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Correction BREVET BLANC mathématiques
Exercice 1 :
1) f(x) = (2x – 3 )² - (2x + 7 )² = (2x)² - 2x2xx3+ 3² - [ (2x)² + 2x2xx7 + 7²]
= 4x² - 12x + 9 - [ 4x² + 28x + 49]
= 4x² - 12x + 9 - 4x² - 28x – 49
= - 40x -40
f est une fonction affine de coefficients a = -40 et b=-40
g(x) = 3x – (2x - 5) – 5(x – 2) + 3(2x – 5) = 3x – 2x + 5 – 5x + 10 + 6x – 15 = 2x
g est une fonction affine et linéaire de coefficient a = 2 et b = 0
Exercice 2 : On cherche à résoudre l’équation (x – 1 )² = 9
1) Ninon : FAUX. En effet 3 n’est pas le seul nombre dont le carré vaut 9 il y a également (-3).
Yasmine : VRAI. Elle transpose tout d’abord le 9 pour obtenir une équation nulle, puis il faut
factoriser en utilisant une identité remarquable (différence de deux carrés) pour obtenir un
produit. Ainsi elle peut utiliser la propriété : « si un produit de facteurs est nul alors l’un des
facteurs au moins est nul »
0,5pts pour Ninon et 1pts pour Yasmine (on acceptera toute justification pertinente, on
n’attribuera que 0,5pts si la justification nous semble incomplète )
2) (x – 1 )² - 9 =0
(x – 1 )² - 3² =0
[(x – 1 ) – 3][(x – 1 ) + 3] =0
[x – 1 – 3][x – 1 + 3] =0
[x – 4][x + 2] =0
Or si un produit de facteurs est nul alors l’un des facteurs au moins est nul.
Donc x – 4 = 0 ou
x + 2 =0
x =4
ou
x = -2
Les solutions sont 4 et -2.
1848
.
2040
1) 1848 et 2040 sont des nombres pairs donc divisibles par 2 et de ce fait non premiers entre
1848
eux. La fraction
n’est donc pas irréductible.
2040
2) J’utilise l’algorithme d’euclide pour calculer le pgcd des deux nombres :
Exercice 3 : On considère la fraction
a
b
2040
1848
1848
192
192
120
120
72
72
48
48
24
Le pgcd est le dernier reste non nul donc PGCD(2040 ;1848)=24
3)
1848 24 x 77 77
=
=
2040 24 x 85 85
Reste division euclidienne
192
120
72
48
24
0
Exercice 4 :
25
) = 120 x 0,75 = 90€
100
Les boucles d’oreilles coutent 90 € après la réduction.
20
2) 78,40 : (1) = 78,40 : 0,80 = 98€
100
Le prix initial de la bague est de 98€.
240
20
3) Calcul du coefficient de réduction :
= 0,80 = 1 –
300
100
Le pourcentage de remise est de 20%.
240
50
4) Calcul du coefficient d’augmentation :
= 1,50 = 1 +
160
100
Il faudrait qu’ils augmentent leur budget de 50%.
1) 120 x (1 -
Exercice 5 :
Pour utiliser la trigonométrie, il faut que le triangle soit rectangle. On doit donc regarder si chacun
des triangles est rectangle.
a) Triangle ABC : Calcul de l’angle manquant : ACB = 180 – (58 + 32) = 180 – 90 = 90. Le triangle
est donc rectangle en C.
b) Triangle DEF : [EF] est le plus grand côté :
EF² = 4² = 16
DE² + DF² = 3,2² + 2,4² = 10,24 + 5,76 = 16
On constate que EF² = DE² + DF² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore le
triangle DEF est rectangle en D.
c) Le triangle GHI est inscrit dans un demi-cercle de diamètre un de ses côtés [GH] donc il est
rectangle en I.
Finalement, les trois triangles étant rectangles on peut utiliser la trigonométrie dans chacun d’eux
c’est donc Dylan qui a raison.
Exercice 6 :
1) RF = 18 – 1,5 = 16,5m
2) Dans le triangle FRP rectangle en R, on a :
FR
Tan FPR =
RP
16,5
Tan FPR =
10
D’où FPR ≈ 59°
3) Dans le triangle FRP rectangle en R
D’après le théorème de Pythagore on a :
FP² = FR² + RP²
FP² = 16,5² + 10²
FP² = 272,25 + 100
FP² = 372,25
FP = 372,25
FP ≈ 19,3m
On a FP < 25m , l’échelle sera donc assez longue.
Exercice 7 :
Nombre de fleurs :
Nombre de tulipes jaunes :
Aire des tulipes jaunes : 1 x 4,5 = 4,5m²
100 x 4,5 = 450
Il y a 450 tulipes jaunes.
Nombre de tulipes rouges :
Aire des tulipes rouges : 1,5 x 4,5 = 6,75m²
80 x 6,75 = 540
Il y a 540 tulipes rouges.
Nombre de bouquets :
Le nombre de bouquet doit diviser le nombre de tulipes jaunes et le nombre de tulipes rouges, c’est
donc un diviseur commun de 450 et 540. Or, elle veut en faire un nombre maximum donc c’est le pgdc
de 450 et 540.
J’utilise l’algorithme d’Euclide pour calculer le pgcd des deux nombres :
a
b
540
450
450
90
Le pgcd est le dernier reste non nul donc PGCD(540 ;450)=90
Elle pourra faire 90 bouquets.
Reste division euclidienne
90
0
Bénéfice de la vente des bouquets :
recette des bouquets : 90 x 10 = 900€
achat des fleurs : 450 x 0,40 + 540 x 0,30 = 342€
Bénéfice de la vente : 900 – 342 = 558€
Exercice 8 :
1) Sur la deuxième figure, on voit que M est judicieusement placé pour que AP=BN = 5,63. On
a : AM = 7,5cm.
2)
Partie 1
a) Dans le triangle ADC rectangle en D,
D’après le théorème de Pythagore ,
On a AC² = AD² + DC²
AC² = 9² + 12²
AC² = 81 + 144
AC² = 225
AC = 225
AC = 15
Dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur donc BD =AC = 15cm +0,5*pts
Dans le triangle ABD on a :
- Le point P appartient à [AD]
- Le point M appartient à [AB]
- (PM)//(DB)
D’après le théorème de Thalès, on a :
AP AM PM
=
=
AD AB DB
AP x PM
=
=
9 12 BD
9 x x 3 x3 x x 3
AP =
=
= x.
12
4x3
4
b) On a BM = AB – AM = 12 - x
Dans le triangle ABC on a :
- Le point N appartient à [BC]
- Le point M appartient à [AB]
- (MN)//(AC)
D’après le théorème de Thalès, on a :
BM BN MN
=
=
BA BC AC
12 - x BN MN
=
=
12
BC 15
(12 - x ) x15 15 x 12 15 x x
5x3xx
5
MN =
=
–
= 15 –
= 15 x
12
12
12
4x3
4
Partie 2 :
c)
3
5
On considère les fonctions f(x) = x et g(x) = - x + 15.
4
4
f est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine.
X
0
12
f(x)
0
9
g est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite.
x
0
12
g(x)
15
0
d) La solution du problème est x =7,5
e) On doit résoudre
f(x) = g(x)
3
5
x = - x + 15
4
4
3
5
x + x = 15
4
4
8
x = 15
4
2x = 15
x = 15 :2
x = 7,5
1
0
1
7,5