corrigés

NOM, PRENOM (en majuscules) ….…………………………...…………………….……
SECTION (barrer les mentions inutiles)
Biologie
Géographie
Géologie
PHYS-F-104
Physique 1
Examen du 16 janvier 2014
I. Théorie (20 points – 1 heure 10')
Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne sont pas prises
en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.
Les résultats numériques doivent être exprimés
- en unités du Système international ;
- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.
Le cas échéant, prenez g = 10 m s-2
Note théorie :
P.Vanlaer
/20
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
1. Définissez, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez :
a) moment cinétique d'une masse ponctuelle par rapport à un point O
b) accélération tangentielle d'une masse ponctuelle
c) travail d'une force
d) quantité de mouvement
(4 points)
a) L⃗O =⃗r x ⃗p , où ⃗r est le vecteur depuis O jusqu'à la masse m et ⃗p la quantité de
mouvement de la masse
b) Une définition possible : a T = R
dω
, où R est le rayon de la trajectoire et ω est la
dt
vitesse angulaire.
c) Le travail d'une force dont le point d'application se déplace entre le point i et le point f est
défini comme :
f
⃗ ⃗r
W i → f =∫ F⋅d
i
où d ⃗r est un déplacement infinitésimal du point d'application.
d) ⃗p =m ⃗v , où m est la masse du corps et ⃗v sa vitesse
P.Vanlaer
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
2. Enoncez les lois de la statique, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez.
(2 points)
Pour un système en équilibre statique :
–
–
Equilibre de translation : somme vectorielle des forces extérieures = 0 :
∑ F⃗ext =0
Equilibre de rotation : ∑ τ⃗A ( F⃗ext )=0 par rapport à tout point A du système, où
τ A ( F⃗ext ) est le moment d’une force extérieure par rapport au point A.
P.Vanlaer
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
.
3. Démontrez la relation entre la période de révolution d'une planète autour du Soleil et
le rayon de l'orbite de cette planète (3 e loi de Kepler), en définissant toutes les grandeurs
que vous introduisez.
(3 points)
La force centripète qui maintient les planètes sur leur orbite est la force d'attraction gravitationnelle. Elle s'exprime comme :
G mp M S
F⃗G =
(−1⃗R )
R2
où m p est la masse de la planète, M S est la masse du soleil, G est la constante de gravitation universelle et R est le rayon de l'orbite.
D'autre part pour un MCU, la force centripète s'exprime comme :
2
⃗ c=m p ω2 R=m p ( 2 π ) R (−1⃗R)
F
T
où T est la période de révolution.
Donc :
R 3 GM S
=
.
T 2 4 π2
P.Vanlaer
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4. Un chat lâché sur le dos, pattes vers le haut, d'une hauteur de un mètre ou deux, re tombe en général sur ses pattes. Expliquez.
(3 points)
Le chat est lâché avec une vitesse angulaire nulle. Le moment cinétique total est nul et est
conservé au cours de la chute, car le moment du poids du chat par rapport à son centre de
masse est nul.
Le chat peut modifier le moment d'inertie de l'avant ou de l’arrière de son corps, en ramenant
vers lui ses pattes avant ou arrière, ou en les tendant perpendiculairement à l'axe de rotation.
Lorsque le chat a les pattes avant repliées et les pattes arrière tendues, il peut tourner l'avant
de son corps d'un grand angle, pendant que l’arrière du corps tourne dans l'autre sens d'un petit angle pour que le moment cinétique total reste nul :
I avant ωavant + I arriere ωarriere =0 ; où I avant et I arriere sont les moments d'inertie des deux parties du corps du chat, et ωavant ,arriere , leurs vitesses angulaires.
Les angles dont les deux parties du corps ont tourné sont liées par la relation :
−I
θ arriere = avant θavant .
I arriere
Ensuite le chat tend les pattes avant et replie les pattes arrière, et il peut tourner d'un grand
angle l’arrière du corps en compensant par une petite rotation de l'avant dans l'autre sens.
A la fin, l'ensemble du corps a changé d'orientation, et la vitesse de rotation finale est nulle
comme au début.
P.Vanlaer
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
5. Une sphère pleine faite d'un matériau homogène roule sans glisser sur un plan incliné
d'un angle θ par rapport à l'horizontale. Faites un schéma de la situation en définissant toutes les forces que vous introduisez. Calculez l'expression de l’accélération de
cette sphère, sachant que l'expression du moment d'inertie d'une sphère pleine homogène de masse m et de rayon R est 2/5 mR2.
(4 points)
Réaction du sol :
⃗ : composante normale de la réaction du sol
N
F⃗ f : force de frottement (qui est la composante tangentielle de la réaction du sol) ; statique
car la sphère roule sans glisser
Ces deux composantes s'appliquent au point de contact entre la sphère et le sol
⃗
P : poids de la sphère ; s'applique au centre de gravité de la sphère ~ centre de masse.
Translation du centre de masse
dans la direction // au plan incliné :
ma=mg sin θ−F f (1)
dans la direction perpendiculaire au plan incliné :
0=N −mg cos θ
ce qui ne nous aide pas beaucoup car il n'y a pas de relation unique entre les valeurs de N et
de Ff pour un frottement statique : F f ≤μ s N
Rotation autour du centre de masse
dans la direction perpendiculaire à la feuille :
∑ τ c.g.= R F f = I c.g. α (2)
Roulement sans glissement :
a=R α (3)
En utilisant l'expression de α de (3) dans (2) puis l'expression de F f de (2) dans (1) on
trouve :
2
m R2
I c.g.
5
,
a(m+ 2 )=a (m+
)=mg sin θ
2
R
R
5
donc finalement : a= g sin θ.
7
P.Vanlaer
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
6. Une masse attachée à un ressort horizontal répondant à la loi de Hooke peut glisser
sans frottements sur une table horizontale. On écarte la masse de sa position d’équilibre
en étirant le ressort, puis on la lâche avec une vitesse nulle. La masse décrit alors un
mouvement de va et vient autour de la position d’équilibre.
a) Pour quelle(s) position(s) de la masse l’accélération est-elle maximum en valeur absolue, et pourquoi ?
(2 points)
b) Pour quelle(s) position(s) de la masse l’énergie potentielle élastique stockée dans le
ressort est-elle maximum, et pourquoi ?
(2 points)
a) Selon la loi de Hooke, la force de rappel est proportionnelle à l'allongement x du ressort :
⃗ =−k x 1⃗x .
F
L’accélération est donc maximum en valeur absolue quand l'allongement est maximum en valeur absolue (ressort étiré ou comprimé au maximum).
b) L’énergie potentielle élastique stockée dans un ressort répondant à la loi de Hooke s'exprime en fonction de l'allongement comme :
1
E pot , el = k x 2 ;
2
elle est donc maximum quand l'allongement est maximum en valeur absolue (ressort étiré ou
comprimé au maximum).
Autre bonne réponse : en l'absence de frottement, l’énergie mécanique totale est conservée.
L’énergie potentielle élastique sera donc maximum quand l’énergie cinétique est nulle, ce qui
se présente quand la masse est immobile et que l'allongement est maximum en valeur absolue
(ressort étiré ou comprimé au maximum).
P.Vanlaer
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
NOM, PRENOM (en majuscules) ..…………………………...…………………….……
SECTION (barrer les mentions inutiles)
Biologie
Géographie
Géologie
PHYS-F-104
Physique 1
Examen du 16 janvier 2014
II. Exercices (20 points – 2 heures)
Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne sont pas prises
en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.
Les résultats numériques doivent être exprimés
- en unités du Système international ;
- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.
Le cas échéant, prenez g = 10 m s-2
Notes :
Q1
/4
Note totale exercices :
P.Vanlaer
Q2
/4
Q3
/4
Q4
/20
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
/4
Q5
/4
1. Une voiture s'engage dans un virage de 60 mètres de rayon à une vitesse de 50 km/h.
La route est horizontale. Dans le virage, le conducteur appuie sur l’accélérateur, ce qui
communique une accélération constante de 3,0 m/s 2 à la voiture. Pendant combien de
temps peut-il accélérer sans déraper vers l’extérieur du virage, si le coefficient de frottement statique entre les pneus et le sol vaut 0,70 ?
(4 points)
La voiture ne dérape pas tant que la force centripète est inférieure à la force de frottement
statique maximum :
mv 2
<F f , max =μ s N ;
R
où m est la masse de la voiture, v sa vitesse ; R est le rayon du virage, μ s est le coefficient
de frottement statique et N est la composante normale de la réaction du sol.
Equilibre des forces dans la direction verticale : N – mg = 0 donc N = mg.
Donc la vitesse maximale est :
v max= √ μ s g R .
L’accélération est uniforme, donc le temps pendant lequel le conducteur peut accélérer vaut :
50
0,7.10.60−
√
v −v
3,6
t= max 0 =
=2,2 s
a
3,0
(2 chiffres significatifs).
P.Vanlaer
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
2. On met un CD de 14 grammes dans un lecteur audio. Le CD se met à tourner et
atteint une vitesse de 197 tours par minute après 3,2 secondes.
a) Calculez le moment de forces moyen exercé sur le CD, en faisant l'approximation que
celui-ci est un disque homogène de 6,0 cm de rayon.
(3 points)
b) En réalité, le CD comporte en son centre un trou circulaire de 0,75 cm de rayon. Pour
atteindre la même vitesse de rotation après le même temps, le moment de forces doit-il
être plus petit, plus grand ou le même que pour un disque homogène de même masse et
de même rayon extérieur, mais sans trou au centre ? Justifiez.
(1 point)
a) Durant l’accélération angulaire le CD subit un moment de forces moyen :
τ m =I α m ;
où I est le moment d'inertie du disque et αm est l’accélération angulaire moyenne.
2
I=
2
m R 0.014 .(0.06)
=
=2,52.10−5 kg.m2 .
2
2
αm vaut :
ω −ωi
αm = f
=
t
Donc
2 π . 197
−0
60
2
=6,45 radians /s .
3,2
τ m =1,6 .10−4 N /m (2 chiffres significatifs).
b) plus grand : la même masse est répartie à plus grande distance du centre ; le moment
d'inertie de rotation est donc plus grand.
P.Vanlaer
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
3. Sachant que la vitesse de libération depuis la surface de la Terre est de 11,3 km/s,
calculez la vitesse de libération depuis la surface de la Lune, si celle-ci a un rayon égal à
0,273 fois le rayon terrestre et si l’accélération gravitationnelle à sa surface vaut 0,165
fois celle qu'on trouve à la surface de la Terre. Négligez l'effet de l'attraction
supplémentaire causée par la Terre.
(4 points)
La vitesse de libération depuis la surface de la Lune, vL, s'exprime en fonction de la masse ML
et du rayon RL de la Lune comme :
2G M L
.
v L=
RL
√
On fait apparaître la vitesse de libération depuis la surface de la Terre, v T, comme ceci :
2G M T R T M L
RT M L
;
v L=
.
.
=v T .
.
RT
RL M T
RL M T
où G est la constante de gravitation universelle, et M T et RT sont la masse et le rayon de la
Terre.
√
√
Or les accélérations gravitationnelles à la surface de la Terre et de la Lune s'expriment
comme :
GM
GML
g T = 2 T et g L=
.
RT
R 2L
Donc
RT M L g L R L
.
= .
R L M T g T RT
et v L =v T .
P.Vanlaer
√
g L RL
. =11,3 km/ s . √ 0,165 .0,273=2,40 km/ s (3 chiffres significatifs).
g T RT
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
4. Deux masses, l'une de 100 grammes et l'autre de 200 grammes, sont reliées par un
ressort d'une raideur de 25 N/m et de 23 cm de longueur au repos. Les masses sont
posées sur un plan horizontal et glissent sans frottements sur ce plan. On écarte les
masses en allongeant le ressort de 11 cm, puis on les lâche avec une vitesse nulle. Quelle
est la vitesse maximum de la masse de 100 grammes au cours du mouvement qui
s'ensuit ? Indication : réfléchissez à toutes les grandeurs qui sont conservées.
(4 points)
Glissement sans frottement → conservation de l’énergie mécanique :
E mec = E cin+ E pot. el. = constante.
Lorsqu'on lâche les masses, ressort étiré, avec une vitesse initiale nulle, l’énergie mécanique
est entièrement sous forme d’énergie potentielle élastique :
1
E mec ,i = k (Δl )2 (a), où k est la constante de raideur du ressort, et Δ l son allongement.
2
Les vitesses des masses sont les plus grandes lorsque le ressort retourne à sa longueur au
repos. L’énergie est alors entièrement sous forme cinétique :
1
1
E mec , f = m 1 v 21+ m2 v 22 =E mec ,i (b), où l'indice 1 désigne la masse de 100 grammes.
2
2
La quantité de mouvement est toujours conservée :
pi =0= p⃗f =m1 v⃗1+m2 v⃗2
⃗
Donc la vitesse de la masse de 200 grammes : v 2=
(c) → (b) :
−m1
v (c).
m2 1
m
1
1
m1 v 21 (1+ 1 )= k (Δ l)2
2
m2 2
donc :
v 1=
√
P.Vanlaer
√
k (Δ l)2
(0,11)2
= 25 .
=1,4 m/ s
(2 chiffres significatifs).
m1
0,100 (1+0,5)
m1 (1+ )
m2
PHYS-F-104 examen 16 janvier 2014
5. Une voiture de 1000 kg roulant à 50 km/h freine uniformément sur une distance de 10
mètres puis percute une camionnette de 2000 kg à l’arrêt à un feu rouge. Les deux
véhicules encastrés l'un dans l'autre avancent ensemble après le choc avec une vitesse de
3,7 m/s. Quelle était la décélération de la voiture avant le choc ?
(4 points)
Choc complètement inélastique. La vitesse de la voiture au moment du choc s'obtient par la
conservation de la quantité de mouvement :
p⃗f =(mv +mc ) v⃗f = ⃗
p i =mv v⃗i
v
⃗
où f est la vitesse des deux véhicules encastrés l'un dans l'autre, et v⃗i est la vitesse de la
voiture avant le choc.
Donc :
(mv+mc )
vi=
vf .
mv
La décélération se fait sur une distance s de 10 m :
v i2−v 20=2 a s
où v 0 est la vitesse de la voiture avant décélération.
Donc :
m v +mc 2 2
(v f
) −v 0
(2 ch. significatifs).
mv
(3,7.3)2−(50/3,6)2
a=
=
=−3,5 m/s 2
2s
2.10
P.Vanlaer
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