chapitre 1 : puissances, calcul litteral

14. PROBLEMES : FONCTIONS
Problème 1 : CONCOURS :VRAI OU FAUX ? Justifier.
On considère une carafe sphérique. On s’intéresse au volume de liquide v contenu dans la carafe pour
une hauteur h de remplissage.
v
Le graphique ci-contre représente v en fonction de h.
h
Problème 2 :
Le directeur d’une salle de théâtre a remarqué qu’à 12 € la place, il accueillera 300 spectateurs. Il
attend 30 spectateurs supplémentaires pour chaque baisse de 0,2 €. C'est-à-dire que pour un prix de
11,4 € la place, il aura 90 spectateurs supplémentaires.
Quel est le tarif qui lui garantira la recette maximale ?
Problème 3 :
La distance parcourue en un temps donné par un corps en chute libre est donnée par la formule :
9,81  t ²
avec d la distance en mètres et t le temps en secondes.
d (t ) 
2
1a/ Calculer la distance parcourue par un corps en chute libre en une seconde ; deus secondes ; 5
secondes ; dix secondes.
1b/ La distance est-elle proportionnelle au temps ? Justifier la réponse.
2/ Trouver au dixième de seconde près le temps mis par une bille pour tomber du sommet de la tour
Eiffel (320 m ).
Problème 4 :
Une cuve est formée de deux cubes superposés qui communiquent entre eux. L’arête du cube supérieur
(le grand cube) mesure 90 cm. L’arête du cube inférieur (le plus petit cube) mesure 50 cm.
Cette cuve contient du liquide. On note x la hauteur de liquide dans la cuve. On note V(x) le volume en
litres du liquide dans la cuve lorsque la hauteur est x (x étant exprimée en cm).
1/ Exprimer V(x) en fonction de x.
2/ Construire une représentation graphique de la fonction qui à x associe V(x).
90 cm
x
50 cm
Master 1, UE 4, EC9A : Eléments de mathématiques chapitre 14 fonctions
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Problème 5 :
Une enseignante achète 15 albums de littérature de jeunesse pour sa classe. Elle choisit des albums à 8
€ et d’autres à 13 € pour une dépense totale de 150 €. Combien a-t-elle acheté d’albums de chaque
type ?
Le tableau ci-dessous correspond à une feuille de tableur donnant la somme payée selon le nombre
d’albums à 8 € et le nombre d’albums à 13 € achetés.
1/
Proposer une formule entrée dans le tableur pour calculer le nombre de la case de la ligne 4, colonne M.
2/ Pourquoi n’est-il pas utile d’aller au-delà de la colonne V ou de la ligne 14 ?
3/ Utiliser cette feuille de calcul pour résoudre le problème.
4/ Utiliser une méthode algébrique pour résoudre le problème.
A
1
Nombre de
CD à 13 €
2
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
Nombre de
CD à 8 €
Somme
payée en €
C
D
E
F
G
H
K
L
M N
S
T
0
1
2
3
4
5
6
I
7
J
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
120
128
136
144
152
13
21
29
37
45
53
61
69
77
85
93
101
109
117
125
133
141
149
157
165
26
34
42
50
58
66
74
82
90
98
106
114
122
130
138
146
154
162
170
178
111
119
39
47
55
63
71
79
87
95
103
52
60
68
76
84
92
100
108
116
124
132
113
121
129
137
145
65
73
81
89
97
105
78
86
94
102
110
118
126
134
142
150
158
91
99
107
115
123
121
139
147
155
163
171
104
112
120
128
136
134
152
160
168
176
184
117
125
133
141
149
147
165
173
181
189
197
130
138
146
154
162
160
178
186
194
202
210
143
151
159
167
175
173
191
199
207
215
223
156
164
172
180
188
186
204
212
220
228
236
O
P
Q
R
U
V
308
Problème 6 CONCOURS :
On considère la famille R de tous les rectangles dont le périmètre est égal à 40 cm.
1/ Si x est la mesure en cm d’un côté d’un rectangle de la famille R, donner l’intervalle dans lequel x
prend ses valeurs.
2/ Soit y l’autre dimension du rectangle, exprimer y en fonction de x. Soit f cette fonction.
3/ Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle déterminé dans la question 1, dans un repère
orthonormé d’unité graphique 0,5 cm.
4/ Exprimer en fonction de x l’aire d’un rectangle de la famille R. Soit g cette fonction.
5/ Montrer que g ( x ) = - ( x – 10 ) ² + 100.
6/ Montrer par un raisonnement de type arithmétique que la fonction g présente un maximum. Quelle
est alors la particularité du rectangle ? Quelles sont ses dimensions ?
7/ Pour construire point par point la courbe représentative de la fonction g, on utilise un tableur.
Après avoir entré la valeur 1 dans la cellule A1, quelles formules ont été entrées dans les cellules A2
puis C1 pour obtenir le tableau ci-dessous ?
Master 1, UE 4, EC9A : Eléments de mathématiques chapitre 14 fonctions
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A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
C
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
19
36
51
64
75
84
91
96
99
100
99
96
91
84
75
64
51
36
19
8/ En utilisant le tableau précédent, construire la représentation graphique de la fonction g dans un
repère orthogonal d’unités graphiques 0,5 cm, sur l’axe des abscisses et 0,2 cm sur l’axe des
ordonnées, pour x strictement compris entre 0 et 20.
9a/ Par lecture graphique, donner les dimensions rectangle dont l’aire mesure 94 cm². Laisser
apparents sur le graphique les traits de construction nécessaires pour répondre à la question.
9b/ Résoudre le système de deux équations à deux inconnues :
 x  y  20
. Donner une interprétation géométrique de ce résultat.

 xy  94
Problème 7 CONCOURS :
On étudie la fonction f qui, à la vitesse v d’un véhicule (exprimée en mètre par seconde) associe la
distance de freinage (exprimée en mètre).
Cette fonction est définie par f : v
k  v² , où k est un coefficient qui dépend notamment de l’état
de la route.
PARTIE A :
Dans des conditions « normales », lorsque la route est sèche, le coefficient k est égal à 0,08.
1/ On utilise un tableur pour créer le tableau de valeurs ci-après :
1
2
3
4
A
Vitesse en m/s
Distance de freinage
Coefficient k
B
0
0
0,08
C
D
5
E
10
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F
15
G
20
H
26
30
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a/ Donner une formule, qui entrée dans la cellule B2 (puis recopiée vers la droite), permet de
compléter la ligne 2.
b/ On veut qu’en modifiant la valeur de k en D3, les distances soient recalculées automatiquement. La
formule proposée au a/ satisfait-elle cette nouvelle contrainte ? Si oui, pourquoi ? Si non, en proposer
une autre qui convient.
2a/ Calculer la distance de freinage sur route sèche pour une vitesse de 72 km/h.
2b/ A partir de quelle vitesse (arrondie à l’unité, en km/h), la distance de freinage sur route sèche estelle supérieure à 45 mètres ?
PARTIE B :
Sur route mouillée, le coefficient k est différent de 0,08.
Après avoir modifié la valeur de k dans la feuille de calcul précédente, on a construit la représentation
graphique qui donne la distance de freinage sur route mouillée en fonction de la vitesse.
1/ En utilisant cette représentation graphique, estimer la valeur du coefficient k sur route mouillée.
2/ Où se situerait la représentation graphique donnant la distance de freinage sur route sèche en
fonction de la vitesse, par rapport à la représentation graphique tracée ?
Justifier la réponse par le calcul.
distance
(en m)
Vitesse en m/s
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