Exercice électrostatique 4

Electrostatique PACES Enoncé : Une sphère creuse, de Rayon R, porte une charge superficielle uniforme, de densité surfacique σ. La sphère est placée dans le vide. 1. Quelle est l’expression du potentiel électrique V(O) au centre O de la sphère ? A : 0 B : σR
ε0
C : σ
ε0
D : σ
4ε 0
E : σR
2ε 0
2. Pour des raisons de symétrie, le champ électrique est nul en tout point situé à l’intérieur de la sphère. En déduire l’expression du potentiel électrique V(r) en un point situé à la distance r du centre O, telle que : 0<r<R A : 0 B : σR
ε0
C : σ
ε0
D : σ
4ε 0
E : σR
2ε 0
Electrostatique PACES Réponses : 1. Calcul du potentiel V(O) au centre de la sphère Rappel de cours Dans le cas d’une distribution surfacique de charges (placées dans le vide), les charges sont réparties sur une surface (S). La répartition surfacique des charges est caractérisée en chaque point de (S) par la densité surfacique de charge, notée σ, telle que : σ=
dq
dS
dq est la charge élémentaire contenue sur l’élément de surface dS. En un point M de l’espace, situé à la distance r de la surface S, l’élément de surface dS, portant la charge élémentaire dq, crée un potentiel électrostatique élémentaire, noté dV(M), tel que : dV(M)=
1 dq
4π ε 0 r
Le potentiel total est alors obtenu par intégration du potentiel élémentaire sur toute la surface (S). Dans le cas de l’exercice il s’agit d’une sphère creuse de rayon R, qui porte une densité surfacique de charges σ uniforme (cf. Figure 1). Le potentiel élémentaire créé par un élément de surface de la sphère, noté dS, au centre de la sphère en O, est donné par : dV(O)=
1 dq
1 σ dS
=
4π ε 0 R 4π ε 0 R
Le potentiel total au centre de la sphère est obtenu par intégration sur la sphère (S) du potentiel élémentaire : V(O)= ∫∫
(S )
1 dq
=
4π ε 0 R
1
∫∫ 4π ε
(S )
0
σ dS
R
(la double intégrale vient du fait que intégration est effectuée sur une surface) V(O)=
1 σ
dS 4π ε 0 R ∫∫
(S )
Electrostatique PACES V(O)=
1 σ
S 4π ε 0 R
car ∫∫ dS = S (S )
La surface d’une sphère étant égale à : S=4πR2 on obtient : V(O)=
1 σ
σR
4π R 2 =
4π ε 0 R
ε0
⇒ V(O)=
σR
ε0
Figure 1. Réponse : B 2. Expression du potentiel électrique V(r) en un point situé à la distance r du centre O, telle que : 0<r<R On sait que pour des raisons de symétrie le champ électrique est nul en tout point situé à l’intérieur de la sphère. Electrostatique PACES Rappel de cours Pour calculer le potentiel à partir du champ électrique ou vice versa, on  peut utiliser 
indifféremment l’expression de la circulation de E , telle que : dV = − E.d l , ou alors le 

fait que le champ électrique dérive d’un potentiel scalaire V, tel que : E = −grad V . Les deux relations sont strictement équivalentes : 
  
dV = − E.d l ⇔ E = −grad V dV représente la différentielle de V Dans le cas de l’exercice il semble plus judicieux d’utiliser l’expression de la circulation 
du champ électrique E , on a alors :  

dV = − E.d l = 0 car E est nul en tout point à l’intérieur de la sphère. ce qui implique : V(r)=cste Si le potentiel est constant en tout point à l’intérieur de la sphère, alors : V(O)=V(r), d’où : V(O)=V(r)= σR
ε0
⇒ V(r)=
σR
ε0
Réponse : B