Modélisation de dipôles usuels

Modélisation de dipôles usuels :
I) Dipôles linéaires : Dipôle : 2 bornes
but : loi u = f(ci, relation entre ddp et intensité.
1) Caractéristiques d'un dipôle : Définition : La caractéristique d'un dipôle est le tracé de u en fonction de i pour un régime de fonctionnement donné (en continu ou en régime sinusoïdal forcé, RSF) et dans une convention donnée (générateur ou récepteur).
Exemple : Résistance. D = R en convention récepteur, D = ­R en convention générateur.
En régime sinusoïdal forcé, en général, Voltmètre => Veff =Vmax /  2
Ampèremètre => Ieff
Source GBF, amplitude variable.
2) Point de fonctionnement d'un circuit : Lorsqu'un dipôle est intégré à un circuit électrique, on veut déterminer la tension à ses bornes et le courant le traversant.
Définition : Le point de fonctionnement du dipôle est U 0, I 0  dans une convention donnée.
On peut le déterminer :
– Par le calcul.
– Graphiquement à l'aide des caractéristiques
Exemple : On prend un générateur classique.
On prend sur un schéma E(0,E) (fem du générateur), et Icc(Icc,0) (courant de court circuit). On trace la courbe et en fonction de ce que l'on obtient, on écrit : u = ­ ri + E ou u = + ri + E.
Par conséquent, le générateur possède une résistance interne.
Déterminer U 0, I 0  dans le circuit. u = Ri : caractéristique de la résistance convention récepteur.
Les deux droites se croisent en le point de fonctionnement.
Par le calcul : u=−r . iE
u=R i
Ri=−r .iE
i Rr =E
u=R i
E
i=
=I et RE
U 0=
Rr 0
Rr
3) Dipoles linéaires (et non linéaires) : Définition : un dipôle est linéaire si la relation entre u(t) et i(t) est une équation différentielle linéaire à coefficient constants.
du
di
f  t a0 u b 0 ...= a1 i b1 ... avec f(t) indépendant de u(t) et i(t).
dt
dt
Remarque : En continu, Fa0 ua 1 i , il s'agit donc d'une droite.
Exemples de dipôles linéaires :
– Résistance : u = Ri, caractéristiques affine symétrique (passant par 0).
Dipôle linéaire symétrique.
– Générateur : u = E – ri, caractéristiques affines
Dipôle linéaire.
du
– Condensateur : i=C
dt
Dipôle linéaire.
di
– Bobine : u=L
dt
Dipôle linéaire.
Exemples de dipôles non linéaires :
– caractéristiques affines par morceaux
− u−U 
– Diode : i=I 0 e
=> Modélisation d'une diode à l'aide d'une caractéristique affine par morceaux. => i = 0 pour uU 0 , i > 0 u=U 0 .
0
4) Ecart à la linéarité : Un dipôle réel n'est linéaire que dans un domaine de fonctionnement. Si on sort du domaine de fonctionnement, – dégradation du composant.
– apparition de termes non linéaires.
5) Dipôles passifs, actifs : –
–
Dipôle actif : Fournit de l'énergie au circuit.
Dipôle passif : Reçoit de l'énergie => Caractéristique affine passera par 0.
II) Dipôles usuels : 1) Le résistor : a) Propriétés du composant
composant = le résistor = bout de conducteur
Modélisation :
Relation courant­tension :
– Convention récepteur : u = Ri
– Convention générateur : u = ­ Ri
R est la résistance du composant, R en Ohm  
Remarque :
i=G u
i
G=
G est la conductance
R
G s'exprime en Siemens (S)
f(i) = G u
f(u) = Ri
Propriétés énergétiques :
p(t) = u(t) i(t) puissance algébrique reçue.
p(t) = Ri²(t) > 0.
=> R ne fait que recevoir de l'énergie.
=> Dissipation de la puissance électrique par effet Joule.
b) Association de résistors :
En série : On recherche le dipôle équivalent de deux résistances R1 et R2 , de tensions aux bornes
U1 et U 2 .
u1= R1 i
u 2=R2 i
u=u1u2=R 1 iR 2 i
u= R1 R2 i
Dipôle équivalent : Req= R1  R2
–
Généralisation :
R1 R2 ... R n
n
Req =∑ Ri
i =1
–
En parallèle : u
u
i= 
u=R1 i 1
R1 R2
u=R2 i2 <=>
1
1
i=u

i=i 1i 2
R1 R2


<=> G eq =G1 G 2
Généralisation :
n
n
1
1
=∑
G eq= ∑ Gi
Req i =1 Ri
1
2) La bobine : a) Bobine idéale :
Enroulement de conducteur.
Modélisation :
SCHEMA
di
en convention récepteur.
dt
L est l'inductance de la bobine (en Henry, H).
Fonctionnement basé sur les phénomènes d'induction.
u= L
Régime continu :
i= I 0= cste  u=0
La bobine se comporte comme un court­circuit.
b) Propriétés énergétiques
p(t) = u(t) i(t) en convention récepteur.
Puissance algébrique reçue par la bobine.
p t= L
p t=
[ ]
di
d 1
i=
Li²
dt
dt 2
d
  énergie
dt
Energie magnétique stockée dans la bobine :
1
 m = Li²
2
i² augmente,  m augmente, p t 0 La bobine reçoit de l'énergie et la stocke.
i² diminue,  m diminue, p t 0 , => la bobine restitue de l'énergie au circuit.
La bobine est un dipôle non dissipatif de stockage d'énergie.
d

dt m
 m est continue dans le temps.
L'intensité qui circule dans la bobine est continue dans le temps.
Conséquence : p t=
c) Associations de bobines :
–
En série : On a : u=u1 u2
di
u1 = L 1
dt
di
u 2= L 2
dt
di
di
di
u= L1 L 2 = L1 L2 
dt
dt
dt
Pour une association de bobines en série, on ajoute les inductances de toutes les bobines.
n
Leq = ∑ Lk
k=1
–
En parallèle : di di 1 di 2
i= i 1 i2 => = 
dt dt dt
di 1
u= L1
dt
di 2
u= L2
dt
1
di u
u
di
=  =
1
1 dt
dt L1 L2

L1 L 2
Pour une association de bobines en parallèle, l'inverse de l'inductance de la bobine équivalente est la somme des inverses des bobines en parallèle.
n
1
1
=∑
Leq k= 1 L k
4) Condensateur : a) Description :
Il s'agit de deux armatures séparées par un isolant.
Modélisation :
schema
q
u=
du
C
<=> i=C
dq
dt
i=
dt
Régime continu :
u = U 0 cste
i = 0 => le condensateur comme un interrupteur ouvert.
b) Propriétés énergétiques :
p t=u  t i t=
[ ]
q dq d 1 q²
=
C dt dt 2 C
Energie électrique stockée dans le condensateur :
1 q² 1
 el =
= C u²
2 C 2
u² augmente =>  el augmente, p > 0. => Le condensateur accumule de l'énergie.
u² diminue =>  el diminue, p < 0. => Le condensateur restitue de l'énergie.
Il s'agit d'un dipôle non disspatif de stockage d'énergie.
Conséquence :  el  t  est dérivable et donc continue dans le temps. (de classe C1)
=> continuité de la tension aux bornes d'un condensateur.
c) Association de condensateurs :
Association en série :
q1
q
u2 = 2
C1
C2
dq dq
i= 1 = 2
dt
dt
q
q
u=u1u 2= 1  2
C1 C2
u1 =
du
dt
[ ]
1
1
1

C1 C2
=i
équivalent à i =C eq
1
1
1
du
= 
avec C eq C 1 C 2
dt
Association parallèle :
q1
dq 1
=i 1
C1
dt
dq 2
q
u= 2
=i 2
C2
dt
du
du
i=C 1 C 2
dt
dt
du
i = C 1C 2
dt
C eq=C 1C 2
u=
i= i 1 i 2
4) Générateurs : Sources de tension, sources de courant. a) Générateurs idéaux :
i) Source de tension idéale :
Définition : Dipôle qui impose une ddp, quelque soit le courant.
Caractéristique :
u constant (= E), pour i < 0, récepteur, sinon générateur.
E est la force électromotrice de la source de tension (f.e.m).
n
Association série : E eq = ∑ E k
k =1
Association parallèle :
=> impossible de connecter deux sources de tension aux mêmes bornes.
Conséquence : Si on court­circuite une source de tension, on dégrade cette source.
ii) Source de courant idéale :
Définition : dipôle qui impose le courant quelque soit la ddp à ses bornes.
Modélisation :
I 0 courant électromoteur ou courant de court­circuit.
Caractéristique :
I 0 constant (droite verticale). Pour I 0 0, générateur, sinon récepteur.
Association série :
i= I 1= I 2 impossible si I 1≠ I 2
Conséquence :
Pas de source de courant en circuit ouvert, sinon dégradation.
n
Association parallèle : I eq =∑ I k
k =1
b) Générateur réel :
Caractéristique :
E = fem du générateur. I 0 = courant de court circuit. Pente : ­r.
E
=> tracé de la caractéristique : u= E−ri => I 0=
r
NB : dipôle passif : caractéristique passant par 0. (dipôle symétrique)
dipôle actif : pas le cas. (non symétrique)
i) Modèle de Thévenin : (modélisation avec source de tension)
Tracé : u = E – ri (convention générateur).
Modèle de Thevenin du générateur réel :
Le dipôle équivalent est donc un générateur de tension de fem = E, et une résistance de valeur r en série.
NB : Si r est très petit, le générateur se rapproche d'une source de tension idéale
A l'inverse, si r est très grand, le générateur se rapproche d'une source de courant idéale.
ii) Modèle de Norton : (modélisation par une source de courant + résistance)
En inversant les axes, on obtient :
E 1
u
u=E−ri ri=E−u i= − u=I 0−
r r
r
Modèle de Norton d'un générateur réel :
Le dipôle équivalent est un générateur de courant I 0 mis en série avec une résistance de valeur r.
NB : Si r est grand, le générateur se comporte comme une source de courant idéale.
iii) Equivalence Thevenin Norton :
Les deux modèles sont équivalents, chaque générateur peut être modélisé des deux façons.
iv) Association de générateurs :
Association en série : On utilise le modèle de Thévenin. deux générateurs de fem E1 et E2 et de résistance interne r1 et r2 seront modélisés par un générateur de fem E1 + E2 et de résistance interne r1 + r2.
–
Association parallèle : On utilise le modèle de Norton, deux générateurs d'intensité I1 et I2 et de résistance interne r1 r 1 r2
et r2 seront modélisé par un générateur d'intensité I 1 I 2 et de resistance interne
r 1 r 2
–