DM N°2 Nombre dérivé et tangente Première STI2D Nom : A rendre
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DM N°2 Nombre dérivé et tangente Nom : A rendre pour le mercredi 9 Décembre Première STI2D Travail individuel Exercice 1 : Du sommet d'une tour haute de 14 mètres, on laisse tomber une balle à l'instant t=0. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : La hauteur du centre de la balle en mètres est donnée en fonction du temps écoulé (en secondes) par la formule : f(t)=-2,9t²+14. 1)Quelle est la hauteur de la balle après 1 seconde ? 2)A quel instant la balle touche t-elle le sol ? On arrondira le résultat au dixième de seconde. 3)La vitesse instantanée de la balle v(t) est donnée par la dérivée de 14-f(t). a)Déterminer la vitesse de la balle après 0,5 seconde. b)Déterminer la vitesse de la balle au moment de l'impact avec le sol. Partie B : Une fois que la balle touche le sol, elle rebondit. A chaque rebond, la hauteur maximale de la balle est multipliée par 0,85. 1)Quelle est la hauteur maximale de la balle après 1 rebond ? Après 3 rebonds ? 2)On souhaite déterminer la quantité de rebonds nécessaires pour que la hauteur maximale de la balle soit strictement inférieure à 1 m. On a écrit un algorithme pour cela : Variables C entier naturel H nombre réel Initialisation Affecter à C la valeur 0 Affecter à H la valeur 14 Traitement Tant que H<1 Affecter à C la valeur C+1 Affecter à H la valeur 0,85*H FinTantQue Sortie Afficher H a)Cet algorithme comporte deux erreurs. Les repérer et les corriger b)Entrer l'algorithme correct dans la calculatrice et répondre au problème posé. Exercice 2 : Le contour d'une colline est modélisé par la formule f(x)= -0,003x²+0,6x, x distance en mètres et f(x) hauteur en mètres. 1)Vérifier que le sommet de la colline a pour coordonnées (100 ; 30). Une personne s'approche du pied d'une colline. Son regard est modélisé par la droite (T) tangente à la courbe Cf représentative de » f au point A d'abscisse 150. 2)Déterminer une équation de (T). 3)Au sommet de la colline on a érigé un monument haut de 3 mètre. La personne peut-elle voir ce monument de sa position ? Justifier. Exercice 3 : Plusieurs méthodes sont possibles pour résoudre le problème ouvert ci-dessous. Toute trace de recherche pertinente même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. On augmente la longueur et la largeur d'une feuille A4 d'un même nombre réel x. Pour quelle valeur de x, la feuille obtenue à une aire double de la feuille originale ? Corrigé du DM N°2 Exercice 1 : Partie A : La hauteur du centre de la balle en mètres est donnée en fonction du temps écoulé (en secondes) par la formule : f(t)=-2,9t²+14. 1)La hauteur de la balle après 1 seconde est f(1)=-2,9+14=11,1 m. 2)La balle touche le sol lorsque f(t)=0 (on suppose le rayon de la balle négligeable). f(t)=0 ssi -2,9t²+14=0. D=162,4, t1≈2,2 et t2≈-2,2<0. La balle touche le sol au bout de 2,2 secondes environ. 3)v(t)=(14-f)'=-f'(t)=-(-5,8t)=5,8t. a)La vitesse de la balle après 0,5 seconde est v(0,5)=2,6 m/s. b)La vitesse de la balle au moment de l'impact avec le sol est v(2,2)=12,76 m/s. Partie B : 1)La hauteur maximale de la balle après 1 rebond est 14x0,85=11,9 m et après trois rebonds: 11,9x0,85x0,85≈8,6 m. 2) Variables C entier naturel H nombre réel Initialisation Affecter à C la valeur 0 Affecter à H la valeur 14 Traitement Tant que H≥1 Affecter à C la valeur C+1 Affecter à H la valeur 0,85*H FinTantQue Sortie Afficher C b)Au bout de 17 rebonds, la hauteur de la balle est inférieure à 1 m: 16ème rebond: 1,04 17ème rebond: 0,88. Exercice 2 : 1)Le sommet a pour abscisse -b/(2a)=-0,6/(2x(-(0,003))=100 et son ordonnée est f(100)=30. Le sommet a pour coordonnées (100 ; 30). Une personne s'approche du pied d'une colline. Son regard est modélisé par la droite (T) tangente à la courbe Cf représentative de » f au point A d'abscisse 150. 2)Une équation de (T) est y= f '(150)(x-150)+f(150). f(150)=22,5. Pour tout réel x, f '(x)=-0,006x+0,6 donc f '(150)=-0,3. D'où, une équation de (T) est y=-0,3(x-150)+22,5=-0,3x+45+22,5=-0,3x+67,5. 3)le point de (T) d'abscisse 100 a pour ordonnée y=-0,3x100+67,5=37,5. Le haut du monument est à une hauteur de 30+3=33 m (la colline est haute de 30 m) donc la personne ne voit pas le monument. Exercice 3 : Une feuille A4 a pour aire: 21x29,7=623,7 cm². La feuille agrandie a pour dimensions 21+x et 29,7+x. On résout donc (21+x)(29,7+x)=2x623,7. (21+x)(29,7+x)=2x623,7 ssi 623,7+50,7x+x²=1247,4 ssi x²+50,7x-623,7=0. D=5062,29, x1≈10,235 et x2≈-60,935. Il faut augmenter la largeur et la longueur de la feuille de 10,2 cm environ. Remarque: Pour doubler la surface d'une feuille A4, on peut multiplier sa longueur et sa largeur par √2; On obtient une feuille de dimensions 29,7 et 42 cm environ, c'est le format A3 (2 feuilles A4 accolées, principe des agrandissements des photocopieuses)
