Exercices d`entraînement – Mouvement dans un champs uniforme et

Exercices d’entraînement – Mouvement dans un champs uniforme
Exercice 1 : trajectoire d’une balle de golf
a) La balle est étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d’un repère d’espace d’axe ( et
( orthonormés. Dans ce système d’axes, les coordonnées du vecteur vitesse initiale sont :
b) La balle ne subit que son poids  . La masse  étant constante, la deuxième loi de Newton donne :
c)
Sachant que 
 et que 
.
La deuxième loi de Newton conduit à :
 .
Par intégration, on en déduit : 
où  et sont deux constantes.
Or, 
Donc : 
d) Par intégration de , on a 
 et  des constantes.
Or, 
. Donc, 
e) On déduit de la composante en  que  
, donc,  
.
f) , si il y a remords, on peut toujours retenter… .
Exercice 2 : canon à électrons
a) La valeur du champ électrostatique régnant entre la cathode et l’anode est 
L’électron subit la force électrostatique  donc sa valeur est 
Donc, 
b) On étudie un électron dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il ne subit que la force électrique  (car
son poids  est négligeable devant la force électrique). En appliquant la deuxième loi de Newton, on a :
L’accélération s’écrit alors : 
, de norme 
L’accélération est constante suivant  et vaut : 
 Donc, 
Or , d’où 
 et comme , il vient  et finalement  
Or, , ce qui donne  
Le mouvement de l’électron est rectiligne uniformément accéléré.

c) A l’arrivée de l’électron au niveau de l’anode , d’abscisse , la date est 
La valeur de la date de passage au travers de l’anode est 
.
La valeur de la date de passage au travers de l’anode est :
Au niveau de l’anode, la vitesse est 
.
La vitesse acquise par l’électron au niveau de la cathode ne dépend donc pas de , mais de la tension
accélératice.
d)
e) La valeur de la date de passage au travers de l’anode est 
, soit :
Entre la cathode et l’anode, le mouvement de l’électron dure 

La masse de l’électron
1) La tension  est positive, donc le champ électrique  est dirigé de  vers . Un électron étant chargé
négativement, la force qu’il subit  est orientée de  vers  : le point  est donc plus proche de l’électrode
 que de l’électrode .
2) La deuxième loi de Newton appliquée dans le référentiel terrestre à l’électron ne subissant que la force électrique
s’écrit  , ce qui donne   Comme 
, et compte tenu de l’orientation de 
, il vient
 .
3) Par intégration et en tenant compte des conditions initiales  et , les coordonnées du vecteur
vitesse sont : 
  .
Les équations horaires de la position s’obtiennent par une seconde intégration, la position initiale de l’électron
vérifiant  et . Elles s’écrivent 
4) D’après l’expression de , l’électron arrive en  à la date 
 A cette date, son ordonnée est
5) On a: 
 et l’A.N. entraîne :   donc 
Le trébuchet
Je me permets de sauter cette correction, nous l’avons traité pendant le stage en prenant le temps nécessaire.
Toutefois, si des questions persistent, n’hésitez pas, POSEZ-LES !

Exercices d’entraînement – Mécanique céleste et mouvement de satellites
Exercice 1 : les cinq satellites
1) La Terre est à répartition sphérique de masse, donc la force qui s’exerce sur le satellite est la force d’attraction
gravitationnelle :
.
Elle est dirigée du satellite vers le centre de la Terre.
2) La deuxième loi de Newton s’écrit : ,  étant l’accélération du satellite.
Dans le repère de Frenet, l’expression de l’accélération est : 
.
Et celle de la force est : 
Sur le vecteur 
, la deuxième loi de Newton donne 
, donc,  est une constante
et le mouvement est uniforme.
Sur le vecteur 
, on a : 
 soit  . Le satellite étant à 
d’altitude, sa distance au centre de la Terre est :   
Sa vitesse est donc :
3) La vitesse du satellite étant constante, elle est égales à sa vitesse moyenne sur une période : 
.
La période de révolution vérifie ainsi 
, ce qui donne :
  soit .
4) Un satellite peut faire plus de quatorze fois le tour de la Terre en une journée. Le plan de la trajectoire n’étant pas
dans le plan équatorial, un satellite voit défiler une surface importante de la Terre en un jour. Un petit nombre de
satellite suffisent alors pour observer n’importe quel point de la Terre en une journée.

Le cercle des planètes disparues
I – Orbite d’Eris
1) Selon la troisième loi de Kepler, le rapport du carré de la période de révolution  et du cube du demi-grand
axe  de l’orbite elliptique est constant : 
2) Si  est supérieure à  comme l’indiquent les valeurs numériques, le fait que, d’après la troisième loi de
Kepler, les rapports 
 et   soient égaux implique que soit supérieure à  :
l’orbite d’Eris est plus éloignée du Soleil que celle de Pluton.
II – Découverte de Dysnomia
1) Mouvement de Dysnomia
1.1) Le référentiel permettant d’étudier le mouvement de Dysnomia autour d’Eris est le référentiel
« eriscentique », de centre confondu avec celui d’Eris et d’axes fixes par rapport aux étoiles lointaines.
1.2) La deuxième loi de Newton appliquée à Dysnomia dans le référentiel ériscentrique s’écrit :
1.3) La direction du vecteur accélération est parallèle à la droite passant par les centres de Dysnomia et Eris.
Il est orienté de Dysnomia vers Eris.
1.4) La distance parcourue par Dysnomia pendant une période de révolution  est égale au périmètre de son
orbite circulaire Le mouvement de Dysnomia étaant supposé uniforme, sa vitesse est constante et
égale à sa vitesse moyenne : 
.
Or, les deux expressions de l’accélération conduisent à : 
 ce qui donne : 
La période de révolution de Dysnomia est donc :
Donc, on obtient 
 qui correspond à la troisième loi de Kepler.
2) Masse d’Eris
2.1) D’après la troisième loi de Kepler, 
 soit :
2.2) On a 
et la masse de Pluton étant voisine de celle d’Eris qui n’est pas une planète, pareil pour
Pluton.