ondes acoustiques– exercices

PSI 08/09
Lycée CONDORCET BELFORT
ONDES ACOUSTIQUES– EXERCICES
1.Profondeur d’un puits :
On lâche dans un puits un objet massif de masse à l’instant t = 0. On entend le bruit de l’impact sur l’eau au
bout de t0 = 2 s. En considérant que la température est uniforme et égale à 15°C, et en négligeant les
frottements, calculer la profondeur du puits.
2. Son dans l'atmosphère avec gradient de température
Une explosion se produit à l'altitude zl, à la verticale d'un observateur au sol, où la température est To et la
célérité du son Co. La température varie selon la loi
T(z) = To - a.z
Au bout de quelle durée ∆t l'observateur entend-il le bruit de l'explosion ? AN : z1 = 10 km , To = 288 K ;
C0 = 340 m.s-1 ; a = 6,5 K.km-1.
3. Tuyau d’orgue ( ENSI ) :
Un tuyau d’orgue est assimilable à un tuyau de longueur l = 1,00 m fermé à une extrémité et ouvert à l’autre.
Les pression, température et masse volumique moyenne de l’air ( γ = 1,4 ) contenu dans le tuyau sont : P0 =
1,013.105 Pa ; T0 = 290 K ; ρ0 = 1,22 kg.m-3
a) Déterminer les fréquences f0 du fondamental et f1 du premier harmonique.
b) A la fréquence f1 on a mesuré une amplitude maximale des élongations de l’air égale à a0 = 1 mm. En
déduire l’amplitude maximale correspondante :
• pmax pour la surpression ;
• τ0 pour la température.
Réponses : f0 = 85,3 Hz ; pmax = 668 Pa ; τ0= 0.55 K.
4. Trombone de Koenig :
Un appareil servant à la démonstration des interférences du son possède deux
conducteurs de son d’abord identiques : supérieur et inférieur. De quelle distance
minimale L faut-il coulisser le conducteur de son inférieur pour diminuer au
maximum le son à la sortie B à la fréquence f = 200 Hz.
On prendra c = 330 m.s-1.
5. Onde de choc supersonique :
On considère un avion volant en ligne droite avec une vitesse V
A1
A2
z
supérieure à la célérité C du son dans l’air.
a) Montrer que les surfaces d’onde sphériques qu’il engendre sont
β
tangentes à un instant donné à un cône dont le sommet est
l’avion, et déterminer le demi-angle au sommet de ce cône.
O
b) Un avion passe en vol supersonique horizontal à une altitude z
au-dessus d’un observateur O. Celui-ci perçoit le « bang » de
l’onde choc de l’avion dans une direction formant un angle β = 30 ° avec la verticale. En admettant que la
célérité du son est constante entre l’altitude z et le sol et vaut C = 330 m.s-1 , calculer la vitesse V de
l’avion.
c) On donne z = 2000 m. Quelle est la distance A1A2 séparant l’avion A2 de la position A1 dans laquelle
l’observateur l’a localisé au son ?
Réponses : sinα = C/V ; V = 2376 km.h-1 ; A1A2 = 4620 m.
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6. Couplage acoustique :
La membrane d’un haut-parleur est assimilée à un disque plan de surface S ; elle est animée d’un
mouvement sinusoïdal d’amplitude x0 , de pulsation ω et génère devant et derrière elle deux ondes
acoustiques progressives planes se propageant dans l’air ( masse volumique ρ0 ) à la célérité c.
Membrane
O
x
1) Donner les expressions de ξ+(x,t), v+(x,t) et p+(x,t), respectivement amplitude, vitesse et surpression de
l’onde émise à droite de la membrane, puis de ξ-(x,t), v-(x,t) et p-(x,t), respectivement amplitude, vitesse et
surpression de l’onde émise à gauche de la membrane.
2) Quelle force cette onde exerce-t-elle sur la membrane ?
r
r
3) Justifier la modélisation du couplage du haut-parleur avec l’air par une force F = −λ v membrane et en déduire
l’expression de la constante λ. Quelle est son unité ?
4) Evaluer l’amplitude du déplacement de la membrane pour un son de 440 Hz et de niveau sonore 60 dB.
Données : ρ0 = 1,22 kg.m-3 ; c = 340 m.s-1.
Réponses : f = 2ρcS ; x0 = 3.10-8 m.
7. Chute d’un piston dans un tube :
On considère un piston de section S et de masse m tombant sans frottements dans un tube infini de section S.
L’air contenu dans le tube a une masse volumique ρ et une onde acoustique une célérité C. Le piston est
lâché sans vitesse initiale de la cote z = 0.
La chute du piston provoque l’apparition de deux ondes acoustiques : l’une vers les z croissants, l’autre vers
les z décroissants.
a) Ecrire les pressions vibratoires dans le tube.
b) Quelle est la loi de chute du piston dans le tube ?
c) Commentez les cas t << τ et t >> τ.
t
Réponse : zሶ ሺtሻ= gτ ቀ1-e-τ ቁ avec τ=
m
2ρCS
8. Mode propre d’un tuyau de section conique :
Le hautbois ou le saxophone peuvent être modélisés par des tuyaux coniques fermés en x = ϵ avec ϵ << L et
ouverts en x = L.
0
L x
On admet que la section varie lentement, de sorte que les ondes sont planes ; les équations couplant la
vitesse et la pression sont identiques au cas du tuyau de section constante.
On considère une onde sphérique dont la surpression s’écrit en notation complexe :
exp jሺωtሻ . sinሺkx − φሻ
pሺx, tሻ = p଴
kx
a) Justifier cette expression.
b) Calculer la vitesse v(x,t).
c) Déduire des conditions aux limites les fréquences propres du tuyau. Conclure.
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ENERGIE DES ONDES ACOUSTIQUES– EXERCICES
1.Effet Doppler :
Une source S émet un signal sous forme d'impulsions de durée brève , à intervalles de temps réguliers égaux
à Ts = 1/fs.
Un récepteur R mesure la fréquence fR du signal reçu, fréquence différente de f, lorsque S et R sont en
mouvement l'un par rapport à l'autre.
r
r r
r
On suppose que S et R se déplacent le long de l'axe Ox avec des vitesses constantes vS =vSu x , vR =vR u x ,vR
et vS étant algébriques.
Le signal se déplace à la célérité c constante.
A un instant pris comme origine des temps, la source S se trouve en A0 et le récepteur R en B0 distant de L
de A0 : A0B0 = L.S émet alors une impulsion (impulsion « zéro »).
1 ) a) A quel instant t1 cette impulsion atteint-elle R ?
b)
A l'instant t = TS, la source émet une nouvelle impulsion (impulsion « un »). En quelle position A1
se trouve à cet instant S (on donnera A0A1 ) et en quelle position B1 se trouve le récepteur R (on donnera
A1B1 ) ?
c)
On choisit comme nouvelle origine des temps l'instant d'émission de l'impulsion « un ». On pose
ainsi t = Ts + t'. A quel instant t1’, l’impulsion « un » atteint-elle R ? En déduire la durée TR entre la
réception de l'impulsion «zéro» et de l'impulsion « un ».
d)
Donner la relation entre fR et fS .
2 ) a ) On suppose qu'un signal sinusoïdal de fréquence f est émis par une source S immobile ( vS = 0) et
reçue par un récepteur R mobile ( vR = v). Donner, en fonction de f, c et v, la fréquence fR du signal reçu par
R.
a)
Le récepteur R réfléchit le signal reçu et se comporte ainsi comme une source émettant à la
fréquence fR . Le dispositif S bascule en mode récepteur et perçoit alors un signal à la fréquence f’.
Exprimer f’ en fonction de fR, c et v et en déduire l'expression de f’ en fonction de c et v puis une expression
approchée de f’ si lvl « c.
b) Application : la gendarmerie utilise un radar à effet Doppler pour contrôler la vitesse des véhicules. Un
tel radar fonctionne sur le principe précédent. Le signal est une onde électromagnétique hertzienne
sinusoïdale de fréquence f = 5 GHz. On supposera que la célérité des ondes électromagnétiques dans l'air
est celle des ondes électromagnétiques sinusoïdales planes dans le vide, soit c = 3.108 m.s-1.Donner la
vitesse (en km/h) d'un véhicule si une mesure donne |δf| = 972 Hz ( δf = f'- f ).
2. Energie d’une onde stationnaire :
On considère une onde acoustique stationnaire se propageant dans un milieu non dissipatif de masse
volumique ρ, dans lequel la célérité est C ; la vitesse de cette onde est donnée par :
V(x,t) = v0.cos(ωt). cos( kx + ϕ)
a) Calculer la densité volumique d’énergie cinétique.
b) Calculer la densité volumique d’énergie potentielle.
c) Calculer le vecteur densité de courant d’énergie.
d) L’équation de conservation de l’énergie est-elle vérifiée ?
3. Couche sonore anti-reflet :
a) Les impédances caractéristiques - définies par Z = ρc - des tissus musculaires et de l'air pour les ultrasons
valent Za = 4,0.102 kg.m-2.s-1 et Zm = 1,7.106 kg.m-2.s-1.
Calculer le coefficient de transmission des puissances sonores à l'interface air-muscle et commenter.
b) Pour supprimer l'onde réfléchie dans l'air, on réalise une couche anti-reflet d'épaisseur e en graisse,
d'impédance Zg.
On note ca, cg et cm les célérités et ka = ω/ca, kg = ω/cget km = ω/cm les normes des vecteurs d'onde dans
chacun des trois milieux.
On cherche alors en notation complexe des champs de vitesse dans les trois milieux de la forme :
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v ( x< 0 ) = Aa.expj(ωt - kax) ; v ( x > e ) = Am.expj(ωt - kmx) .
v ( 0 < x< e ) = Ag.expj(ωt - kgx) + Bg.expj(ωt + kgx).
Quelle est la forme correspondante des champs de surpression dans les trois milieux ?
a) Ecrire les conditions aux limites.
b) Une élimination non demandée des coefficients Aa, Ag, Am et Bg fournit la condition :
Zg -Za Zg -Zm
=
exp(-2jk g e)
Zg +Za Zg +Zm
En déduire les valeurs à choisir pour e et Zg.
λg
Réponses : Z g = Z a Z m ; e = ( 2 n + 1)
4
4. Intensité Sonore
a) Une voiture passant à 10 m produit un niveau sonore de 50 dB. Une mobylette mal réglée produit à la
même distance un niveau sonore de 90 dB. Combien faut-il d'autos pour égaler ce bruit ?
b) Une source quasi-ponctuelle émet une onde sphérique harmonique de façon isotrope dans tout l'espace.
Montrer que l'intensité rayonnée est en 1/r2.
c) On double la distance à la source. Quelle est en dB la diminution de niveau sonore ?
d) Le seuil de douleur est fixé dans l'échelle SIL à 120 dB. Quelle est l'intensité correspondante ? Cela
correspond à un réacteur d'avion à 20 m. Quelle est la puissance émise dans tout l'espace par l'avion ?
Réponses : a) 104 ; b) ∆N = -6 dB ; c) P = 5026 W.
6. Isolation phonique :
Pour étudier l'isolation sonore introduite par un mur, on adopte le modèle suivant: dans un tuyau de section
S, une OPPH de pulsation ω arrive sur un piston de surface S, d'épaisseur e et de masse volumique µ, libre
de se déplacer au voisinage de x = 0.
On cherche alors en notation complexe des champs de vitesse de la forme
• Pour x < 0 : v ( x,t ) = A1.expj(ωt - kx) + B1.expj(ωt + kx)
• Pour x > e : v ( x > e, t ) = A2.expj(ωt - kx + ke) .
a) Justifier cette forme et écrire les surpression p(x,t ) correspondantes.
b) Ecrire les conditions aux limites sur le piston indéformable et en déduire que
−1
A 2  µejω 

= 1 +
A 1 
2µ 0 c 
c) En déduire le facteur de transmission en puissance T du mur.
d) On donne µ 0 = 1,3.kg.m-3 ; µ = 2.103 kg.m-3 ; c = 340 m.s-1 .
Quelle doit être l'épaisseur minimale du mur si l'on veut une atténuation d'au moins - 40 dB pour f = 1 kHz ?
Et pour f = 100 Hz ?
Réponse : e > 7 mm pour f = 1 kHz.