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TD 2-1

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TD : Transfert thermique en régime permanent
Exercice 1 :
Un réservoir, contenant 5 𝑚3 d’eau chaude à température de 60 °𝐶, est calorifugé sauf sur une partie
dont la surface est 𝑆 = 0.5 𝑚3 . La température du fluide a baissé de 1 °𝐶au bout de 5 ℎ lorsque la
température ambiante est 15 °𝐶. En supposant que la capacité du réservoir ets de 103 𝑘𝑐𝑎𝑙/°𝐶.
1. Déterminer :
1.1. La quantité de chaleur perdue pendant 5 ℎ.
1.2. Le flux de chaleur à travers le couvercle.
1.3. La résistance thermique du couvercle.
2. Que se passerait-il au bout de 2 jours puis 10 jours ?
Exercice 2 :
Un mur de béton de 15 𝑐𝑚dépaisseur sépare une pièce à la température 𝑇𝑖𝑛𝑡 = 20°𝐶 de
l’extérieur où la température est 5 °𝐶. On donne ℎ𝑖𝑛𝑡 = 9 𝑊. 𝑚−2 𝐾 −1 , ℎ𝑒𝑥𝑡 =
15 𝑊. 𝑚−2 𝐾 −1 , 𝜆 = 1.5 𝑊. 𝑚−1 𝐾 −1 .
Déterminer :
1. La résistance thermique totale.
2. La densité de flux thermique.
3. Les températures interne et externe du mur.
Exercice 3 :
Le mur d’un local est constitué de trois matériaux différents :
𝑭𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆 𝟐 (𝒉𝟐 )
𝑭𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆 𝟏 (𝒉𝟏 )
𝑻𝒇𝟏
𝑇𝑒 𝜆1
𝑙1
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𝜆2
𝑙2
𝜆3
𝑻𝒇𝟐
𝑇𝑖
𝑙3
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 Du béton d’épaisseur 𝑙1 = 20 𝑐𝑚 à l’extérieur de conductivité thermique 𝜆1 =
0.25 𝑊. 𝑚−1 𝐾 −1 ,
 Un espace rempli de polystyrène expansé de conductivité thermique 𝜆2 = 0.04 𝑊. 𝑚−1 𝐾 −1 et
d’épaisseur 𝑙2 = 5 𝑐𝑚,
 Des briques d’épaisseur 𝑙3 = 5 𝑐𝑚 et de conductivité thermique 𝜆3 = 0.5 𝑊. 𝑚−1 𝐾 −1 .
1. En hiver, on a mesuré les températures des parois intérieures et extérieures qui étaient 𝑇𝑖 = 25°𝐶 et
𝑇𝑒 = −5°𝐶.
1.1. Donner la relation littérale puis calculer la résistance thermique du mur pour un 1𝑚2 .
1.2. Donner la relation littérale puis calculer le flux thermique du mur pour un 1𝑚2 .
1.3. Calculer la quantité de chaleur transmise par jours à travers une surface de 1𝑚2 . En déduire
celle transmise chaque jour à travers une surface de 10 𝑚2 .
1.4. Représenter l’allure de la courbe représentative de la température en fonction de l’épaisseur de
l’extérieur à l’intérieur.
2. Les résistances thermiques superficielles interne et externe de 1𝑚2 du mur sont respectivement :
0.12𝑚2 𝑊 −1 . 𝐾 et
2.1.
2.2.
1
ℎ𝑒
1
ℎ𝑖
=
= 0.05𝑚2 𝑊 −1 . 𝐾
A quels types de transfert thermique ces données se rapportent-elles ?
Calculer les températures ambiantes extérieure 𝑇𝑓1 et intérieure 𝑇𝑓2 .
Exercice 4 :
1. Soit une sphère creuse de rayons extérieur 𝑅𝑒 et intérieur 𝑅𝑖 , dont on fixe les températures
respectives à 𝑇𝑒 et 𝑇𝑖 . On se place en régime permanent.
1.1. Déterminer la répartition de la température dans la sphère.
1.2. Calculer le flux thermique et la résistance équivalente.
1.3. En désignant par ℎ𝑒 et ℎ𝑖 les coefficients d’échange par convection, déterminer
l’expression du flux thermique en fonction de 𝑇𝑓1 et 𝑇𝑓2 les températures des fluides en
contact avec la sphère à l’intérieur et à l’extérieur.
2. On considère un réservoir sphérique interne contenant de l’oxygène liquide à une température 𝑇0 =
90𝐾. La température de l’air ambiant est 𝑇𝑎 = 15°𝐶. Les coefficients de transfert thermique par
convection externe et interne sont respectivement ℎ𝑒 et ℎ𝑖 . La paroi extérieure du réservoir est
constitué d’un matériau isolant dont la conductivité varie avec la température selon la loi suivante :
1
𝜆(𝑇) =
𝑎 − 𝑏𝑇
Où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes positives, supposées connues et 𝑇 en 𝐾.
On suppose que :
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 Les surfaces interne et externe de la paroi sont isothermes et maintenues respectivement aux
températures 𝑇𝑖 et 𝑇𝑒 qui demeurent constantes dans le temps.
 La conduction dans la paroi est unidirectionnelle, en régime permanent et régit par la loi :
1 𝑑
𝑑𝑇
2
[𝜆(𝑇)𝑟
]=0
𝑟 2 𝑑𝑟
𝑑𝑟
2.1.
Déterminer l’expression du champ de température en tenant compte des CL.
2.2.
En déduire l’expression de la puissance thermique traversant la paroi annulaire en fonction
𝑇𝑒 et 𝑇𝑖 .
𝑏𝑇
2.3. Si l’on s’intéresse uniquement au cas asymptotique pour lequel : ≪ 1 (𝑇𝑖 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝑒 ).
𝑎
2.3.1. Déterminer l’expression simplifiée de la puissance thermique calculée dans 2.2.
2.3.2. En déduire la relation exprimant cette puissance en fonction des températures 𝑇0
et 𝑇𝑎 .
Exercice 5 : Ailette
Une ailette en aluminium de largeur 5 cm, de longueur 10 cm et d’épaisseur 3 mm est encastrée dans
un mur. La base de l’ailette est maintenue à 300°C, la température ambiante est de 30°C et le
coefficient de transfert est de 10 W.m-2 .°C-1.
1. A partir du bilan énergétique, déterminer l’ED vérifiée par le champ de température.
2. Déterminer la température à l’extrémité de l’ailette et le flux extrait par l’ailette si l’on néglige les
gradients thermiques dans les sens de la largeur et de l’épaisseur.
3. On appelle efficacité de l’ailette le rapport du flux extrait sur le flux qui serait extrait par l’ailette
de même géométrie dont la température serait uniforme et égale à la température de sa base. Calculer
cette efficacité.
4. Calculer l’erreur relative que l’on aurait commise en considérant que la température de l’extrémité de
l’ailette était égale à la température ambiante.
5. Ecrire les équations à résoudre dans le cas où l’on tient compte d’un gradient thermique dans le sens
de la largeur de l’ailette.
Exercice 6 : Epaisseur critique d’isolation
Soit un tube cylindrique de rayon interne 𝑟1 et de rayon externe 𝑟2 constitué d’un matériau de
conductivité thermique 𝜆1 . Supposons que l’on veuille l’isoler avec un manchon de rayon externe 𝑟3 et
de conductivité thermique 𝜆2 . Soient ℎ𝑖 et ℎ𝑒 les coefficients de transfert interne et externe.
1. Calculer la résistance thermique du tube seul.
2. Calculer la résistance thermique de l’ensemble tube + manchon.
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3. Déterminer les conditions pour lesquelles l’adjonction d’un manchon permet bien de diminuer
les pertes thermiques.
Données : 𝑟2 = 1,5 cm ; 𝜆2 = 0,1 W m-1 °C-1 ; ℎ𝑒 = 6 W m-2 °C-2.
Exercice 7 : Paroi de conductivité variable
Une paroi plane est constituée d’un matériau homogène dont le coefficient de conductivité thermique
peut être représenté par :𝜆(𝑇) = 𝜆0 (1 + 𝛼𝑇), 𝜆0 étant la conductivité thermique à 0°C. Les faces
sont soumises aux températures 𝑇1 et 𝑇2 .
1. Quelle est la densité de flux traversant le mur d’épaisseur e ?
2. Comment varie la température en fonction de x ?
3. Le flux est-il inférieur ou supérieur à celui calculé avec 𝜆 = 𝜆0 ?
4. Données : 𝑇1 = 20°C ; 𝑇2 = 35°C ; a = 0,005°C-1 ; 𝜆0 = 0,03 kcal.h-1.m-1.°C-1 ; e = 20 cm.
Exercice 8 : Câble coaxial
L'espace entre deux cylindres coaxiaux de rayons 𝑅1 et 𝑅2 , de longueur quasi infinie, est occupé par
un conducteur thermique de conductivité 𝜆. Le régime est supposé stationnaire.
1. De quelle(s) variable(s) dépend la température ?
2. Quelle est la forme de la densité de flux thermique ?
3. Soit 𝜙(𝑟) le flux thermique sortant au travers du cylindre de rayon r et de longueur 𝐿.
Par un bilan, montrer que 𝜙(𝑟) est indépendant de r.
4. En déduire la résistance thermique de l'ensemble.
Exercice 9:
Soit un mur d’épaisseur 𝑒 et de conductivité thermique 𝜆. Supposons qu'il y ait production
de chaleur en son milieu. La température est imposée sur une face et le flux sur l'autre.
𝑇 = 𝑇0 si x = 0
𝜑 = 𝜑0 si x = e
1. Donner l’équation de chaleur.
2. Déterminer l’expression du champ de température 𝑇(x)
3. Quelle est la température de la face arrière ?
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