Modélisation de dipôles usuels

Modélisation de dipôles usuels :
I) Dipôles linéaires :
Dipôle : 2 bornes
but : loi u = f(ci, relation entre ddp et intensité.
1) Caractéristiques d'un dipôle :
Définition : La caractéristique d'un dipôle est le tracé de u en fonction de i pour un régime de
fonctionnement donné (en continu ou en régime sinusoïdal forcé, RSF) et dans une
convention donnée (générateur ou récepteur).
Exemple : Résistance. D = R en convention récepteur, D = -R en convention générateur.
En régime sinusoïdal forcé, en général, Voltmètre =>
Veff =Vmax/ 2
Ampèremètre => Ieff
Source GBF, amplitude variable.
2) Point de fonctionnement d'un circuit :
Lorsqu'un dipôle est intégré à un circuit électrique, on veut déterminer la tension à ses bornes
et le courant le traversant.
Définition : Le point de fonctionnement du dipôle est
U0, I0
dans une convention donnée.
On peut le déterminer :
–Par le calcul.
–Graphiquement à l'aide des caractéristiques
Exemple : On prend un générateur classique.
On prend sur un schéma E(0,E) (fem du générateur), et Icc(Icc,0) (courant de court circuit). On
trace la courbe et en fonction de ce que l'on obtient, on écrit : u = - ri + E ou u = + ri + E.
Par conséquent, le générateur possède une résistance interne.
Déterminer
U0, I0
dans le circuit. u = Ri : caractéristique de la résistance convention récepteur.
Les deux droites se croisent en le point de fonctionnement.

Par le calcul :
u=−r.iE
u=Ri
Ri=−r.iE
iRr=E
i=E
Rr=I0
et
u=Ri
U0=RE
Rr
3) Dipoles linéaires (et non linéaires) :
Définition : un dipôle est linéaire si la relation entre u(t) et i(t) est une équation différentielle
linéaire à coefficient constants.
ft a0ub0
du
dt ...=a1ib1
di
dt ...
avec f(t) indépendant de u(t) et i(t).
Remarque : En continu,
Fa0ua1i
, il s'agit donc d'une droite.
Exemples de dipôles linéaires :
–Résistance : u = Ri, caractéristiques affine symétrique (passant par 0).
Dipôle linéaire symétrique.
–Générateur : u = E – ri, caractéristiques affines
Dipôle linéaire.
–Condensateur :
i=Cdu
dt
Dipôle linéaire.
–Bobine :
u=Ldi
dt
Dipôle linéaire.
Exemples de dipôles non linéaires :
–caractéristiques affines par morceaux
–Diode :
i=I0e−u−U0
=> Modélisation d'une diode à l'aide d'une caractéristique affine par morceaux.
=> i = 0 pour
uU0
, i > 0
u=U0
.
4) Ecart à la linéarité :
Un dipôle réel n'est linéaire que dans un domaine de fonctionnement.
Si on sort du domaine de fonctionnement,
–dégradation du composant.
–apparition de termes non linéaires.
5) Dipôles passifs, actifs :
–Dipôle actif : Fournit de l'énergie au circuit.
–Dipôle passif : Reçoit de l'énergie => Caractéristique affine passera par 0.

II) Dipôles usuels :
1) Le résistor :
a) Propriétés du composant
composant = le résistor = bout de conducteur
Modélisation :
Relation courant-tension :
–Convention récepteur : u = Ri
–Convention générateur : u = - Ri
R est la résistance du composant, R en Ohm
Remarque :
i=G u
G=i
R
G est la conductance
G s'exprime en Siemens (S)
f(i) = G u
f(u) = Ri
Propriétés énergétiques :
p(t) = u(t) i(t) puissance algébrique reçue.
p(t) = Ri²(t) > 0.
=> R ne fait que recevoir de l'énergie.
=> Dissipation de la puissance électrique par effet Joule.
b) Association de résistors :
–En série :
On recherche le dipôle équivalent de deux résistances
R1
et
R2
, de tensions aux bornes
U1
et
U2
.
u1=R1i
u2=R2i
u=u1u2=R1iR2i
u= R1R2i
Dipôle équivalent :
Req=R1R2
Généralisation :
R1R2...Rn
Req=∑
i=1
n
Ri

–En parallèle :
u=R1i1
u=R2i2
i=i1i2
<=>
i=u
R1
u
R2
i=u
1
R1
1
R2
<=>
Geq=G1G2
Généralisation :
Geq=∑
1
n
Gi
1
Req
=∑
i=1
n1
Ri
2) La bobine :
a) Bobine idéale :
Enroulement de conducteur.
Modélisation :
SCHEMA
u=Ldi
dt
en convention récepteur.
L est l'inductance de la bobine (en Henry, H).
Fonctionnement basé sur les phénomènes d'induction.
Régime continu :
i=I0=cste u=0
La bobine se comporte comme un court-circuit.
b) Propriétés énergétiques
p(t) = u(t) i(t) en convention récepteur.
Puissance algébrique reçue par la bobine.
pt= Ldi
dt i=d dt
[
1
2Li²
]
pt= d
dt   énergie
Energie magnétique stockée dans la bobine :
m=1
2Li²

i² augmente,
m
augmente,
pt 0
La bobine reçoit de l'énergie et la stocke.
i² diminue,
m
diminue,
pt0
, => la bobine restitue de l'énergie au circuit.
La bobine est un dipôle non dissipatif de stockage d'énergie.
Conséquence :
pt= d
dt m
m
est continue dans le temps.
L'intensité qui circule dans la bobine est continue dans le temps.
c) Associations de bobines :
–En série :
On a :
u=u1u2
u1=L1
di
dt
u2=L2
di
dt
u=L1
di
dt L2
di
dt = L1L2di dt
Pour une association de bobines en série, on ajoute les inductances de toutes les bobines.
Leq=∑
k=1
n
Lk
–En parallèle :
i=i1i2
=>
di
dt =di1 dt di2 dt
u=L1
di1
dt
u=L2
di2
dt
di
dt =u L1
u
L2
=1
1
L1
1
L2
di
dt
Pour une association de bobines en parallèle, l'inverse de l'inductance de la bobine
équivalente est la somme des inverses des bobines en parallèle.
1
Leq
=∑
k=1
n1
Lk