Texte en PDF - Chrétiens du Plateau de Saclay

Studium
AP
PROCHE D
(Pr
ofesseur
M A T H É M
A
«
Nous avons vraiment
LES MATHÉMATIQUES
«…si la nature est vraiment structurée avec un langage mathématique,
ceci démontre quelque chose d'extraordinaire
la
structure objective de l'univer
Il n’est, heureusement,
pas nécessaire d’aligner des équations pour démontrer le grand intérêt des
mathématiques en philosophie
des sc
illustrées par des citations
percutantes
I –
L’IMPASSE DES CONCEPTIONS
- a) Le "Prométhée"
des mathématiques
Il est évident que les grandes questions relatives aux origines
la Vie, et de l’Homme, ont d’emblée une telle portée métaphysique, que les
réponses apportées sont très fréquemment
idéologiques. Les mathématiques, dans leur pureté théorique
contraire, bien au dessus de ces querelles de bannières.
Cependant, le scientism
e rationaliste
apogée à l’articulation des XIX
e
et XX
tout spécialement en la personne de
Mathématiques à l’université de
Göttingen
Ce brillant mathématicien
était aussi un idéologue
témérairement
qu’il était a priori possible de
fondement logique et complet de
toutes les
celui des autres
disciplines scientifiques
A
ussi confiant dans la raison que méfiant à l’égard de l’intuition
fièrement au début du XX
e
siècle
lors d’un colloque à Paris
Studium
de l’Abbaye de Sept-Fons –
201
PROCHE D
ES RAPPORTS SCIENCE ET FOI
Par Jean-Michel OLIVEREAU
ofesseur
hon. Université Paris V - Descartes)
Cours n°2
A
T I Q U E S et P H
Nous avons vraiment
beaucoup de chance que ça marche,
parce que personne ne sait vraiment pourquoi
les pensées dans notre tête
devraient réellement correspondre au fonctionnement fondamental de l’univers
James GLATTFELDER
Physicien spécialiste de la complexité
LES MATHÉMATIQUES
«…si la nature est vraiment structurée avec un langage mathématique,
et si
les mathématiques inventées par l'homme peuvent réussir à l
ceci démontre quelque chose d'extraordinaire
:
structure objective de l'univer
et la structure intellectuelle de l'être humain
BENOÎT XVI
pas nécessaire d’aligner des équations pour démontrer le grand intérêt des
des sc
iences
, ainsi que leurs implications métaphysiques
percutantes
, exprimant la pensée
de mathématiciens de premier plan
L’IMPASSE DES CONCEPTIONS
RÉDUCTRICES
des mathématiques
Il est évident que les grandes questions relatives aux origines
– de l’Univers, de
la Vie, et de l’Homme, ont d’emblée une telle portée métaphysique, que les
réponses apportées sont très fréquemment
parasitées par des considérations
idéologiques. Les mathématiques, dans leur pureté théorique
, semblaient, au
contraire, bien au dessus de ces querelles de bannières.
e rationaliste
prométhéen (et athée) qui atteignit son
et XX
e
siècles, n’épargna pas les mathématiques,
tout spécialement en la personne de
David HILBERT (1862-1943. Pr.de
Göttingen
).
était aussi un idéologue
rationaliste, il prétendait
qu’il était a priori possible de
trouver dans les mathématiques le
toutes les
Sciences, mathématiques et même
disciplines scientifiques
.
ussi confiant dans la raison que méfiant à l’égard de l’intuition
, il affirmait
lors d’un colloque à Paris
:
1
201
3
ES RAPPORTS SCIENCE ET FOI
Y S I Q U E
beaucoup de chance que ça marche,
les pensées dans notre tête
devraient réellement correspondre au fonctionnement fondamental de l’univers
. »
James GLATTFELDER
(Zurich, 2012)
Physicien spécialiste de la complexité
«…si la nature est vraiment structurée avec un langage mathématique,
les mathématiques inventées par l'homme peuvent réussir à l
a comprendre,
et la structure intellectuelle de l'être humain
coïncident . »
BENOÎT XVI
(26.11.2009)
pas nécessaire d’aligner des équations pour démontrer le grand intérêt des
, ainsi que leurs implications métaphysiques
. Quelques idées essentielles
de mathématiciens de premier plan
, peuvent suffire.
Fig.
1
:
David HILBERT
Mathématicien
fier et prométhéen.

2
- « Même si les problèmes [ mathématiques ] nous semblent intraitables [...] , nous n’en avons pas moins la ferme
conviction que leur solution doit résulter d’un nombre fini de processus logiques » et encore :
- « Chaque problème mathématique doit nécessairement pouvoir être l’objet
d’une solution rigoureuse [...] nous entendons en nous une voix qui nous crie
constamment : là est le problème, cherche la solution ; tu peux la trouver par
la pure réflexion car dans les mathématiques il n’y a rien d’à tout jamais
inconnaissable. »
Témérairement, et montrant là son peu de sens de la complexité et du mystère
du monde inanimé et du monde vivant, il ajoutait : « Et à mon avis, il en va de
même pour les sciences naturelles. »
Enfin, lors d’un vaste symposium réunissant l’intelligentsia germanique en
1930, il concluait par un aphorisme aussi ambitieux qu’infatué, et qui allait
devenir sa célèbre devise : « Nous devons savoir. [et] Nous saurons ! ».
Cette devise : « Wir müssen wissen, Wir werden wissen. » il la fit même graver
sur sa tombe en guise d’épitaphe ! En fait, cette prétention, bien plus que sur sa
sépulture, se révèle maintenant inhumée avec lui dans le tombeau de ses
prétentions. Coïncidence plaisante ces prétentions avaient été sapées à leur base la
veille même du jour où il avait proféré ex-cathedra son défi. En effet, lors du
même symposium, dans une des modestes "tables rondes" tenues en préliminaires,
un mathématicien inconnu avait commencé à démontrer (devant ses pairs qui n’y
comprirent quasiment rien…) le contraire, il s’agissait de Kurt GÖDEL ; nous en
reparlerons.
Un siècle plus tard, le mathématicien contemporain Gregory CHAITIN
assimile cette prétention volontariste et brutale à la proposition d’une "solution
finale" du problème mathématique, qui aurait, dit-il, – si elle avait réussi – mis
en danger la vitalité même des mathématiques.
- b) Lesdites "mathématiques modernes"
Quelques mathématiciens français – inventeurs des fameuses "mathématiques modernes", regroupés sous le
pseudonyme de "Nicolas BOURBAKI", ont prolongé cette conception formaliste et réductrice des mathématiques,
affirmant entre autres que les mathématiques sont "une simple création humaine" et surtout pas "une révélation
divine". Cette dernière affirmation montre toute la dimension métaphysique du Bourbakisme, mais si elle semble
d’emblée légitime et tout simplement scientifique, nous verrons que sa véracité n’est pas aussi évidente qu’il y
paraît au premier abord.
Le "bourbakisme" repose sur un socle idéologique que dénonça fort justement Roger APÉRY (†1994, Pr. Math. +
Philo. des Sc.,Univ. Caen) qui, bien que "jacobin" et ami de Jean DIEUDONNÉ (le principal animateur du
bourbakisme), vit dans ce mouvement un risque de "marxisation" des mathématiques, et dénonça ses
commandements implicites : « Le formalisme, conçu par Hilbert et poussé à l'extrême par Bourbaki, veut créer un
ordre mathématique dont les commandements sont les suivants : (retenons les plus significatifs, entre autres :)
- Rejeter l'ordre ancien .... ; Considérer comme infranchissable le fossé entre les mathématiques et les autres
disciplines… [ce qui, nous le verrons avec la physique, est une contre-vérité flagrante]… ; Refuser comme
dénués de sens les concepts d'espace, de temps, de liberté … ; Extirper l’intuition … [ce serait un crime ! cf.
infra le "cas" Ramanujan] ; Uniformiser les esprits par l'enseignement des "mathématiques modernes", etc. »
(Séminaires Ecole Normale Sup., Seuil, 1982)
Il est vrai que pour ce dernier point, l’un des buts de l’enseignement des mathématiques modernes rentrait dans
le cadre d’une politique éducative égalitariste ; cette forme radicalement nouvelle d’enseignement mettait d’emblée
l’étudiant(e) d’origine modeste sur un pied d’égalité théorique avec les enfants de l’"ingénieur bourgeois", car
même un père "matheux" ne pouvait dès lors plus guère aider ses enfants, vus une approche pédagogique et un
langage totalement nouveaux !
A ce propos, John BARROW (Pr. math. à Cambridge) remarque pertinemment que « La plupart des volumes
publiés par Bourbaki ne présentent aucun résultat mathématique nouveau, mais déclinent des chapitres connus
d’une manière nouvelle et plus abstraite. » ("La grande théorie", Albin Michel, 1994)
Vladimir ARNOLD (†2010, l’un des plus grands mathématiciens du XX
e
siècle) est encore plus sévère :
- «Au milieu du XX
e
siècle on a essayé de séparer les mathématiques de la physique. Les résultats ont été
catastrophiques ! On a vu apparaître des générations entières de mathématiciens ignorant la moitié de leur
science — n’ayant d’ailleurs pas la moindre idée d’aucune autre. Ils ont commencé à enseigner leur horrible
Fig. 2
: Tombeau d'un
grand mathématicien
et… de ses illusions,
encore plus grandes
!

3
scolastique pseudo-mathématique, d’abord aux étudiants, puis aux lycéens, en oubliant le principe de Hardy,
selon lequel il n’y a pas de refuge permanent sous le soleil pour des mathématiques laides. »
(Société Mathématique de France - Gazette, 10.1998)
Heureusement, les visées prométhéennes et réductrices de Hilbert et consort ont été infirmées, et Gregory
CHAITIN (mathématicien + épistémologue, Staff IBM, NY) peut à juste titre s’en réjouir :
- « Si Hilbert avait eu raison, les mathématiques seraient un champ clos, sans place pour les nouvelles idées. Ce
serait une théorie statique et stérile. [ … ] . Hilbert avait clamé sa foi en l’existence d’une "théorie du tout" pour
les mathématiques, c- à- d. d’un ensemble fini de principes à partir desquels toutes les vérités mathématiques
peuvent se déduire sans recours à des raisonnements transcendants, mais simplement par une application
laborieuse des règles de la logique symbolique. [ ... mais ] Une infinité de faits mathématiques sont irréductibles.
[ … ] une théorie du tout pour les mathématiques ne peut exister. » (Pour la Science, 4.2006)
Nous pouvons ainsi conclure avec Jean-Paul DELAHAYE (Pr. Math. + Philo. des Sc., Univ. Lille) :
- « La structure logique du réel mathématique résiste à nos tentatives de réduction. » (La Logique, Belin 2012)
Il est vrai que même les philosophes auraient pu s’insurger contre la possibilité de cette réduction, avec Jean
LADRIÈRE (Pr. Philo. des math.. Univ. Louvain), qui justement à propos des fantasmes hilbertiens, commente :
- « l’idée d’un domaine fondateur privilégié s’avère intenable, à la fois parce qu’il n’y a pas moyen de tout
"réduire" à un tel domaine, et parce qu’il n’est pas possible de repérer une région qui aurait de quoi se fonder
elle-même en un sens absolu. » (Les limitations internes des formalismes, Réimpression J. Gabay, Paris, 1992)
En effet, i l ne suffit pas – comme le fit Hilbert – de changer l’axiomatique et de prétendre expliciter, en amont,
les raisonnements mathématiques eux-mêmes en inventant des "métamathématiques" – que WITTGENSTEIN
considérait comme de simples "mathématiques déguisées" ! ( in : F. Waismann : L. Wittgenstein and the Vienna Circle, 1979 ) –
pour "arraisonner" "l’existence", ne fut-ce que celle des mathématiques.
►Ainsi les mathématiques l’on échappé belle, mais la leçon à retenir est que des scientifiques de premier plan,
dans une discipline idéologiquement aussi peu "sensible" que les mathématiques sont prêts à essayer de la
conformer à leurs options philosophiques, même si l’approche de la vérité n’y gagne rien, voire y perd !
Ces distorsions de la raison, au nom d’un rationalisme réducteur, sont – comme nous le verrons – bien plus
fréquentes dans d’autres disciplines. Le "scientifiquement correct" de nos sociétés de plus en plus matérialistes,
manque trop souvent à la simple objectivité scientifique.
- c) Le nouveau "monde incomplet" des mathématiques
C’est un logicien de première grandeur, Kurt GÖDEL (†1978. Pr. Math. à Princeton) qui porta le premier coup
fatal à l’édifice mathématique monobloc et prométhéen, fantasmée par Hilbert, en pulvérisant son fondement,
l’hypothétique "ensemble fini" sur lequel était censé reposer l’ensemble majestueux de l’édifice des mathématiques,
voire – au-delà – de toute la science.
Le premier théorème de Gödel (présenté, dans l’indifférence quasi générale, en 1931) démontre en effet
l’"incomplétude" du démontrable en mathématiques. On peut résumer ainsi l’essence du théorème de Gödel : « Un
système logique formel ne suffit jamais à sa propre description », (soit la description est incomplète, soit elle est
complète, mais une de ses propositions est fausse).
Les conséquences philosophiques de ce théorème sont extrêmement importantes comme en témoignent les
commentaires suivants, plus compréhensibles pour des non-mathématiciens :
- « Quelle que soit la clarté que peuvent nous apporter les mathématiques, elles ne peuvent fournir toute la
clarté concevable. C’est là le cœur des théorèmes d’incomplétude de Gödel. » (The Relevance of Physics, 1966)
Stanley JAKI (†2009. OSB, Pr. Phys. + Philo. des Sc.,Seton Hall Univ.)
Cette incomplétude se manifeste d’ailleurs dès les mathématiques les plus élémentaires :
- « La signification du théorème de Gödel est énorme. Il prouve qu’il est impossible de rendre compte de
l’arithmétique élémentaire en déduisant ses résultats de quelques axiomes de base. On ne peut pas connaître
toute la vérité sur l’addition, la multiplication, et la suite des nombres entiers...» (La Recherche12.2003)
Gregory CHAITIN (mathématicien et philosophe, Staff d’IBM, NY)
Au demeurant, la portée du théorème de Gödel s’étend bien au-delà de l’arithmétique, comme nous le montrent
les affirmations suivantes :
- « Dans n’importe quel système, il y aura toujours des propositions vraies indémontrables… »
- « Il y aura toujours des vérités au delà des lois de la physique. »
(Conf. UIP Paris, 11.4.2001)
David BERLINSKI (Pr. Math + Philo des Sciences, Stanford)

4
Avec l’auteur suivant, nous voyons que – dès le niveau le plus abstrait et fondamental des sciences, celui des
mathématiques – la notion de croyance au-delà du démontrable se montre plus que légitime, nécessaire :
- « Le théorème de Gödel dit qu’il y aura toujours une proposition vraie qui ne sera pas démontrable dans le
système ; il y aura toujours des propositions vraies mais indémontrables. »
- « Sa force incroyable n’a pas été encore comprise. [ … ] Il nous révèle que la réalité mathématique a
une richesse incroyable, qui est irréductible à des propositions logiques. »
- « C’est une erreur énorme de croire que l’on peut rendre compte de notre monde en termes matériels. [ … ] . Il
n’y a pas de limites à l’émerveillement que l’on aura, face aux surprises venant du monde extérieur. »
Alain CONNES (Pr. Math, Coll. de Fr., Méd. Fields) (Conf. Sorbonne., 21.3.2001)
On pourrait résumer l’apport de Gödel et sa confirmation ultérieure, par ces lignes :
- « Ce qui restera l’acquis principal du travail de Gödel, c’est la distinction entre vérité et prouvabilité. [ … ] Le
théorème de Gödel est une réfutation d’un modèle mécanique de la science, de la pensée, du monde. »
(in : "Le théorème de Gödel", Seuil, 1989)
- « Ce n'est qu'avec le développement de l'informatique qu'ont pu se dégager de nouveaux axes de lecture,
[relatifs aux fondements des mathématiques] en rupture de plus en plus nette avec le réductionnisme Hilbertien. »
(Conf. "Les fondements des mathématiques", UTLS, 2000)
Jean-Yves GIRARD (Mathématicien, Dir. Rech. CNRS. Académicien)
Insistons enfin, avec Leonid LEVIN (Pr. Math. Univ. Boston) sur le fait que l’incomplétude en question,
démontrée par Gödel, ne concerne pas les mathématiques en elles-mêmes, mais notre capacité à accéder à leur totale
vérité, et il dénonce justement, comme le rappelle un de ses commentateurs:
- «… les interprétations fausses des théorèmes d’incomplétude, par exemple celle affirmant que la vérité
mathématique est incomplète, alors que ce sont nos moyens formels d’y accéder qui sont inadaptés. »
(P.la Science, Dossier "Les grands problèmes mathématiques", p.71, janvier 2012)
Jean-Paul DELAHAYE (Pr. Math. & Informatique Fondamentale, Univ. Lille.)
Remarquons, pour terminer, – et en accord avec les dires précités de David BERLINSKI et avec ceux de
Freeman DYSON (Pr. à Princeton, ex collègue de Gödel, membre de nombreuses Académies) qui affirme également :
« En raison du théorème de Gödel, la physique est, elle aussi, inépuisable. » (NY Review of Books, 13.5.2004) – que
suivant les démonstrations de Léonid LEVIN , cette incomplétude essentielle peut être légitimement étendue des
mathématiques à la physique, et par conséquence à toutes les sciences dépendant de la physique : chimie, biologie,
etc., dont nous ne pourrions, à jamais, connaître le "dernier mot".
II – LES MATHÉMATIQUES : SIMPLE OUTIL INVENTÉ PAR L’HOMME
AU CONTACT DE LA NATURE, OU VÉRITÉ ÉTERNELLE ?
- a) Les théories à l’épreuve des faits
Certains mathématiciens profondément matérialistes pensent que les mathématiques ne sont qu’un outil, qu’un
langage symbolique inventé, à partir de la préhistoire, par l’homme dans le cadre de sa confrontation quotidienne à
un environnement dont la compréhension favorise la survie. Cette fable est du style : "j’ai tué un bison, deux bisons,
trois bisons, etc. et ainsi, petit à petit, jusqu’au calcul différentiel et à la géométrie non commutative !
Malheureusement certains catholiques – phobiques de tout ce qui pourrait évoquer les idées dites
"platoniciennes", ou séduits par la popularité des thèses naturalistes, voire inquiets de la présence d’éventuels
"signes" évoquant trop "indécemment" une Création, – en viennent à soutenir des thèses similaires.
Ainsi Dominique LAMBERT (Astrophysicien, Pr. Philo. des Sc., Univ. cathol. de Namur) en vient à écrire :
- « L’efficacité des mathématiques [...] ne paraît pas plus mystérieuse que la réussite de la perception usuelle ou
du processus d’acquisition de connaissances en général. [...] L’origine des domaines les plus significatifs, les plus
profonds, des mathématiques pourraient bien être l’extension progressive – coadaptée [processus darwinien] , de
temps à autre [par hasard] , à des domaines empiriques – de capacités cognitives élémentaires permettant à
l’humain de reconnaître et de se représenter des éléments de réalité. » (La Rech. Dossier n°37, p. 20, 11.2009)
Mais comment peut-on prétendre réduire, dans une optique naturaliste, les mathématiques à la banalité des
autres savoirs ?! De fait, ces derniers sont, par la logique s’appuyant sur la perception, empiriquement déduits du
réel, tandis que les mathématique on trop souvent l’incroyable pouvoir d’anticiper, hors de toute perception
empirique, des pans entiers du réel non encore découvert !
Pour leur part, les "Lumières", par la bouche de DIDEROT, prétendirent même faire, des mathématiques, un
jargon aristocratique élitiste : « Elles ne font qu’interposer un voile entre la Nature et le peuple ! »

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Enfin, le génie mathématique de Bertrand RUSSELL (†1970, Math. + Philo., Nobel) semble fortement biaisé par
un matérialisme radicalement réducteur, lorsqu’il écrit : « Je suis parti d'une croyance plus ou moins religieuse en
un monde éternel, platonicien, dans lequel les mathématiques brillaient d'une beauté comparable à celle des [ …
musiques les plus sublimes ] . Or, j'en suis venu à la conclusion que le monde réel est une futilité, et que les
mathématiques sont seulement l'art de dire la même chose en des mots différents. » (Autobiography, 1952)
Or, les faits démontrent – comme l’avait, le premier, pressenti Gödel – justement le contraire. Nombre de
cogitations produites "gratuitement" par un mathématicien hors de toute expérimentation, ou référence au monde
réel, se retrouvent un beau jour décrire adéquatement tel phénomène physique qui vient d’être découvert ! J.-P.
DELAHAYE le résume avec humour : « Même quand il ne le sait pas, le mathématicien ne travaille jamais
uniquement pour lui : il fait aussi avancer la physique ! » (P. la Sc. Dossier Mathématiques, 1.2112)
Ainsi, Roger PENROSE (Pr. Math + Philo. des sciences à Oxford) nous fournit un cas exemplaire. Car c’est en
"jouant au carreleur" qu’il put, par hasard, apporter une preuve de la légitimité de ses convictions platoniciennes en
ce qui concerne les mathématiques, et qu’il exprime ainsi :
- « J’imagine que chaque fois que l’esprit perçoit une idée mathématique, il prend contact avec le monde
platonicien des concepts mathématiques. J’ai peine à croire, comme certains ont cherché à le soutenir, que
ces théories SUBLIMES [telle la Relativité, ou la Mécanique quantique] pourraient être apparues du seul fait
d’une sélection naturelle des idées qui n’aurait laissé survivre que les bonnes. Les bonnes sont simplement trop
bonnes pour être les survivantes d’idées apparues au hasard. En vérité il doit y avoir une raison profonde sous-
jacente à l’harmonie qui existe entre les mathématiques et la physique .. . Le système des nombres complexe
serait un cas de ce genre, ces derniers étant les composants fondamentaux de la mécanique quantique (au sujet
des amplitudes des probabilités). » (≈ à la suite)
- « La notion de vérité mathématique excède le concept même de formalisme. Il y a quelque chose d’absolu et de
"divin" dans la vérité mathématique. » (L’esprit, l’ordinateur et les lois de la physique, 1992)
Mais étonnamment, c’est, "en jouant", et sans l’avoir en rien cherché que Penrose a prouvé ces dires.
↓ Fig. 3 : PAVAGES NON PÉRIODIQUES DE PENROSE ↓
http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/1684/Penrose.html http://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_de_Penrose
Pourquoi les mathématiciens ne peuvent-ils fantasmer et créer à loisir,
sans risquer de découvrir un jour,
que leurs rêves les plus sophistiqués sont depuis toujours incarnée dans la Nature ?
Laissons la parole à Martin GARDNER (†2010, philosophe des sciences rationaliste) son préfacier, qui note
qu’une autre remarquable découverte de Roger Penrose (à la jonction entre physique des trous noirs et relativité)
« a été éclipsée par la découverte de deux formes susceptibles de paver le plan, à la manière des pavages
[complexes] dessinés par Escher, mais de façon non périodique. [ … ] il a inventé ces pavages de façon ludique,
sans en attendre la moindre utilisation. Or il s’est avéré, à la surprise générale, que ce type de pavage pourrait
être au fondement d’un nouveau type de matière. » De fait, il s’agit des "quasi-cristaux", qui existent réellement,
qui combinent l’ordre et la non périodicité, et peuvent rendre les poêles antiadhésives !
Devant ces "coïncidences", comment ne pas prendre très au sérieux l’étonnement d’Albert EINSTEIN: