Exercice électrostatique 4

Electrostatique-PACES-
Enoncé-:--
Une-sphère-creuse,-de-Rayon-R,-porte-une-charge-superficielle-uniforme,-de-densité-
surfacique-σ.-La-sphère-est-placée-dans-le-vide.-
1. Quelle-est-l’expression-du-potentiel-électrique-V(O)-au-centre-O-de-la-sphère-?-
A-:-0- - B-:-
σ R
ε
0
--C-:-
σ
ε
0
---- D-:-
σ
4 ε
0
--E-:-
σ R
2 ε
0
-
2. Pour-des-raisons-de-symétrie,-le-champ-électrique-est-nul-en-tout-point-situé-à-
l’intérieur-de-la-sphère.-En-déduire-l’expression-du-potentiel-électrique-V(r)-en-un-
point-situé-à-la-distance-r-du-centre-O,-telle-que-:-0<r<R-
A-:-0- - B-:-
σ R
ε
0
- - C-:-
σ
ε
0
- -- -D-:-
σ
4 ε
0
--E-:-
σ R
2 ε
0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

Electrostatique-PACES-
Réponses-:-
-
1. Calcul-du-potentiel-V(O)-au-centre-de-la-sphère-
-
Rappel&de&cours&!!
Dans-le-cas-d’une-distribution-surfacique-de-charges-(placées-dans-le-vide),-les-charges-
sont-réparties-sur-une-surface-(S).-La-répartition-surfacique-des-charges-est-caractérisée-
en-chaque-point-de-(S)-par-la-densité-surfacique-de-charge,-notée-σ,-telle-que-:--
σ =dq
dS
-
dq-est-la-charge-élémentaire-contenue-sur-l’élément-de-surface-dS.--
En-un-point-M-de-l’espace,-situé-à-la-distance-r-de-la-surface-S,-l’élément-de-surface-dS,-
portant- la- charge- élémentaire- dq,- crée- un- potentiel- électrostatique- élémentaire,- noté-
dV(M),-tel-que-:--
dV(M)=
1
4 π ε
0
dq
r
-
Le-potentiel-total-est-alors-obtenu-par-intégration-du-potentiel-élémentaire-sur-toute-la-
surface-(S).-
-
Dans-le-cas-de-l’exercice-il-s’agit-d’une-sphère-creuse-de-rayon-R,-qui-porte-une-densité-
surfacique-de-charges-σ-uniforme-(cf.-Figure-1).--
Le-potentiel-élémentaire-créé-par-un-élément-de-surface-de-la-sphère,-noté-dS,-au-centre-
de-la-sphère-en-O,-est-donné-par-:-
dV(O)=
1
4 π ε
0
dq
R
=1
4 π ε
0
σ dS
R
-
Le-potentiel-total-au-centre-de-la-sphère-est-obtenu-par-intégration-sur-la-sphère-(S)-du-
potentiel-élémentaire-:-
V(O)=
1
4 π ε
0
dq
R
S
( )
∫∫ =1
4 π ε
0
σ dS
R
S
( )
∫∫
- - -
(la-double-intégrale-vient-du-fait-que-intégration-est-effectuée-sur-une-surface)-
V(O)=
1
4 π ε
0
σ
R
dS
S
( )
∫∫
-

Electrostatique-PACES-
V(O)=
1
4 π ε
0
σ
R
S
-car
dS
S
( )
∫∫ =S
-
La-surface-d’une-sphère-étant-égale-à-:-S=4πR2-
on-obtient-:-V(O)=
1
4 π ε
0
σ
R
4 π R2=
σ R
ε
0
-
-
-
⇒-V(O)=
σ R
ε
0
-
-
-
-
-
Figure-1.-
!
Réponse!:!B!
-
2. Expression-du-potentiel-électrique-V(r)-en-un-point-situé-à-la-distance-r-du-centre-
O,-telle-que-:-0<r<R-
On-sait-que-pour-des-raisons-de-symétrie-le-champ-électrique-est-nul-en-tout-point-situé-à-
l’intérieur-de-la-sphère.-
-
-
-

Electrostatique-PACES-
Rappel&de&cours&!!
Pour- calculer- le- potentiel- à- partir- du- champ- électrique- ou- vice% versa,- on- peut- utiliser-
indifféremment-l’expression- de-la-circulation- de-
E
,-telle-que-:-
dV=− E.d l
,-ou-alors-le-
fait-que-le-champ-électrique-dérive-d’un-potentiel-scalaire-V,-tel-que-:-
E=−grad V
.-
Les-deux-relations-sont-strictement-équivalentes-:-
dV=− E.d l
⇔
E=−grad V
-
dV-représente-la-différentielle-de-V-
-
Dans-le-cas-de-l’exercice-il-semble-plus-judicieux-d’utiliser-l’expression-de-la-circulation-
du-champ-électrique-
E
,-on-a-alors-:-
dV=− E.d l=0
-car-
E
-est-nul-en-tout-point-à-l’intérieur-de-la-sphère.-
ce-qui-implique-:-
V(r)=cste-
Si- le- potentiel- est- constant- en- tout- point- à- l’intérieur- de- la- sphère,- alors-:- V(O)=V(r),-
d’où-:-
V(O)=V(r)=-
σ R
ε
0
-
-
-
⇒-V(r)=
σ R
ε
0
-
-
-
Réponse!:!B!
-
-
-
-
-
-
-