révisions Pythagore et parallélogrammes

Révisions 4
ème
THEOREME DE PYTHAGORE
I- Le théorème de Pythagore
Théorème :
Exercices d’application
Calcul de l’hypoténuse : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AC = 5 cm et AB = 4
cm. Quelle est la valeur de BC de manière exacte ?
ABC est un triangle rectangle en A alors d’après le théorème de Pythagore,
AC² + AB² = BC² donc BC² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
On en conclut que BC = 41 cm on n’oublie pas l’unité !
Calcul d’un côté formant l’angle droit : Soit EFG un triangle rectangle en F tel que EF = 12 cm
et EG = 13 cm. Quelle est la valeur exacte de FG de manière exacte ?
EFG est un triangle rectangle en F alors d’après le théorème de Pythagore,
FE² + FG² = EG² donc 12² + FG² = 13²
Cela nous donne 144 + FG² = 169
Donc FG² = 169 – 144 = 25
Alors FG = 25 = 5 cm.
II- La réciproque
Théorème :
Exercice d’application : Soit KLM un triangle tel que KL = 8 cm ; KM = 15 cm et LM = 17
cm. Quelle est la nature du triangle KLM ?
Calculons KL² ; KM² et LM².
KL² = 8² = 64 KM² = 15² = 225 et LM² = 17² = 289
Nous constatons que KL² + KM² = LM²
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, KLM est un triangle rectangle en K
III- Comment prouver qu’un triangle n’est pas rectangle
Exercice d’application : Soit VFR un triangle tel que VF = 20 cm ; VR = 21 cm et FR = 30 cm.
Quelle est la nature du triangle VFR ?
Dans le triangle VFR, [FR] est le plus grand côté.
VF² = 20² = 400 VR² = 21² = 441 et FR² = 30² = 900
Nous constatons que VF² + VR² = 400 + 441 = 841
≠
FR²
D’après le théorème de Pythagore, VFR n’est pas un triangle rectangle. Il est
quelconque.
[ En effet s’il avait été rectangle alors d’après le théorème de Pythagore VF² + VR² aurait été
égal à FR². Or ce n’est pas le cas.]
I- Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses cotés opposés deux à deux parallèles.
Cette figure représente le parallélogramme ABCD ou ADCB ou BCDA ou ... (mais surtout pas
ABDC !).
 [AB] et [BC] sont des cotés consécutifs.
 [AB] et [CD] sont des cotés opposés.
 A et B sont des sommets consécutifs.
 B et D sont des sommets opposés.
 ABC
^ et BCD ^ sont des angles consécutifs.
 BCD
^ et BAD ^ sont des angles opposés.
 [AC] et [BD] sont les diagonales du parallélogramme.
II. P ROPRIETES
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors le
point d’intersection O des diagonales est un centre
de symétrie.
On dit parfois que ABCD est un parallélogramme de
centre O.
Conséquences :
1. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
c’est à dire : Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O.
2. Dans un parallélogramme, les cotés opposés sont égaux 2 à 2.
c’est à dire : AB = CD et AD = BC.
3. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux 2 à 2.
c’est à dire :
CDAABC ∧
=
∧
et
BCDDAB ∧
=
∧
.
4. Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires
c’est à dire : CDA=DAB et ABC=BCD ….
III. COMMENT DEMONTRER QU’UN QUADRILATERE EST UN PARALLELOGRAMME.
a. Caractérisation d’un parallélogramme par ses diagonales.
S I les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, A LORS ce quadrilatère est un parallélogramme.
b. Caractérisation d’un parallélogramme par deux cotés opposés.
S I un quadrilatère (non croisé) a deux cotés opposés égaux ET parallèles, A LORS ce quadrilatère est un
parallélogramme.
S I un quadrilatère (non croisé) a ses cotés opposés 2 à 2 égaux, A LORS ce quadrilatère est un
parallélogramme
c. Caractérisation d’un parallélogramme par ses angles.
S I un quadrilatère a des angles opposés de même mesure, A LORS ce quadrilatère est un parallélogramme.
S I un quadrilatère a des angles consécutifs supplémentaires, A LORS ce quadrilatère est un parallélogramme
A B
D C
A
B
D
C
O