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Ch. III
GEOMETRIE DES MASSES
I.Masse
1. Définition
• strictement positive : m (S) > 0
• additive : (extensive)
• invariante : même valeur dans tous les référentiels
• conservée pour un système fermé (solide par exemple) :
dm
= 0
2. Système discret : (S)= ensemble de N points matériels de masse mi ( = , … , ) :
dt
= 3. Système continu :(S) = solide
= ()
dm :masse élémentaire d’un élément de matière de (S)
Distribution Volumique de masse volumique ρ:
ρ:
ρ = Cte :
= m=σ s
Distribution Surfacique de masse surfacique σ:
σ:
σ = Cte.
= ∭ = ∬ = Distribution Linéique de masse linéique λ :
= = II. Centre d’inertie
1. Définition
Système discret
Le centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système matériel (S), constitué d’un ensemble de N points
matériels Mi, de masse mi ( = , … , ), est le point géométrique G tel que :
i = !
Il s’agit du barycentre des points matériels Mi pondérés par leur masse mi.
Si A est un point quelconque de l’espace, alors :
Système Continu
i
" = "
Si A est un point quelconque de l’espace:
= !
()
" = "
()
2.
Méthodes de détermination du centre d’inertie
2.1 Calcul direct
) : repère orthonormé direct.
#(O; $,%,&
G : Centre d’inertie d’un système matériel (S) :
' = ( $ + * % + + &
Système discret
(S) = { N points matériels Mi (, = , … , -) }, respectivement, de masse mi.
Vecteur position, dans (#):
' = ( $ + * % + + &
Coordonnées de G:
Système continu
Coordonnées de G :
( = ( * = * + = +
M : point matériel quelconque de (S)
Vecteur position dans (#):
+ *% + +&
' = ($
( = . ( * = . * + = . + Exemple : Demi-disque homogène de rayon R
Le demi-disque est dans le plan (xOy) :
z = 0 donc zG = 0
y
Coordonnées polaires (/, 0): ( = /230* = /40
G
Surface élémentaire : = //0
r
6 5
567
= //0 =
7
! !
Masse élémentaire : = = //0
Système homogène : σ = Cte
donc = Coordonnées du centre d’inertie, G :
O
θ
dr
et
=
6 5
7
567
< 6
7
7 /
A6
5
7
* = 8 * = 8 * = 8 * = 9 7 : / 40/0 =
; = >−230@! =
7
56
56 < !
<5
6 5
! !
< B
7
7 /
F
7
>
@
( = 8 ( = 8 ( = 9 7 : / 230/0 =
;
=
C,DE
! =!
7
56
5B < !
! !
Donc le centre de masse G a pour coordonnées dans (#):
G!,
A6
<5
, !H
x
2.2 Utilisation de la symétrie
Le centre d’inertie, G d’un système (S) est un point invariant
des opérations de symétrie et par conséquent, il appartient
aux éléments de symétrie de (S).
Symétrie par rotation :
G appartient à l’axe de rotation
Symétrie plane (miroir) : G appartient au plan de symétrie.
y
Exemple : Demi-disque homogène de rayon R
Le plan (yOz) est un plan de symétrie (miroir).
Donc le centre d’inertie G appartient au plan (yOz).
Par conséquent : xG = 0
G
x
2.3 Utilisation des théorèmes de Guldin
∆
Premier théorème de Guldin
Soit une courbe plane (C ) homogène, de longueur L et de centre de masse
d
G. La rotation de cette courbe, autour d’un axe de rotation (∆),
∆), ne la
=
75
G
coupant pas, engendre une surface d’aire S. La distance de G à (∆)
∆) est :
y
C
Exemple: Quart de cerceau de rayon R
La longueur du quart de cerceau de rayon R est:
Rotation autour de l’axe (Oy) :
Cette rotation engendre une demi-sphère creuse de surface : S = 2π
πR2
G
yG
O
x
xG
= 56/7
La distance de G à l’axe (Oy) est :
7567
76
( =
=
=
75 75(56⁄7)
5
Rotation autour de l’axe (Ox) :
Cette rotation engendre une demi-sphère creuse de surface : S =2π
πR2
La distance de G à l’axe (Ox) est donc :
7567
76
* =
=
=
75 75(56⁄7)
5
Donc le centre d’inertie, G a pour coordonnées dans (#):
GG
2R
π
,
2R
π
,0HH
Second théorème de Guldin
∆
Soit une surface plane (S
S ) homogène, d’aire S, et de centre
S
de masse G. La rotation de cette surface autour d’un axe
(∆
∆), ne la coupant pas, engendre un volume V. La distance de
=
75
G à ∆ est :
Exemple : Quart de disque de rayon R
La surface du quart de disque est : S = πR
π 2/4
Rotation autour de l’axe (Oy) :
Cette rotation engendre une demi-sphère pleine de volume :
= 756< /<
La distance de G à l’axe (Oy) est donc :
756< ⁄<
A6
( =
=
=
7
75 75(56 ⁄A) <5
Rotation autour de l’axe (Ox) :
Cette rotation engendre une demi-sphère pleine de volume :
La distance de G à l’axe (Ox) est donc :
756< ⁄<
A6
* =
=
=
7
75 75(56 ⁄A) <5
Donc le centre d’inertie, G a pour coordonnées dans (#):
G
G
,
A6 A6
<5 <5
, !H
d
y
= 756< /<
G
yG
x
O
xG
XW III. Le référentiel barycentrique
Soit (S) un système matériel de centre d’inertie, G,
) .
en mouvement dans un référentiel #(O; $,%,&
(ℛ)
1. Définition
) du système
Le référentiel barycentrique, # (K;$, %, &
M
VW z
(S) est le référentiel d’origine G, en translation par
(# ⁄#) = M
!
rapport au référentiel (#) :
x
O
2. Vecteurs vitesse et accélération
Vecteur vitesse et accélération de G dans (#)
Vecteur-vitesse du centre d’inertie, G par rapport à (#) est :
(⁄6) = (⁄#)
∈()
Vecteur-accélération du centre d’inertie, G par rapport à (#) est :
(K⁄#) = (⁄#)QP
O
O
P R∈(S)
Vecteurs vitesse et accélération dans (# )
Le centre d’inertie G est fixe dans (# ) :
(⁄# ) = !T
(⁄# ) = !
(ℛ G)
y
G
(S)
YW Ou encore:
Z(⁄#K )QP = ! R∈(S)
3. Composition
(⁄#K )QP = !
T
R∈(S)
des mouvements
Composition des vecteurs rotation instantané
(⁄#) = M
(⁄# ) + M
(# ⁄#)
M
(# ⁄#) = ! car (# ) est en translation par rapport à (#)
M
(⁄#) = M
(⁄# )
M
Composition des vecteurs vitesse et accélération
(# )
: référentiel relatif par rapport à (#).
M ∊ (S):
(⁄#) = (⁄# ) + (⁄#)
(⁄#) = T
(⁄# ) + T
(⁄#)
T
Rotation de (S)/(# )
+
Translation (S)/(#)
IV. Moments d’inertie, opérateur d’inertie et matrice d’inertie d’un solide
1. Moment d’inertie par rapport à un axe
Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un
axe (∆
∆) est le scalaire positif défini par:
H
\] (S) = ^ QP
_∈(S)
7
(S)
r
∆
P
/ = `a = (`, ∆) est la distance du point P du
dm
solide (S) à l’axe (∆
∆).
H étant la projection orthogonale du point P sur
l’axe (∆
∆).
2. Opérateur d’inertie
(AHP) : triangle rectangle en H,
) :
r : distance du point P du solide (S) à l’axe ∆(Α,
∆(Α,c
Donc :
gd = dc
, f_
∧ / = "`d4ec
f_d
∧ ei
∧ ∧ . k"`
∧ /7 = ei
"`g. ei
"`g = i
"`gl
Par conséquent :
∆
H
A
u
r
P
.
/7 = i
no () = `∈()
∧ ei
∧ . )
k"`
"`gl = i
q" ( , i
`p()
qui fait apparaitre un opérateur linéaire qu’on appelle opérateur d’inertie du solide (S) au point A :
)=
q" ( , i
7 g i
. i
∧ − e"`
g "` ∧ ei
"`g = e"`
"`
`p()
Alors :
∧ e i
∧ k"`
"` g l 7 s − . i
)=i
r`p() "`
q" ( , i
e"`
g
"` `p()
• L’opérateur d’inertie tf est symétrique et linéaire.
Donc on peut lui associer une matrice symétrique
d’inertie du solide (S) au point A.
3. Matrice d’inertie
IIA(S), appelée matrice d’inertie ou tenseur
) = nn" (). i
q" ( , i
• Le moment d’inertie par rapport à un axe ∆ ( Α, c) est donc :
u
. )=
no () = i
q" ( , i
est le transposé du vecteur unitaire c
.
c
. nn" (). i
i
Eléments de la matrice d’inertie \\v (S)
) orthonormé direct. La matrice d’inertie
Soit (S) un solide en mouvement dans un référentiel # (O; $,%,&
) peut s’écrire comme:
de (S) au point O dans la base ($,%,&
n((
nn' () = wn(*
n(+
\yy , \zz {u \||
Les éléments diagonaux :
\yz , \y| {u \z|
Les éléments non-diagonaux :
n(( = $ . nn' (). $,
$ . nn' (). %
n** = % . nn' (). %,
Etc…
Moments d’inertie : \yy , \zz , \||
Ixx =
t
i . IIO(S) . i = i . JO e S, ig
Ixx
JOe S, ig = i Pϵ(S)
OP = xi ) y j ) z k
Pϵ(S)
OP
n(+
n*+ x
n++
)
($,%,&
s’appellent les moments d’inertie
s’appellent les produits d’inertie
n(* =
(S)
z
OP2 dm - = i . JOe S, ig = n(*
n**
n*+
2
Pϵ(S)
eOP
OP. ig OP dm
dm - Pϵ(S)
eOP
OP. ig dm
2
P
x
O
y
Ixx = Pϵ(S)
exx 2 )y 2 )z 2 g dm - Pϵ(S)
x 2 dm
n(( = `p()
(*7 ) +7 ) (*7 ) +7 ) est le carré de la distance du point P à l’axe (Ox)
Produits d’inertie : \yz , \y| , \z|
Ixy = ti . IIO(S) . j = i . JO e S, jg
n(* = $. q' ( , %) = − `p()
comme
. $g e'`
. %g e'`
=j Pϵ(S) OP2 dm - Pϵ(S) eOP
OP.jg OP dm
JO e S, jg=
En résumé :
• Moment d’inertie par rapport à l’axe (Ox) :
• Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oy) :
• Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oz) :
• Produit d’inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oy) :
• Produit d’inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oz) :
• Produit d’inertie par rapport aux axes (Oy) et (Oz) :
n(* = − ( * `p()
" = n(( = ()(*7 ) +7 )
Ž = n** = ()((7 ) +7 )
= n++ = ()((7 ) *7 )
 = −n(* = () ( *  = −n(+ = () ( + ‘ = −n*+ = () * + La matrice d’inertie du solide (S) au point O, relativement à la base (’,“,”), s’écrit :
"
nn' () = •−
−
−
Ž
−‘
Moment d’inertie par rapport à un point A
n" () = −
−‘–
($,%,&)
/7 `∈()
où /(`) = "` = (`, " ) est la distance du point P du solide (S) au point A.
Moment d’inertie du solide (S) par rapport au point O origine du référentiel (#) :
n' = ((7 ) *7 ) +7 )
()
^ 7 = y 7 ) z 7 ) | 7 est le carré de la distance du point P au point O.
Relations entre les moments d’inertie
n' = (" ) Ž ) )
7
" ) Ž = ) 7 +7 ()
Exemple : Quart de cerceau homogène de rayon R
y
dL
Solide bidimensionnel dans le plan (xOy) : z = 0
θ
f = \yy
n(*
( = 623 0
et * = 64 0
= = 60
Donc, les intégrales impliquant z sont nulles
dθ
θ
R
Coordonnées polaires :
Cerceau homogène : = .
x
F⁄7
Donc : = 56
7
7PB E C,D7E
7
7
7
<
7
= (z ) | )QP = z QP = 6 4 0 QE =
— −
˜
7
A !
5
(S)
(S)
5⁄7
!
7
5⁄7
7
7
76
2370
6
= − (* = − 6< 4 023 0 0 = −
—−
˜
=−
5
A !
5
()
!
™ = \zz = (S)(y 7 ) | 7 )QP = (S) y 7 QP =
F⁄7
PB7
=
7
PB7
7
š = \|| = (S)(y 7 ) z 7 )QP = f ) ™ = 67
nn' () =
67
7
›− 7
5
!
−
7
5
!
!
œ
!
7
)
($,%,&
V. Matrice d’inertie en cas de Symétrie
Si le système (S) possède des éléments de symétrie matérielle (axe de rotation, plan de symétrie,
inversion), certains éléments de la matrice d’inertie s’annulent.
Exemple 1: (Oz) est un axe de symétrie matérielle
L’image d’un point P (x, y, z) du solide par l’axe de symétrie (Oz) est un
point P’(−(, −*, +) du solide :
((, *, +)
→
(− (, − *, +)
P’
Alors :
y
 = (+ = ()
P
z
(Ÿ!
(+ ) (+ = !
car : yŸ! y|QP = − yž!
O
(ž!
x
y|QP
De même : ‘ = (S) z|QP = ! .
Si (Oz) est un axe de symétrie matérielle alors  = ‘ = !
La matrice d’inertie au point O :
"
nn' () = •−
!
−
Ž
!
!
!–
($,%,&)
Exemple 2 : (xOy) est un plan de symétrie matérielle
z
L’image d’un point P (x, y, z) du solide par le plan de symétrie (xOy)
est un point P’((, *, −+) du solide.
((, *, +) → ((, *, −+)
P
O
Alors :
= y|QP = (S)
car :|Ÿ! y|QP = − |ž!
|Ÿ!
y|QP
x
y|QP + y|QP = !
|ž!
P’
De manière similaire, on peut montrer que : D = 0.
Par conséquent : Si (xOy) est un plan de symétrie matérielle
alors  = ‘ = !
" −
nn' () = •− Ž
!
!
!
!–
($,%,&)
La matrice d’inertie au point O, relativement à la base (’,“,”), s’écrit :
y
Exemple 3 : (Oz) est axe de symétrie de révolution matérielle
Tout plan contenant l’axe (Oz) est un plan de symétrie matérielle.
Donc, d’après l’exemple 2 :
• (xOz) est un plan de symétrie matérielle alors :
• (yOz) est un plan de symétrie matérielle alors :
‘ =  = !
 =  = !
De plus : par une rotation d’angle π/2 autour de l’axe (Oz) :
((, *, +) → (*, −(, +)
implique que
A = B
La matrice d’inertie au point O, relativement à la base (’,“,”), s’écrit :
"
nn' (⁄6) = • !
!
! !
" !–
! ∀¢£¤£(¥,¥,&)
) signifie que la matrice d’inertie est de cette
La notation (−, −,&
forme dans toute base orthonormée ayant ” comme troisième vecteur.
VI. Matrice principale d’inertie
1.
Définitions
La matrice d’inertie est symétrique, donc elle est diagonalisable et ses
z
valeurs propres sont réelles.
y
Elle possède un système de 3 vecteurs propres deux à deux orthogonaux
x
qui forment une base principale d’inertie.
Les repères, e#¦ g, associés aux bases principales s’appellent les repères
principaux d’inertie dont les axes s’appellent les axes principaux d’inertie.
Dans un repère principal d’inertie e#¦ g , d’origine O la matrice d’inertie
est diagonale:
" !
nn' () = • ! Ž
! !
!
!–
(¤£¦/42¦£¢)
Z1
Repère principal
O
Y1
X1
Les valeurs propres A, B et C de la matrice d’inertie s’appellent les moments principaux d’inertie du
solide (S) au point O.
2. Propriétés des repères principaux
a.  =  = !
=‘=!
=‘=!
si et seulement si
(Ox) est un axe principal d’inertie
si et seulement si
(Oy) est un axe principal d’inertie
si et seulement si
(Oz) est un axe principal d’inertie
b. Tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie
c.
Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie
d. Tout repère qui possède pour (S) deux plans de symétrie matérielle est un repère principal d’inertie
e. Tout repère qui possède pour (S) deux axes de symétrie matérielle est un repère principal d’inertie.
Remarques:
z
1. Si les 3 moments principaux d’inertie sont tous distincts les uns des
autres ( " ≠ Ž ≠ ), il existe un seul repère principal d’inertie (Toupie
c
y
G
asymétrique)
x
b
a
2. Symétrie de révolution matérielle ou cylindrique : (Toupie symétrique)
z
Si le système possède la symétrie cylindrique, alors :
•
il existe une infinité de repères principaux d’inertie ayant en commun
l’axe de symétrie de révolution (par exemple Oz)
•
uniquement deux des moments principaux d’inertie sont identiques
G
y
(par
exemple A = B ≠ C si Oz est l’axe de symétrie de révolution matérielle)
x
∆
3. Symétrie sphérique: (Toupie sphérique)
Si le système possède la symétrie sphérique, alors :
z
• tout axe issu du centre de masse est un axe de symétrie et donc un
axe principal d’inertie
G
• tout repère ayant le centre de masse comme origine est un repère
principal d’inertie
• les trois moments principaux d’inertie sont identiques (" = Ž = )
y
∆
x
Exemple 1 : Tige pleine de longueur L
L’axe (Oz) est un axe de symétrie de révolution,
donc le repère #¦ (Oxyz) muni de la base
( ’ , “ , ” ) est un repère principal
z
d’inertie.
(Oz) axe de symétrie de révolution:
Tige linéique disposée suivant Oz :
" = Ž
x = y = 0
= = +
donc = !
Tige homogène : = . Donc : = ¨/7
<
7
=
f = ™ = | 7 QP = | 7 Q| = 7
7
(S)
¥¨/7
La matrice d’inertie au centre d’inertie O :
!
nn' () =
•! 7
! !
7
!
!–
! ∀¢£¤£(¥,¥,&)
O
x
y
Exemple 2 : Disque de rayon R
L’axe (Oz) est un axe de symétrie de révolution, donc le repère #¦ (Oxyz)
y
muni de la base (’,“,”) est un repère principal d’inertie.
Symétrie cylindrique : " = Ž
O
Le disque appartient au plan (xOy) : + = !.
( = /230
= = //0
* = /40
Disque homogène : = . Donc = 567
75 6
7
6
" = *7 = /< 47 0 0/ =
A
()
!
!
67
= " + Ž = 7" =
7
La matrice d’inertie au centre d’inertie O:
67 nn' () =
•!
A
!
! !
!–
! 7 ∀¢£¤£(¥,¥,&)
x
Exemple 5 : Sphère homogène pleine de rayon R
#¦ (Oxyz) muni de la base (’,“,”) est un repère principal d’inertie.
Symétrie sphérique : " = Ž = = = /7 40/0©
Sphère homogène : = .
<
\ v = ( f + ™ + š) = f
7
7
z
Donc = 56< A
<
O
6 75 5
<
7
7
7
A
n' = (( + * + + ) = / 40/0© = 67
ª
()
! !
!
x
7
f = ™ = š = PB7
ª
La matrice d’inertie de la sphère pleine au centre de masse O :
7
nn' () = 67 •!
ª
!
! !
!–
! ∀¢£¤£(¥,¥,¥)
y
VII. Théorèmes de Huygens (ou théorèmes des axes parallèles)
Hypothèses :
• L’axe (∆
∆G) : axe passant par le centre de masse G de (S)
Le moment d’inertie \] par rapport à un axe (∆
∆), d’un solide (S) de masse
par rapport à l’axe (∆
∆G),
augmenté du produit de la masse, m, de (S) par le carré de la distance,
d, des deux axes :
∆G
d
• L’axe (∆
∆) est parallèle à l’axe (∆
∆ G)
m, est égal à son moment d’inertie \]K
∆
no = no + 7 Où : = (, ]) ≡ (]K , ]) est la distance entre le point G et l’axe (∆
∆)
G
Exemple 1 :Tige pleine de longueur L
z
Tige de longueur L disposée suivant l’axe (Oy)
(Gy) : axe de symétrie de révolution : A = C
∆(Ο, & ): axe perpendiculaire à la tige, passant par O et de
vecteur directeur & = (!, !, )
∆G(G,, &) axe passant par G et parallèle à l’axe (∆
∆) :
!
\\K (S) = •! !
7
! !
7
∆
∆G
O
G
x
!
!–
∀¬­®­C{(¥,“,¥)
Le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe ∆G:
7
7
! !
!
. \\K (S).”
= \]K = u”
>! ! @ .•! ! !–.•!– = 7
7
! ! La distance entre les deux axes est :
(, ∆) = /7
Le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe ∆ est::
\] =
7
7
7
+ G H =
7
7
<
y
XW VIII.Théorème de Huygens-Steiner
(ou de Huygens généralisé)
z
nn' () = nn () + nn' (, )
VW (ℛ)
x
P
(ℛ G)
G
(S)
y
O
7
7
*
+
+
−( * −( +
− −
Ž −‘ – + w −( * (7 + +7 −* + x
−‘ −( + −* + (7 + *7
Les matrices d’inertie doivent être exprimées dans une même base orthonormée directe
De façon explicite:
"
" − −
•− Ž −‘– = •−
−
− −‘ Eléments des matrices d’inertie nn () et nn' (, )
) : repère orthonormé direct. # (G; $,%,&
) : référentiel barycentrique.
# (O; $,%,&
+ |”
vK = yK ’ + zK “ + |K ”
K_ = y ’ + z “ + | ”
v_ = y’ + z“
v_ = vK + K_
y = yK + y
Relation de Chasles :
Ou encore que :
Montrons que :
" = " + ezK7 + |K7 g
z = zK + z
| = |K + |
f = (z 7 + | 7 )QP = (z 7 + | 7 )QP + (zK 7 + |K 7 ) QP + 7zK z QP + 7|K | QP
(S)
(S)
Comme G est le centre d’inertie de (S) alors :
(S)
(S)
(S)
⇒ y QP = !, z QP = ! | QP = !
GP dm =0
P ∈(S)
(S)
(S)
(S)
YW Donc, on obtient que :
" = " + ezK7 + |K7 g
• fK = (S)(z 7 + | 7 )QP est le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (Ky ).
• La quantité *7 + +7 est le carré de la distance entre les axes (Ox) et (Gx)
On peut montrer de façon similaire que :
Ž = Ž +
7
ey K
+
7
|K g
• ™K = (S)(y 7 + | 7 )QP est le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (Kz ).
• La quantité (7 + +7 est le carré de la distance entre les axes (Oy) et (Gy)
= + ey K7 + zK7 g
• šK = (S)ey 7 +z 7 gQP est le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (K| ).
• La quantité (7 + *7 est le carré de la distance entre les axes (Oz) et (Gz)
Montrons que :  =  + ( *
° = z|QP = (zK + z )(yK + y )QP = z y QP + zK yK QP + zK y QP + yK z QP
(S)
(S)
Donc, on obtient que :  =  + ( *
(S)
(S)
(S)
(S)
 = (S) z y QP : est le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes {(Gy ) et (Gz )}
On peut montrer de façon similaire que :
‘ = ‘ + * +
 =  + ( +
‘ = (S) z | QP : est le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes {(Gz ) et (G| )}
 = (S) y | QP : est le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes {(Gy ) et (G| )}
Exemple : Sphère pleine de rayon R
Coordonnées du centre de masse G dans (#) : ( = !, * = 6,+ = !
z
!
7
7
(
)
nn = 6 •! ª
! !
!
!–
∀¢£¤£(¥,¥,¥)
La matrice d’inertie du système (S) au point G s’écrit:
O
G
y
Matrice d’inertie en O :
x
*7 + +7
nn' (, ) = w −( *
−( +
−( *
(7 + +7
−* +
−( +
*7
−* + x = w !
!
(7 + *7
!
!
!
\\v (S) = \\K (S) + \\v (K, P)
!
= 67 •!
!x
!
*7 ($,%,&)
±/7
!
7
7
(
)
nn' = 6 • !
ª
!
!
La matrice d’inertie du système (S) au point O :
!
!
!
!
! –
±/7 ($,%,&)
!
!–
($,%,&)