DEVOIR MAISON n°3 – 5 6

DEVOIR MAISON n°3 – 5
ème
6
A rendre le jeudi 2 décembre 2010.
Un jour de retard entraînera une diminution de la moitié de la note, deux jours de retard ne seront pas
acceptés et entraîneront un zéro au devoir.
Exercice 1 : La Citadelle de Lille (3 points)
Surnommée la capitale de Flandres, Lille
est la préfecture du département du Nord
et le chef-lieu du Nord-Pas-de-Calais.
Sous les ordres de Louis XIV, Sébastien Le
Prestre (1633-1707), plus connu sous le
nom de Vauban, fit construire la Citadelle
de Lille ci-contre.
Cet édifice terminé en 1670 a la forme d’un
pentagone.
1) Poser un papier-calque sur la photographie aérienne de la Citadelle de Lille. Y tracer un pentagone
qui relie les pointes des fortifications.
2) Un pentagone régulier est un polygone qui possède cinq côtés de même longueur et cinq angles de
même mesure. La Citadelle de Lille a-t-elle la forme d’un pentagone régulier ?
Exercice 2 : Pentagone régulier (6 points)
1) En utilisant le schéma ci-contre, justifier que la somme
des angles d’un pentagone est égale à 540°.
2) Les angles d’un pentagone régulier ont tous la même
mesure. Quelle est cette mesure ?
Exercice 3 : Napoléon (3 points)
En effectuant quelques recherches, écrire une petite biographie sur Napoléon (naissance, décès, ce qu’il
a fait durant sa vie, etc…).
Exercice 4 : Le théorème de Napoléon (8 points)
Passionné de mathématiques, on raconte que Napoléon résolvait des problèmes géométriques avant
les grandes batailles. Le théorème suivant lui est attribué :
« Si on construit des triangles équilatéraux sur les côtés d’un triangle quelconque (tous extérieurs ou
tous intérieurs), alors les centres* de ces triangles équilatéraux forment un triangle équilatéral. »
Le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736-1813) lui aurait dit :
« Mon Général, nous nous attendions à tout de vous, sauf à des leçons de géométrie. »
*Le centre d’un triangle équilatéral est le centre de son cercle circonscrit.
1) Tracer un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 6 cm et BC = 4 cm.
2) Construire, à l’extérieur du triangle ABC, trois triangles équilatéraux ayant chacun pour côté un côté
du triangle ABC.
3) Construire le cercle circonscrit à chaque triangle équilatéral. Nommer R, S et T leurs centres.
4) Quelle semble être la nature du triangle RST ?