Module Optimisation et contrôle

Module Optimisation et contrˆole 
Algorithmes I (P. Carpentier)
24 mars 2017

Plan du cours
1G´en´eralit´es sur les algorithmes
2M´ethodes `a direction de descente
3Recherche lin´eaire

Minimisation sans contrainte et algorithme
Probl`eme d’optimisation sans contrainte.
min
u∈UJ(u).
Si Jest diff´erentiable, on a la condition d’optimalit´e (KKT) :
∇J(u])=0.
Notion d’algorithme.
Un algorithme est une application Ade l’espace Udans lui-mˆeme.
Le d´eroulement de l’algorithme `a partir d’un point initial u(0) ∈U
consiste donc `a utiliser de mani`ere it´erative cette application :
u(k+1) =A(u(k)),k= 0,1, . . .
L’algorithme converge si la suite {u(k)}k∈Nconverge dans U.

Vitesse de convergence
Un algorithme d’optimisation engendre une suite {u(k)}k∈Nqui,
dans les bons cas, converge vers une solution u]du probl`eme.
Convergence en quotient
Convergence q-lin´eaire :
∃r∈[0,1[,∃Kr,∀k≥Kr,
u(k+1) −u] ≤r u(k)−u] .
Convergence q-superlin´eaire :
∀r>0,∃Kr,∀k≥Kr,
u(k+1) −u] ≤r u(k)−u] .
Convergence q-quadratique :
∃C>0,∀k≥1,
u(k+1) −u] ≤C u(k)−u]
2.
“Le nombre de chiffres significatifs corrects double `a chaque it´eration.”

Sch´ema de principe d’un programme d’optimisation
et dérivées
Moniteur
Moniteur
Optimiseur Oracle
Post−traitement
Initialisation
Boucle
d’optimisation Calcul de J
Figure:Oracle en communication directe