leurs corrections - Marcq Institution

Correction des exercices d’entraînement pour l’épreuve commune du 31mai 2016
T RAVAUX NUMÉRIQUES
Exercice 1
P = 9
×
5 – ( 12 + 5 ) + 18
P = 9 × 5 – 17 + 18
P = 45 – 17 + 18
P = 28 + 18
P = 46
S = [12 – ( 2 + 7 ) ]
×
5
S = [12 – 9 ] × 5
S = 3 × 5
S = 15
5I 7
35
I
72015
I
29 5415
I
=
=
+
=
−
×
+
=
R = 6,7
×
4 + 72 : 8
R = 26,8 + 9
R = 35,8
A = 34 + 73 + 56 + 27
A = 34 + 56 +73 + 27
A = 90 + 100
A = 190
T = 0,125
×
0,5
×
8
×
34,2
×
20
T = 0,125 × 8 × 0,5 ×20× 34,2
T = 1 × 10 × 34,2
T = 342
Exercice 2 Priorités opératoires
P = (3 + 5) × (6 + 1,5 + 2) = 8 × 9,5 = 76 Le groupe dépense 76 €.
Exercice 3 Calculs astucieux (avec la distributivité)
D = 17,6 × 54,2 + 2,4 × 54,2 = (17,6 + 2,4) × 54,2 = 20 × 54,2 = 1 084
E = 10,1 × 234
E = (10 + 0,1) × 234
E = 10 × 234 + 0,1 × 234
E = 2 340 + 23,4
E = 2 363,4
F = 98 × 135
F = (100 – 2) × 135
F = 100 × 135 – 2 × 135
F = 13 500 – 270
F = 13 230
Exercice 4 Calcul littéral
1)
F = 8 × (7a + 3)
F = 8 × 7a + 8 × 3
F = 56 a + 24
G = 3b × (10b – 4)
G = 3b × 10b – 3b × 4
G = 30b
2
– 12b
2)
H = 5 × 4 – 5 × a
H = 5 (4 – a)
I = 35 + 63x
I = 7 × 5 – 7 × 9x
I = 7 (5 – 9x)
J = 3x² – 4x
J = x × 3x – x × 4
J = x (3x – 4)
3
)
K = 5x + 3 + 7x
K = 5x + 7x + 3
K = 12x + 3
L = x + 5x + 4
L = 1x + 5x + 4
L = 6x + 4
M = 4x – x + 7 + 3
M = 4x – 1x + 10
M = 3x + 10
Exercice 5 Calculs avec des fractions
2
3
A
23 33
A
6
9
A
6
5
6
4
A
6
5
23 22
A
6
5
3
2
A
=
×
×
=
=
+=
+
×
×
=
+=
5
9
B
5
1
5
10
B
5
1
51 52
B
5
1
1
2
B
5
1
2B
=
−=
−
×
×
=
−=
−=
6
5
C
65 55
C
30
25
C
30
7
30
18
C
30
7
65 63
C
30
7
5
3
C
=
×
×
=
=
+=
+
×
×
=
+=
16
21
D
28 37
D
7298 9377
D
14
27
72
49
D
=
×
×
=
××× ×××
=
×=
7
39
E
7133
E
87 1383
E
56
13
24E
=
×
=
×××
=
×=

Exercice 6
1) 14 + 16 = 30 donc il y a 30 élèves dans la classe, dont 8 qui font du tennis.
8
30 = 
4 × 2
15 × 2 =
4
15
La proportion d’élèves qui pratiquent le tennis est 
.
2) Dans cette classe de 30 élèves, 5 élèves pratiquent la danse.
5
30 =
5 × 1
5 × 6 =
1
6
La proportion d’élèves qui pratiquent la danse est 
.
Exercice 7
× 450 = ×
=×× =  Il y a 180 g de chocolat dans ce gâteau.
Exercice 8
1
5+
1
3+
2
15 =
3
15 +
5
15 +
2
15 = 
3 + 5 + 2
15 =
10
15 =
2
3
Les deux tiers du pot de glace ont été mangés.
Exercice 9
1)
10
1
10
9
10
10
10
2
10
3
10
4
10
10
5
1
10
3
5
2
1=−=
++−= ++−
10
1
des élèves jouent de la clarinette.
2)
5
1
5
2
3
132
10
3
3
2=
××
×
×
=×
.
5
1
des élèves sont des filles jouant du violon.
Exercice 10
1)
12
7
12
5
12
12
12
5
1=−=−
Il lui reste du trajet total à parcourir.
2) × = =
Le livreur doit faire 1
6 du trajet pour aller chez son 2
nd
client.
3)
12
5
12
2
12
7
6
1
12
7=−=−
ou
12
5
12
7
12
12
12
2
12
5
12
12
6
1
12
5
1=−=
+−= +−
Le livreur doit encore parcourir 5
12 du trajet total.
4)
132
55
11
12
115
12
5=
×
×
=
donc le parcours total est de 132 km.

T RAVAUX GEOMETRIQUES
Les figures corrigées sont à l’échelle mais pas en vraie grandeur
Exercice 1
1) Je détermine la mesure de l’angle RMU.
On sait que MUR est un triangle, MUR = 54° et MRU = 56°.
Or, la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Donc MUR + MRU + RMU = 180°
RMU = 180 – (MUR + MRU) = 180 – (54 + 56) = 180 – 110 = 70°
2) figure
Exercice 2 T riangles
2) Je démontre que ABO est un triangle rectangle en O
On sait que, dans le triangle ABO, BAO = 35° et ABO = 55°
D’où BAO + ABO = 35 + 55 = 90°
Or, si un triangle a deux angles complémentaires,
alors c’est un triangle rectangle
Donc ABO est un triangle rectangle en O.
Exercice
3
Angles et triangles
1) Je calcule TMH.
On sait que TMH et AMT sont adjacents complémentaires et AMT = 41°,
Donc TMH = 90° – AMT = 90 – 41 = 49°
2) J’en déduis MTH.
On sait que, dans le triangle TMH, TMH = 49° et MHT = 37°
Or, la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°
Donc MTH + TMH + MHT = 180°
D’où MTH = 180° – (TMH + MHT) = 180 – (49 + 37) = 180 – 86 = 94°
3) Je détermine ATI.
On sait que ATI et MTH sont opposés par le sommet
Or, si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure
Donc ATI = MTH
De plus, MTH = 94° d’après 2)
d'où ATI = 94°
Exercice 4
1) construire MARC
2) On sait que MARC est un parallélogramme
Or si un quadrilatère est un parallélogramme
alors ses angles opposés sont de même mesure
Donc 
= !
= °
3) On sait que MARC est un parallélogramme
Or si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles consécutifs
sont supplémentaires
donc
ARC
+
MAR
=
180°
donc
ARC
180°
'
MAR
180
'
65
=
°

Exercice 5
1) Je détermine la mesure de l’angle
(!
.
SAM est un triangle rectangle en S et 
Or, si un triangle est rectangle, alors ses angles aigus sont complémentaires
Donc 
D’où 
 =     
2) Je détermine la mesure de l’angle 
HAT est un triangle isocèle en H
Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont de même mesure
Donc 
 ; de plus    donc 
3) Je détermine si les points M, A et T sont alignés.
 car   sont adjacents et   sont
adjacents
De plus 
 ;    et 
D’où 
 n’est pas un angle plat donc M, A et T ne sont pas alignés.
Exercice 6
On sait que 
 et   sont opposés par le sommet
Or, si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure
donc 
 =   = 41°
On sait que 
 et   sont adjacents supplémentaires
Donc 
On sait que 
Or, si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle
Donc le triangle SAM est rectangle en M
Exercice 7 Aires
Je calcule l’aire de ABCE
ABCE est un rectangle
Or A
rectangle
= Longueur × largeur
Donc A
ABCE
= AB × BC
De plus AB = 4 m et BC = 7 m
D’où A
ABCE
= 4 × 7 = 28 m²
Je calcule l’aire de CDE
On sait que CDE est un triangle tel que [FD] est la hauteur relative à [EC]
Or  
Donc  
 ;
de plus EC = AB = 4 m (car ABCE est un rectangle) et FD = 10 – 7 = 3m
D’où  
Je calcule l’aire de ABCDE
A
ABCDE
= A
ABCE
+ A
CDE
= 28 + 6 = 34 m²
Je calcule le prix du volet
Pour 34 m², le prix du volet s’élèvera à 34 × 80 soit 2 720 €.
Exercice 8 Prismes droits
a. On sait que les bases sont des triangles dans lesquels la hauteur relative au
côté de 4 cm mesure 3 cm ; la hauteur du prisme droit est de 5 cm.
Or, volume d’un prisme droit = A
base
× hauteur du prisme
et aire d’un triangle = côté × hauteur relative à ce côté : 2
donc volume = 4 × 3 : 2 × 5 = 6 × 5 = 30 cm
3
b. On sait que les bases sont des parallélogrammes tels que la hauteur
relative au côté de 4 cm mesure 2 cm ; la hauteur du prisme droit est 5 cm.
Or, volume d’un prisme droit = A
base
× hauteur du prisme
et aire d’un parallélogramme = côté × hauteur relative à ce côté
donc volume = 4 × 2 × 5 = 40 cm
3
c. On sait que les bases sont des triangles rectangles
et la hauteur du prisme droit est de 5 cm (distance entre les bases).
Or, volume d’un prisme droit = A
base
× hauteur du prisme
et aire d’un triangle rectangle = produit des côtés de l’angle droit : 2
donc volume = 8 × 6 : 2 × 5 = 24 × 5 = 120 cm
3