Conduction thermique

TD Physique n°9 : Phénomènes de transport – Conduction thermique
* Exercice 1 : Résistances thermiques
Les conductivités thermiques de quelques matériaux sont précisées :
Matériau
Verre
Béton
Air
Laine de verre (isolant)
Conductivité thermique (W.m-1.K-1)
1,2
0,90
0,025
0,040
a. Exprimer puis calculer la résistance thermique RV correspondant au transfert thermique à travers une simple vitre d’épaisseur
eV = 2,4 mm et de surface SV = 1,0 m2 depuis l’air intérieur à température supposée uniforme TI jusqu’à l’extérieur à la
température TE.
1.
b. On considère maintenant un double vitrage constitué par deux vitres d’épaisseur eV séparées par une couche d’air
d’épaisseur eA = 5,0 mm. Calculer la résistance thermique RDV correspondant au transfert thermique à travers le double vitrage
de même surface SV.
c. Calculer l’économie réalisée par l’isolation de cette vitre, en prenant le coût du kWh à 0,081 euros. On prendra : TI = 20°C
et TE = 0°C.
2. Le mur extérieur d’un studio comporte également une surface SB= 12,5 m2 de béton doublé d’une couche d’isolant. L’épaisseur du
béton est eB = 9,0 cm et celle de l’isolant eL = 4,0 cm.
a. Calculer la résistance thermique RM pour le transfert thermique à travers ce mur.
b. En déduire la résistance thermique RE de la paroi extérieure constituée par le mur (béton plus isolant) de surface S B = 12,5
m2 et un double vitrage de surface SDV = 1,0 m2.
** Exercice 2 : Coffrage d’une paroi rocheuse
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On se place en régime permanent. La température ne dépend que de la
variable d’espace x.
Pour consolider une paroi rocheuse, plane et isotherme de température
T0, on coule un massif de béton, de conductivité thermique λ. Ce massif
est limité de l’autre côté par un coffrage métallique, plan, de
température uniforme TC < T0. Le coffrage est supposé très bon
conducteur de la chaleur.
La prise du béton correspond à une réaction chimique exothermique :
on note  la puissance volumique thermique dégagée et donc reçue par la masse de béton (à cause de cette réaction chimique).
1.
Etablir l’équation différentielle vérifiée par la température, T(x), en un point du massif de béton.
2.
En déduire l’expression de T(x).
3.
Donner l’expression du vecteur densité de chaleur : jth(x). Montrer que si  > 0, le signe du vecteur densité de chaleur n’est
pas le même dans toute l’épaisseur du béton. Donner l’expression de 0 en fonction des paramètres du problème.
** Exercice 3 : Etude d’un fusible en régime permanent
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Un fusible est constitué par un fil conducteur en plomb
cylindrique homogène de longueur utile L et de section droite S.
Il possède une conductivité électrique  et une conductivité
thermique . Il est traversé par un courant d’intensité constante
I.
Ce fil est enfermé dans une gaine en silice assurant une isolation
thermique et électrique parfaite.
Les températures en x = 0 et x = L sont imposées, et égales à la
température T0 du milieu ambiant.
On suppose le régime stationnaire établi.
Données :
Imax = 10,0 A ; T0 = 300 K ;  = 5,00.106 -1m-1 ;  = 35 W.m-1K-1 ; L = 3,0 cm. Température de fusion du plomb : Tfus=600K.
1.
a. Rappeler l’expression de la résistance électrique R du fil en fonction de , L et S.
b. En déduire l’expression de la puissance électrique reçue par ce fil, en fonction de , L, S et I.
c. En déduire la puissance électrique reçue par une tranche d’épaisseur dx du fil électrique, en fonction de , dx, S et I.
2.
a. A partir d’un bilan énergétique établi localement, établir l’équation différentielle vérifiée par la température dans le fil.
b. Donner l’expression littérale de T(x).
c. Déterminer le rayon a du fil pour que le fusible admette une intensité maximale de 10A.
*** Exercice 4 : Etude d’une ailette de refroidissement
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Pour éviter un échauffement trop important d’un appareil M, on munit son
boîtier d’ailettes de refroidissement métalliques. Chaque ailette est
parallélépipédique, de dimensions : épaisseur : a = 2,0 mm ; largeur : b = 10
cm ; longueur : c = 20 cm. On pourra admettre que a négligeable devant b.
En fonctionnement, le boîtier de l’appareil sera maintenu à la température T M
= 60°C. L’air extérieur, qui circule, est de température constante et uniforme
TA = 20°C.
Dans l’ailette, on admettra que le transfert thermique, de type conductif, peut
être considéré monodimensionnel dans la direction de l’axe (Ox). La conductivité du matériau constituant l’ailette est :  =
16 W.K-1.m-1
Par ailleurs, il existe aussi un transfert thermique latéral de l’ailette vers l’air ambiant. Le flux thermique correspondant entre
la surface dS de l’élément de l’ailette de longueur dx et l’air ambiant, s’écrit : dP  h(T  TA )dS avec h  150 (S.I.)

On se place à présent en régime permanent.
1.
En remarquant de plus que a << b, montrer que la température T(x) est solution de l’équation différentielle suivante :
d 2T 1
 (T  TA )  0 . On donnera l’expression et la valeur numérique de L.
dx 2 L2
2.
Montrer alors que : T  TA   TM  TA  e

x
L
.
*** Exercice 5 : Réacteur nucléaire
Dans un réacteur nucléaire, le combustible est de l’uranium, enfermé dans une gaine en zirconium, cylindrique de rayon R = 1cm, de
longueur L = 4 m et d’épaisseur négligeable. L’ensemble uranium-gaine constitue un « crayon ». L’uranium contenu dans chaque «
crayon » dégage une puissance volumique  = 200 MW.m-3. La température extérieure d’un « crayon » est maintenue constante à Te
= 600 K, et on se place en régime permanent, à savoir qu’en tout point M du « crayon », la température ne dépend plus du temps. On
suppose également qu’elle dépend uniquement de la distance r = OM du point M à l’axe du cylindre.
1.
2.
3.
4.
Établir, à partir d’un bilan thermique dans la couche d’uranium de rayon r, l’équation différentielle vérifiée par T(r). On
𝑑𝑇
montrera qu’elle se met sous la forme 𝑑𝑟 = −𝐴𝑟, où A est une constante à déterminer. Pour la suite, on prendra 𝐴 = 3,33 ×
107 𝑚2 𝐾.
Déterminer la loi T(r) en fonction de R, ,  et r.
Calculer la température maximale d’un barreau.
La température de fusion du combustible est T f = 2900 K. Quelle est la valeur limite Rlim du rayon du cylindre au-delà de
laquelle la fusion du combustible risque d’intervenir ? La valeur de R = 1 cm est-elle bien choisie ?