MP 2016/2017 exercices physique-chimie 1 17) Un récipient à

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17) Un récipient à parois rigides et isolantes est partagé en deux compartiments par une cloison isolante . Un
des compartiments contient deux moles d'air sous une pression de 10 bars et à 300 K ; l'autre compartiment
contient 1 mole d'air à la pression de 1 bar et à la température de 500 K . On escamote la cloison . Donner la
température d'équilibre, le volume total et la pression.
18) Calculer le travail fourni par la détente isotherme d'une mole de gaz parfait, initialement à la pression P
1 ,
jusqu'à la pression P
2
; On fera le calcul dans trois cas différents :
1) Détente réversible.
2) La pression passe brutalement de P
1
à P
2
.
3) La pression passe brutalement de P
1
à 2P
2
, puis brutalement de 2P
2
à P
2
.
A.N P
1
= 10 bars ; P
2
= 3 bars. Comparer les trois résultats ; conclusion ?
19) De la vapeur se détend à travers une tuyère depuis une pression de 13,8 bar jusqu'à une pression de
0,138 bar. Les enthalpies initiale et finale valent respectivement 2,99.10
6
J.kg
-1
et 2,22.10
6
J.kg
-1
. En négligeant la
vitesse initiale et les pertes de chaleur, calculer la vitesse de sortie de la vapeur.
20) ) Un récipient, fermé par un piston mobile, renferme 2 g He ( gaz parfait monoatomique ) dans les conditions
( P
1
, V
1
) . On opère une compression adiabatique, de façon réversible, qui amène le gaz dans les conditions
( P
2
, V
2
) . On donne P
1
= 1 bar, V
1
= 10 l et P
2
= 3 bar. Déterminer :
1) Le volume finale V
2
.
2) Le travail reçu par le gaz.
3) La variation d'énergie interne.
4) En déduire l'élévation de température du gaz.
21) Schéma d'une pompe à vide à piston . Un piston se meut dans un récipient
cylindrique qui communique par des soupapes S et S' respectivement avec
l'atmosphère ( pression Pa ) et le récipient à vider qui contient de l'air sec
considéré comme un gaz parfait à la pression initiale Po ≤ Pa . Le volume de ce
récipient est V ; Le volume offert au gaz dans le cylindre varie entre un maximum
V
M
et un minimum Vm . Pa = 760 mm Hg = 1.013.10
5
Pa .
1) En supposant les transformations isothermes, tracer les cycles parcourus
dans le diagramme de Clapeyron à partir de la valeur Po = Pa .
2) Calculer la pression P
1
dans le réservoir après le premier aller-retour . On
désignera par V
1
le volume offert au gaz dans le cylindre quand S s'ouvre ; V'
1
le
volume offert au gaz quand S' s'ouvre . Donner V
1
et V'
1
= f(V
M
,Vm,V,Po,Pa) .
3) Montrer qu'on ne pourra faire descendre la pression dans le réservoir au dessous d'une valeur limite Pl .
4) Donner la valeur de Pn pression dans le réservoir , aprèn n aller-retour du piston . Valeur limite de Vn, V'n et
Pn si n → ∞ .
5) A.N : V = 5 l ; V
M
=250 cm
3
; Vm = 10 mm
3
; Po = Pa = 760 mm Hg . Calculer P
1
et Pl .
22) Un ballon contient un gaz parfait aux conditions initiales
o
V ,
o
P et
o
T .
Une bille de masse m est placée dans un fin tube vertical soudé au ballon et joue le
rôle d’un piston étanche . On écarte la bille de sa position verticale et on la lâche sans
vitesse initiale . Le gaz subit une transformation adiabatique réversible .
Trouver la pulsation des oscillations pour de petites variations de volume et de
pression .
23) On met en contact thermique un système de capacité calorifique C constante initialement à la température
To, avec une source de chaleur Ts . L'ensemble est thermiquement isolé .
1) Calculer : a) la variation d'entropie ∆S du système ,
b) la variation d'entropie ∆Ss de la source ,
c) la variation d'entropie ∆Se de l'ensemble .
2) Vérifier le deuxième principe de la thermodynamique .

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24) A : Cycle de Rankine
Dans une installation motrice à vapeur, l’eau décrit le cycle
suivant :
- compression isentropique de l’eau liquide dans une pompe
- chauffage puis vaporisation à pression consante P
1
dans la
chaudière
- détente isentropique dans une turbine
- refroidissement et condensation totale dans le condenseur à
pression P
2
La vapeur est sèche à l’entrée de la turbine
1) Donner l’allure du cycle en coordonnées T-s ( T
température et s entropie massique ) et en coordonnées h-s ( h
enthalpie massique).
2) En utilisant les données du tableau ci-dessous ( P
1
= 55 bar
et P
2
= 0,05 bar) , déterminer le titre et l’enthalpie massique de la
vapeur à la sortie de la turbine. Le résultat peut s’obtenir par
calcul ou en utilisant les diagrammes donnés.
données numériques pour l’équilibre liquide-vapeur :
LIQUIDE VAP EUR
P
(bar)
T
(°C)
v
(dm
3
.kg
-1
)
s
(kJ.K
-1
.kg
-1
)
h
(kJ.kg
-1
)
s
(kJ.K
-1
.kg
-1
)
h
(kJ.kg
-1
)
55 270 1,3 2,97 1184 5,92 2787
0,05 33 1 0,475 138 8,38 2560
3.a) Calculer l’énergie thermique q
1
fournie dans la chaudière à 1 kg d’eau.
3.b) Calculer l’énergie thermique q
2
cédée par 1 kg d’eau dans le condenseur.
3.c) Exprimer le rendement du cycle de Rankine ; Comparer sa valeur avec celle du cycle de Carnot.
B : cycle de HIRN
La vapeur fournie par la chaudière est maintenant portée à une
température T
m
supérieure à la température de saturation, à la
pression constante P
1
, dans un suchauffeur, avant d’être admise
dans la turbine.
1) Donner l’allure du cycle en coordonnées T-s ( T température
et s entropie massique ) et en coordonnées h-s ( h enthalpie
massique).
2) En utilisant les données du tableau ci-dessous, ainsi que les
résultats du A, déterminer pour les différentes valeurs de T
m
:
- L’énergie thermique fournie à 1 kg de vapeur dans le
surchauffeur
- le titre vapeur en fin de détente
- le rendement thermique du cycle
Vapeur surchauffée à 55 bar
T (°C) 400 500 600 700
h (kJ.kg
-1
) 3182 3426 3660 3894
s (kJ.K
-1
.kg
-1
) 6,58 6,92 7,2 7,46
25) 1.a) On considère deux corps identiques isolés du milieu extérieur, de capacité calorifique nCv chacun,
d'énergie interne U = nCvT chacun, où n désigne le nombre de moles, Cv la capacité calorifique molaire à volume
constant et T la température absolue. Les températures initiales des deux corps sont T
1
et T
2
( T
1
> T
2
) . Ils sont
mis en contact thermique. Cette opération se fait à volume constant. Exprimer la température finale d'équilibre Tf .
b) Calculer la variation d'entropie ∆S du système des deux corps en fonction de Tf, Cv, n, T
1
et T
2
.
c) On désire maintenant utiliser la différence de température des deux corps précédents pour faire fonctionner
une machine thermique cyclique réversible. Le corps chaud initialement à la température T
1
constitue alors la
source chaude, et le corps froid initialement à la température T
2
la source froide du système. On considère que
pour chaque cycle décrit par la machine, la température des deux corps varie de façon infinitésimale.
Donner l'expression de la température finale des deux corps Tf' en fonction de T
1
et T
2
.
d) Calculer le travail fourni en fonction de n, Cv, T
1
et T
2
.

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26) 1) Des panneaux composites pour l'isolation thermique sont constitués par une plaque de plâtre d'épaisseur
e
1
= 10 mm associée à une plaque de polystyrène d'épaisseur e
2
. Le fabricant donne la résistance thermique de 1
m² de panneau pour différentes valeurs de e
2
.
e
2
( mm ) 20 30 40 50 1) Déduire de ces données la conductivité
R ( m².K.W
-1
) 0,5 0,73 0,97 1,21 thermique λ
1
du plâtre et λ
2
du polystyrène .
2) On utilise un panneau ( 10 + 50 ) pour doubler un mur en pierre d'épaisseur eo = 30 cm, de conductivité
thermique λ
0
= 0,82 W.m
-1
.K
-1
. Comparer les pertes par m² de paroi, avec et sans isolation lorsque les
températures extérieure et intérieure sont respectivement -5°C et 20°C . Pour tenir compte des phénomènes de
convection au niveau des contacts air/paroi , il faut ajouter une résistance thermique superficielle totale
Rs = 0,17 m².K.W
-1
. La résistance thermique est définie par R = ∆T/j
q
.
27) Un appartement comporte 20 m² d'ouvertures vitrées et 80 m² de murs ( sans ouvertures ) en contact avec
l'extérieur . Les vitres ont une épaisseur de 5 mm, les murs sont en béton de 30 cm d'épaisseur, recouverts
extérieurement par 5 cm de ciment et intérieurement par 1 cm de plâtre . On suppose négligeables les pertes de
chaleur par le sol et le plafond, l'appartement étant situé entre deux autres appartements . On donne les
conductivités thermiques en W.K
-1
.m
-1
: verre : 1 ; ciment : 0,5 ; béton : 1,65 ; plâtre : 0,4 . Les résistances
thermiques superficielles intérieure et extérieure sont respectivement 0,11 et 0,06 m².K.W
-1
.
1.a) Déterminer la puissance du chauffage nécessaire pour maintenir une température de 20°C à l'intérieure
lorsque la température extérieure est de 0°C .
b) Donner la répartition de température dans les murs et dans les vitres .
2) On pose un survitrage en verre de 5 mm sur toutes les ouvertures, en laissant un espace d'air de 2 cm entre
les vitres .
a) Déterminer le pourcentage de réduction des pertes . On donne la résistance thermique de la couche d'air :
0,15 m².K.W
-1
.
b) Donner la répartition de température dans le double vitrage .
3) On complète l'isolation en remplaçant le revêtement de plâtre par des panneaux isolants ( polyuréthanne +
plâtre ) de résistance thermique 2,03 m².K.W
-1
. Déterminer la puissance nécessaire au chauffage de l'appartement
ainsi isolé .
28) Une tige de cuivre cylindrique, de section S, de
longueur L, est utilisée comme ailette de refroidissement
d'un échangeur . L'extrémité A de cette tige est maintenue
à une température T
1
et l'extrémité B à une température
T
2
inférieure à T
1
. On admettra les résultats suivants :
- Les gradients radiaux de température sont
faibles; aussi, la température T est-elle supposée uniforme
dans toute section droite de la tige d'aire S . On ne
considérera donc qu'un transfert de chaleur
unidirectionnel, et on notera T = T(x) .
- Si T désigne la température de la section droite
d'abscisse x et T + dT la température de la section droite
voisine d'abscisse x + dx ( dT < 0 ), la quantité de chaleur
qui traverse, par seconde, la section droite est donnée par
la relation ( phénomène de conduction ) q = - λ.S.
dT
dx
où λ
est la conductivité thermique du matériau constituant
l'ailette . On supposera λ uniforme et indépendant de la
température.
1) On imagine tout d'abord l'ailette parfaitement isolée sur sa surface latérale ( les échanges thermiques à travers
les éléments de surfaces latéraux sont alors nuls ) .
a) Exprimer la loi définissant la température T, en régime permanent, dans une section droite d'abscisse x ( on
traduira ce régime permanent en écrivant qu'aucune quantité de chaleur ne peut s'accumuler à l'intérieur d'une
tranche de matériau d'épaisseur dx ) .
b) Tracer le graphe de la fonction T(x) .
c) Evaluer la quantité de chaleur Q traversant l'ailette .

MP 2016/2017 exercices physique-chimie 4
d) On définit par R =
T T
Q
1 2
−
la résistance thermique conductive . Calculer la résistance thermique de l'ailette .
Application numérique : L = 38 cm ; diamètre de la tige d = 1 cm ; λ = 389
W
m
K
.
.
−
−
1
1
.
2) On suppose maintenant que, la tige n'étant plus isolée, l'ailette est refroidie le long de sa surface par une
circulation de fluide à la température T
e
. Un élément d'aire dσ de la surface latérale de l'ailette, de température
moyenne T, échange, par seconde, avec le milieu extérieur supposé tout entier à la température T
e
, une quantité
de chaleur égale à ( phénomène de convection ) : δq' = h.( T - T
e
).dσ où h est le coefficient d'échange de chaleur
( supposé uniforme et indépendant de la température ) .
Un bilan thermique appliqué à une tranche d'ailette, délimitée par les section droites à l'abscisse x et x + dx ,
permet d'obtenir une équation définissant la répartition des températures : en régime permanent, par unité de
temps, la quantité de chaleur qui entre, par conduction, par la section d'abscisse x est égale à la somme de celle
qui sort, par conduction, par la section d'abscisse x + dx et de celle qui sort, par convection, de la surface latérale
de la tranche considérée .
a) Ecrire le bilan thermique et montrer que la température, dans une section droite d'abscisse x vérifie l'équation
différentielle :
( )
d T
dx m T T
e
2
2
2
0− − = .
b) Déterminer l'expression du coefficient m en fonction des données du problème . Application numérique .
c) Ecrire la solution générale de l'équation différentielle .
e) On se place dans le cas théorique d'une ailette de longueur infinie . On se fixe comme conditions aux limites :
l'extrémité A est à la température T
1
, "l'extrémité" B à la température T
2
= T
e
du fluide extérieur .
α) Préciser la solution de l'équation différentielle . Donner l'allure de la variation de température dans
l'ailette .
β) Calculer la quantité de chaleur s'écoulant par conduction à travers la base de l'ailette ( en A ) ainsi que
la quantité de chaleur transmise par convection à partir de la surface de l'ailette .
χ) Quelle distance sépare deux points de l'ailette pour lesquels on relève respectivement des
températures de 403 K et 373 K, la température du fluide extérieur étant T
e
= 303 K ?
δ) L'ailette pourra être assimilée à une tige de longueur infinie lorsqu'en son extrémité, l'écart de
température T - T
e
est très petit, de l'ordre de 1 % de la valeur initiale T
1
- T
e
en x = 0 . Ecrire la condition liant
dans ce cas la longueur de la tige et la coefficient m . Application numérique .
Données numériques : λ = 389
W
m
K
.
.
−
−
1
1
; h = 155
W
m
K
.
.
−
−
2 1
29) Un tuyau cylindrique en plomb, de rayon intérieur R = 2,5 cm, de rayon extérieur R' = 3 cm, est entouré par un
manchon isolant d'épaisseur E = 10 cm . Ce tuyau contient de l'eau au repos et il est placé à l'extérieur .
Données : - conductivités thermiques (
W
K
m
.
.
−
−
1
1
) : plomb 35 isolant 0,03
- Chaleurs massiques ( J K kg. .
−
−
1
1
) : eau 4185 plomb 129
- masse volumique du plomb : 11340 kg m.
−
3
1) L'ensemble étant initialement en équilibre thermique à
θ
o
= + 4 °C, la température extérieure décroît
proportionnellement au temps jusqu'à
θ
m
= - 5 °C pendant 12 heures . On considère la rempérature de l’eau
uniforme. On donne l’expression de la résistance thermique dans le cas d’un cylindre de longueur L, de rayon
intérieur r et rayon extérieur r
o
:
λπ
=r
r
ln
L..2
1
R
o
ther
. Déterminer la loi d'évolution de la température de l'eau en
fonction du temps . Calculer la température atteinte au bout de 12 heures.
2) La température extérieure se stabilise ensuite à
θ
m
= - 5 °C. Pendant combien de temps cette situation peut-
elle se prolonger sans qu'il y ait le risque de gel pour la canalisation ?
3) Quelle serait l'évolution de la température de l'eau si, lorsque la température extérieure atteint
θ
m
, on
remplaçait l'eau contenue dans le tuyau par de l'eau à la température
θ
o
? Conclusion quant à la protection des
canalisations d'eau contre le gel ?
solutions :
1) on obtient l’équation différentielle
d
dt C R C R
ther ther
ext
θθ θ+ = 1 1
. .
2) t = 6,3 heures 3) t = 12,04 heures
30) Un tube de rayon R
1
( conduite d’eau chaude, fil électrique) est entouré d’un manchon, de rayon extérieur
R
2
et de conductivité λ, qui l’isole de l’extérieur ( ici de l’air à la température T
o
) . Les échanges thermiques
entre la surface du tube et l’isolant sont caractérisés par un coefficient de transfert h : la puissance thermique

MP 2016/2017 exercices physique-chimie 5
échangée par unité de surface est donnée par l’expression h( T
1
- T
1
'
) où T
1
représente la température du tube
en r = R
1
et T
1
'
celle de l’isolant au contact .
De même les échanges thermiques isolant-air sont associés à un coefficient h’
1) Déterminer la puissance thermique φ
th
échangée, en régime permanent,
entre le tube et l’air . On supposera que la température ne dépend que de r (
distance à l’axe ) et on exprimera φ
th
en fonction de T T
o1
− .
Interpréter le résultat obtenu .
2) Etudier les variations de φ
th
avec R
2
, à R
1
,h’, λ, T
1
et T
o
données et pour
h infini ( contact parfait ) .
Quelles remarques vous suggèrent ces résultats ?
réponses : 1)
φ
th
=
(
)
211
2
o1
R'.h
1
R.h
1
R
R
ln
1
TT..2
++
λ
−π
2) φ
th
max pour
'h
R
2
λ
=
31) Un barreau d’uranium a la forme d’un cylindre de rayon a =
10
2−
m. Des réactions nucléaires y produisent
une puissance thermique P par unité de volume. La conductivité thermique de l’uranium, dans le domaine de
température considéré, est λ = 38
W
m
K
.
.
− −1 1
.
Déterminer la puissance maximale ( rapportée à l’unité de volume ) que l’on peut extraire du barreau si l’on ne
veut pas que la température dépasse la valeur de 600 °C à l’intérieur du barreau. La température de surface est
fixée à 400 °C et l’étude se fait en régime stationnaire.
réponses : La résolution de l'équation de la chaleur donne
( ) ( )
(
)
22
ra
4
P
aTrT −
λ
=−
P
max
= 3.10
8
W.m
-3
32) Le sous-sol est considéré comme un milieu semi-infini, homogène, de conductivité thermique K, de masse
volumique µ, de capacité thermique massique c, situé dans le demi-espace x > 0 . On suppose que la température
du sol ( plan x = 0 ) es t soumise à des variations sinusoïdales : T t T t
s o o
( ) cos( )= + θ ω .
1) Déterminer la température T(x,t) d’un point de profondeur x, en régime sinusoïdal forcé.
2) Commenter le résultat obtenu . Exprimer la vitesse de propagation v de l’onde thermique ainsi obtenue .
3.a) On considère des variations journalières de température, la température variant entre 0 °C la nuit et 16 °C le
jour . A partir de quelle profondeur, les variations de températures sont elles inférieures à 1 °C ?
b) On considère des variations annuelles de température, la température variant entre -10 °C et 26 °C . A partir
de quelle profondeur, les variations de températures sont en opposition de phase ?