Problème du Duc de Toscane

Le paradoxe du Grand Duc de Toscane
Travaux pratiques
I Présentation du problème :
A la cour de Florence, un jeux de société faisait intervenir la somme des numéros sortis lors du lancer de trois dés. Le
Duc de Toscane avait conjecturé que la somme 10 était obtenue légèrement plus souvent que la somme 9. Le Duc est
intrigué par cette observation car il constate qu’il y a autant de façons d’écrire 10 que 9 comme sommes de trois
entiers compris entre 1 et 6 :
10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 4 + 1 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 (6 décompositions)
9 = 6 + 2 + 1 = 5 + 3 + 1 = 5 + 2 + 2 = 4 + 4 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 (6 décompositions)
Le Duc de Toscane demande à Galilée (alors Premier Mathématicien de l’Université de Pise) d’élucider ce paradoxe.
Galilée rédigea vers 1620 un mémoire sur les jeux de dés pour répondre à la demande du Duc de Toscane.
Galilée est ainsi l’un des premiers avec Cardan à avoir écrit sur le ”calcul des hasards”.
II Simulation à l’aide d’un algorithme
1. Ouvrir le fichier toscane.alg. Tester cet algorithme, que fait-il ?
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2. Modifier cet algorithme afin de simuler le lancer de trois dés et d’afficher la somme des chiffres obtenus.
3. Exécuter une dizaine de fois l’algorithme précédent.
4. Modifier l’algorithme afin de :
– Simuler 10 000 lancers de trois dés,
– Comptabiliser le nombre d’apparitions de la somme 9 et de la somme 10,
– Calculer et afficher leur fréquence d’apparition sur l’ensemble des 10 000 lancers.
5. Cette simulation semble-t-elle donner raison au Duc de Toscane ?
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III Étude mathématique
1. Dénombrer le nombre de tirages possibles lors du lancer de trois dés.
(On pourra considérer le cas de trois lancers successifs d’un même dé.)
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2. Compléter l’arbre donné en annexe et dénombrer le nombre de façons différentes d’obtenir la somme 9.
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3. Calculer la probabilité d’apparition de la somme 9.
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4. En utilisant un arbre similaire, on a dénombré 27 façons différentes d’obtenir la somme 10. Calculer la
probabilité d’apparition de la somme 10.
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5. Le Duc de Toscane avait-il raison ? Comment expliquer le paradoxe qui intriguait le Duc ?
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