 ; 0,428 ; 0,184
0,0787; 0,0787; 0,0317; 0,0317
-
^^
W 0.1
0,184;
Cette variation
est
=
—0,715 [1
; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;
obtenons
nous
:
0,43
; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;
0,184;0;0;0;0;0,079;0; ...]
[0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8
; 0,2].
*
0,0194
;
chute,
conduite à moyenne
; 1 ;
0,8
;
0,6
;
0,4
;
—
0,112 ; 0,112 ; 0,0427 ; 0,0427 ; 0,0194
0,00825; 0,00825; ...]•
une
-0,43)
lm
0,0136; 0,0136; 0,00582; 0,00582; 0,0025
0,0025; ...]
[1,43 ; 1,43 ; 0,612 ; 0,612 ; 0,262 ; 0,262
=
=
;
représentée
figure 20.
par les courbes 2 de la
Nous voyons que la
s'annule en gardant
surpression
toujours le
signe.
même
Nous retrouvons le résultat
connu
pour le
déjà
de la variation
cas
de l'obturateur de la turbine selon
un
échelon
rectangulaire (5).
calcul à l'aide de suites
est
ticulièrement avantageux
l'on
se
de
propose
variations
Le
par¬
lorsque
calculer les
pression
de
ré¬
sultant d'une variation
quel¬
l'ouverture,
telle
conque de
variation de la
l'obturateur.
variation
course
de la
de
pression
pour une centrale à haute
chute (z=0,5 ; ^ = 0,6).
»
Courbe
variation
pour
de la
pression
centrale
une
à
moyenne chute
(z
Variation de la pression en aval
d'une conduite forcée à la suite d'une faible
variation de l'obturateur selon une fonction
Fie 20.
—
I
Fig. 21.
Variation de la
—
forcée à la suite d'une
selon
une
pression
manœuvre
allure
rectangulaire.
Courbe 1
centrale à haute chute
:
(z
=
0,5
; r^
=
sec).
2
=
5; r1= —0,43).
aval d'une conduite
de l'obturateur
quelconque.
0,6).
=
Courbe 2: centrale à moyenne chute (z
5 ;rl=—0,43).
Courbe 3 : centrale à basse chute (coup de bélier en masse
Tc
=
en
Le
résultat
de
courbe 3 de la
produit
ce
figure
est
représenté
par
la
21.
Nous retrouvons le caractère
périodique des varia¬
pression d'une conduite à haute chute, et le
caractère apériodique des variations de pression d'une
tions de
que celle qui est, par
de la figure 21 et
S(=)
exemple, représentée par la
qui est caractérisée par
courbe 1
la
suite
permet
=
[0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8
; 1 ;
0,8 ; 0,6
;
0,4
;
0,2],
d'étudier
Si le
:
-ri;0;0;0;0;
rf;0;0;0;0;-7i;...].
l
ainsi
obtenons
(rx
=
—
une
pour
conduite
à
haute
en
peut être améliorée
choisie.
en
méthode
élégance les phénomènes de
forcée, phénomènes qui inter¬
aval de la conduite n'est pas libre mais
une turbine à réaction, le fac¬
0,2[1
partant, le facteur de réflexion
réflexion, il
courbe 2 de la
n'est pas
valeur
le
de
facteur
qui s'y rapporte. D'autre part, si la conduite
caractéristique variable, il intervient des réflexions
successives. Il est, sans autre, possible de généraliser
le calcul à l'aide de suites de ces phénomènes, en tenant
compte de ces facteurs. Cependant, cette générali¬
de réflexion
0 ; 0 ; 0 ;
;
[0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8
résultat
r2
est possible de déterminer la
correspondante et de calculer
0;
; 1 ;
0,6 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;0,36
...]
0,8 ; 0,6 ; 0,4 ; 0,2 ;].
—
; 0 ;
;
à
sation sortirait du cadre de notre
Le
Cette
constant, mais dépend du débit, c'est-à-dire de la
vitesse et de l'ouverture de l'obturateur. A chaque
l'ouverture
0,6)
0;0;0;0;— 0,216
*
avec
de conduite
jet
teur zx et
est
=
temps
si la conduite alimente
*»
:
calcul
ce
de
viennent pour une variation périodique de l'ouverture,
en résonance avec la péroide propre de la conduite.
^^-^pt^OsOjOîO;
Nous
de
l'unité
résonance
d'autre part
SJtÙ
L'exactitude
réduisant
:
S(£\
chute
conduite à basse chute.
de
ce
produit
figure 21.
est
représenté
par
la
exposé. On reconnaît
peine que la méthode de calcul à l'aide de suites
appliquée à ce cas particulier rejoint la méthode semigraphique de Schnyder-Bergeron. (6, 7).
sans
31
VII.
la
Lorsque
CALCUL
AVEC
UNE
de l'unité choisie est très
grandeur
faible par rapport à l'intervalle sur lequel
les fonctions en considération, on peut, en
approximation, négliger
rations
le
intervenir,
intégrer ou
ou
revient à assimiler
qui
ce
prend
première
on
décalage que les opé¬
d'intégration font
différenciation
de
UNITÉ DE GRANDEUR NÉGLIGEABLE
à différencier à
suite
la
à
suite intercalaire. Ce
sa
mode de calcul est moins exact que celui que nous
avons exposé précédemment ; il a cependant l'avan¬
tage de conduire à des formules
mettre en
tion
qui
évidence de
existe
entre
plus simples et de
façon plus explicite la rela¬
de
Laplace. Le tableau III rappelle les corres¬
pondances qui existent entre certaines fonctions et
opérations fonctionnelles analytiques, les fonctions
et opérations équivalentes du calcul opérationnel
d'une part, et celles du calcul à l'aide de suites,
d'autre part. Nous voyons qu'à l'opérateur p du
calcul opérationnel correspond la suite [1 ;
1]. Ce
tableau pourrait être facilement complété. Nous
—
attirons l'attention
le calcul
formation que G.
le fait que nous considérons
sur la formule de trans¬
sur
opérationnel
basé
Doetsch utilise
(9)
:
le calcul à l'aide de suites d'une
part, le calcul infinitésimal
le calcul
et
opérationnel
ftp)=fe-»F{t)dt.
d'autre part.
o
1.
Relations entre le calcul à l'aide de suites
et le calcul
Lorsque
analytique
l'unité choisie tend
Cette formule doit être
soigneusement distinguée
Wagner (10) et N. W. Me Lachlan
particulier utilisent :
de celle que K. W.
(11)
en
zéro, l'impul¬
vers
oo
sion unitaire telle que nous l'avons définie dégénère
en une fonction de Dirac. Nous rappelons
que cette
fonction
caractérisée
impulsion
0 de durée infiniment courte, d'ampli¬
temps t
tude infinie, dont l'intégrale est égale à 1.
La réponse à l'impulsion unitaire correspond
dans ce cas à la fonction de Green, le produit
composé correspond à l'intégrale de Duhamel (8) et
le quotient composé correspond à la résolution de
Yéquation intégrale de Volterra.
est
une
par
t
S[A)
S{B)
A
f A{t
T) B(t)
—
dT.
o
Le tableau II
opérations
d'une part
de l'unité,
récapitule
compare les différentes
fonctionnelles obtenues en tenant compte
et en
d'autre part la valeur
évidence la simplification des
formules, qui résulte du
grandeur négligeable.
2.
et
négligeant
et met en
calcul
avec
une
unité de
Relations entre le calcul à l'aide de suites
et le calcul
Nous
avons vu
une
fonction
en
considération
exposant réel
conduit
au
qu'une
éléments
en
des
opérationnel
autre
façon
simples
fonctions
de
décomposer
prendre
exponentielles à
consiste à
complexe, et que ce mode de calcul
calcul opérationnel dont le fondement
ou
mathématique
est
pfe-*F(t)dt.
o
au
=
*
rtp)
=
donné par les transformations
La grande analogie qui
opérationnel et le calcul à
existe
entre
le
calcul
l'aide de suites ressort
du tableau III. A la transformation
temps-opéra¬
qu'une décomposition en
composantes harmoniques de la fonction consi¬
dérée, correspond la décomposition de cette fonction
suite d'impulsions. Cependant une diffé¬
en
une
rence entre les deux modes de calcul est
que, grâce
à la transformation opérateur-temps, le résultat
du calcul opérationnel peut être exprimé en fonc¬
teur,
qui
n'est
en
fait
tion du temps, alors que le résultat du calcul à
l'aide de suites reste exprimé sous forme d'une
suite. Il existe
une
modes de calcul
Le
autre
différence
entre
ces
deux
:
calcul
opérationnel basé sur les transfor¬
Laplace, grâce aux travaux d'éminents
mathématiciens parmi lesquels on peut citer les
de Doetsch (9)
travaux
K. W. Wagner (10),
Carson (12), et plus récemment, la théorie de
distribution de Schwartz (13), satisfait actuelle¬
ment à toutes les conditions de la rigueur mathé¬
matique, alors que le calcul à l'aide de suites est
calcul approximatif. Par contre, l'application
un
de ce dernier est plus étendue. Si nombreuses que
soient les transformations du calcul opérationnel,
leur nombre est relativement très restreint, et ces
mations de
transformations
ne
s'appliquent qu'à
des fonctions
32
analytiques.
La calcul à l'aide de suites peut être,
dans de nombreux cas, avantageusement combiné
le calcul opérationnel, en permettant, par
avec
de calculer de nouvelles
exemple,
obtenues
transformations,
f(p)
qui correspond
la fonction
suivante
:
\TP
1
e~*T +
e-pT
=
combinaison de transformations
la
par
Proposons-nous de calculer
opérationnelle
à la fonction
\/p
connues.
Soit deux fonctions
formées
par
la
opérationnelles
d'une
série
et
g(p)
fonctions
de
En considérant
en
admettant T
réponse
une
4,
=
nous
à
échelon unité et
un
obtenons
:
:
f(p)
ê(p)
Si l'on
opérationnelles f(p)
somme
=
=
fi(P) + k{p) +
giip) + ëiip) +
5(F)
fonctions temps
connaît les
terme
Le résultat
correspon¬
ces suites, et partant, les
chaque
suites correspondantes S^), S(f2),... et S(gj), S(g2),...,
il est facile de calculer, à l'aide du produit ou du
quotient composés, la suite qui correspond au
produit ou au quotient de f{p) par g{p), ce qui
n'est pas toujours possible à l'aide des transfor¬
dant à
[1]+Z>(+4)*
[1;1;...;1;...]Î
=
v/Jj"
S
•
de
de
quotient composé
ce
représenté
est
par la courbe 2 de la figure 22 qui est un exemple de la
façon dont de nouvelles transformations opérateur-
temps peuvent être déterminées
à l'aide de suites.
mations usuelles.
3.
moyen du calcul
au
Exemples
Le calcul à l'aide de suites s'avère très avanta¬
lorsqu'il s'agit d'exprimer en valeur numé¬
rique le résultat de calculs, surtout lorsqu'il faut
combiner des fonctions obtenues par voie expéri¬
geux
mentale
des fonctions déterminées par voie
avec
A.
Intégrations
dérivations successives de
Les
suite de la /cième
de la
termes
l'impulsion
dérivation de
unitaire
fdt fdt
Exemple
opérationnelle: f(p)
fl(t) dt A T* [1
...
1
VP
=
T*
Tl
k(k+i)
; k
ou
donnés par
:
;
—
1]"*
=
k(k+l)(k + 2)
3!
k(k + l)(k + 2) ...{k+n—2)
=
V/TTt
(n-1)
22.
L'erreur
A/7/)
sont
=—t=-
La fonction temps qui lui est équivalente est connue :
1
Cette fonction est représentée par la
F(t)
—y=-
figure
intégration
I[t)
t
(
t
Considérons la fonction
l'impul¬
sion unitaire
les coefficients du binôme de Newton
analytique.
courbe 1 de la
et
qui
affecte
II
dans l'annexe
mode
ce
d'intégration
B. D'autre part
sous
,..}
!
est
indiquée
:
g(nAlri.-i3»=iri._ifc.-*(-*+1).
J
dt"[)=it1,
—
t*
L
'
k(—k+l)(—k+2)
3!
2
;
""
;
_fr(_ft+l)(_fc + 2)...(— k+n-2)
(n-1)!
Ainsi
pour A:
nous
=
0
*=1
/c
=
2
k=3
k
=
4
h
=
5
Nous
obtenons
[1
[1
[1
[1
[1
[1
:
1]°= 1
I]1
1]
[1 ;
_l]«
[l;-2; 1]
_l]»=[l;_3; 3;-l]
_l]4
[l;_4; 6;-4;l]
-1]»
[1;-5;10;—10;5;-1].
—
=
—
—
=
=
=
reconnaissons les coefficients
triangle arithmétique
donnés par le
de Pascal.
développement est valable également lorsque
fractionnaire, ce qui permet de calculer les fonc¬
tions gamma V(k) (14).
Ce
Fig. 22.
Exemple de
opérationnelles
—
de fonctions
transformation
k est
à l'aide de suites.
+,°°
1
1
T(k)
—700
Courbe 2
:
F(t)
=
~
f
-/o.
=
-1
Ar*-1
e-x dx
o
eft
XL
e-PT-\.
Vp
dp
H
;---J'
s(rW)Hli;-i]'.
33
Dans
le
(avec
t
particulier
cas
1)
=
k
ou
=
obtenons
nous
-
,
obtenons
et
caractérise
produit composé qui
Nous effectuons le
S(x)
:
:
[1; 1;
S(x)
^-'M'=^KH^(H(H---]
_T
'"J
[0,111
[9;-8]
0,374 ; 0,444
0,726;...].
"1
1.13.135.1357.
'2'24' 2 46'2 468'
~~[
;1; ...]
...
=
k
suite
Cette
0,506
;
0,297
;
;
0,562 ; 0,613 ; 0,657 ; 0,692
;
représentée
est
0,209
;
par la
courbe
4
;
de la
11. Nous voyons que pour les premiers termes,
la différence avec la fonction obtenue par voie analy¬
figure
j(p)
1
0,375
;
d'autre part
connu
=
0,5
qu'à
0,274
;
;
0,247 ;...].
opérationnelle
la fonction
.
la
correspond
—=
0,314
;
fonction
1
F(t)
temps
=
\nt
yp
caractérise
[1
;
figure 22 : la suite qui
courbe correspond bien à celle obtenue
par la courbe 1 de la
représentée
pour
—j=
cette
1]5
—
qui
ce
confirme la validité de
(0
cas
ce
Tu*-1 F (t
(^-
u) du)
—
=
T* [1 ;
1
=
solution
lorsque
tant
l'aide
à
la fonction
F(t)
a
très
est
effet
en
quelconque
expérimental.
[1
résul¬
[1
=
=
B. Calcul d'un
; 1 ; 1 ;
Nous considérons à
par la
dispositif mécanique
tisseur
un
et
nouveau
ressort.
différentielle suivante
J~di
transformons
l'aide de suites
p.
21)
un
:
T
équation
différentielle
à
T+l
1;-T]J
1;...]*[T;-T]
[T]
1;...]
.
expression
Nous
[T+l;-T]
Nous effectuons le
cette
T-
cette
; 1 ;
zéro.
vers
T]
[1;1;
amor¬
l'équation
+ x=k{t).
obtenons
et
et
(voir
b dx
Nous
10
[1
moyen
r[i]-======u-
___
[T+li—T]
dispositif mécanique
le
constitué par
Nous avions obtenu
figure
—
••]*|[1][LJ
;
...
au
;!;]
1 ; 1 ;
;
[1;1;...;1;..
=
représenté
0.
:
avantageux
allure
une
d'un relevé
exemple
par
suites
de
=
retrouvons la même
nous
[T+li
calcul
x0
l'unité choisie tend
lorsque
o
Le
avec
l'aide de suites,
du calcul à
1]* * S (F).
—
b
e
Nous vérifions que dans la solution obtenue
obtenons
S
mais
appréciable,
est
relative pour les termes
déve¬
ce
particulier.
Il est connu que le produit de l'opérateur p* avec
une fonction /(p) pour A: quelconque négatif est donné
par une intégrale d'où il résulte (14) :
dans
loppement
qu'elle diminue en valeur
plus élevés.
Dans le cas particulier où /<:(*) est égal à l'échelon
rectangulaire unitaire, nous avons vu que la solution
de cette équation différentielle est la fonction expo¬
nentielle représentée par la courbe 2 de la figure 11
tique
+[T
Il est
;
+[T
[1
=
quotient composé
contenu
dans
:
T+l;
—T
y
f2
y3
T+l'(T+l)2'(T+l)3'
'
••
'
(7/+l)n>-
2"2
:
T + 1
TS{x)*[l;
T
=
—
constante de
=
fJ
S(x)
du calcul
logie
y3
temps mesurée
T+l~ (T+l)2
^3
0
S(k)
S(k)
T[l ;-!] + [!]
[T+l;-T]
cette
(T + l)2
7*3
T4
(T + l)2
(T + l)3
différentielle à l'aide
équation
opérationnel, on obtient
l'expression suivante :
expression
entre
avec
=
x{p)
Cette
S(k),
=
l'unité T,
Si l'on résout
tionnelle
i] + S{x)
h
m
avec :
—
sous
forme
HP)
pT+1
particulièrement bien
opérationnel et le calcul à
(T + l)3
opéra¬
=
illustre
le calcul
rpl
0
Nous voyons que
nous
qui correspond
temps
au
obtenons
Nous supposons à
3
variation
de
nouveau
k selon
que T
un
=
8
échelon
xn
l'aide
et
admettons
rectangulaire.
=
m
comme
terme
l'expression
général
suivante
:
rrn
l'ana¬
=
1-
de suites.
une
t
L'erreur
qui
l'annexe II
affecte
sous
ce
(1 + T)n
résultat
est
indiquée
dans
C. Nous contrôlons que si l'unité
T
34
tend
vers
zéro,
la méthode
le résultat obtenu par
retrouvons
nous
analytique
Nous
1
=
E(p)
i+v,r
est
tension
Nous
La limite suivante est
zéro,
nous
J
=
i,
,
obtenons
x„Ax(t)=[i
=
*
«t
faisant tendre
en
X
vers
+
e-y*.
forme
début
au
opérationnelle
de
la
successivement
de la
transmission.
les
approxima¬
:
Lorsque les pertes sont relativement faibles, il est
légitime de développer l'expression qui se trouve
sous
(l
E(p)
sous
considérons
par
:
a) Première approximation
:
—
l'expression
E(t) appliquée
tions suivantes
connue
r
posant A-
=
1-
différentielle
équation
cette
obtenons
et
x
u
Xn
en
résolvons
rapport à
:
le radical.
Nous obtenons ainsi
p
*
=
1-
I
e
T
\/p2LC + p(LC+ CR)
=
+ GR^é
»-0
Dans le
cas
obtenu
avec
limite où l'unité choisie
le résultat obtenu par voie
avec
est
nulle,
^Pv/Zci/i
le résultat
le calcul à l'aide de suites coïncide bien
analytique.
ILG+CR
avec
C. Etude de la
propagation d'une
électro-magnétique
Nous avions
déjà
perte. Nous
sans
considéré le
cas
d'une
=
propagation
cas
Il
en
électro-magnétiques.
résulte
Pi
avec
:
=
Tx
ax
=
=
—
x
=
=
—
w
suites,
S(UX)
-»=GU+C
dt
fe-l(p+a)
facteur d'amortissement
=
temps que met l'onde
à arriver à l'abscisse x.
nous
S (F)
Nous
R
=
L
=
G
=
C
=
résistance
spécifique
spécifique
admittance spécifique
capacité spécifique.
n'était pas
E(t) lui est
qu'à
décalée du temps Tx
la
ligne
tension et admettons que la tension
appliquée à son début. Nous nous proposons
sous
de déterminer la tension
quelconque
de la
En
faisant
qui en résulte en un point
ligne, en négligeant les phénomènes
u
et
i
usage
du
calcul
opérationnel,
nous
:
Nous
sont
les
=
_^
=
expressions
(R + Pm
(C + P0„.
de U
et 1
sous
considérons le
150
En éliminant le courant i de
obtenons
:
ce
x
est
égale
début de la transmission
par
e~P*.
Nous
sur
de la
une
propagation d'une
ligne haute tension
les données suivantes
obtenons
:
grandeurs caractéristiques
les
:
R
=
0,123 Q/km
L
=
1,32 mif/km
C
=
G
forme
cas
écartement entre conducteurs 7 m,
section des conducteurs 450 mm2.
c~
opéra¬
0,88 10-2 uF/km
•
0
R
0,123
2L
2-1.32-10-3
=
tionnelle.
nous
au
multipliée
électro-magnétique
kV, caractérisée par
vantes
-d£
et
onde
de réflexion.
obtenons
D{+ Tx)e-Vx.
Exemple numérique
initial,
l'instant
:
La variation de la tension à la distance
inductivité
considérons
obtenons
*
à la variation de la tension
avec
/e-*r«e-fc
=
w
A l'aide des
dt
dx
vitesse de translation des ondes
d'une
ux
w
facteur d'amortissement
LC
\LC
propagation avec perte.
A titre d'illustration, nous considérons l'exemple
de la propagation d'une onde électro-magnétique le
long d'une transmission électrique homogène.
Le système d'équations qui caractérise cette propa¬
gation est bien connu :
c>x
2
onde
proposons d'étudier le
nous
p
système d'équations,
w
=
-j=
\JLC
=
46,5 1/sec
2,9-105 km/sec
sui¬
35
Nous
proposons de déterminer la variation de
distance x
6250 km.
nous
la tension à
une
Nous obtenons
e-Vz
:
e-io-«.i,e.G,25.io»
=
dans le deuxième
=
e-i
=
i(—-)
0,368 [11 X 0; 0,5; 0,9 1 ; 0,7 ; 0,54 ; 0,4 ;
0,28 ; 0,18 ; 0,10 ; 0,04]
[11 X 0 ; 0,184 ; 0,332 ; 0,368 ; 0,332 ; 0.268 ;
0,199 ; 0,147 ; 0,103 ; 0,067 ; 0,037 ; 0,018]
(courbe 2 de la figure 23 b)
=
0)368
=
6,25-10»
x
S(U(x))
[S(F) *Z)(21.6)] 0,368.
=
Nous considérons deux
un
la tension E varie selon
une
Dans le
premier
cas,
Le calcul
onde choc.
obtenons
nous
<IH ;!;••
rectangulaire,
échelon
; 1 ;
tension Ux
:
•]
(co urbe
échelon
un
rigoureux donne, pour la variation de la
l'expression suivante, lorsque E varie selon
rectangulaire (10) :
0
..
1
c e
la
approximation
Deuxième
b)
cas :
la tension E varie selon
8»t
fi.1
cas :
=
t
pour
fig. 23a).
<^
ut
ï4V"-"}
ax
Em
S
e
vf
sA
in
0
a1
v
s»
t>:
pour
^2
s»
*9
«9
J1
=
fonction de Bessel du
de
premier degré (15).
ma
nous l'avons défini, cette expression donne la
réponse ^euJ^) de la tension Ux par rapport
Ainsi que
Fig. 23a.
—
d'une transmission
Courbe 1
:
Courbe 2
:
lle
Courbe 3
:
2me
Propagation d'une tension le long
électrique en tenant compte des pertes.
Variation de la tension
au
début de la trans¬
mission.
à
une
à
de la variation de la tension
approximation
distance
x
=
une
distance
x
=
Dans le deuxième cas,
de temps 2 millisecondes
6250 km.
de la variation de la tension
approximation
en
courbe de
à
la tension E.
est
qu'elle comporte
choisissant
comme
Nous
=
\im/
; 1 ;
[0,5 ; 0,9
0,10 ; 0,04]
0,9
(courbe
0,7 ; 0,54
(courbe 1
;
;
0,4
;
de la
0,28 ; 0,18 ;
figure 236)
ainsi
[10
en
numérique
l'intégration
valeur
suites, ainsi
que cela ressort
nous
;
;
variation de E selon
obtenons
;
;
figure 23a).
3 de la
une
:
0,370 ; 0,387 ; 0,403 ; 0,418 ; 0,432
0,457 ; 0,468 ; 0,478 ; 0,487 ; 0,495
0,508 ; 0,514 ; 0,519 ; 0,524 ; ...]
X 0 ;
0,445
0,502
Pour
S(-JL)
à l'aide de
obtenons
=
unité
:
traduction
du tableau IV.
S{QgUx)
6250 km.
Sa
facilitée si l'on effectue
grandement
une
onde de
choc,
:
=[0,5; 0,4; 0,1;-0,1;-0,2;-0,16;
0,12 ;
0,14 ;
0,10 ;
0,08 ;
0,06 ;
0,04] * [10 X 0 ; 0,370 ; 0,387 ; 0,403 ; 0,418 ;
0,432 ; 0,445 ; 0,457 ; 0,468 ; 0,478 ; 0,487 ;...].
—
—
—
—
—
—
Le résultat de
courbe 3 de la
ce
figure
mation que subit le
le long de la ligne.
Fig. 236
Propagation
d'une tension de choc le
d'une transmission
Courbe 1
:
Courbe 2
:
variation de la
tension
long
électrique.
au
début
de la
trans¬
mission.
lre
à
Courbe 3
:
2e
à
approximation
une
distance
x
approximation
une
distance
x
de la variation de la tension
6250 km.
=
de la variation de la tension
=
c) Propagation compte tenu de l'inertie du champ
magnétique à l'intérieur du conducteur
Nous
égale
6250 km.
avons
la résistance
Nous choisissons
ms
et
dans le
s(^)
^m'
obtenons
premier
=
également
comme
unité de temps
:
cas :
0,368[llx0;l;l;l;...;l;...]
(courbe 2 de la figure 23 a)
admis
spécifique
à la résistance
thèse est
2
produit composé est donné par la
236 qui met en évidence la défor¬
signal par suite de sa propagation
l'exemple précédent que
du conducteur était constante,
dans
au
courant
continu ;
cette
hypo¬
pour des phénomènes relativement
lents de l'ordre de la milliseconde ou supérieurs ; pour
correcte
phénomènes plus rapides, il faut tenir compte de la
champ magnétique à l'inté¬
rieur du conducteur. L'inertie de ce champ amortit les
oscillations d'une fréquence très élevée. Si l'on consi¬
dère au début d'une transmission électrique une varia¬
des
durée d'établissement du
tion de la tension selon
une
impulsion ayant
une
durée
36
de front très courte, il en résulte le long de la trans¬
un étalement progressif du front de cette onde.
mission
Ce
phénomène
été reprise par
suivant
a
en
échelon
un
étude
qui
a
qui conduit au résultat
première approximation en admettant une
K. W.
Wagner
variation de la tension E
selon
Pleijel,
été étudié par H.
et
début de la transmission
au
pour
1
—
<$>(z)
t
•<[
1
y/-
du
intégrale
=
de la courbe
d'erreur de Gauss
(15)
(km)
propagation
w0t
=
vitesse de
c
=
M
P
=
Z0
=
a
A titre
les
=
c
=
M
s/p
«-o
300 000
r>o
=
1
0,1323.
de l'onde
_
de
x
prenons celui d'un conduc¬
de diamètre, caractérisé par
suivantes (10) :
évidence l'étalement du
too
=^=*~
*»
y^4
i
wt
Courbe 1
:
Courbe 2
:
km/sec
Propagation d'une tension le long
électrique compte tenu
magnétique du champ intérieur du conducteur.
—
Variation de la tension au début de la trans¬
mission selon un échelon rectangulaire.
Variation de la tension à
résultant de l'échelon
une
distance
x
rectangulaire
=
30 km
selon
la
courbe 1.
:
:
Variation
de la tension
une
au
début de la trans¬
onde ayant
Variation de la tension à
une
un
front de 0,1
distance
x
résultant d'une variation de la tension
de la transmission selon la courbe 3.
:
0,1323
jTt
V4$
m,i
d'une transmission
Courbe 4
=
au
us.
30 km
début
2,59 -10-3 x
*
"
^
=
0,5
500
30 km du début de la
Nous admettons
au
tout
début de la
gulaire représenté
*>
d'abord
ligne
par la
qui
ligne
30
300 000
une
selon
courbe 1
la variation de la tension Ux
en
un
une
dis¬
:
100
us.
variation de la
échelon rectan¬
de la
résulte
figure 24 ;
au point x
au
Nous admettons ensuite
au
De nombreux
exemples pourraient
être
encore
donnés de l'utilisation des suites pour l'étude des
phénomènes de propagation qui obéissent à un
dérivées partielles. On
aux
particulier, mettre en évidence que, si
les pertes sont très importantes, on retrouve les
mêmes conditions que celles qui caractérisent la
transmission de la chaleur. On pourrait déterminer
l'influence de l'impédance de la source de tension
système d'équations
moyen de la formule mentionnée ci-dessus
est donnée par la courbe 2 de la même figure.
début de la transmission
onde ayant une durée de front de 0,1 microseconde,
ainsi que le représente la courbe 3 de la figure 24. Nous
une
Fig. 24.
de l'inertie
v/300 000.«—30
calculée
S($eux)-
2/
6,1
0
nous
0,0777
tension E
est
^
T
cm
Nous calculons la variation de la tension à
tance
Ux
résulte de la
mission selon
4,89
Z
donnée par le
la
suite
Se(E) par
est donné par la courbe 4
ÏZ
électromagné¬
Courbe 3
résulte
tension
0;...; 0; ...].
;
GT t
500 ohm
=
en
1
numériques
données
Z0
11
d'exemple,
de cuivre de
teur
0,2; 0,2; 0,1 ; 0
ce
24
...]
; 1 ;
forme de l'onde de choc.
tique (km/sec)
propagation de la lumière (km/sec)
coefficient de perméabilité
résistance spécifique du conducteur (Q mm2 m)
impédance caractéristique (Q)
rayon du conducteur (cm).
=
la
...
qui
pénétration du champ
électromagnétique à l'intérieur du conducteur et des
pertes qui accompagnent cette pénétration. Cette
méthode de calcul est applicable pour toute autre
vitesse de
=
de
;
produit
qui met en
i
«'o
0,2
Le résultat de
«
x
;
; 1 ; 1 ;
:
:
produit composé
^89/^0 V"P f?
v/n/il Ve zo
—
0,2
front d'onde
z
=
;
0,02 micro¬
caractérisée par la suite
de la suite
figure
intervalle de
un
est
par la suite échelonnée
de la
«>-
pour
T
variation
[0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8
Em
Se(E)=Em[0,l
:
w
n
=
unité
comme
cette
La variation
0
<S>(z)
S(E)
et
rectangulaire (10)
E
choisissons
seconde;
pourrait,
et
en
celle des différents modes de réflexion si la trans¬
mission
matique
est de
de
ces
longueur limitée. Une
différents
du cadre de notre
exposé.
cas
étude
sortirait
systé¬
cependant
37
ÉTUDE DE FONCTIONS ALÉATOIRES
VIII.
Le
formalisme du calcul à l'aide de suites
prête particulièrement
aléatoires. Cette
application
qui
publications
se
bien à l'étude de fonctions
prennent
théorie de l'information
en
(16).
déjà l'objet
de
considération
la
fait
a
termes
des
suites
mination
entre
L'annexe III donne
Ce
fonctions
développement
Soit Ak(t) une
conduit
aléatoires
au
est
résultat suivant
certaine
Nous supposons que la réponse Gk/(t) de Af(t)
à une impulsion unitaire de Ak(t) est connue. Le
e2(A/) qui
Af(t)
aléatoire
se
caractérise
calcule de la
=
façon suivante
U
des
suites
corrélation
=
—
T
T
=
période
pendant
aléatoires Ak
et
laquelle les
A/ sont prises
fonctions
en
consi¬
dération
T
unité de temps choisie
=
T
k1
=
/ Ak(t) dt
—
y[ pendant
=
la
valeur moyenne de Ak(t)
première unité de temps.
2T
k2
)dt
=±JLk{t)i
T
:
2^AtmApn)
m=l
...,
Ago, Agi, AQi,
...
sont
kn
=1
(n—1)T
les termes
fonctions d'auto¬
définies
:
A„
=
T^gl
n=l
OO
T
=
f&k{t)l)dt
OO
qui caractérisent les
Ai{Q) et Ag(Q) ainsi
Ak(e)
knkn+m
m
A/2(nT)=T(;Uvlffo +
n=l
Ato, An, Am,
2
OO
S
-
fonction
la
U
e2(A/)
S*
T
u
cause
moyen
-
:
tivement faibles par rapport à des valeurs moyennes
de f(t) et de k(t).
carré
fonctions
"
-s
Akm=
connue.
fonction aléatoire qui
(par exemple les fluctuations
de la charge d'un réseau) et Af(t) la fonction
aléatoire qui caractérise l'effet (par exemple les
fluctuations de la fréquence d'un réseau). Par le
signe A nous signifions qu'il s'agit d'écarts rela¬
caractérise la
ces
:
de la méthode
deux
ces
suivante
1
l'écart
de
façon
l*o
qui permet la déter¬
d'une
moyen quadratique
certaine fonction aléatoire qui dépend d'une autre
fonction aléatoire, lorsque la relation dynamique
justification
la
caractérisent
qui
s'obtiennent de la
~fAk(t)Ak(t + e)dt
Agm
=
TVg»g,,+m
o
T
*
flT
oo
gn
OO
Ag{6)=
f'Gk,{t)Gl,(t+Q)dQ.
=^JGt,{t)dt.
(n-l)T
Le calcul à l'aide de suites
se
prête
bien à la
de l'écart moyen quadratique des
de la fréquence lorsque la fonction
détermination
Les
intégrations qui
d'auto-corrélation
ment
au
se
déterminent
laissent
ces
calculer
fonctions
commodé¬
moyen du calcul à l'aide de suites. Les
fluctuations
aléatoire
qui caractérise
(17, 18).
est connue
les fluctuations de
charge
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DEUXIÈME PARTIE
APPLICATION DU CALCUL A L'AIDE DE SUITES A LA
THÉORIE
La
théorie des
essentiellement
suivants
1.
RÉGLAGES AUTOMATIQUES
DES
les
étudier
deux
problèmes
tant
d'un
des
conditions
de
stabilité
réglage automatique.
à la suite d'une
régler,
à
:
Détermination
grandeur
perturbation affec¬
Détermination des variations de la
2.
réglages automatiques consiste
à
dispositif
le
allons
Nous
réglage.
de
quelques avantages
montrer
pra¬
tiques offerts par le calcul à l'aide de suites pour
la résolution de ce genre de problèmes.
DÉFINITIONS
1.
hydro-électrique
A titre
d'illustration,
nous
cas
du
réglage de vitesse d'un groupe hydro-électrique
représenté schématiquement par la figure 25.
couple
G
groupe
considérons le
Grandeur de sortie
Grandeur d'entrée
Description du réglage d'un groupe
dispositif
de
réglage
angulaire
R
dispositif
hydraulique
Le
moteur
m
vitesse
est
charge qui
n
de la
turbine l
n
de la
turbine /
groupe
angulaire
ouverture
ouverture
H
vitesse
couple
soumis
constituent
aux
le
«
provoquant les réactions du
Les variations relatives n, l,
moteur
variations k
terme
m
de
la
perturbateur »
de réglage.
dispositif
m ne sont pas simul¬
tanées mais sont liées entre elles par une certaine
relation fonctionnelle. Nous allons passer en revue
les différentes
façons de caractériser
cette
relation.
i
Fie. 25.
Dispositif du réglage de vitesse
d'un groupe hydro-électrique.
—
C
m,
La turbine T entraîne le
le
générateur pilote
générateur G ainsi
que
GP. L'ouverture de la turbine
commandée par le servo-moteur SM. Lorsque
le commutateur C est dans sa position 2, le moteur
M est alimenté par le générateur auxiliaire GA
indépen¬
représente schématiquement la
figure 26, ce réglage peut être représenté comme
étant constitué par un circuit formé par 3 éléments :
Ainsi
que
le
R
H
i
est
dont la vitesse peut être variée à volonté,
damment de celle du générateur G.
Y
,
Fig. 26.
G
R
H
Représentation schématique du circuit
d'un groupe hydro-électrique.
Groupe (turbine -f- alternateur).
Dispositif de réglage.
Dispositif hydraulique.
—
de
réglage
l
Variation relative de la vitesse.
Variation relative de l'ouverture de la turbine.
m
Variation relative du
k
Variation relative de la
n
couple moteur.
charge électrique.
40
Dans ce but, nous admettons que le circuit de
réglage est ouvert et nous prenons en considération
le dispositif de réglage avec, comme « grandeur
d'entrée »,
variation
la
angulaire n*,
vitesse
relative
arbitraire
et
«
comme
de
la
de
grandeur
sortie », la variation relative l de l'ouverture de la
turbine.
Une troisième façon de déterminer les caracristiques dynamiques du dispositif de réglage est
de faire varier la grandeur d'entrée n, de mesurer
variation
cette
Equation
2.
"J
réglage
laborieuse
et
de
conduire à
contente pas d'une
est
un
l
Fig. 28.
peu
n(f)
Une deuxième
de
relever
Nyquist
»
du
un
Nyquist
façon d'établir
la
relation est
cette
expérimentalement
dispositif de réglage
la
«
courbe
de
variation de la
=
cas
où
fait
n
un
saut
brusque
ensuite constant, c'est-à-dire varie selon
échelon rectangulaire ainsi que le représente
reste
figure 28b,
dispositif
de
variation
la
résulte est définie
du
angulaire du groupe.
du servo-moteur.
course
particulier
réponse
réglage.
de
relative
de
l
étant la courbe de
comme
qui en
réponse
réglage <S>ni(t)
grandeur
par
mesure
vec¬
un
n
une
avec
pulsation vj1 ; la grandeur de sortie l oscillera
également autour d'une valeur moyenne. On
mesure
l'amplitude de l'oscillation de n, et on
représente
dispositif
que l'on obtient
de la façon suivante : on fait osciller la
d'entrée n autour d'une valeur moyenne
le résultat de cette
Définition de la courbe de
—
variation de la vitesse
=
l[t)
Dans le
Courbe de
è)
du
et
3.
j*£
a)
compliqué et dès que l'on ne
approximation très grossière
des caractéristiques dynamiques des organes de
réglage.
réglage
se
MB
4
^"0
SJB)
0
des
calculs inextricables, tant pour la détermination
des conditions de stabilité que pour l'étude de la
variation de la grandeur à régler, dès que le circuit
de
simultanément la
sortie l ainsi que le
de
^-1Âf
classique consiste à déterminer le
système d'équations différentielles auxquelles obéis¬
sent ces deux grandeurs. Cette méthode a l'incon¬
d'être
mesurer
grandeur
figure 28a.
la
r\tn
La méthode
vénient
de
et
variation de la
représente
différentielle du
Courbe de réponse
4.
J(u)j), dont la grandeur absolue J Jx | est égale
à l'amplitude de l'oscillation de l divisée par l'am¬
plitude de l'oscillation de n, et l'argument n>lt égal
au déphasage entre ces deux oscillations, ainsi que
le représente la figure 27.
teur
dit, c'est la variation relative
autrement
résultant
d'une variation de
n
selon
un
de
l
échelon
rectangulaire unitaire.
Lorsque la variation de la grandeur d'entrée est
quelconque, la courbe de réponse peut se calculer
en résolvant l'équation intégrale de Volterra et en
intégrant la solution (19).
Soit l(t) la variation relative mesurée de la
course
du servo-moteur résultant d'une variation
quelconque n{t) de la vitesse angulaire. La réso¬
lution de l'équation intégrale suivante permet de
Gni(t)
calculer la fonction
:
t
/ «(t) G„i(t
l{t)=
—
x)dT.
o
Fig. 27.
—
Si l'on effectue la même
pulsation
iu2
on
série de
on
...
obtient
,
rents
mesure
J(u»n)
différentes u>3, u)4,
famille de vecteurs
une
...
vecteurs,
on
fréquence
une
...
obtient la courbe de
variable.
Ainsi que nous l'avons vu, cette fonction Gni(t)
est la variation de l que l'on obtiendrait si n variait
selon une impulsion unité. Comme l'échelon rectan¬
autre
un
une
; u)n ;
•
•
l'intégrale de l'impulsion unité,
intégrer Gni(t) pour obtenir la courbe de
réponse.
gulaire
unitaire
est
il faut
$nl=
•
J(u]3), «/(i"4)
En reliant l'extrémité de
dispositif, appelée également
ment à
pour
obtiendra de façon générale
Si l'on répète cet essai pour
J2.
pulsations
autre vecteur
Nyquist.
Définition de la courbe de
ces
/
G„i{t)dt.
diffé¬
Nyquist
du
courbe de comporte¬
Il
est
pratiquement
très
difficile, sinon impossible
d'effectuer
directement
ces
analytique.
Nous
vu
avons
par voie
connaît les
opérations
que si
on
41
transformations
de
résolution
la
Laplace,
l'équation intégrale
quotient de ces transformations. Il suffit de diviser
ce quotient
par l'opérateur p pour obtenir l'expres¬
sion opérationnelle de la courbe de réponse.
<pnt
f\
=
=
J
"{P)
P
/
*„i (0 en* dt.
HP)
Nous définissons le quotient
-f-4-
étant la
comme
Calculée
de
de Volterra revient à faire le
façon suivante
S(n)
les suites. Ainsi que
l'avons
exposé précédemment, la résolution
l'équation intégrale de Volterra est équivalente
au quotient composé des suites correspondant aux
deux fonctions connues. La suite S(<t>ni(0) corres¬
pondant à la courbe de réponse s'obtient donc en
faisant le produit composé de ce quotient composé
nous
de
s'obtient
n*
de
n
la
de
:
S(n*)*S(4>U)*S(<t>im)*S(Vmn).
=
réponse du circuit
La suite de la courbe de
fonction de transfert cp„j du dispositif de réglage.
Malheureusement, si n(t) et l(t) ont des allures
compliquées, il n'est pas facile de leur appliquer la
transformation de Laplace ; d'autre part, la transfor¬
mation inverse peut également conduire à des
calculs compliqués. Ces difficultés s'aplanissent si
avec
suites, la variation de
de
variation
5(<t>âi)j S(<t>'im) et S(<J>m„) sont les suites qui corres¬
pondent aux dérivées des courbes de réponse
^ni[t), ^>im{t) et <t>mn(0 autrement dit ce sont les
suites qui correspondent à la réponse du dispositif
de réglage et du groupe à une impulsion unité.
n(-P).
l'on fait usage du calcul
l'aide
à
d'une
résultant
réglage
S(<D*,)
=
=
Ce
la suivante
ouvert est
; 1 ;
[1
; 1 ;
...
S(<M
*
résultat
S(Vlm)
illustre
frappante l'analogie
entre
du
:
...] *S(<Wi)*S(<DW *S{H>'mn)
*
(9)
5(4>;n).
de
façon particulièrement
nous
que
avons
déjà
le calcul à l'aide de suites et le calcul
relevée
opéra¬
tionnel.
5.
Détermination de la courbe de
qui correspond
à
une
courbe de
Nyquist
réponse donnée
par la suite unitaire.
S(<Ml))
(8)
S(f),[l ;!;... ;!;...]
_
S(l)
=
m
^hït="i]
S(n)
étant la suite
correspondant
à
S(l)
étant la suite
correspondant
à l
La suite de la dérivée de la courbe de
la suite de la
réponse
S(<Dy
à
l'impulsion
S(G.,)
=
=
L'avantage de la courbe de réponse est qu'elle
une image très concrète des caractéristiques
dynamiques de l'organe de réglage considéré et
qu'elle est relativement facile à déterminer expé¬
rimentalement. Son inconvénient est qu'elle ne
donne
n(t)
(t).
donne
du
réponse
unitaire
Gni(t)
est
•
|^.
S(n)
indication immédiate
aucune
Il
réglage.
donc
sur
nécessaire
la stabilité
de
pouvoir
réponse
donnée, la courbe de Nyquist correspondante. Il
est connu que cette courbe de Nyquist se déter¬
mine à l'aide de l'intégrale de Fourier (20) :
déterminer
est
partir
à
d'une
courbe
de
oo
que, si différents organes de réglage
branchés en série, la fonction de transfert
Il est
sont
connu
donnée par le produit des fonctions de transfert
de chacune d'elle.
J(u>)
=
/nu I <t>(0
<r->°* dut
est
Considérons
réglage d'un
par
groupe
c'est-à-dire que le
est
sur
sa
exemple que le
hydro-électrique
commutateur C de
circuit
est
la
ouvert,
25
forme
opérationnelle
n
=
J(iu)
figure
:
n* <p„j q>;m <pm„
d'où il résulte que la fonction de tranfert q>nn du
circuit de réglage ouvert est la suivante :
produit de deux fonctions
opérationnelles correspond à l'intégrale de Duhamel
à laquelle correspond également le produit des
deux suites qui s'y rapportent.
est connu
que
un
peu différemment
:
oo
/ <t>(t)
u)
sin wtdt -f-
/m / *(«)
o
cos
wtdt.
o
Si l'on
remplace /ni par p et que l'on divise cette
expression par p on retrouve l'expression de la
transformation de Laplace. Le résultat de cette
intégrale se trouve contenu dans les tables de
transformation du calcul opérationnel. Si l'on a
relevé expérimentalement une courbe de réponse,
on
peut toujours trouver une approximation de
son
expression mathématique en la considérant
comme
n
Il
=
n
du groupe résultant d'une variation quelconque de
la vitesse n* du groupe auxiliaire GA est la suivante
sous
exprimée
oo
2. La variation de la vitesse
position
ou
de
étant
potentielles
le
^W
am
une
ou
=
étant réel
de fonctions
exponentielles
^
ou
somme
du temps
:
{amea^ + b„tn + cide*)
complexe.
42
En déterminant la forme opérateur de cette
expression, en y remplaçant p par /ui et en la mul¬
tipliant par /u) on obtient ainsi directement l'ex¬
pression de la courbe de Nyquist.
Pratiquement, cette méthode peut conduire à
des calculs assez laborieux, dès que l'allure de la
courbe de
une
réponse ne se laisse pas traduire
expression mathématique simple.
Une
de
méthode
autre
réponse
pour
courbe
la
à
de
passer
Nyquist
de
la
par
courbe
a„ et
bn tels que
:
a„
F(t)
t=
(2Ttn
cos
de
=,)
que cette transformation
à l'aide de suites ; soit :
=
la suite
i
b„
^
JF{t)
sin
que cet
voulue.
2îin
faire
ui,
on
sur
lequel dure
de réponse
un
s'impose.
S (sin
sin
intégration doit
T, celui pendant
transitoire. Si la courbe
tend pas vers zéro en régime per¬
manent, il faut lui soustraire une fonction simple
telle que cet écart s'annule.
ne
(u^i))
(uJjSt)
Les
...
;
;
[sin (u^t)
...
; sin
qui correspondent
intégrales
à
cos
;
; sin
(uJ1ni)
cos
©o
;
réponse
et
:
;
...]
(ui^t)
; ...]
(uJxt)
...]
;
(o)12x)
(u^m)
cos
comporte
<D(nx)
;
à la courbe de
...
=
;
;
[cos (uj1t)
=
(u)j3t)
<D(3t)
;
les suites
Cette
intervalle fini
phénomène
le
l'intégration
<D(2t)
(ut^))
cos
:
;
qui correspond
voit immédiatement
d'effectuer
appareil permet
Une remarque
se
à
[<D(T)
S (cos
(2irn ^ dt\
et
En identifiant
constante, telle que,
la surface hachurée de la figure 29a.
l'intégration
o
=
la différence entre
est
et cette
Une troisième méthode pour passer de la courbe
réponse à la courbe de Nyquist est de réaliser
S(0)
dt
intégrer
faut
réponse
exemple,
Si, par contre, l'organe considéré a un caractère
astatique, la grandeur de sortie tend en régime
permanent vers une variation linéaire, éventuelle¬
ment superposée à une constante. C'est, dans ce cas,
cette fonction linéaire qu'il faut soustraire, ainsi
que le représente la figure 296.
t
=
qu'il
par
de faire
est
usage d'un analysateur harmonique (21). Cet appa¬
reil permet de réaliser graphiquement l'intégration
des coefficients de Fourier
surface
la courbe de
et à
;
sin
(u^î).
oo
At>(t)
sin
(uj^)
dt
A^W
et
o
cos
(^îO
dt
o
peuvent
être
ramenées
à
deux
sommes :
oo
lîe
J^x)
=
wxT
V <S>(nx) sin(iu1nT)
(10)
Im
J^x)
Cette méthode
=
uijT V
correspond
<b(m)
cos
(^m).
à la détermination des
coefficients de Fourier par la méthode classique de
Runge (10). Les sommes ainsi définies peuvent être
aisément calculées à l'aide de machines à calculer.
Fie. 29.
—
Détermination de la courbe de
correspondant
Si par
statique,
grandeur
à
une
courbe de
exemple, l'organe
Nyquist
réponse donnée.
considéré
a un
caractère
ainsi que le représente la figure 29a, la
de sortie tend vers une constante. La
Ainsi, à partir de deux variations simultanées
quelconques de la grandeur d'entrée et de la
grandeur de sortie d'un dispositif de réglage,
obtenues par un essai unique, facile à réaliser, il est
possible, à l'aide des suites, sans aucun artifice
mathématique, de déterminer les courbes de réponse
et les courbes de Nyquist du dispositif et d'analyser
ainsi toutes ses caractéristiques dynamiques.
43
DÉTERMINATION DES CONDITIONS DE STABILITÉ
II.
Les critères permettant de déterminer les condi¬
tions de stabilité d'un
fait
l'objet
de
signe négatif provient
Le
déjà
réglage automatique
nombreuses publications (en parti¬
agit
d'en
réel
culier 19 à
aussi
ont
30),
rappeler brièvement leur principe.
Lorsque l'équation différentielle
nous
contenterons-nous
réglage
est
connue, le critère de Hurwitz donne les conditions
les coefficients de cette équation doivent
remplir pour que la partie réelle des racines de
l'équation caractéristique soit négative, c'est-à-dire
pour que le réglage soit stable (22). Ces conditions
peuvent être également contrôlées graphiquement
à l'aide du critère de Leonhard (23).
Lorsque la courbe de Nyquist de chaque élément
du dispositif de réglage est connue, on obtient la
courbe de Nyquist du circuit de réglage J r ouvert
en faisant le produit de ces différentes courbes de
Nyquist (c'est-à-dire en additionnant leur phase et
en faisant le produit de leur grandeur absolue
pour
chaque pulsation) (24)
Jnl'Jlm'Jmn-
=
R
réglage
grandeur
régler. La courbe symétrique par rapport à l'axe
correspond à la courbe de Nyquist pour des
négatives.
Nyquist énonce que le réglage est
stable si, lorsqu'on parcourt la courbe de Nyquist
oo on entoure le point
/jdeii)
-t-ooàu)
(-f- 1, jo) dans le sens des aiguilles d'une montre
valeurs de
de
que
«
à
du fait que le
inverse de l'écart initial de la
en sens
uj
Le critère de
=
autant de
critères
Nyquist
et ont
fois que le
—
système
de racines
ouvert a
(25).
instables
Les
=
de
ont reçu
Hurwitz, de Leonhard et de
déjà de nombreuses applications
chacun leurs avantages et leurs inconvénients.
L'aide que peuvent apporter les suites pour la déter¬
mination des courbes de Nyquist peut faciliter
l'application du critère de Nyquist. Nous
rappeler une troisième méthode qui peut
rendre de grands services à l'ingénieur praticien
face à un réglage automatique dont il doit mettre
au point la stabilité.
encore
voulons
instable
instable
stable
apiriodique
.Ji,
stable
»•»
»•'
S
Tt
h)
..
1
T,
"—^^"
-"
1
T
e
^
o
Fig. 30.
—
Condition de stabilité d'un
avec
retard.
pour
1
*M
6
t
—
7\
Tt-Tt
pour
Fie. 31.
0 < t <
Tt <
l
7\
pour
—
avec
Condition de stabilité d'un
retard et
t>T2
une
0
< Tt
*(0
1
6
réglage statique
=
î
(l
—
courbe
pour
t
é-TtV~T'>\
réglage statique
exponentielle.
<
T,
pour
t
>
Ts
44
des courbes
indiquées dans l'ouvrage, donné
26, et représentée par les figures
30, 31, 32, 33 et 34. Sur ces figures sont représentées
également les conditions que les coefficients, qui
caractérisent
courbes
de réponse,
doivent
ces
le
soit
Ces
stable.
relations
remplir pour que
réglage
à
une
par la référence
£<•
0,01
BfiS
établies de la façon suivante : soit q)nn l'ex¬
pression écrite sous forme opérationnelle de la courbe
sont
001
_
x
^
",'
S
—
Condition de stabilité d'un
retard et deux courbes
0
n)
réglage statique
exponentielles.
-M'
Tx—T% \
i +
posant
comme
condition que
immédiatement
calcul ni
les
conditions
de
stabilité
sans
procédé graphique (26).
t-T,\
-Tte
T,
rT)
—
pour
fé
=
< T3
t
pour
en
En posant <çnn
1
dont on dé¬
partie réelle soit négative.
Ainsi, lorsque l'on se propose d'ausculter la
stabilité d'un réglage automatique, il suffit d'ouvrir
son circuit de réglage, de déterminer,
par un essai
facile à réaliser, les variations des grandeurs qui
caractérisent les extrémités de ce circuit de réglage
ouvert, puis à l'aide de suites, de déterminer la
courbe de réponse du réglage ouvert, d'assimiler
cette courbe de réponse à une des courbes repré¬
sentées par les figures 30 à 34 dont on peut déduire
2
avec
termine les racines
ouvert.
caractéristique
leur
1
Fig. 32.
de réponse du réglage
obtient l'équation
on
t
> T3
1
t
0
Fig. 33.
avec
/
L—«—-
^
Condition de stabilité d'un
—
retard et
caractéristique
{0
pour
Condition de stabilité
> Ti
t
3"
—
n
=
-
I2
Pulsation de l'oscillation
Cas limite
apériodique
Constante de temps du
limite apériodique
cas
31!
0 < t <
pour
^
réglage astatique
linéaire.
l
ir
u»0
=
—
1
=-
Tx
T0
=
Tt.
Nous supposons que l'on ait pu déterminer, soit
expérimentalement, soit par le calcul, la courbe de
réponse
mation,
du
réglage
cette
ouvert
courbe de
<P„n. En
première approxi¬
réponse peut
être assimilée
© inslablt
(D stablt plriodiqus
Q)tlablt apériodique
Fig.
34.
avec
retard
—
Condition de stabilité d'un
et
une
exponentielle,
ristique linéaire.
courbe
réglage astatique
et
une
caracté¬
45
DÉTERMINATION
III.
technique
VARIATIONS
DES
réglages automa¬
tiques se développe, la stabilité du réglage apparaît
condition nécessaire, mais non pas
une
comme
suffisante. On exige que, à la suite d'une pertur¬
bation agissant sur le dispositif de réglage, l'écart
de la grandeur à régler par rapport à sa valeur de
consigne soit réduite à un minimum, tant en
A
mesure
que la
amplitude qu'en
pouvoir
réglage
de
le
représenté
l'on
a
Cette condition nécessite
durée.
nouveau
de vitesse d'un groupe hydro-électrique
par la figure 25. Nous supposons que
déterminer
pu
la
courbe
de
réponse
du
que la courbe de réponse de
la vitesse par rapport à la charge, obtenue par la
mesure de la variation de la vitesse résultant d'une
réglage ouvert, ainsi
variation de la -charge selon
laire,
dispositif
le
de
Les variations de
réglage
n
échelon rectangu¬
un
Il
en
résulte
donnée
suivantes
par
(19, 20)
la
intégrales
(11)
produits et quotients composés
expression comporte, on obtient ainsi la
suite qui caractérise la variation de la grandeur à
régler à la suite d'une perturbation. Nous insistons
sur le fait que S(k), iS(<t>in) et 5(<t>nn) peuvent être
des suites absolument quelconques, obtenues par
exemple par voie expérimentale.
L'analogie entre le calcul à l'aide de suites et le
calcul opérationnel apparaît comme particulière¬
ment
évidente. En posant
:
de
n(p) fonction opérationnelle
»
»
(p)
»
<Pkn{p)
»
»
CPnn(p)
k
»
»
»
l'équation intégrale
n(p)
=
de
»
réglage devient
n(t)
k (t)
<t>*n(«)
Q>nn{t),
la suivante
:
<ptn(p)-k{p) + (pm{p)-n{p).
Nous la résolvons par rapport à
o
o
Nous écrivons cette même
un
peu différente
expression
sous
En
t
%f<t>tn{t—c)k(l)dT + jt C^nn{t
—
t)b* (T)rfT.
0
0
Lorsque le circuit de réglage est fermé,
égale à la vitesse du groupe n. La
n* est
de vitesse
n
n{p)
une
=
k{p)
n
(p)
et
obtenons
:
<P*»(p)
(P)
1 + <P
:
<
n{t)=
(*), 5(0,,) [!;-!]
<
=fjt <M*-T)A-(x)dT+ fjt *„„(« —T)n* (t)<Zt.
forme
(n).
En effectuant les
:
t
n{t)
deux
des
à S
rapport
que cette
résultant des variations de
somme
par
SW~"[i]-[i;-i]*S(<M'
n* et de k peuvent se superposer. En appliquant
l'intégrale de Duhamel, nous voyons que pour des
variations quelconques, la variation de la vitesse
est
équation
:
S
bloqué.
étant
RÉGLER
GRANDEUR A
LA
Nous résolvons cette
des
calculer cet écart. Considérons à
DE
résultant d'une variation k
charge se calcule analytiquement
l'équation intégrale suivante :
en
la vitesse
variation
de la
(t)
temps
appliquant la transformation opérateurexpression, on obtient la variation
à cette
de la vitesse résultant d'une variation donnée de la
charge. Cependant, si k (t), <t>tn{t) et <t>nn(t) ont été
expérimentalement et ne peuvent pas être
exprimés analytiquement, la méthode de calcul à
l'aide de suites est la seule qui puisse être appliquée.
relevés
résolvant
Exemple
n[t)
=
j( «*,(* —T)ft(T)dT + jt J<t>„n{t—j)n{j)dT.
0
La
0
résolution
certaines
directe
difficultés.
Elle
de
est
cette
équation
facilitée
en
offre
faisant
usage du calcul à l'aide de suites. Nous avons vu
que l'équivalent de l'intégrale de Duhamel était le
produit composé.
Nous obtenons ainsi
S(n)=[l;-l]*5(d>il,)*S(fc) +
:
Variation de la vitesse d'un groupe hydro-électrique
à la suite d'une variation de sa charge
Les
connues
différentielles
et variables
dération. Le tableau VI
et
qui
caractérisent
le
de vitesse d'un groupe hydro-électrique sont
(21 à 38). Le tableau V récapitule les différents
paramètres
fert
[l;-l]*5(4)11,)*5(îi).
équations
réglage
courbe de
qui doivent être pris
indique les fonctions
en
consi¬
de
trans¬
réponse des différents éléments qui
constituent le circuit de réglage.
46
La figure 35 représente la courbe de réponse du
dispositif hydraulique pour une centrale à basse, à
moyenne et à haute chute. La figure 36 représente la
courbe de réponse de l'ensemble constitué par le dispositif
de
réglage
représente
Les courbes 2
ouvert.
rapportent
chute
dispositif hydraulique.
le
et
la courbe de
ont
suites,
et
La
figure 37
du circuit de
réponse
3 des figures
36
et
Ce même résultat peut être obtenu directement à
de la fonction de transfert sans faire usage de la
partir
transformation
tin
réglage
qui se
37
de centrales à moyenne et à haute
été calculées au moyen du calcul à l'aide de
mais
remplaçant
en
par
[i; -i],
par
[i; -1]»
=
[1; -2;i],
par
[i; -!]»
=
[!; -3;3; -1]
:
aux cas
la transformation
car
fonctions
opérateur-temps,
fonction temps des
n'est pas
en
opérationnelles correspondantes
connue.
Fig.
36.
Courbe de
—
à
Courbe 1
:
une
réponse
variation
de la vitesse par
centrale à basse chute
[Tc
Courbe de
à
Courbe 1
:
une
réponse
du
couple
moteur par
Tc [1;—1]2+ [!;—!]
[i;_i]»+A[l;-l]i+B[l;-l] + rC]
centrale à basse chute
(Te
38
*
[l+A+B+C;— 3
[Tc +
—
1 ;
2TC—1
—
;
Tc]
2A— B;3+A;— 1]
rapport
représente
2 sec).
(r
—0,43).
0,6).
=
=
=
figure
[1;1;1;...;1; ]
variation de l'ouverture.
Courbe 2: centrale à moyenne chute
Courbe 3 : centrale à haute chute (r
La
=
=
TaTc
1
•
à moyenne chute
centrale à haute chute (r
[1;1;1;...;1,...]
TaTc
Fig. 35.
:
2 sec).
(r
—0,43).
0,6).
=
Courbe 2: centrale
Courbe 3
rapport
de l'ouverture.
la variation de la vitesse
d'un groupe hydro-électrique à basse chute résultant
d'une variation de la charge selon un échelon rectan¬
gulaire (courbe de réponse <î>^(t)
fermé). Dans ce cas particulier,
être calculée par voie analytique,
des valeurs
numériques indiquées
la formule donnée par le tableau
suivant
du circuit de
cette
ce
au
réglage
variation peut
qui, compte
tenu
tableau V et de
VI, conduit
au
résultat
:
<Da(t)
=
0,9894 [0,364 e-°.136' +
+ 0,585 e-o.32' sin (0,300431
Cette variation est
figure 38.
représentée
—
38,15°)].
par la courbe 1 de la
Fig.
37.
—
Courbe de
Courbe 1
:
réponse
du circuit de
centrale à basse chute
(Tc
Courbe 2: centrale à moyenne chute
: centrale à haute chute (r
Courbe 3
réglage
=
=
2
ouvert.
sec).
(r
0,6).
=
—
0,43).
47
Suivant l'unité
choisie,
T
Tc, Tr prennent
0,5
t
A, B, C, Ta,
les constantes
différentes valeurs
:
1
sec
2
sec
sec
Ta
20
10
Tc
Tr
4
2
1
8
4
2
A
0,1
0,025
0,0015625
B
C
5
0,2
0,1
0,0125
Le résultat du calcul est donné par la
T
avec :
=
T
=
T
=
2
sec
1
sec
0,5
sec
0,4
0,4
0,1
figure 38
pour la courbe
pour la courbe
2,
3,
pour la courbe 4.
'&
£—5
—T
V
—j
Fie. 39.
X\
il
—
Variation de la vitesse à la suite
d'une variation
—4
progressive
charge.
de la
Courbe 1
:
allure de la variation de
Courbe 2
:
allure de la variation de vitesse.
charge.
6
Nous voyons que l'exactitude de ce calcul est nette¬
2 sec et qu'elle peut être
T
ment insuffisante pour
considérée
=
satisfaisante pour T
0,5
être encore améliorée en prenant par
comme
=
sec
pourrait
T
0,1 sec.
;
elle
exemple
=
Ce même résultat peut être encore obtenu
réponse du réglage ouvert.
V
en
partant
de la courbe de
La
variation
$
ftW ^s^ «T^H
)
'
1
'
«r.
bloqué
/
qui résulterait d'une
dispositif de réglage est
l'expression suivante :
la
de
variation de la
vitesse
si le
charge
donnée par
est
<M0
=
f
i(i-,
=
k
)
a
=
-o,i<
!-«
Cette variation
est représentée par la courbe 5 de la
Nous voyons que, aux premiers instants,
l'écart de vitesse est plus grand avec réglage que sans
réglage ; cela provient du coup de bélier qui, nous
figure 38.
Fie. 38.
—
Variation de la vitesse résultant d'une variation
charge selon un échelon rectangulaire
de la
pour
Courbe 1
:
Courbe 2
:
Courbe 3
:
Courbe 4
:
une
centrale à basse chute.
variation calculée par voie
centrale à basse chute.
analytique
pour
une
variation calculée à l'aide de suites à partir de
la fonction de transfert avec une unité t
2 sec.
=
variation calculée à l'aide de suites à partir de la
fonction de transfert avec une unité t
1 sec.
=
variation calculée à l'aide de suites à partir de la
fonction de transfert avec une unité T
0,5 sec.
=
Courbe 5
:
variation
calculée
par
variation de la vitesse
réglage
Courbe 6
:
:
analytique de
le dispositif
T
=
la
de
2
partir
de
avec une
sec.
variation calculée à l'aide de suites à partir de la
courbe de réponse du réglage ouvert avec une
unité
t
=
1
sec.
correct ; cependant, par la suite, l'écart de vitesse sans
réglage prend des valeurs qui seraient inadmissibles.
Nous admettons
S(k)
=
k
[1
; 1 ;
Nous introduisons dans la formule
nous avons
ces
; 1 ;
(11)
..
et
.].
les valeurs que
et effectuons
S(Q>tn) et S(<t>„„)
quotients composés ; le
obtenues pour
produits
...
résultat
est
2 sec et
par la courbe 6 pour l'unité T
la courbe 7 pour l'unité T
1 sec. Nous voyons que cette
représenté
=
=
dernière
courbe
bloqué.
est
variation calculée à l'aide de suites à
la courbe de réponse du réglage ouvert
unité
Courbe 7
voie
lorsque
l'avons vu, fait en sorte que le dispositif de réglage
agit tout d'abord dans le sens opposé à celui qui serait
courbe
4
confond
se
obtenue
Nous
en
concluons
calcul
est
plus précise
de la fonction
l'avantage
que
pratiquement
précédemment
que
cette
pour
dernière
T
=
avec
0,5
méthode
la
sec.
de
que celle qui consiste à partir
de transfert ; elle présente également
les
peuvent être relevées
S(k), S (<!>*„)
expérimentalement.
suites
et
S(<t>nn)
48
Nous considérons le
vement
cas
où la
selon la courbe 1 de la
par la suite suivante pour
une
charge
figure
unité
T
varie progressi¬
39 caractérisée
=
1
Si
; 1 ;... ; 1
;...].
varie
charge
cette
l'expression pour
représentée par la
suite dans
obtenons la variation
nous
courbe 2 de la
sec :
la
S(/c)=[0,05 ; 0,15 ; 0,35 ; 0,65 ; 0,85 ; 0,95 ; 1
introduisons
nous
S(4>b)
figure 39. Nous constatons que, dès que
progressivement, l'écart de vitesse se
trouve très atténué.
Il n'est pas aisé, voire même possible, de déterminer
la transformation opérateur-temps correspondant à la
fonction de transfert du circuit de
fermé d'un
réglage
groupe à moyenne et haute chute, fonction de transfert
donnée par le tableau VI. Par contre, cette détermi¬
nation est possible au moyen du calcul à l'aide de
,
suites, dès que la suite qui caractérise la courbe de
réponse du réglage ouvert est connue. Nous intro¬
duisons dans
l'expression de S(Q>b) donnée
qui sont représentées par
mule 11 les suites
2 et 3 de la
V^~f
-
la
et
37. Nous admettons
une
fonction
une
variation de
rectangulaire
et
obtenons
40 pour une centrale à moyenne
la courbe 2 de cette même figure pour une
la courbe 1 de la
chute
/
figure
selon
charge
par la for¬
les courbes
figure
centrale à haute chute.
Jt-"2
*
l'exemple que nous donnons pourrait
complétée ; il serait, par exemple, facile
L'étude de
être
S
1>
1
«
encore
de déterminer
11
au
moyen du calcul à l'aide de suites
conséquences sur la tenue de la vitesse des
caractéristiques dynamiques d'un dispositif de
réglage non idéal. Il est possible, en particulier,
d'étudier l'influence d'un accouplement non rigide
entre le tachymètre et l'axe du groupe et de déter¬
miner les variations de la vitesse qui se produisent
lorsque le dispositif de réglage arrive à fin de
les
course.
Cependant,
cadre de cet
que
nous
une
étude
exposé
donné
avons
plus détaillée sortirait du
espérons que l'exemple
et les cas numériques que
et nous
traités suffisent pour mettre en évidence
les avantages offerts par le calcul à l'aide de suites
nous avons
Variation de la vitesse résultant d'une variation
Via. 40.
de la charge selon une impulsion rectangulaire
pour centrales à moyenne et à haute chute.
—
Courbe 1
:
Courbe 2
:
centrale à moyenne chute
centrale à haute chute, [r
=
(r
0,6).
=
—
0,43).
dans l'étude des
titude que l'on
de calcul.
réglages automatiques
est en
et
droit d'attendre de
l'exac¬
ce
mode
49
RÉGLAGE AUTOMATIQUE AVEC PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ
IV.
réglage automatique
Le
liberté que
nous avons
avec
considéré
un seul degré
jusqu'à présent
et
ne
sant
représente qu'un cas dégénéré relativement très
simple du cas général d'un réglage automatique
avec n degrés de liberté.
L'étude complète de ce cas général sortirait du
cadre de notre exposé. Elle a fait l'objet de plusieurs
(29).
travaux
Nous
proposons seulement d'en
de montrer certains avan¬
nous
rappeler le principe et
tages qu'offre le calcul avec
concrète d'un tel réglage.
ffl
S(GM)
de
unitaire
respectivement
A
données m2 et n2.
Nous obtenons le
"l
*
S(x±) + S{Gnx)
S(x2)
=
S
{Gmx)
*
S{x2)+ S{Gnx)
Représentation schématique d'un dispositif
réglage avec plusieurs degrés de liberté.
—
A, un
régler,
(grandeurs semi-libres) soumis à
perturbatrice des grandeurs m, n,
(grandeurs libres) et des régulateurs Rx, Ry,
y,
S&i) s(ni)
S(x2) S(n2)
l'in¬
S(Gnx)
I S(m2)
S(x2)
S(m1)*(5x2) —S(m2)*S(x1)
S{mi) S(nx)
S(m2) S(n2)
S(m1)*S(n2)—S(m2)*S(n1)
Dans le
cas
dynamiques qui existent, par exemple,
grandeurs libres m et n. Nous pouvons
d'une
façon générale :
écrire,
x
et
résulte.
S(Gmx) *S(m) + S(G„x) * S(n).
S
S(x),
(m) et S(n) sont les suites qui carac¬
=
térisent les variations de x, de
4
m
et
de
n
; S
( Gmx)
en
S(Gmx)
paramètres, il suffit
système à k
(h)
S(k2)
S
...
...
S
(h)
S(xk)
S
S
(rn^
S (m2)
S
(ni)
S (n2)
S(A-1)
S(k2)
S
S
S
(m)
(12)
=
(mk)
Détermination
2.
k
de résoudre le
S(xx) S(ni)
S{x2) S(n2)
(nk)
des
variations
(h)
de
la
grandeur
à régler à la suite d'une perturbation
les
S(x)
avec
équations, qui
réglage
proposons de déterminer
général
et
...
les relations
entre
:
—
réglage est
Chaque grandeur à régler est une fonction
toutes les grandeurs qui agissent sur le dispositif
réglage ; ainsi, la grandeur x dépend de x*, y*,
nous
obtenons
nous
Nous considérons que le circuit de
Nous
5(mj) *S(n2)—S(m2) xSfoi)
s{mi)s(ni)
S(m2) S(n2)
ouvert.
...
S(x1) * S(n2)—S(x2) * Sfoj)
de faire A* essais
caractéristiques dynamiques
du circuit de
m, n,
S{n2)
*
—
...
...,
5(nj)
*
I S^) S{xj)
fluence
de
:
étant les suites à déterminer.
et
de même,
Ainsi que le représente la figure 41, soit
dispositif de réglage avec les grandeurs à
de
système d'équations suivant
S(Gmx)
Rx
Détermination des
n.
pu déterminer par
a
=
S( Gmx)
r
V
Rw
1.
et
m
S(x1)
y
x,
de
S(Gnx)
(Gmx)
En appliquant la règle de Cramer, nous obtenons,
en considérant qu'il s'agit de produit et de quotient
composés :
<
de
déterminer, caractéri¬
impulsion
la variation xx résultant des variations données
mx et nx et la variation x2 résultant des variations
S
Fie. 41.
suites à
varie à la suite d'une
x
Nous considérons que l'on
deux essais :
les suites pour l'étude
n
les
sont
comment
Nous admettons que les suites S(Gmx), S(G„x),
des caractéristiques dyna¬
S(Gx*x), S(Gy*x),
...
miques
...
du
dispositif
considérons à
de
réglage
nouveau
que le
sont connues.
réglage
est
Nous
ouvert
et
grandeurs
que les
tanément ;
x*, y*
m, n,
obtenons
nous
varient simul¬
...
S{x)
S{m) * S(Gmx) + S[n) * S{Gnx) +
+ S(x*) * S(GXX*) + %*) * S(Gy.x) +
=
+
...
{m) * S{Gmv) + S{n) * S{Gny) +
S
*
+
(x*) S(Gx*y) + %*) * S(G,.r) +
+ S(H>*)*S(G„.f)
S
=
A.
+
...
S(x)
+
...
c/
...
le
Lorsque
obtenons
S(x)
ce
=
fermé,
S(x*)
*
;
[S(GXX)
*
S(y)
=
%*)
;
...
SW
;
=
B.
S(«>*)
système d'équations suivant
—
S{m)
*
5(G^)
SjGmx)
sm=m=S(m) WW3
donnée
l'expression
par
•
la
car :
=
—
[S(G„)
*
5(<D'„)
[1
=
—
s.
S(GKX) + S(y)
;
—
1]
S
*
*
*
[SiGw)
S(Gna)
—
S(GKy)
S(m)
[1]]
=
*
—
(<M-
la
S(GmK)
de
produits
et
de
de
Cramer,
nous
obtenons
quotients composés
-(SM.S{GflJ+S{n).S(GIlx)...)
-(S(m).S[Gmy) + S(n).S(Gny)...)
S[G„)-[i\
-(S(m).S(G„,J+S(n).S(G„J...)
S(Gyu)
-
S(GXV)
S(G„)
[1]
S( Gyy)
S(GyI)
...
...
S(G„)
S(Gyy)
-
[1]
...
—
[1]
_
—
[1]]
SjG^)
[S{G„)
S(Gxy)
—
[Ï\]
5(m)*[5(GnM)*[S(Gyy)—[1]]— S{Gmy)*S(Gyx)]
'
introduisant
numériques des
S(Gmx), S(Gmy), S(GXX),
correspondant
S(Gxy), S(GyX), S(Gyy), S(m) et en effectuant les
produits et quotients composés de cette expression,
il est possible de calculer les variations des gran¬
deurs x et y résultant de la perturbation m. Cette
détermination qui conduirait à des calculs très
laborieux avec les méthodes de calcul classique
est grandement facilitée si elle peut s'effectuer à
En
suites
:
=
S(GXX)
S(m)*S( Gmy)
_
—
...
règle
de liberté
WGxx)—[ 1]]*[5(Gw)-[1]]-S(G„)*S(Gxy)
—
appliquant
degrés
S(Gyx)
[S(GXX)
+
...
2
S(m)*S(Gmx)
...
+
*
=
avec
—
par exemple, pour la suite S (x) caractérisant la
variation de x en tenant compte de nouveau qu'il
S{x)
=
seule
une
*
Réglage
:
—
S(Gxy) + S(y)
S(x)
+ S(w)
S(n)
*
s'agit
[1]]
en
S(Gmx)
,
(11)
S{G„)
_
En
de liberté
degré
nous
+
[1]] +
+S(w)*S(Gwy)=—S{m)*S(Gmy)—S{ri)*S(Gny)—...
S(x)
1
avec
—
retrouvons
formule
[1]] + S(y) *S(Gyx)+ ...+
+S(w)*S(Gax)=—S(m)*S(Gmx)—S(n)*S(Gnx)—...
S[x)
particuliers
:
donne le
qui
réglage
est
[S{GXX)
ç,
«
Nous
=
de
*
S{x)=-S{m)
S[m) *S{Gma) + S{n) * S{Gnw) + ...+
5(w)
+
+ 5(**) * S{GX.„) + %*) * S(Gy*„) +
+ S(«.*)*S(G„*„).
circuit
Réglage
+
...
Cas
Le système d'équations dégénère
équation
+S(*0*S(G.*,)
S{y)
3.
:
S(Gax)
S(G„y)
les
valeurs
à
l'aide de machines à calculer.
S(GJ-[1]
...
...
S{GVX)
5(0.,)
S(GyJ S[CJ-[1]
(13)
Les
principales
qu'utilise l'application
réglages
récapitulées par le tableau VI.
formules
du calcul à l'aide de suites à la théorie des
automatiques
sont
51
CONCLUSION
Si la théorie des
réglages automatiques est un
l'application du calcul
à l'aide de suites semble indiquée, cette application
apparaît également possible chaque fois qu'il s'agit
de déterminer la relation qui existe entre deux ou
plusieurs grandeurs variant en fonction du temps
ou d'une autre variable et ayant des répercussions
principaux
des
les
unes sur
domaines où
les autres. Parmi les domaines où cette
application peut
suivants
envisagée,
être
on
peut citer les
:
Si l'on
du filtre
réponse
de forme
ou
donnée, il
un
filtre
ou
de la transmission peut
être, soit mesurée
Parmi les cas
expérimentalement,
de
où
méthode peut
cette
pratiques
l'application
être envisagée dans ce domaine, on peut signaler
soit
calcul
de
calculée.
déformation
la
calcul
de
la
des
impulsions
distorsion
d'un
de
haut-
domaine
dernières années. Pour des processus de fabri¬
cation de plus en plus automatique et, dans le
domaine militaire, par suite de l'introduction de
projectiles téléguidés, il est souvent nécessaire de
transmettre un certain déplacement le plus fidè¬
lement et le plus rapidement possible ; parfois, la
puissance de commande est très faible et les masses
à mettre en mouvement sont très importantes, ce
qui nécessite une cascade d'amplificateurs. Le
calcul
l'aide
à
de
suites
permet
de
déterminer
facilement les
caractéristiques dynamiques de cha¬
amplificateurs, et, dès que ces caractéris¬
tiques sont connues, de déterminer avec quelle
des
fidélité les
mouvements sont
transmis.
III.
Application du
Une des raisons
qui retarde le développement des
économiques est que, contrairement aux
sciences physiques, il n'est pas possible de procéder
à des essais systématiques ; on en est réduit, après
coup, à constater à l'aide de statistiques les relations
qui existent entre les facteurs qui caractérisent la
vie économique d'un pays, tel que le niveau des
prix, de la production, des investissements, etc. Il
que ces différents facteurs influent les
les autres, mais que cette influence n'est
pas instantanée. D'aucuns ont vu dans ces « déca¬
lages », c'est-à-dire dans le retard avec lequel les
est
connu
uns
sur
facteurs
la
économiques réagissent les
des crises économiques.
cause
Application
à la
technique
faibles
est
technique
des
de déterminer la déformation
que subissent des
des filtres ou des
signaux par leur passage dans
lignes de transmission. L'étude
de cette déformation se fait généralement en
décomposant ces signaux en séries de Fourier, en
calculant l'influence de la transmission
sur
chacune
des composantes harmoniques de cette série, puis
en reconstituant le signal au
moyen du regroupe¬
des composantes
harmoniques. Cette méthode
assez fastidieuse, surtout si
pas une forme analytiquement
a
l'inconvénient d'être
le
signal
simple.
considéré n'a
Dans
ce
uns
Un
sur
les
parallèle
l'étude de la stabilité des
et
la stabilité
économie.
en
On peut considérer que les relations qui existent
entre le prix, les investissements, la production, la
des courants faibles
Une des tâches essentielles de la
courants
entre
réglages automatiques
du calcul à l'aide de suites
économiques
sciences
peut être établi
II.
calcul à l'aide de suites
sciences
aux
autres
ment
signal
un
technique des commandes à distance
ces
cun
pu déterminer la
aisé de déterminer la déformation que subira
signal de forme quelconque. La réponse du
est
qui est très proche de celui des
réglages automatiques est celui des commandes à
distance. Ce domaine a pris une très grande extension
Un
a
de la transmission à
télévision, le
parleur, etc.
Application du calcul à l'aide de suites
I.
moyen du
au
calcul à l'aide de suites.
le
à la
être effectué
peut avantageusement
cas, le calcul de cette déformation
consommation forment
également
un
», mais il est difficile de donner
réglage
quantitative
à
ces
«
circuit
une
de
valeur
relations ; le calcul à l'aide de
sujet des possibilités intéressantes.
Considérons, par exemple, que l'on se propose de
déterminer la relation qui existe entre les inves¬
tissements et la production, et que l'on ait relevé
les statistiques des variations des investissements
et de la production dans une série de cas. Grâce
au produit et au quotient composés, il est possible
de ramener les variations de la production (effet)
à une variation unitaire de l'investissement (cause),
suites
ce
qui
ouvre
à
ce
donne la
possibilité
de comparer les relations
52
tirer des valeurs moyennes. Bien
entre elles et d'en
investigation particuliè¬
rement délicate en économie, c'est qu'il n'est pas
possible d'isoler un phénomène ; ainsi, une variation
de la production peut être due à d'autres causes
qu'une variation de l'investissement. D'autre part,
nous avons vu que les opérations à l'aide de suites
étaient basées sur l'hypothèse implicite que les
phénomènes considérés étaient linéaires, ce qui n'est
valable qu'en première approximation pour des
petits écarts. C'est une raison de plus pour chercher
à comparer le plus grand nombre de cas possible
entendu,
les
en
ce
qui
rend cette
à
ramenant
une
variation unitaire
de
la
pour
détermination
des
conditions
de
réglage automatique ; du moins, une
étude systématique à l'aide de suites telle que celle
stabilité d'un
esquissons permettrait de déterminer
qualitativement les dispositions qui contribuent à
stabiliser les fluctuations
économiques ou, au
contraire, à les aggraver et de prévoir l'évolution
immédiate de la conjoncture.
Un autre domaine des sciences économiques où
l'utilisation des suites apparaît comme indiquée
concerne
l'organisation industrielle. Grâce à une
analyse statistique très poussée des facteurs de la
production, il est possible de contrôler, de toujours
plus près, le développement d'une entreprise et de
conduire celle-ci de façon toujours plus rationnelle.
facteurs, variations des stocks, des
travail, de l'occupation des machines,
de la production, de la vente, des amortissements,
etc., ne sont pas indépendants, mais liés les uns
Ces différents
à
médecine pour
pour contrôler
des réflexes
physiologiques, en chimie pour observer
longue échéance dont les grandeurs
les causes du phénomène considéré ne
des réactions à
qui
sont
peuvent
être maintenues constantes à volonté.
Ces domaines
se
prêtent difficilement
au
forma¬
lisme
mathématique, par contre, le calcul à l'aide
de suites qui élargit l'emploi pratique de la notion
de
fonction
est
beaucoup plus facilement applicable.
et
part de données immédiates leur
d'application pourraient être
indiqués, en particulier en électrotechnique
(par exemple, étude des phénomènes d'échauffement
d'appareils soumis à une charge variable), en hydro¬
dynamique et aérodynamique. Leur énumération
encore
sortirait du cadre de
exposé.
cet
nous
heures
aux
ou
D'autres domaines
peut-être présomptueux de vouloir appliquer
à proprement parler des critères de stabilité aux
cycles économiques, analogues à ceux que l'on
Il est
que
en
développement
la
cause.
utilise
de certaines races,
suivre l'action de certains remèdes
de
autres par des relations
l'aide
de
suites
permet
dynamiques. Le calcul
préciser les réper¬
de
cussions que ces différents facteurs ont les
les autres. En plus de l'analyse statistique
uns
sur
statique
l'aide de bilans, il est ainsi possible de déve¬
lopper une analyse dynamique du développement
de l'entreprise.
à
V.
Application
aux
De même
dans les
du calcul à l'aide de suites
sciences naturelles
qu'en économie,
sciences
naturelles
on
à
peut
sans
Un des avantages du calcul à l'aide de
qu'il
certaines
d'effectuer
étude à l'aide de suites peut conduire à des résultats
intéressants, en géologie par exemple pour déter¬
miner
la
annuelle
qui existe
températures et
relation
des
entre
le
la
formation
mathématique très poussée. Il conduit
opérations très simples : addition, soustrac¬
tion, multiplication, division. Les successions d'opé¬
rations que nécessitent le produit ou le quotient
composés conviennent particulièrement bien aux
machines à calculer, soit du type Hollerith avec
cartes perforées, soit du type à relais ou électro¬
nique. L'inconvénient des machines du premier
type, c'est qu'elles fonctionnent relativement len¬
tement
et
qu'elles nécessitent l'utilisation d'un
nombre élevé de cartes perforées. Leur avantage,
c'est que le nombre de termes que l'on peut prendre
est pratiquement illimité et que l'on peut obtenir
une exactitude aussi bonne qu'on le désire. L'incon¬
à des
vénient des machines du deuxième type, c'est que
le nombre des termes que la machine peut retenir
entre
les variations des
sa
«
mémoire
réduit.
est
»
L'avantage, c'est
beaucoup plus
que les calculs peuvent s'effectuer
en passe de révolu¬
recherche en technique
Ces machines à calcul sont
tionner
les
méthodes
l'ingénieur
possible ; un
et
suites
telle
est
de
a
tout
des
de
intérêt à
mérites
qu'elles puissent
en
du
les
présenter
tirer tout le
calcul
à
opérations
profit
l'aide
de
de
façon
être immédiatement effectuées
par les machines à calcul.
moyenne
mouvement
*
des
précipitations et
celles du débit des cours d'eau, en zoologie pour
étudier l'influence de facteurs climatériques sur le
glaciers,
suites,
rapidement.
constater
soit
comporte le calcul
que
c'est que son utilisation pratique ne fait appel qu'à
des notions mathématiques élémentaires. Il peut
être utilisé également par ceux qui n'ont pas une
être amené
des
possible
essais pour déterminer expérimentalement la nature
de ces relations. Dans ce domaine également, une
relations
opérations
à l'aide de suites
dans
IV.
Utilisation de machines à calculer
pour effectuer les
En
résumé, nous avons vu que le calcul à l'aide
se prête particulièrement bien à l'étude
de suites
de fonctions dont
on
ne
connaît pas
l'expression
53
mathématique et qui sont
enregistrement expérimental
statistiques.
Il permet
un
certain
de
résoudre
caractérisées
ou
par
d'appliquer
à
par
des
ces
un
données
fonctions
d'opérations fonctionnelles :
dérivation, intégration, produit composé, etc., et
intégrales
nombre
certaines
équations différentielles
où interviennent
ces
transformations
de
calcul
et ces
ces
et
fonctions. Il réduit
résolutions à
un
schéma
qui
systématique
opérations et permet ainsi de confier l'exécution
de ces opérations à des machines à calcul.
Etant donné son principe même, le calcul à
l'aide de suites est un calcul approximatif. Nous
avons vu que cette approximation peut être amé¬
rend
l'enchaînement
des
liorée dans
une
certaine
mesure en
réduisant l'unité
choisie.
L'appréciation de l'exactitude des résultats
auxquels conduit cette méthode de calcul est liée
à la notion de rigueur telle que la conçoit l'ingé¬
nieur. La limite de la
mesure, les
précision
simplifications qui
des instruments de
sont souvent
néces¬
saires pour adapter l'étude du
formalisme qui rend
au
phénomène consi¬
possible le calcul
analytique sont d'autres causes qui restreignent
les exigences de la précision à laquelle peut pré¬
tendre une investigation théorique.
D'autre part, l'activité de l'ingénieur est tou¬
jours placée sous le signe de l'économie et les
moyens à mettre en œuvre doivent être adaptés
déré
au
résultat
en
vue
;
une
méthode de calcul appro¬
ximative, mais conduisant rapidement au résultat
sera préférée à une méthode
plus rigoureuse mais
plus laborieuse dont les résultats seront également
sujets à caution, par suite des autres causes d'in¬
exactitudes auxquelles nous avons fait allusion.
Comme pour l'utilisation de tout schéma, le
calcul à l'aide de suites est une méthode qu'il faut
manier
avec
susceptible
étendue
avec
discernement.
d'être
aux
plusieurs
Cette
perfectionnée.
fonctions
variables
Elle
variable
méthode
pourra
complexe
indépendantes.
à
est
être
ou
54
I
ANNEXE
ÉTUDE DE LA STABILITÉ DU QUOTIENT COMPOSÉ
Lorsque
composé a
la valeur
du
générale
terme
d'un
quotient
pu être déterminée, on peut utiliser un des
critères connus de convergence applicables aux suites,
en particulier le critère de Cauchy qui énonce que la
suite [j/i ; y2 ;
] est convergente si la condi¬
; y„ ;
remplie
| ljn+p
dans cette
expression
est
e
n
|
J/n
—
<
*
*
S(B)
Nous
Nous admettons que le nombre des termes de la suite
S(B) soit limité à A- et effectuons le produit composé
e
S{B)
*
S(X).
Nous
62 +
xi
quelconque
nombre entier suffisamment
grand.
Xi
:
bt—i
+
bt—i
Xi
hjc +
x3
xn
h +
^n+l
du /tième terme
partir
obtenons à
les conditions suivantes
...
-f-
.
.
.
+
xk
h
=0
+
xt+i
h
+
xn+k
h
=
0
&*—1 +
...
=
0.
:
avons
composé [T]
vu
*
[T
que le
+ 1 ;
—
général
terme
T]
était
du
quotient
:
Nous supposons que les termes de la suite cherchée
aient la forme suivante
T + 1
(n + p)lème
Nous déterminons la différence entre le
le niàme
S(X)
[1].
=
iV<7l<00
Exemple
=
de diver¬
soit pas divergent,
Nous considérons
S(X). Pour que S(Y) ne
S(X) soit convergent.
l'équation qui caractérise S(X) :
gence de
S(X)
S(B)
ou
terme
:
nombre entier
un
est un
du JVlème
partir
à
quotient composé [1]
il faut que
nombre arbitraire
un
p est
du
déterminent la condition de convergence
...
...
tion suivante est
propriétés
Les
Utilisation d'un critère de convergence
1.
de
terme
ce
quotient
et
=
X2
=
aiAi -f CL2A2 + a3^3 +
*3
=
«Mi
(T + l)n+P
T + 1
a1; a2,
Nous voyons immédiatement que cette différence tend
zéro quand n tend vers l'infini.
est
donc
une
suite
; V-k—\
...
caractéristique
...
At—i
+
a/c—i
+
at~iA-i
étant
racines
les
l'équation
de
:
h + <xt*_i + a2t,t_2 +
vers
quotient
af^s + alA3 +
...
+ Aic—i
•
1
ce
+
...
ar1^i+ar1-42+ar1^3+- .+a^zM*-i
Xn
Le résultat de
A3+
A2 +
Ai +
xi
:
n+p
T + 1
:
...
+ et*-1*-!
=
0
conver¬
et il serait facile de prouver que la valeur limite
de convergence est la valeur zéro.
gente
Ai, A2, As,
Nous
..
Aic—i étant les
pouvons aisément
constantes.
vérifier que pour
suffi¬
n
grand, l'équation qui caractérise S(X) est satis¬
At.
faite, quelles que soient les constantes Ai, A2
En introduisant les termes de S(X) ainsi définis, nous
obtenons, en effet, pour la première de ces équations :
samment
...
2.
Discussion des racines de l'équation
caractéristique
Il
est
valeur
Lorsque
exceptionnel que
terme
général
le nombre des
dénominateur
du
d'un
termes
restreint,
est
puisse déterminer la
quotient composé.
de la suite qui figure au
l'on
du
les conditions de stabilité
quotient peuvent être déduites de la discussion des
de l'équation caractéristique définies de la
racines
façon suivante
...
+ Ai-i)+bï-i {a.iAi+a2A2-\-
...
+
+ 6X
(a/-1^ + a/-M2 +
Ordonnant
constantes
A,
cette
nous
+
...
équation
obtenons
a*Z^*-i)
selon
les
=
0.
facteurs
des
:
:
Considérons la suite
quotient composé
S(Y)
b*(Ai+A2 +
+ afc_i4Jfc_1)+ fe*_2(a2ili+a242+ ...+a2t_iilit_1)+... +
=
à
calculer
des suites
S(A)
*
S(B)
S(A)
=
S(Y) résultant
S(B) :
et
S(A)
Ai (bt +
ai
bk-i +
a?
+ A2 (bk +
0.2
bk-i +
ai bk-2 +
du
+
*
S(B)
bk-2 +
...
...
+ on*-1 h)
+ a2*-161)
•••
+ Ak{bk+
ajt_i
t*_i +
aA_x
bk-2 +
...
+
a*ZÎ ti)= 0.
55
Chacun des facteurs des constantes
est
nul, puisque,
les solutions de
définition,
par
façon générale, les racines de
caractéristique
seront
complexes
a*
=
01
4;
:
2
+ a*-1 bi
...
—2
1
Ott—i sont
...
l'équation caractéristique
bk + abk-i + o?bk-2 +
De
Ai, Aï,...At—\
ai, 0.2,
=
cette
2
—
0.
—
1
4
3
équation
3
:
—
—
2
6
4—3
e'P*.
Pour que la suite S(Y)
S(A) £ S(B) soit conver¬
gente, il faut, et il suffit que le module de toutes les
racines soit inférieur à 1 :
=
II.
Considérons la suite
L'équation caractéristique
«*<1.
Car dans
ce
cas,
xn->0 quand
a2
peut se contrôler de différentes façons. Elle peut être
vérifiée graphiquement en contrôlant la position du
cercle unitaire dans le
définie par
plan de la fonction complexe
l'équation caractéristique.
a
a
—
Cette condition
n->oo.
S(B)
+ 0,25
=
=
suite convergeant
S(B)
L'équation caractéristique
a2
—
[1
;
—
2
;
est la suivante
1].
:
1
—
1
1
1
2a + 1
2 ±
=
v/4
=
—
0
0,25
—
=
Nous
1.
sommes donc à la limite de la stabilité. Si l'on
effectue le quotient composé S(X)
[1] £ [1 ; —2 ; 1]
on obtient en effet comme résultat une suite monotone
croissante :
=
0,25].
:
1.
—
zéro
1
:
0,25
1; 1; 0,75; 0,5; 0,3125; 0,1875;
0,25
1
0,75
0,75
4
0,5 <
vers
—
suite
1 ;
—
une
Exemple
la
—
0
i±>/T
=
;
la suivante
est
=
[1
Le quotient est donc stable. Si on effectue le quotient
1 ; 0,25] on obtient en effet comme
S(X)
[1] J [1 ;
résultat
I. Considérons
=
0,25
—
0,25
—
0,75
0,1875
0,5 —0,1875
0,5 —0,5
0,125
0,3125
—0,125
0,3125 —0,3125
...
0,1875.
..
...
56
II
ANNEXE
ÉTUDE DE L'EXACTITUDE DU CALCUL
Le calcul à l'aide de suites est
tif dont le résultat
Cette
de
calcul
un
approxima¬
affecté d'une certaine
erreur.
dépend en particulier du choix de l'unité
indépendante. D'une façon générale,
erreur
variable
la
elle
est
diminue
unité.
réduction
d'une
dépens
suites
qu'il
l'on
lorsque
Cette
élévation
réduit
la
valeur
toutefois
est
nombre
du
de
cette
obtenue
des
aux
L'AIDE
A
DE SUITES
Nous voyons que lorsque l'unité T tend vers zéro,
erreur tend également vers zéro ; elle est relati¬
cette
faible
vement
définit
ne
rieures
au
puisque
les termes
série
de la
qui
la
contiennent que des puissances de T supé¬
carré et des valeurs de la dérivée supérieure
à la 3e dérivée.
des
termes
prendre en considération, et partant,
d'une augmentation de l'ampleur des calculs.
faut
Une estimation de l'erreur introduite par la valeur de
en effectuant le même
l'unité choisie peut être obtenue
calcul avec des valeurs toujours
uuité. On obtient ainsi
une
«
plus réduites
suite
de suites
gente qui permet de déterminer la valeur
obtenue pour une valeur nulle de l'unité.
D'une
obtenu
de cette
»
conver¬
théorique
Erreur
2.
Il
est
unité
de
l'intégration de l'impulsion unitaire
que la kiime intégrale de l'impulsion
donne le résultat suivant dans le cas limite
connu
I(t)
où l'unité choisie tend
façon générale, l'erreur relative du résultat
au
moyen du calcul à l'aide de suites est
importante
pour
des
valeurs
réduites
très
élevées de l'ordre des termes ; elle passe par
pour une valeur intermédiaire.
Les méthodes
classiques du
calcul des
un
ou
F(t)
très
minimum
erreurs
peuvent
dt
=
o
a
lorsque
la valeur
générale
Pour le temps t
faisant
dt
lit)
I
...
m,
=
dt
=
(*-!)!
obtenons
nous
F(nx)
du terme de la solution
déterminée, l'erreur peut être calculée
intervenir des développements en série.
être
pu
t
o
être utilisées pour l'estimation de l'exactitude à laquelle
peut prétendre le calcul à l'aide de suites. Dans certains
cas,
zéro.
t
t
plus
vers
:
(nT)*-1
(*-l)l
=
en
définition, l'amplitude de cette fonction unité est
égale à 1/t ; la suite qui caractérise cette fonction se
Par
réduit à
seul
un
terme
:
m
développons
Nous
à l'aide de la formule de
Taylor
le ntime terme de la dérivée
T
=
+
*(/<))
Erreur de la dérivation à l'aide de suites
1.
\
En
appliquant
f„
^ F<$]
-
-
la formule que
*(fr+l)(*+2)
F"(t) +
-
2F(t) + xF'(t)
F"(t)
F'(t) +
+
relative
...-
déterminons l'erreur absolue En
en
différents
pour le
ordres,
en
erreurs
déduisons l'erreur En du n'kma terme
'
'
=
Intégrale
/„
=
:
fn
.
T
=
1
—
F{M)
:
de 1er ordre
F(m)
des
façon suivante
moyen du calcul à l'aide de suites
au
le résultat suivant
l'erreur
F{m)—fn
=
—,
et
intégrales
des
définies de la
F(nT)
1.
'
général
En
en
£ F'"(t) + *Fr+...+-Ç F*.
m=lv
terme
En
Nous obtenons
Nous
(k+n-2)
^——{
F'"(t) +...+
Nous
~
t
_
_
-(-1)*^')
=
établie, nous
intégration
nous avons
obtenons pour le terme général de la kléme
de l'impulsion unité l'expression suivante :
2
£ [2F(t) + jF'(t) +
ii
=
=
1
k
donc
—
E„
1
=
e»
=
0.
57
2.
Intégrale
du 2 ordre
k
2
=
(avec
F {m)
=
1)
5.
Intégrale du k"
_
/n_T
n
2
=
4
-r
1!
„
2.3.4
4
=
n
=
(b1-1-» (« + 1) (n + 2)
~=i
ft-2)).
(n +
...
,
=
.
2)
(n*-i-n(n+l)(n + 2)...(n + k-2)y
(ft-1)
E2=3
eB
4
—
Erreur relative
2.3
ï!=3
k
:
J^l
E»=
2
3
3
(fc-1)!
—
Erreur absolue
2
(nT) t—l
=
n(n+l)(n + 2)...(n +
(*
!)!
^
1
2
ordre
F(nr)
/»
1
1
T
n
4
Nous
1.2.3
que plus l'intégrale est d'un ordre
absolue augmente, le calcul à l'aide
de moins en moins précis. Par contre,
voyons
élevé, plus l'erreur
'
2. 3.4
n
n
1!
ces
premiers
deux
n
est
l'erreur relative tend
"
...(»-!)
1 2.3
Nous voyons que dans
de suites
...
l'infini ; si
vers
cas, l'erreur
premier
e„^
(1 + 2+
-
n
du 3"* ordre
Intégrale
k
=
3
(avec
T
1)
=
Ainsi,
pour la 10e
obtenons
F
n
(m)
/»
£n
en
en =*
1
1
1
2=0,5
?-
2
ï-
Ï-*
3
4
ï-
5
f
=
0,5
3-4-5
1.2.3.4
0,33
~15
2
0,25
2,5
0,2
n2
n(n + l)
n2+n
n
1
2
2
2
2
n
=
2
3.
obtenons
/»
ordre
le 100e terme,
zéro
Erreur relative
:
que
la
k
(t)
de suite le
terme
bien
que
nombre
le
élevé,
3!
général
=
:
en
=
-
est
échelon
un
de
exacte
général
qui
unitaire, nous avons vu
équation était une
cette
de la solution obtenue à l'aide du
:
et
*„
=
-6[l
E(n)
Ï+T) J
T
aV6C
du même terme
est
la
=
t
=
nT
et
z
=
—
E(
:
.,-•(!-.
1 +
-:
•
b
\(l
+ Z)«
(1 +
al'
suivante
aT
2
+
des
exponentielle
L'erreur
(3n2 + 2n)
3
ce
(t).
k
calcul à l'aide de suites est le suivant
posant
—
l'erreur
s=i(l-e
(BT)»
T
=
%.
l'équation différentielle
dt
solution
fonction
——\- bx
a
sn(n+l)(n + 2)
E„
36
=
si
o
Erreur absolue
nous
(inférieur à 4), mais que
sujet à caution lorsque
élevé
vers
l'équation
:
=
d'un
est
toujours
l'on prend est
Le terme
F(m)
2).
est
Erreur de la solution de
Soit
du é"" ordre
tout
arrive
on
relative tende
rang
Nous considérons
et
—
+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8)
auquel
infini.
Intégrale
intégrale
d'un ordre relativement faible
le résultat
Lorsque
4.
au
du 1" ordre
Nous voyons que la différence absolue En augmente
proportionnellement au rang n, mais que la différence
relative e„
tend
1/n tend vers zéro lorsque le
vers
+/c
...
suffisamment
que
revient à réduire l'unité choisie.
3.4.5.6
12,5
-^ (1 +
termes
1Q
=
1.2.3
tend
n
réduit
geable.
0,5
1,5
se
:
l'intégration
8rî-
quand
zéro
Nous voyons que cette erreur est loin d'être négli¬
Nous en concluons que la méthode d'intégration
ainsi définie donne un bon résultat pour les intégrations
1
1
vers
grand, l'erreur
obtenons
terme et nous
est nulle.
3.
toujours
est très
n
z)«)
en
58
^"'-"((ÏT^-1)
Nous admettons
avec
1 +
l +
z
e
=
^l
z2
+
,
\/,
,
\
z+^ + ...^l_z + 22_^
^
^
2
_
z
0,1
=
ne e~
et
obtenons
e
c^
0,5
10—2
10e terme
100e
Erreur absolue
:
0,0184-1/6
0,237-ÎO"4-1/6
Erreur relative
:
2,77%
0,227 10-*
Nous
constatons que
importante,
termes
l'erreur
élevés.
malgré
est
faible
une
et
terme
unité relativement
s'annule
pour
les
59
III
ANNEXE
RÉGLAGE A
D'EAU
NIVEAU
D'UNE
HYDRO-ÉLECTRIQUE
CENTRALE
AVEC BASSIN DE COMPENSATION SITUÉ EN AVAL DE LA CENTRALE
Pour utiliser rationnellement les
ressources
hydro¬
conduit
pour le circuit de
souvent
est
on
réglage
d
A&
de retenue relativement faible.
L. La hauteur H du
longueur
de
compensation
commande,
plan
H°
qui
=
R,
AH
débit à l'aval de la centrale
Q2
=
débit à l'entrée du bassin de
compensation
Q3
=
débit à la sortie du bassin de
compensation
F„H,
-r—
constante
=
Vo
Ti
K
=
Tb
F0
=
Qx
avec
l'ouverture de la turbine.
&Qi(*—Ti)
Tb
AQt
d'eau du bassin
mesurée par le détecteur D
du
l'intermédiaire
régulateur
est
par
AH
dt
La figure 42 représente schématiquement la centrale
constituant, par exemple, le palier supérieur d'un tel
aménagement. La turbine T est reliée au bassin de
compensation B par l'intermédiaire du canal de fuite C
de
fermé
à
région,
électriques
prévoir plusieurs centrales disposées en cascade,
équipées de bassins de compensation avec un volume
d'une
=
=
de temps du bassin de
com-
pensation
surface du bassin à l'état de
régime
des ondes le
propagation
temps de
long
du canal
de fuite
K
Fig.
42.
Disposition
—
de
principe
la
aménagement hydro-électrique avec réglage
du niveau d'eau d'un bassin de compensation
d'un
par
centrale
une
hydro-électrique
de
ce
située
en
=
variation
amont
compensation
de l'eau
de
en
réglage agit instantanément,
(aménagement
de
à haute
compensation
prenons
en
rapport à
est
chute), que
réglé par la
considération
un
état
de
régime
que
variations
nous
Nous obtenons les relations suivantes
réglage
ouvert
H
<Pq,h
=
1 +
:
et
par
Ke-^i
1
pTb + Ke-rn
pTb
caractérisons
§ IV de la
avec
équation permet
d'eau
et
du
de
avoir
d'air.
bassin
de calculer les variations du niveau
de
quelconque
compensation
à
la
suite
du débit à la sortie de
ce
d'une
bassin
par exemple, que ce niveau d'eau
pas le niveau de la galerie, ce qui pourrait
comme
conséquence l'introduction de poches
contrôler,
n'atteigne
Tb
correspond à l'équation
décalage que nous avons indiquée au
première partie. La résolution de cette
Cette fonction de transfert
différentielle
variation
AH
dt
résultant
1
pTb
constante
centrale amont,
par l'indice zéro.
pour le circuit de
plan d'eau
le niveau du bassin
faibles
de
AQ3
du
de débit à la sortie du bassin de
:
AH
que la vitesse
aval de la conduite forcée est
H
hauteur
de la
d'une variation
bassin.
régulateur.
Nous faisons usage du calcul opérationnel et obtenons
fonction de transfert suivante qui caractérise la
Nous admettons que, par rapport à la rapidité de la
variation du plan d'eau du bassin de compensation, le
dispositif
statisme du
60
ANNEXE
APPLICATION
Soit
Ak
A
L'AIDE
(t)
une
certaine
la fluctuation
exemple
soit A/ (t)
la
de
fonction
de la
fréquence
la
de
A
(par
réseau) et
(par exemple
réseau). Nous
aléatoire
ce
qu'il existe une relation fonctionnelle entre
(t) et A/ (t), et que l'on connaît la réponse Gy (t)
A/ (t) à une impulsion unitaire de Ak (t), réponse
admettons
Ak
de
qui
caractérise
relation fonctionnelle.
cette
DU
CALCUL
L'ÉTUDE DE FONCTIONS ALÉATOIRES
d'un
charge
fonction aléatoire
autre
une
fluctuation
DE SUITES
IV
Lorsque
tend
le
vers
le
zéro
réglage
réglage
lorsque t
bien
est
amorti,
u
A
£2(A/)
=
u
S A/("T)2
û
Nous effectuons le
Af*dt
et
est
S(Gif)
=
Nous admettons que la fonction Ak (t) est connue
l'intervalle T et qu'elle est nulle partout ailleurs.
cette
fonction Ak
la suite intercalaire S
S(Ak)
u
est
=
[k,
donné par la
(t),
(Ak)
limitée à
h
;
faisons
nous
u
correspondre
-
M
T
au
h \ëih+
kk
gi
h+i + gzh
+
moyen
gk—i
ku +
gk
carré et
intervalle,
etc.
=
—
;
A^
est
égal
nous en
:
.
ku_i +
.
gk
+
.
A-„_2
•
•
...
...
gk
+
gt
...
K
;
+ gkk2;
+
gt
K+1_k
...
ku-k
;
•
;
•
;
;
faisons la
au
somme :
u
2(s(A/c(nt)) *S(Gt/(nT)))2*=
Akdt
n=l
0
=
2t
T
•
g\kl
+
gîkl+glk* + 2g1g2k1k2
gîkl+ g\k\ + g2 kf + 2 (gl g2k2k3 +
+
g2 g3
+
gUI+gI^-i+
+
Akdt
*i fcz) +
•
(n-1)
T
+ ëi g3 kk kk--i +
Nous avons vu que la suite S(Af) qui correspond à
la fonction aléatoire Af(t) est donnée par le produit
de la suite
S(Gkf)
S(Af)
S(Gui)
•
=
=
par la suite
S(Ak)
[gx
*
•
; g2 ;
...
;
gt]
...
...
kk-i kk-3 +
+â%
+ 2(Eig,h-ikt+
g2 g4
+
gl~i K + gt A2_x +
+
gîK.
...
Un regroupement de
+
gk-i gk
2 g4_! gk
cette
kt k2) +
I G*i dt;
expression
donne
HT
g2=
I Gif
dt
etc.
...
ku-! ku
u
=
.
+ g1gkk1ki+ g2g3 kk-i kk-2 +
+
S(Ak)
S{Gkl)
T
ëi
M, +
gl g3
mm
-If'Akdt.
avec
A-„_2 +
g3
•
;
Nous élevons chacun des termes de cette suite
T
composé
+ g3 Av-i +
Av_i
S(Ak)
=
+ g3 kk-i +
+
gk—1
moyenne de Ak (t) pendant le premier intervalle, A*2
est égal à cette valeur moyenne pendant le deuxième
u
5
+
ku +
gkku.
:
h
S(Gi/)
*
gi fo + g2 A-2 + g3 /fj
Av_i
gk—2
à la valeur
de l'unité T, à savoir
g%
h-i
g2
des suites
:
+ g3 K_!
+
ku
gt
n=!
produit composé
obtenons
ëi
g2
ku]
de l'intervalle T
mesure
ëi
g\ ku
termes
kn ;
et
2 (S(Ak(nr))*S(Glt(nT)y.
=
S(Ak)
donné par la
sur
A
fonction
la
rapidement vers zéro. Nous admettons que la suite
Gt/ est limitée à k termes avec k «w.
L'intégrale qui caractérise le carré moyen e2(A^)
peut être ramenée en première approximation à une
re=l
L'écart moyen quadratique e(A/)
racine carrée de cette expression.
Gu/(t'
Lorsque
Gi/(t) tend
suffisamment élevé.
est
somme :
Le carré moyen e2 (A/) qui caractérise la fonction
aléatoire A/ (t) est donné par l'intégration suivante :
e2(A/)
fonction
la
stable,
est
^(s(Ak(nr))*S(Gk,(m))J
:
61
=
A {k\ +kl
+
gt(kl
+
*ï + kl+
+
fî(ftî
+
*ï + *S+ ..-+*î)
...+kl)
+ kl)
+ H+
+ 2 [gl g2 Cfl*2 + *2*S +
+
£3(^1*2 + ^3 +
g2
+
•
"
dratique moyen d'une deuxième fonction aléaoire
dépendante de la première lorsque la relation fonc¬
tionnelle qui existe entre ces deux fonctions est connue.
gl gs
(^1 h + ^2 ^4 +
+
ëi Si
[Kh + hK+
+
'
•
Cti fo + *2 **+i +
gi g*
•
•
+ K-(k-i) ku]).
•
Nous introduisons les définitions suivantes
au
deux méthodes. La méthode qui fait usage de
ces
l'analyse spectrale exige une double transformation
fonctionnelle : la première pour la détermination des
fonctions d'auto-corrélation, la deuxième pour obtenir
le spectre de fréquence correspondante. La seconde
de ces transformations est rendue superflue par l'ana¬
lyse impulsionnelle qui fait directement usage des
+ ^«-2 ku)
...
+
:
fonctions
=;;(*!+ *î +
Ak-
l
^*,
=
-
It
1
^*,
=
^4*,
=
-
-
,
K~1
u
également
peut
moyen de l'analyse spectrale (39). Le
tableau IX compare les opérations auxquelles conduisent
+ fc«-2 K)
•
•
détermination
cette
que
s'effectuer
...
+
sait
On
+ ^K-lM
•••
qui permettent, à partir d'une
donnée, de déterminer l'écart qua¬
formules
...
+ **-l *"«)
•
suites,
des
fonction aléatoire
+
...
d'auto-corrélation.
*8+"-+ *»
Exemple
(^1 ^2 + ^2 ^3 +
•
(A'i ^3 + h h +
•
•
•
•
•
(*i h -f Â-2 A>+i -f
+ fr«-l M
La figure 43 donne un échantillon du diagramme de
charge d'un réseau électrique, diagramme que l'on
peut considérer être constitué par la superposition
d'à-coups de faible durée et de moyenne durée.
+ *«-s A'«)
...
+ *B_(i_i)*u)
AU
HW
120
AÇù
=
t
(gf + gl + g§ +
^4y.
=
T
(gi
g2
^?>
=
T
(gl
g3 + g2 g4 +
+
...
+
g2 g3
•
•
•
•
•
•
+ gf)
~*^~^*^**i^
+ g*-i g*)
+
g*-2
gt)
ao
20
0
Agt_1
=
T
*o
m
Fig. 43a.
gl g*
—
BO
100
Diagramme
120
-^
UO
relevé.
0.
'Cï-H
HW
Nous constatons que les termes Ajo, Ah.... et
constituent une suite qui correspond
ylj,!
...
fonctions
vante
d'auto-corrélation
définie
de
la
A^o,
*10
Aw<n«wv\j yJIMrty i#»>V
aux
:
Fig.
T
S(At)£At(Q)
AÂ-(t)
i>,
S{Ag) A, Af(Q)
et
AA
i Gt, {t)
=
(t + 9)
e*(A/)
[AtoA,0-\-
cas
où
t-*
0 et T-*-
juste
oo.
La
en
"
dt.
cette
e2(A/)
Le tableau VIII
sous
rigueur que dans le
qui caractérise £2(A/)
toute
somme
forme
intégration
=
est
et sous
de
suites
du
-4/(6) et Ag(Q)
multiplié par 2 :
2fA,(6) A, (6)
récapitule
analytique
Fig. 43.
43c.
—
—
A-coups
Diagramme
de moyenne durée.
de la fluctuation de la
d'un réseau
charge
électrique.
=
à l'intégration au
moyen
des fonctions d'auto-corrélation
le résultat de
de faible durée.
A-coups
"\.
Fig.
correspond
produit
—
tiiL
Git {t + 6)
(AklAn+At2A!n+... +At(t-1)Ag(t-i))]
Ce résultat n'est
436.
HW
Nous introduisons les termes des fonctions d'auto¬
corrélation dans l'expression de es(A/) et obtenons :
2
myi
dt
o
=t
y^ww^- W*«SftW *»'V^>— itoN^f^
façon sui¬
;
(courbe 1, <£*/(«))
forme du calcul à l'aide
selon
une
impulsion
relative la
fonction d'auto-corrélation
au
du
moyen
calcul à l'aide
ki, k2, k3... qui
exprimées
et
d'autre part (courbe 2, Gt/(t)) (17, 18).
La courbe 1 de la figure 45 représentant
choisi 2 secondes
de.
les formules
La figure 44 donne la réponse du dispositif de réglage
du groupe thermique à une variation de la charge
selon un échelon rectangulaire unitaire, d'une part
suites.
valeur
calculée
Nous
avons
unité de temps, les termes
caractérisent la fonction AA-(i) sont
la
...
référence,
en
Ak(Q)
comme
donnés par les valeurs de
figure 43c pour 1 ; 3 ; 5
de
de
unitaire
nous avons
pris
courbe
donnée
par
la
secondes. Comme valeur
la valeur At0
=
10,6616.
62
l'hypothèse d'un réglage de vitesse instantané,
quadratique »-(A/) des fluctuations de
fréquence est donné par le produit de l'écart moyen
quadratique e(Afr) des fluctuations de charge multi¬
Dans
l'écart moyen
par le statisme résultant du réseau b«.
plié
futt
f
tylU
%
Nous déterminons les
Ag0
=
0,482 + 0,312 + 0,162 + 0,052
An
=
0,48
Ag2
=
0,48
Agi
=
0,48
En
.
0,31 + 0,31
•
0,16 + 0,31
•
.
0,05
.
joignant
suite,
=
carac¬
:
0,356
~
0,05
.
~
0,206
0,092
0,024.
=
points
les
Ag(Q)
0,16 + 0,16
0,05
qui
de la suite
termes
térise la fonction d'auto-corrélation
donnés
par
les
de
termes
obtient la courbe 2 de la
figure 45 qui
caractérise la fonction d'auto-corrélation Ag (0).
La courbe 3 est donnée par la multiplication de la
cette
7-
on
courbe 1 par la courbe 2.
Le carré moyen relatif de l'écart de
e-
égal
^/
au
double de la surface
Nous effectuons
s
cette
intégrée
intégration au
à l'aide de suites et obtenons
jj^j- \
4-
fréquence
est
par la courbe 3.
moyen du calcul
:
0,356 + 2(0,98.0,206 + 0,95.0,092 +
=
+ 0,89.0,024)
3
0,978
=
e(A/)
l
0,99.
d(A/)
v-^2
1
Nous voyons que dans notre cas, l'hypothèse d'un
réglage de vitesse instantanée introduit une erreur
J
/
i
ï
'
4
.
S.
7
par
élevé
Fie. 44.
—
Caractéristique dynamique
Réponse <J>i/(t)
la charge
Courbe 1
de la
de
du
fréquence
selon
à
une
échelon
un
de vitesse.
réglage
variation
rectangulaire
unitaire.
Courbe 2
Réponse Gk/(t) de
de la charge selon
:
Dans le
culier
cas
de notre
la
fréquence à
une impulsion
exemple,
nous
une
d'environ
excès
négligeable.
si l'on
très faible
plus
1
%,
qui
ce
est
Le résultat obtenu serait
avait
durée,
compte des fluctuations de
revient à choisir une unité
tenu
ce
pratiquement
légèrement plus
qui
faible pour la détermination de la fonction d'auto¬
corrélation des fluctuations de
Toutefois,
le résultat
charge.
n'en serait pas modifié.
général
variation
unitaire.
avons
en
parti¬
:
e2(Afc)= Aïo
=
10,6616 10-4
e(Aft)
=
10-» V 10,66
bs
=
7,4 %
e,(A/)
=
Nous
e(A/c)bB
nous
=
e*
3,25 %
3,25 %
.
7,4 %
^
0,24 %-> 0,12
proposons d'étudier l'influence des
Hz.
carac¬
téristiques dynamiques du réglage de vitesse et pre¬
l'écart en régime permanent comme valeur de
nons
référence, ce qui revient à diviser les fonctions 0*/(i)
et
Gtf(t) par le statisme permanent 6.r. Nous choi¬
sissons la
seconde
minons la suite
figure
comme
S(Gy)
à
unité de temps et déter¬
de la courbe 2 de la
partir
Fig. 45.
de
—
Détermination du carré moyen des écarts
à l'aide des fonctions d'auto-corrélation.
fréquence
44.
T
S{Gkt)
=
Courbe 1
[0,48 ; 0,31 ; 0,16 ; 0,05]
:
At[B)
=
^
fAk{t)Ak(t + 6)dt
0
Git(t)
est
<?*/(<) son intégration de 0 à oo
4>*/(i) en régime permanent. Elle
étant la dérivée de
donne la valeur de
donc
effet que
égale
à
1.
Nous
contrôlons
facilement
en
T->ea
oo
Courbe 2
:
^4,(9)
=
:
0,48 + 0,31 + 0,16 + 0,05
=
1.
Courbe 3:
Ag(6).Ai(6)
f Gk/{t) Gt/[t + 9)dt
63
Si la fonction d'auto-corrélation Ai
sur
(9) est constante
lequel Ag (9) ^ 0, la réduction
propriétés dynamiques du réglage de
oo
Ca,{6) dQ
l'intervalle pour
résultant
des
vitesse est nulle ; on voit en effet que le double de la
surface intégrée par la courbe 2 est égal à 1. Si par
contre
les fonctions At
(G)
et
Ag (9)
sont
A
avec
simultané¬
négatives, d'où il résulte que leur produit est
positif, leur intégration, et partant l'écart quadratique
de la vitesse peut être au contraire plus élevé que dans
le cas d'un réglage de vitesse instantané. Par suite de
l'action du réglage de vitesse, les fluctuations de charge
traduites en fluctuations de fréquence se trouvent
amplifiées. Nous voyons ainsi que les fonctions d'auto¬
corrélation permettent de juger immédiatement des
propriétés du réglage de vitesse en ce qui concerne la
.corrélation qu'il établit entre les fluctuations de charge
et les fluctuations de la fréquence.
t
H A,0
+ Ah + Ah + Ah +
...
+
A,^
0
A,0
=
T
[fl + /f + /§ +
Ah
=
t
uu
+ ffl
...
ment
Il est facile de prouver que
d'auto-corrélation -A/(6)
tion
du carré de
en
•
>
•
•
>
/"
sont
caractérise
qui
regroupement de
^1/(6)
dQ
=
cette
I' (/,
les valeurs
intercalaires
la
aléatoire
fonction
expression
+ /, +
+
...
donne
Uf
A
l'intégration
considération
et
l'intégration
est égale à
de la fonc¬
la
moitié
de la fonction aléatoire
limitée à
u
termes.
F{t)
Si
en
de
F(t).
la
Un
:
\{Jm dtjo
o
Remarque
prise
/i i h
suite
particulier,
comme
c'est
le
pour la fonction
est égale à l'unité,
exemple précédent
d'une fonction
fonction d'auto-corrélation
est
égale
cas
dans
notre
Gjy(t) l'intégrale
l'intégrale
à %.
de
sa
64
TABLEAU
Variables et
paramètres caractérisant certains phénomènes
V
H
Onde électro¬
magnétique
Vibration de torsion dans
une barre circulaire
Vibration
dans
une
longitudinale
barre
prisma¬
tique
Onde de pression dans
une conduite forcée
Onde de translation dans
un
canal découvert
I
Tension
tangen-
tielle
Tension
agissant
profil
Pression
normale
dans
un
hydrau¬
Hauteur
Vitesse de
cement des
profil
Vitesse
dépla¬
points
de
la
dans
du
plan
la
Vitesse
le
l'eau
conduite
d'écoule¬
de
ment
dans
d'écoule¬
de
ment
Vitesse
l'eau
canal
Masse
spécifique
cons¬
tituant la barre
spécifique
de la matière
cons¬
tituant la barre
Masse
de
l'eau
spécifique
dans
Masse
l'eau
canal
la
spécifique
dans
Vitesse de propagation
des vibrations de torsion
Vitesse
des
de
propagation
longitu¬
vibrations
dinales
conduite
de
propagation
électro-magné¬
tiques
de la matière
Masse
de
des ondes
spécifique
Vitesse
angulaire
de torsion
d'un
Vf
Inductivité
barre
lique
d'eau
m
Courant
Tension
propagation (4)
de
le
Vitesse
des
de
ondes
Vitesse
de
propagation
pression
de
propagation
des ondes de translation
65
II
TABLEAU
Récapitulation des principales opérations
Avec
Opération analytique
composé
Produit
1.
grandeur
unité de
une
du calcul à l'aide de suites
négligeable
non
Avec
une
unité de grandeur
négligeable
:
t
B=fA(t—t)
Gas(t)
dt
S[B)=T[Si[A)*S[GAs)]
S(B)=t[S(^)*S(G^b)]
o
<h+fl2
2.
lre
intégration
!
;
;
avecS<(^l)=|[ap+°i
—^-1;——
2
2
«2-f
...J
——;
2
:
l
fF(t)
t(s(F)*[0,5
dt
o
d'ordre k
intégration
3.
t
; 1 ; 1 ;
^ [1.
lre dérivation
j£([s(F)*0,5[l;l]
1
dt
d'ordre
dérivation
[£]]* [1
k
([s(F)
:
-1]
;
*
[1
; 2* ;
3*
;
*
[1
;
0
;-l] +/„[1
+ /o[l ; —1]
+
équation différentielle
1er ordre
.
[1:
0 ;
*
—1]*-]
*
3*-i ;
...
;
n*-i; ...])
;...])
; n»
*
X»(-l))
(S(F) *[!;-!] -[/„])
^P*[1;-1P-^[1;-1P-1-
+
#(-*))
P; °î-1?-2]
1
;1.„; 1;...]+
+
*^>(l-*))
+
5(F)+- M
(!(/, —te.)+o*,)[l;l;.„;1;...]
[a + 0,5 6t; 6t; 6t;
différentielle
5(«)
S(x)
S(F) *t2 [0,25
=
...; 6t;
; 1 ; 2 ; 3 ;
...]
...
-[!;-!]+ [6]
; n ;
...] +
5(*J
+
,
(S(F) * [1 ; 2*-i;
-+^(/.«*-1»[*;-i]*D(-i))
S(^*t[0,5;
dx
...
=
du 2e ordre:
,_,,,
y lfV-«o) [0,5
;
1,5
;
...] +
+T(oi0 + 6x0) [l;2;3;...;n;...] +
+( ax0
—
| fcr0J [1
; 1 ;
...
; 1 ;
...]
J [a+0,5 6t + 0,25ct2;6t + ct2;&t+2ct2; 6t+3ct2;...]
S
t(S(F)*[1 ;1 ;...;! ;...])
du
:
a^+bx=F(t)
équation
*
(2^=ï([/'°[1 î-1]
+
,
;...]j
jp-^
;-l]]
dt"
«Px
1
+
^([S(F)*[l;0;-ip
d*F
7.
....
:
dF
6.
1;
t
t
+
5.
...]+
:
fdtfdt ...fF[t)dt
4.
; 1 ;
...
T'SfFl + fa^o+Tlairo+ftjo) ;—ax0]
=
[a+ÔT+cr2 ;—(2a+6r)
;
a]
66
TABLEAU
entre le calcul
Correspondances
Fonction
Transformation
analytique,
III
le calcul à l'aide de suites et le calcul
Suite
analytique
opérationnel
Fonction
F(t)
f(p)
opérationnelle
=je-r>F(t)dt
0
Addition
F(t) + G(t)
S[F)+S(G)
HP) + BIP)
Soustraction
F[t)
G(J)
S(F)-S(G)
/tP)-g(p)
S(F)
/(p)
Intégrale
de Duhamel
Résolution
intégrale
de
.
-
JV(t-O)
.
G(6)
de
l'équation
de Volterra.
*
S[G)
S(F)tS(G)
F(t)
Dérivation
dF_
S(F)Ï[1;-1]
dt
S[F)
*
Bip)
/(P): 8{P)
.
Intégration
•
I(P)
[1 ;-l]-[/J
:P
I(P)-P -/o
dl
s/'
Fonction de Dirac
[1]
-l«>td\l)
—00
00
++00
Dérivée de la fonction de
Echelon
rectangulaire
<0pouri<0
uni¬
[>
taire
Fonction linéaire
[1 ;-l]
\x)e~f<M du)
4f'
Dirac
=
\
ÎO
....
-
pourt<0
pour t > 0
our
FH°4'
Décalage
[l]î[l ;-!]
1 pour t > 0
1:?
[! ;!;... ;!;...]
^*[l;-l]2=i[l;2;3;...;n;...]
l:p2T
S(G) *D(+T)
g(p).e~pT
t< T
T)pourf>T
TABLEAU
Détermination de la
=
IV
propagation d'une onde électromagnétique
le long d'une
ligne à haute tension
al
e
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
t
1
ms
Ve2—1
21,6
25,8
30
34,4
38,7
43,1
1,52
1,02
0,800
0,671
0,578
e-e
0,368
0,303
0,247
0,202
0,166
0,136
/A(/Ve2~i)
0,36
0,55
0,75
0,931
1,10
vk=î/J(/Ve21}
0,1509
0,1678
0,1833
0,1968
0,2082
0,5189
0,5358
0,5513
0,5648
0,5762
0,2196
0,5876
60,2
64,5
0,050
2,76
3,35
69,2
0,330
0,041
4,0
0,0542
3,2
56
2.30
1
0,368
0,4029
0,4333
0,4598
0,4828
0,5018
0,0850
0,0838
0,0712
0,0645
0,0592
1,50
2,01
ux
0,0
0,0349
0,0653
0,0918
0,1148
0,1338
0,111
0,091
0,0745
0,0610
47,3
51,6
JVei-i/Jl(/Ve2-l)d9
0,184
0,165
0,139
0,126
0,104
0,0865
0,510
0,458
0,416
0,383
0,354
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
r e~°
67
TABLEAU
Grandeurs
caractéristiques
du
réglage
V
de vitesse d'un groupe
Définition
Désignation
Variation relative de la vitesse
relative de l'ouverture de la turbine
»
relative du couple moteur
»
relative de la
»
hydro-électrique
Valeur
numérique
admise
n
l
m
variables
k
charge
Constante d'accélération du groupe
Ta
10
Te
2
sec
TP
1
sec
TT
2
sec
b
2
a
1
moyenne chute
z
haute chute
5
z
0,5
sec
PD* „•
°
366 JV
n
=
PD*
N
vitesse
t
en
=
angulaire
puissance nominale
Constante de temps du
c
t/min
en
m2
du groupe
kW
en
dispositif hydraulique
gH
L
=
Vm
=
longueur
de la conduite forcée
vitesse moyenne de l'eau à
(m)
pleine ouverture (m/sec)
Constante de temps de la conduite forcée
w
=
vitesse de
propagation
Constante de temps du
des ondes de
dispositif
de
pression
réglage
Facteur de stabilisation
6
=
ma
=
6
=
ôj
=
(réglage accélérométrique)
—
dosage accélérométrique
1
—
(réglage
avec
Facteur de sensibilité des
a
tgOe
tgat
Chiffre
w
statisme
couples
=
tgae
=
variation relative du
=
variation relative du
—
par rapport
aux
écarts de
fréquence
tgat
caractéristique
=
passager)
statisme passager
vitesse de
couple
couple
résistant
fonction de la vitesse
fonction de la vitesse
en
moteur en
de la conduite forcée
propagation
des ondes de
pression
Facteur de réflexion
2
r
—
z
~2 +z
moyenne chute
haute chute
r
r
—0,43
0,60
68
TABLEAU
VI
Fonction de transfert et courbe de réponse du réglage de vitesse d'un groupe
Centrales à moyenne
Centrales à basse chute
Masses tournantes
.
.
cpmn
pTa +
<t>ron
Régulateur
6
1
—
+
b +
3p
—
p + coth
(Courbe
3e~Fc
1
de
réglage
.
1
l+2pTc
pTa + a' 1+pT,
q>jn
<t>ln
S
+
âV^h^-^ T)'"^
réglage
S
+
(6 + pTr)
ouvert q)nn
+
a2rr
aïY
37^(67V—TJ
T,
=
.
\
[1
;—
^
e
S
(<D„„)
(2V-aTc)
2o2 6rcrr + abTrTa—2aTcTa—Ta*
aTe)a*Tr
(Ta
(Courbe 1 fig. 37)
'
=
fig 35)
2 et 3
fl_
a
\b+ pTr)
1
pT„+a
+
1]
*
S
(<t>im)
*
pTp/
S
((Dm»)
fig. 36)
pTa+a 'V~p
S
\
3p
p + coth
2 et 3
(Courbes
1—2Pre
'
'
ra + 3aTc —atrr
<t>nn
(0to)
fig. 36)
1
(Courbe
Circuit de
i_
PTa
pTp
| {!—») (—r)"
1—
fig. 35)
(Courbes
Dispositif
a
pTT
t
2Prc
l+P^c
i
<Pjm
haute chute
r«
1—e
b +
<J>nJ
et à
pTa +
a
x<*
e
<p„j
Dispositif hydraulique
hydro-électrique
coth
pTp)
(<J)fa)* [1 ; —1]*S (<!>„,)
(Courbes
2
et
3
fig. 37)
~¥fTe
*
—
1
Circuit de
réglage
fermé
py«
<Pjj
/
1
+
pT. +
a
1
\
/
1-—2pT.
1+l6+P^j-?7VN-T +P?1»
P'Tc + p
p3 + Ap* + Bp +
TaTo
A
=
B
=
C
=
avec
Pi
>
Pi
Pi
>
=
Pa
=
>
—a ;
Tr(a + b)
pTr)'pTtt+a'\
3p
—
2Tc
1
Ta Tr Te
=
—
w2
p3 + Ap2 + £p + C
P + /'">
; Ps
=
—
{•-(£-»)
tg9
P2 +
(Courbe
ui2
1
—
ap +
fig. 38)
a
=
0
P —/<"
S
+
(<Djj)
5(ft) *S(Çpfo,)*[l;—1]
=
[1]
—
(Courbes
sin
—p
(uit+6)
[1;— l]*S(<Dn„)
1 et 2
\
p cothpTP)
C
»/('p»+w«-ap+5L^Wuii(o-l-V
avec
/
Ta Tr Te
Ta([a—P)2 +
-P'
y
a
TaTe
1
Ofi
i
Ta + Te la—2b)
racines de
Ps
\
i
fig. 39)
69
TABLEAU
VII
de suites
Récapitulation des principales formules du calcul à l'aide
appliqué à la
théorie des
réglages
automatiques
8.
Calcul d'une courbe de
à l'aide de suites
réponse
S(l)
S(<M
9.
Calcul de la courbe de
S
(Onn)
=
réponse
[1
; 1 ;
10.
Calcul d'une courbe de
Nyquist
à
S(l)
...]
S[n), [1; —1]
réglage
ouvert
(Vnl)
(<t>'im)
S
S
(<t>'m„)
S
(*rf)
S
;...].
S
(<t>')
suite de la dérivée de la courbe de réponse
; 1
S
avec
; 1 ;
...
S(n)
du circuit de
...
; 1 ;
[1
.
=
partir
=
.
d'une courbe de
Re J
(uuj
t
uu!
=
.
=
.
(<X>'tm)
*
S
(<t>'mn)
réponse
V
<t>
(m)
sin
(^ m)
<t>
(m)
cos
(idx ht)
n
Im J
(uij)
t
w1
=
V
n
11.
Calcul de la variation de la
grandeur
à
régler
à la suite d'une
S
5(n)
12.
Détermination des
caractéristiques dynamiques
S(Gmx)
13.
Détermination des variations de la
réglage
avec n
degrés
(fc)
»
perturbation agissant sur
($*„)
•
le
dispositif
—
—
réglage
[1;—1]
=
[l]-[l;-l].S(cl>„n)
d'un
dispositif
de
réglage
avec
S(Xl)
SK)...
S(*i)
S[x2)
S(n2)...
S(fci)
S(xt)
S(nt)...
S{kt)
SW
S(«J...
S(h)
S(mJ
S(nJ...
S[k2)
S[mt)
S(nt)...
S(kk)
n
degrés
de liberté.
=
grandeur
à
régler
à
la
suite
d'une
perturbation agissant
de liberté
—
de
(5(m)
.
«(Gmx) + S(n)
.
S(G„*)...)
S(Gyl)...
(S {m)
.
S[Gm)+S[n)
.
5(Gny)...)
5(GJ,„)-[1]...S(GB,Î,)
(S (m)
.
S
.
S(G„„)...)
S(G„„)...
(Gm„) + S(n)
S(G,«)
S(G„„)—[1]
S(*)=,
S(C„)
—
[1]
S(G„)...
5{C^,)
5(C„)
S[Gvs)-[i]...S(GKV)
•SfGxw)
SiG^)...
S[Gm)—[l]
sur
un
dispositif
de
70
TABLEAU
VIII
Détermination du carré moyen d'une fonction aléatoire
Fonction
au
moyen de
analytique
Fonction de suites
T
Fonction
d'auto-corrélation
fluctuations de
des
Ak[Q)
charge.
=
l'analyse impulsionnelle
S(At)
[Aka ; Ah
=
JAk(t)Ak(t+e)dt
~
;
...
Akm ;
;
...
;
AkJ
u
0
^
^*m=-
avec
T-yoa
Kkn+m
n=l
m
r
\
kn=~
t
Ak(t)dt;u=-
(n-l)T
T
=
unité de
temps
Fonction d'auto-corrélation de la
réponse Gj/ (t)
de la
impulsion
charge.
à
fréquence
de
unitaire
une
Ag(6)
la
S[Ag)
Gt/[t) Gtt[t + B)dt
=
=
[Affa ; Atl
0
Agm
avec
^
t
=
;
;
...
Agm
;
...
;]
gn gn+m
n=l
m
?»
=
\ f G» M
*
r»-i;T
oo
oo
Carré
de
moyen de l'écart
quence e2
fré¬
e2
(A/)
=
(A/)-
JAk (9) Ag (6)
2
de
£2
=
Comparaison entre
de
(,4*0 4* +
2
2 ^V ^<J
la détermination de l'écart
l'analyse
IX
quadratique
moyen d'une fonction aléatoire
de
Détermination
fluctuations de
fonction
la
puissance
lim
1
d'auto-corrélation
des
1.
Détermination
fluctuations de
du réseau
f
moyen
Analyse impulsionnelle
fonction
la
de
puissance
d'auto-corrélation
des
du réseau
T
T
=
au
spectrale d'une part et de l'analyse impulsionnelle d'autre part
Analyse spectrale
Ak(6)
t
0
TABLEAU
1.
(Ai)
A/c
(t)
A/c
(t + 6)
An (9)
dt.
=
^
lim
•»
r-».oo
f A/c (l)
J
A/c
[t + 9)
dt.
o
2.
Détermination de la densité
de la
spectrale
des fluctuations
Détermination
f Ak(Q) cos2irv9d9.
2
de
réponse Gk/ (t)
à
l'impulsion
uni¬
la
courbe
puissance
et
de
comportement
dynamique
fonction
Détermination de la
d'auto-corrélation de la
réponse Gkj (t)
Ik/ (v)
oo
entre les fluctua¬
les fluctuations de la
qui
fréquence.
3.
caractérise la relation
tions de la
la
caractérise la relation dynamique entre les
fluctuations de la puissance et les fluctuations de la
o
qui
Détermination de
taire
J*M
3.
2.
puissance
Ag(Q)=f Gk,(t)
fréquence.
Gk,(t + Q)dt.
0
4.
Détermination du carré moyen des écarts de
fréquence
4.
Détermination du carré moyen des écarts de
oo
e"(A/)
=
/"/*(v)./w»(vjrfv.
OO
e*(A/)
=
2
f At {&) At [Q) dd.
fréquence
71
BIBLIOGRAPHIE
(1)
A. Tustin
A method
:
of analysing
the behaviour
(17)
(2)
M. Cuénod
Vaide
phénomènes
transitoires à
temps. Bulletin tech.
de
(18)
la
de
Von
Karman et Biot
tiques
(4)
méthodes mathéma¬
Librairie
(20)
9 décembre 1949.
M. Cuénod
de bélier
Influence
:
le
sur
hydrauliques.
(6)
0. Schnyder
Ùber Druckstôsse in lïohrleitungen.
:
Wasserkraft und
(7)
L.
Bergeron
dans
les
Wasserwirtschaft, 1932, nos 5
Etude
:
conduites d'eau.
draulique, 1935,
(8)
Y. Roccard
(9)
G.
(10)
K.W.
(11)
génie civil,
Wagner
der
p. 57.
1950.
P. Humbert
Ed.
J.P.
Carson
:
Electric
(13)
L. ScnwARTZ
formations
de
(14)
M.
de
Grenoble,
:
circuit
and
Book
H.
de
et
(15)
Janke und Emde
(16)
N. Wiener
et
A.
Kaufmann
p. 73. Albin
:
:
Cours
(27)
Funktionen
Verfahren
Neues
:
Nyquist
Frey
R.C.
Stabilitâts-
zur
Archivfiir Electrotechnik,
:
Régénération theory.
Journal, January 1932.
1944, n°l.
Bell
D'une
:
System
généralisation du critère
Brown-Boveri, 1946, n° 3.
Revue
Oldenburg
et
H.
Sartorius
:
de
Dynamik
C.
Galmiche
Servomécanisme
:
et
régulateurs.
générale de l'électricité,
janvier 1949.
(28)
A. Garde
:
control
The frequency analyse method applied
problem. ASEA journal, novembre-
décembre 1948.
(29)
G.
Nasse
:
Le
et
circuit
de
industrielle.
régulation. Actualité
Paris, Herman, édi¬
tion 1949.
(30)
Tafeln.
M. Demontvigner et P. Lefèvre
méthode
harmonique
:
Une nouvelle
de l'étude de la stabilité des
systèmes linéaires. Revue générale de l'électricité,
The
extrapolation, interpolation and
smoothing of stationary time-series with engineering
application. Technology press of the Massachussets Institut.
Suisse
Wurzeln mit
nur
Critère de stabilité. Revue
de
Michel, Paris,1950.
réglage
selbstâliger Regelungen.
trans¬
l'Université
la
Uber die
:
LEONnARD
W.
to
Annales
d'un
de
technique
Bedingungen unter welchen
negativen reellen
besitzt. Math. Annalen, Bd. 46 (1895).
scientifique
opérationnel,
:
A.
Nyquist.
the
Co,
XXIII.
tome
Denis-Papin
calcul
theory
Graw-Hill
Théorie des distributions
Fourier.
Bulletin
1942.
propriétés
Etude des
:
Gleichung
Technical
(26)
symbolique. Mémorial des sciences
mathématiques, fascicule C, Paris, 1941.
operational calculus. Me
New York, 1926, p. 16.
(24)
J.
pour le calcul
(12)
(23)
Formulaire
:
Band,
O.
Theilen
(25)
Operatorenrechnung.
Barth, Leipzig, 1940.
et
Cuénod
eine
Laplace-Transfor-
:
N.W. Me Lachlan
M.
XX.
A. Hurwitz
de
106, 1935,
n°
316.
Gesetzmàssigkeit bei Regelvorgângen.
Verôfïentlichungen aus den
:
untersuchung.
Birkhausen, Bâle,
Ed.
Ambrosius
Revue
Handbuch
:
régime
générale d'hy¬
variations
Ana¬
par la
(22)
6.
n03 1 et 2.
Le
:
Doetsch
mation.
des
et
:
Grunwald : Lôsungverfahren der LaplaceTransformation fur Ausgleichvorgânge in linearen
Netzen, angewandt auf selbstâtige Regelung. Arch.
fur Eletrotechnik, 1941, n° 35, p. 379.
mars-avril 1949.
Blanche,
Renchon
(21)
phénomènes de coups
de la vitesse des turbines
réglage
et R.
romande, 26 avril, 10 mai 1947.
des
La Houille
Gôrk
automatique.
entre
(5)
E.
dans
S.B.E.,
la
fréquence d'un réseau
impulsionnelle. CIGRE, 1954, n°
Siemenswerken,
1949.
Sur la généralisation à"une analyse
:
cinq phénomènes de mécanique. Bulletin
technique de la Suisse romande, 11 et 25 novembre,
de
Wissenschaftliche
Polytechnique
Favre
H.
(19)
Contri¬
:
fréquence
de la tenue de la
méthode
Les
:
l'ingénieur.
Béranger, Paris-Liège,
de
de la
1953.
Cuénod, A. Jacques
lyse
Suisse romande, 1949, n° 16.
(3)
M.
R. Renchon
et
tenue
complexe électrique. Bulletin
janvier-mars
Etude de
:
suites
de
Cuénod, A. Jacques
un
1, Part II A.
No.
M.
bution à l'étude de la
of linear Systems in time-series. The Journal of
the Institution of Eleetr. Ing., 1947, Vol. 94,
juillet 1949.
(31)
G.
Evangelisti
idrauliche.
:
La
Regolazione
délie
Turbine
72
(32)
M. Dejou
:
Considérations
sur
les
régulateurs
des
(39)
(33)
D. Gaden
:
stabilité. La
(34)
P. Almeras
Considérations
sur
le
problème
:
de l'inertie de l'eau
Influence
la stabilité d'un
hydro-électrique.
groupe
Blanche, novembre 1945, janvier 1946,
(35)
de la
Concorde, 1945.
1946.
précision
sur
la
des
électr.,
réglage.
de
Considérations
Bull, de la Soc.
franc,
Numerische Behandlung von Diffe:
rentialgleichungen. Springer, Berlin, Gôttingen
und Heidelberg, 1951.
(41)
L.
Collatz
Arbeiten
Einige
:
schâtzungen. Z.
und 33 (1953).
:
du
automatique
avril 1952.
L. Collatz
Drehzahlreglung der Wasserturbinen.
Schweiz. Bauzeitung, nos 39, 40, 41, septembre-
Th. Stein
(.A propos du réglage
turbines hydrauliques)
:
(40)
sur
Houille
mars
D. Gaden
vitesse des
groupes générateurs hydro-électriques de basses
chutes. Revue générale d'électricité, août 1948.
Math.
angew.
uber
Mech.,
Fehlerab32
(1952)
octobre 1947.
(36)
J. Daniel
turbines
et
(37)
réglage de vitesse de
Houille Blanche, nos 1
Accélération du
hydrauliques.
La
(42)
M. P.
Théorie des coups de bélier de
amplitude. Revue générale d'électricité,
Satche
décembre
:
1947.
M. Cuénod
et
J. Wahl
Amélioration de la
tenue
fréquence dans un réseau alimenté par une
hydro-électrique. Bulletin technique de la
Suisse romande, 1954, nos 6 et 7.
de la
centrale
von
Mises
und
H.
Pollaczek-Geihinger
der
Verfahren
:
Gleichungsauflôsung.
Z. angew. Math. Mech.
(43)
Fr.
A.
Analysis.
(44)
:
R.
Praktische
2, 1948.
faible
(38)
:
H.
Willers
De
:
Gruyter
Rutishauser
:
Methoden
&
der
Praktischen
Co, Berlin, 1950.
Uber
die
Instabilitàt
von
Intégration gewôhnlicher Differentialgleichungen. Zeitschrift fur angewandte
Mathematik und Physik, Vol. III, Fasc. 1 du
Methoden
15.1.52.
zur
73
SOMMAIRE
Pages
Introduction
7
VII.
Calcul
avec
unité de
une
grandeur négli¬
geable
PREMIÈRE PARTIE
1.
II.
2.
Définition
Opérations
1.
2.
avec
les suites
Produit et
4.
Produit et
et
échelonnée
quotient composés
...
10
...
11
A. Produit
composé
B. Quotient composé
11
5.
Décalage
15
6.
Intégration
15
A. Première
15
B.
16
13
intégration
Intégrations successives
C.
Etude de la
32
.
33
propagation d'une
onde
électromagnétique
VIII.
Etude de
34
fonctions aléatoires
37
DEUXIÈME PARTIE
à la théorie des réglages
Dérivations successives
18
linéaires
19
Equations différentielles- linéaires
20
Exemples:
dispositif mécanique
Equations différentielles
chargée
avec
décalage
.
21
...
22
39
2.
3.
Courbe de
Nyquist
40
4.
Courbe de
réponse
40
5.
Détermination de la courbe de
Nyquist
qui correspond
réponse
...
linéaires
.
tance et
II. Détermination des conditions de stabilité
III.
Détermination des variations de la
à
25
formé d'une résis¬
d'une inductance saturable.
aux
Exemple
Coup
forcée
grandeur
45
hydro-électrique
sa
IV.
Réglage automatique
à
la
suite
d'une
charge
avec
45
plusieurs degrés
de liberté
:
de bélier dans
une
conduite
1.
29
43
Variation de la vitesse d'un groupe
25
27
.
:
dérivées par¬
tielles
.
régler
variation de
Equations différentielles
courbe de
une
40
41
Exemple
électrique
à
.
24
:
Circuit
du
donnée
Equations différentielles linéaires à coeffi¬
cients variables et équations différentielles
Exemple
39
Description
réglage d'un groupe
hydro-électrique
Equation différentielle du réglage
du
d'un
automatiques
Définitions
1.
19
Equations différentielles linéaires
ordre supérieur
non
VI.
succes¬
....
Application du calcul à l'aide de suites
B. Calcul d'une corde
V.
dérivations
17
A. Calcul d'un
IV.
et
l'impulsion unitaire
d'un dispositif mécanique
17
1er ordre
3.
Intégrations
B. Calcul
I.
2.
31
Dérivation
Equations différentielles
1.
opérationnel
A. Première dérivation
B.
III.
31
le calcul à l'aide de
sives de
10
de
Exemples:
A.
10
quotient simples
Suites intercalaire
3.
calcul à l'aide
analytique
entre
suites et le calcul
10
Addition et soustraction
3.
7.
Relations
9
le
entre
suites et le calcul
Principes du calcul à l'aide de suites
I.
31
Relations
49
Détermination des caractéristiques dyna¬
miques
du circuit du
réglage
....
49
74
Pages
2.
Détermination
grandeur
à
des
régler
variations
de
la
turbation
3. Cas
A.
B.
Annexe I
à la suite d'une per¬
49
particuliers :
Réglage avec 1 degré
Réglage avec 2 degrés
de liberté
de liberté.
Etude
:
de
la
stabilité
du
quotient
composé
.
50
.
50
54
1.
Utilisation d'un critère de convergence
54
2.
Discussion
54
des
racines
de
l'équation
caractéristique
Annexe II
Etude
:
de
54
l'exactitude
du
calcul
à
l'aide de suites
CONCLUSION
I.
II.
III.
IV.
Application du calcul à l'aide
technique des commandes à
Application du calcul à l'aide de
technique des courants faibles
.
....
Application
sciences économiques
Utilisation
de
effectuer les
machines
opérations
calcul à l'aide de suites
51
51
du calcul à l'aide de suites
aux
52
à
calculer
2.
Erreur de
de
56
la
dérivation
à
l'aide
de
56
l'intégration
de
l'impulsion
unitaire
3.
aux
sciences naturelles
V.
51
suites à la
du calcul à l'aide de suites
Application
.
Erreur
suites
de suites à la
distance
1.
56
Erreur de la solution de
l'équation
dif¬
férentielle du 1er ordre
Annexe III
:
Réglage
à niveau d'eau d'une
hydro-électrique
compensation situé en
trale
Annexe IV
:
57
Application
du
avec
cen¬
bassin
calcul
à l'aide
suites à l'étude de fonctions aléatoires
pour
de
aval de la centrale
59
de
.
60
que comporte le
52
Bibliographie
Imprimerie La Concorde, Lausanne (Suisse). 228/5.55
71
BIOGRAPHIE DE MICHEL CUÉNOD
13.9.1918
1930 à 1936
1936
1936 à 1941
Né à La
Seyne-sur-Mer (Var),
Etudes secondaires
Maturité
1941 à 1950
Collège
de Genève.
classique (avec latin
Etudes universitaires à l'Ecole
nique fédérale,
1941
au
France.
et
grec).
polytech¬
section III B.
Diplôme d'ingénieur électricien (travail
de diplôme chez M. le professeur Tank).
Ingénieur
la
à
& Cle à Baden
Société
Brown, Boveri
(plate-forme
d'essai du
département des redresseurs à vapeur de
mercure, puis bureau de calcul du dépar¬
tement
1950 à 1954
Depuis
1954
de
l'appareillage).
Ingénieur à la Société Ofinco à Genève
(participation à la construction de la
centrale de Gondo et à la ligne du
Simplon dans le Valais).
Ingénieur
l'Industrie,
à
la
Société
à Genève.
générale
pour