1 Mise en route: de l`infiniment petit à l`infiniment grand

Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014
TD 1 : Ordres de grandeurs et dimensions
1 Mise en route: de l’infiniment petit à l’infiniment grand
La Physique englobe des branches extrêmement variées mais qui tout en se diversifiant tout
au long de leur histoire, ont constamment interagi les unes avec les autres. L’unité des
sciences physiques repose avant tout sur l’unité de leur objet d’étude : la matière.
Balayons différents états et différentes organisations de la matières pour mettre en relief les
dimensions fondamentales que l’on retrouve à toutes les échelles et dans quasiment toutes
les branches de la physique, et pour introduire quelques ordres de grandeurs.
1. Les quarks, constituants du noyau
Dès l’Antiquité, la question s’est posée de savoir s’ils existaient des constituants élémen-
taires de la matière. Depuis les années 1960, la Physique des particules élémentaires
a établi l’existence des quarks comme les particules les plus élémentaires de la matière
ordinaire.
(a) Il existe deux types de quarks à partir desquels sont constitués tous les noyaux de
tous les éléments chimiques connus : les quarks "u" (pour "up") et les quarks "d"
(pour "down"). Sachant que les protons sont constitués de deux quarks "u" et un
quark "d", que les neutrons sont constitués de deux quarks "d" et un quark "u",
sachant que les protons portent une charge électrique élémentaire positive alors que
les neutrons sont neutres, déterminez la charge électrique portée par chacun des
quarks en donnant son signe et en l’exprimant en fraction de la charge électrique
élémentaire.
(b) L’élément le plus simple et le plus léger est l’hydrogène. C’est également l’élément
le plus abondant et de loin dans l’Univers. L’hydrogène est simplement constitué
d’un proton et d’un électron. Sachant que l’atome d’hydrogène est électriquement
neutre, quelle est la charge de l’électron ?
(c) Quelle est la relation dimensionnelle entre la charge électrique et l’intensité du
courant électrique ?
(d) Comme pour tous les atomes, c’est la force électrique qui maintient la cohésion de
l’atome d’hydrogène. Cette force est proportionnelle au produit des charges élec-
triques qeqp, et inversement proportionnelle au module carré de la distance séparant
les charges d2
ep. Entre introduisant une constante de proportionnalité universelle
positive kE, la valeur algébrique de la force électrique que le proton exerce sur
l’électron dans la direction de ce dernier peut s’exprimer ainsi :
FE“kE
qeqp
d2
ep

Qu’est-ce qui va déterminer le signe de cette valeur algébrique ? Que signifie le
signe de la valeur algébrique de cette force dans le cas de l’atome d’hydrogène ?
(e) Retrouvez la dimension d’une force en vous servant d’une relation physique quel-
conque mettant en jeu une force (la relation fondamentale de la dynamique, l’expression
de la force exercée par un ressort sur une masse, l’expression de la force de pesan-
teur...).
(f) Déterminez alors la dimension de cette constante universelle kE?
(g) Sachant qu’une charge élémentaire a une valeur absolue de 1.6 10´19 C, que la taille
d’un atome d’hydrogène est de l’ordre de 10´10 met sachant que kE“9 109S.I.,
trouvez l’ordre de grandeur de la force électrique moyenne qui assure la cohésion de
l’atome d’hydrogène.
(h) L’atome de carbone est, lui, composé de 6 protons auxquels sont associés, en général,
6 neutrons. Autour de ce noyau de 12 particules, 6 électrons assurent la neutralité
du noyau de carbone. Sachant que l’ordre de grandeur de la taille d’un noyau est
de 10´15 m, donnez l’ordre de grandeur de l’intensité de la force électrique qui agit
entre deux protons du noyau de carbone. Est-ce une force répulsive ou attractive ?
(i) Montrez alors qu’il est impossible d’expliquer la cohésion d’un noyau possédant
plusieurs protons et/ou neutrons à l’aide de la force électrique et qu’il faut imaginer
une autre force fondamentale. Pourquoi, à votre avis, a-t-on nommé cette force
"l’interaction nucléaire forte" ?
(j) Une autre particularité de cette interaction forte peut être déduite en considérant
que la matière peut parfois s’agencer sous forme de solide cristallin où les atomes
sont disposés les uns à côté des autres de façon régulière. Supposons que l’interaction
nucléaire forte s’exprime de façon similaire à la force électrique en introduisant une
"charge forte" Qunique pour les protons et les neutrons, et une nouvelle constante
universelle kIF . On obtient alors une expression de la valeur algébrique de la force
exercée par un proton sur l’autre selon la direction définie par les deux protons (en
´
Ècrivant dQQ, la distance entre les deux protons) :
FIF “kIF
QQ
d2
QQ
En supposant une telle relation, comparez la force entre deux protons de deux
atomes voisins dans un solide cristallin à la force entre deux protons d’un même
noyau, en sachant que l’espacement entre atomes dans le cristal de l’ordre de
10´9m?
(k) Pourquoi dit-on alors que l’interaction forte est "à courte portée" ? Quelle est
l’ordre de grandeur maximum de cette "portée" selon vous ?
2. Les atomes
Après des siècles de débats, après plusieurs expériences déterminantes, la conception
atomiste de la matière ne s’est cependant définitivement établie qu’au début du XXème
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siècle, juste avant la Première guerre mondiale, grâce à une expérience du physicien Jean
Perrin sur les équilibres dit de sédimentation de la matière : par exemple, sous l’effet de
la gravité, une colonne de gaz voit sa densité diminuer avec l’altitude.
Jean Perrin montra que des petites billes, donc des corpuscules, plongées dans un fluide
reproduisaient exactement l’équilibre de sédimentation des fluides. Et la valeur du nom-
bre d’Avogadro qu’il mesura avec son expérience se trouvait être totalement en accord
avec la valeur attendue.
En plongeant dans tube rempli d’eau de toutes petites billes de latex, il put observer
au microscope que ces billes de latex se répartissaient exactement comme des atomes de
gaz devraient se répartir dans ce tube sous l’effet de la gravité : beaucoup plus de billes
en bas du tube et beaucoup moins en haut avec une relation mathématique simple entre
le nombre de billes npzqà une hauteur zdans une tranche d’épaisseur donnée fixée et le
nombre de billes np0qau bas du tube dans une tranche de même épaisseur :
npzq “ np0qe´z
H
où Hest une grandeur caractéristique de l’expérience.
(a) Quelle est la dimension de H?
(b) Les billes de latex de Jean Perrin avaient un rayon de a“2.12 10´5cm. Comparez
ce rayon à celui d’un atome d’hydrogène.
(c) Au microscope, Jean Perrin put faire les mesures suivantes :
•àz“95.10´4cm ÝÑ 12 particules,
•àz“65.10´4cm ÝÑ 23 particules,
•àz“35.10´4cm ÝÑ 47 particules,
•àz“5.10´4cm ÝÑ 100 particules.
Vérifiez que cela semble bien suivre une loi exponentielle.
(d) Selon la théorie atomiste, la grandeur Hdevait s’exprimer ainsi :
1
H“Nmg RT ˆ1´ρVm m˙
où Nest le nombre d’Avogadro, mla masse des billes de latex, gl’accélération de
pesanteur, Rla constante des gaz parfaits, Tla température exprimée en Kelvin,
ρla masse volumique de l’eau, et Vmle volume des sphères de latex. En repartant
de la formule du gaz parfait (P V “nRT ), retrouver la dimension du produit RT ,
puis déterminez la dimension du nombre d’Avogadro. Que représente ce nombre ?
(e) À l’aide des mesures de Jean Perrin rassemblées juste au-dessus, trouvez une valeur
numérique de cette constante en sachant qu’il fit ses mesures à température am-
biante (293 K), que la masse volumique des billes de latex est de 1.194 g.cm´3, que
le coefficient de flottabilité `1´ρVm
m˘vaut 0.163 et que la constante des gaz parfait
vaut R“8.31 J.mol´1.K´1.
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(f) Avant l’expérience de Jean Perrin, les seules mesures du nombre d’Avogadro prove-
naient de la théorie atomiste dite de la cinétique des gaz (qui donnait une explication
atomique de la pression et de la température). La valeur admise par les physiciens
défenseurs de la théorie atomiste étaient : N“6.0 1023.
Comparez votre valeur à celle obtenue par la théorie cinétique des gaz parfaits.
Après avoir trouvé la même valeur pour Nen changeant le solvant, la température
ou bien la taille des particules, Jean Perrin, en 1913, concluait :
"Il devient donc difficile de nier la réalité objective des molécules."
3. L’Univers
L’idée que l’Univers est constitué d’un très très grand nombre de galaxies, voire d’une
infinité, a été un très long et douloureux débat. Il faut à ce propos rendre hommage à
Giordano Bruno, condamné par le tribunal de l’Inquisition à être brûlé vif en 1600 parce
qu’il défendait, entre autre, l’idée que l’Univers était infini. Là, encore, c’est au début du
XXème siècle, juste après la Première guerre mondiale que les observations tranchèrent.
(a) L’astronome Edwin Hubble, de retour des champs de bataille de la Première guerre
mondiale, fut affecté à l’observatoire du Mont Wilson aux États-Unis, en Californie
où se trouvait alors le plus grand télescope du monde de 2.5 m de diamètre. La
lumière collectée par un télescope est proportionnelle à la surface de son miroir. Et
si l’optique du télescope est de bonne qualité, cette lumière est ensuite concentrée le
plus précisément possible sur un détecteur (à l’époque des plaques photographiques,
aujourd’hui des CCDs). suivant l’angle d’incidence des rayons arrivant sur le téle-
scope, ceux-ci convergent vers une position spécifique sur le détecteur. Avec un
télescope de 2.5 m de diamètre, à quelle augmentation de l’intensité lumineuse d’un
objet donné, Hubble pouvait-il s’attendre en comparaison d’un télescope de 1 m de
diamètre ?
(b) Henrietta Lewitt avait pu montrer quelques années auparavant qu’un certain type
d’étoiles, les céphéides, pouvaient être considérées comme émettant une intensité
lumineuse moyenne stable. Avec le nouveau grand télescope du Mont Wilson, Hub-
ble put observer des céphéides qui étaient trop faiblement lumineuses pour l’avoir
été correctement par les précédents télescopes. Il s’en servit comme des indicateurs
de distance à l’aide d’une relation simple entre le flux lumineux φmesuré par son
télescope, la luminosité intrinsèque Lde l’étoile et la distance dséparant l’étoile de
notre planète :
φ“L
4πd2
La luminosité a pour unité le Candela. Et on note IVla dimension associée. Quelle
est la dimension du flux lumineux reçu au niveau du télescope ?
(c) Si deux céphéides ont la même luminosité intrinsèque L, et que le télescope de
Hubble mesure un rapport de flux de 100, que peut-on en déduire sur le rapport
des distances entre les deux céphéides observées ?
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(d) Dans les années 1920, Hubble put mesurer le flux d’une céphéide se situant dans
la "nébuleuse d’Andromède". Et il en conclut alors, compte tenu de la qualité de
ses instruments, que cette "nébuleuse d’Andromède" se situait à environ "1 million
d’année-lumière" du Soleil (les mesures actuelles donnent une valeur deux fois plus
importante). Vérifiez qu’une "année-lumière" a bien la dimension d’une distance.
Les étoiles les plus lointaines dont on pouvait mesurer la distance à l’époque de
Hubble se trouvaient à quelques milliers d’années-lumière et c’est donc cette pre-
mière mesure de la distance de la "nébuleuse d’Andromède" qui fit basculer toute
la communauté des astronomes dans l’idée qu’Andromède était une galaxie et que
l’Univers était composé d’une "infinité" de galaxies à l’image de la notre et de celle
d’Andromède.
(e) La lumière qui nous vient de la surface du Soleil met 8 minutes à atteindre la Terre.
Exprimer alors le rapport entre la distance Andromède-Soleil et Terre-Soleil.
(f) Toujours en utilisant les céphéides comme marqueur de distance, Hubble put mesurer
les distances d’un grand nombre de galaxies dont d’autres astronomes avaient mesuré
par ailleurs la vitesse d’éloignement en étudiant le décalage spectrale de la lumière
de ces galaxies. En comparant les vitesses d’éloignement aux distances mesurées,
Hubble se rendit compte que les galaxies les plus lointaines s’éloignaient de notre
Galaxie, en moyenne, à une vitesse vproportionnelle à la distance dselon une loi
simple, appelée aujourd’hui loi de Hubble :
v“H0d
Quelles est la dimension de H0, la constante de Hubble ?
(g) Aujourd’hui, les mesures nous permettent d’estimer que :
H0»70 km s´1Mpc´1
où l’unité "Mpc" est le mégaparsec qui vaut 1 million de parsec, le parsec valant
environ 3 1016 m. Vérifiez que l’unité correspond bien à la dimension que vous avez
déterminée.
(h) Le parsec est en fait la distance à laquelle la distance Terre-Soleil serait vue sous un
angle d’une seconde d’arc (c’est-à-dire 1/3600 ème de degré). À partir de la vitesse
de la lumière c“3 108m.s´1, retrouvez la valeur du parsec.
(i) À l’aide de la loi de Hubble, estimez la vitesse d’éloignement de la Nébuleuse
d’Andromède, puis celle d’une galaxie située 1000 fois plus loin, puis celle d’une
galaxie située 1 million de fois plus loin. Exprimez cela en unité de la vitesse de la
lumière. Quel problème cela pose-t-il ?
2 Exercices d’application: analyse dimensionnelle
Exercice 1 - Dimensions et homogénéité
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