Théorie cinétique (Ex)

PCSI 2 Théorie cinétique du gaz parfait
2016 – 2017 1/2
THEORIE CINETIQUE DU GAZ PARFAIT
I Métallisation d’un miroir
La métallisation de la surface en verre d’un miroir se fait par évaporation
d’aluminium sous pression réduite de gaz résiduel. La condition pour que la
métallisation soit correcte est que le libre parcours moyen L des atomes
d’aluminium vaporisés soit supérieur à la distance d = 1,00 m entre le miroir
et le filament de chauffage servant à la production de vapeur d’aluminium.
On se propose d’étudier l’influence de la présence du gaz résiduel dans
l’enceinte sur le libre parcours moyen des atomes d’aluminium.
On rappelle l’expression de la pression d’un gaz parfait en équilibre à la
température T d’après la théorie cinétique des gaz :
€
P=1
3
nmv *2
, où n est
la densité particulaire de molécules, m est la masse d’une molécule et v* est
la vitesse quadratique moyenne des molécules.
1) Calculer v* pour une vapeur d’aluminium à la température T1 = 1,40.103°C en considérant que cette vapeur est un gaz parfait
monoatomique. On donne MAl = 27,0 g.mol-1 et R = 8,31 J.K-1.mol-1.
2) Pour évaluer le libre parcours moyen des atomes d’aluminium, c’est-à-dire la distance moyenne parcourue par un atome
d’aluminium entre deux chocs consécutifs avec des molécules de gaz résiduel, on assimile le gaz résiduel de l’enceinte à un
ensemble de sphères fixes de rayon rg, de densité particulaire n’ et les atomes d’aluminium vaporisés à des sphères de rayon ra se
déplaçant en ligne droite à la vitesse moyenne v.
a) Montrer que le libre parcours moyen est égal à
€
L=1
n' σ
, où
€
σ = π ra+rg
( )
2
.
b) Le gaz résiduel, assimilé à un gaz parfait, est à la pression P’ et à la température T2. En déduire une expression de L en
fonction de P’, T2 et σ.
Application numérique : calculer L si P’ = 1,00 Pa et T2 = 20,0°C ; on considère que les rayons des sphères sont du même ordre
de grandeur : ra = rg = 130 pm ; k = 1,38.10-23 J.K-1. Conclusion.
Réponse : v* = 1,24 km.s-1 ; L = 19 mm.
II Néon
On considère un gaz parfait monoatomique, le néon, de densité atomique volumique nv, sous une pression P = 1,00 atm et une
température T = 273 K. On assimile les atomes de néon à des sphères dures de rayon RNe = 1,60.10-10 m. La masse molaire du néon
s'élève à 20,2 g/mol.
1) Calculer la densité atomique volumique nv.
2) Donner l’ordre de grandeur du libre parcours moyen L et la fréquence de collision ν.
Données : R = 8,31 J.K-1.mol-1 ; k = 1,38.10-23 J.K-1.
Réponse : 2,69.1025 m-3 ; 116 nm ;
€
≈
5.109 Hz.
III Surface du Soleil
La température à la surface du Soleil est estimée à 5,80.103 K. À cette température, quelle est la vitesse quadratique moyenne :
1) des atomes d’hydrogène (1 u) ?
2) des atomes d’uranium (238 u) ?
Données : 1 u (unité de masse atomique) = 1,66.10-27 kg ; k = 1,38.10-23 J.K-1.
Réponse : 1,20.104 m.s-1 ; 7,80.104 m.s-1 .

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2016 – 2017 2/2
IV Fusion
Pour déclencher une réaction de fusion, les deutérons (de masse 2 u) doivent avoir une température voisine de 109 K. A cette
température, quelle est :
1) l’énergie cinétique moyenne ?
2) la vitesse quadratique moyenne ?
Données : 1 u (unité de masse atomique) = 1,66.10-27 kg ; k = 1,38.10-23 J.K-1.
Réponse : 2 ,07.10-4 J ; 3,53.106 m.s-1.
V Effusion gazeuse
Soit un récipient constitué de deux compartiments de même volume V maintenus à la température T. A l’instant t = 0, une mole d’un
gaz parfait remplit le compartiment (1), le compartiment (2) est vide et on perce un petit trou de section s entre les deux
compartiments.
On note N1 et N2 les nombres de molécules dans les compartiments (1) et (2).
On adopte pour le gaz parfait le modèle simplifié suivant : les vecteurs vitesse sont parallèles à l’une des six directions de vecteurs
directeurs
€
!
u
x
,
€
!
u
y
,
€
!
u
z
,
€
−! u
x
,
€
−! u
y
,
€
−! u
z
avec un sixième des molécules dans chacune de ces six directions. La norme de la vitesse de
toutes les molécules est identique égale à la vitesse quadratique moyenne v*.
1) Etablir l’expression du nombre
€
dN1→2
de molécules contenues dans le compartiment (1) et traversant la surface s entre les
instant t et t + dt. Même question pour
€
dN 2→1
.
2) En déduire les expressions de
€
dN1
dt
et
€
dN 2
dt
en fonction de N1, N2, s, v* et V.
3) Etablir les expressions de N1(t) et N2(t). On fera apparaître une constante de temps τ caractéristique du phénomène observé.
Indication : on pourra effectuer le changement de variables u = N1 + N2 et w = N1 – N2.
4) Comment varie τ avec la masse des molécules ?
Réponse :
€
dN1→2=sv *
6V
N1dt
;
€
dN 2→1=sv *
6V
N2dt
;
€
dN1
dt =sv * 6V
N2−N1
( )
;
€
dN 2
dt =sv * 6V
N1−N2
( )
;
€
N1(t)=NA
21+e−t/
τ
( )
;
€
N2(t)=NA
21−e−t/
τ
( )
;
€
τ =3V
sv *
; τ ~
€
m
.