La moyenne arithmético-géométrique : applications et

La moyenne arithmético-géométrique : applications et
généralisations.
John Boxall
[email protected]
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, UFR Sciences,
Université de Caen Basse-Normandie, France.
le 2 avril 2008
John Boxall (LMNO) L’AGM : applications et généralisations. le 2 avril 2008 1 / 320

Résumé.
Résumé.
Cette version est la dernière qui sera affichée avant l’examen. Je ferai
quelques autres modifications et corrections après l’examen avant que le
texte devient complètement définitif.
Voir aussi à http ://math.unicaen.fr/master/Prog0708.html
Rappel : Examen le mercredi 9 avril de 14h à 17h en salle S3 122.
Oraux le jeudi 10 avril à partir de 10h30.
John Boxall (LMNO) L’AGM : applications et généralisations. le 2 avril 2008 2 / 320

La moyenne arithmético-géométrique réelle.
La moyenne arithmético-géométrique réelle.
On note a,bdeux réels strictement positifs.
Leur moyenne arithmético-géométrique (abrégée AGM pour arithmetic-
geometric mean en anglais), notée M(a,b)est, par définition, la limite
commune des deux suites (an)et (bn)définies par
an+1=an+bn
2,bn+1=panbn,
avec les valeurs initiales a0=a,b0=b.
John Boxall (LMNO) L’AGM : applications et généralisations. le 2 avril 2008 3 / 320

La moyenne arithmético-géométrique réelle. Propriétés de base.
Propriétés de base.
Vérifions d’abord l’existence de M(a,b). Par symétrie, on peut supposer
que 0 <b≤a. Alors
0<b≤bn≤bn+1≤an+1≤an≤a
pour tout net donc (an)n∈Net (bn)n∈Nconvergent vers des limites `et
mvérifiant m≤`. Enfin (an+bn)/2→(`+m)/2 d’où `=lim(an+1) =
(`+m)/2 et `=m.
On a (toujours sous la condition 0 <b≤a) :
0≤an+1−bn+1=1
2
(an−bn)2
(√an+√bn)2≤1
8b(an−bn)2,
d’où la convergence quadratique vers M(a,b)(voir la fiche 20).
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. Propriétés de base.
Pour tout (a,b)∈(R×
+)2,ona:
M(a,a) = a,
M(a,b) = M(b,a),
M(ac,bc) = cM(a,b),c>0,
M(a,b) = Ma+b
2,√ab.
On pose M(x) = M(1,x)pour tout x>0. On a alors M(1/x) =
M(x)/x.
Proposition. La fonction x7→ M(x)est de classe C(∞)et strictement
croissante sur R×
+. Elle tend vers +∞lorsque x→+∞et vers 0 lorsque
x→0+.
Pour la démonstration, voir l’exercice de la fiche 8.
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