x⇤1 = 54.8, x⇤2 = 55.4 etc... 1. Par la loi empiri

Exercice 61
On commence par ranger les donnés dans l’ordre croissant : x⇤
1= 54.8,x⇤ 2= 55.4etc...
1. Par la loi empirique de Sturges, on choisit un nombre de classes à peu près égal à 1 + log2(20) ⇡5.Onobtient
l’histogramme ci-dessous :
La loi semble répartie également de part et d’autres de la valeur 64 et plus concentrée en cette valeur. On
peut donc supposer qu’il s’agisse d’une loi normale centrée en 64.
2. Si Xest de loi Exp (),safonctionderépartionestdonnéparF(x)=1expour x0d’où ln (1 F(x)) =
x.Parconséquent,legraphedeprobabilitéspourlaloiexponentielleestlenuagedepointsx⇤
i,ln 1i
n
pour i2{1,...,n1}(le dernier point doit être enlevé car ln est définir sur R⇤
+). On obtient le graphe
suivant :
1

Clairement, les points ne sont pas alignés ce qui laisse penser que la loi du bruit dans Montreal ne suit pas
une loi exponentielle.
Si Xest de loi Nµ, 2,alorsU=Xµ
est de loi N(0,1).Alors,safonctionderépartitionestdonnée
F(x)=P(Xx)=P✓Uxµ
◆=✓xµ ◆
où est la fonction de réparition de la loi N(0,1).Etantdonnéqueest strictement croissante, elle est
inversible et on a 1(F(x)) = xµ
=1 xµ .Parconséquent,legraphedeprobabilitéspourlaloinormale
et le nuage de points x⇤
i,
1i
n.Onobtientlegraphesuivant:
2

Les points semblent alignés donc on valide l’hypothèse que la loi du bruit dans les rues de Montreal est une
loi normale.
3. La première estimation est tirée du graphe des probabilités : on trace sur le graphique précédent la droite
autour de laquelle les points semblent alignés : dans mon cas, il s’agit de la droite d’équation
y=13
20 116 20 
x⇤
3x⇤ 16
x+ 1(x⇤
3)13
20 116 20 
x⇤
3x⇤ 16
·x⇤
3!
=13
20 116 20 
57.768.1x+ 1(57.7) 13
20 117 20 
57.768.1·57.7!
⇡0.18x11.46
c’est à dire la droite qui rejoint les points 57.7,
1(57.7)et 68.1, 1(68.1).
3

On a donc un estimateur de la moyenne et de la variance de cette loi donnés par
2=✓1
0.18◆2
⇡30.9, µ =p2·11.46 ⇡63,7
La deuxième estimation est obtenue par une simple analyse des données. C’est la moyenne empirique
˜µ=
20
X
n=1
x⇤
i
20 = 64.245
et la variance empirique
˜
2=
20
X
n=1
(x⇤
i˜µ)2
n⇡25.23
4. Pour estimer la probabilité que le bruit dépasse une certaine valeur, on peut se servir de la fonction de
répartition empirique
F20 (x)=8
>
<
>
:
0si x<x
⇤
1
i
20 si x⇤
ix<x
⇤
i+1
1si xix⇤
20
Ainsi, un extimateur de la probabilité que le bruit dépasse 70dB est 1F20 (70) = 117
20 =0.85.Unestimateur
de la probabilité que le bruit dépasse 74dB est 1F20 (74) = 1 1=0.Onpeutaussiseservirdelavéritable
fonction de répartion de la loi N(63,7; 30,9) (on trouve à peu près les quantités 0,87 et 0,87) ou celle de la
loi N(64,245; 25,23) (on trouve les quantités 0,87 et 0,97).
4

Exercice 62
De même que dans l’exercice précédent, on note (x⇤
i)1i25 les données triées dans l’ordre croissant.
1. Par la loi empirique de Sturges, on choisit un nombre de classes à peu près égal à 1 + log2(25) ⇡5.Onobtient
l’histogramme ci-dessous :
2. On dresse le tableau suivant :
i12345678910 11 12
x⇤
i1,4 1,6 3,5 3,9 3.9 4.8 6,7 6.8 7,6 8.2 8,6 9.0
1i
n⇡-1,75 -1,41 -1,18 -0,99 -0.84 -0.71 -0,58 -0.47 -0,36 -0.25 0,15 -0.05
i13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
x⇤
i9.1 9.5 9,8 10.2 1à,3 11.2 11,9 12.7 12,9 13,8 14,5 18
1i
n⇡0.05 0.15 0,25 0.36 0,47 0.58 0,71 0.84 0,99 1,18 1,41 1,75
et le graphe des probabilités x⇤
i,
1i
nisuivant :
5